数学建模-工厂最优生产计划模型

摘要本文利用线性规划知识建立数学模型，研究了在决策变量不同情况下，工厂计划和收益的变化。

问题一属于简单的线性规划模型，直接利用LINGO软件求解。

在求解问题二时，巧妙引入价格指数的概念，衡量价格变化与市场容量的关系，依然用模型一分析了价格变化对工厂计划和收益的影响。

在问题三中，根据各机床的停工维修时间不确定，利用0—1模型原理对模型一进行改进。

通过求解结果与问题一结果进行比较，讨论了停工时间灵活性的价值。

关键词：线性规划，价格指数，收益，最优解一、 问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、1台镗床和1台刨床，用以生产7种产品，记作1P 至7P 。

工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。

表一：每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）本月（一月）和随后的5各月中，下列机床停工维修： 表二：各月机床的维修情况表三：各种产品各月份的市场容量每种产品存货最多可到100件，存费为每件每月0.5元。

现无存货，要求到6月底每种产品有存货50件。

工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。

不需要考虑排队等待加工的问题。

1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的生产？2、研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。

3、若各机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修。

除磨床外，每台机床在这6个月中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床有2台需要维修。

扩展工厂计划模型，使得可以对灵活安排机床维修时间作出决策。

停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设1、忽略1—6月的天数差异，统一规定为每月为四周，28天；2、同种机床不存在性能差异；3、所有机床加工出的产品全部合格，无次品；4、用于产品的原材料的费用保持不变；5、每月末的存货量就是下月初的存货量；6、产品生产费与生产率无关，只取决于原材料费用。

三、符号说明a表示i P在j月的生产量；ijB表示k类机床在j月的工作台数；kjC表示生产1件i P需k类机床工作时间（小时）；kiiL 表示单件iP 的收益（元）； ije表示i P 在j 月的销售量（件）；ijD表示i P 在j 月的市场容量；ijy表示i P 在j 月末的存货量；S 表示工厂的总收益；其中1,2,...7i =，1,2,...6j =。

最优生产计划安排摘要优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。

如调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排成从各供应点到各需求点的运量和路线，是运输总费用最低；公司负责人需根据生产成本和市场需求确定产品价格。

针对优化问题可以通过建立优化模型确定优化目标和寻求的决策。

一般讲，一个经济管理问题凡满足以下条件就能够建立线性规划模型： (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； (2) 存在多种方案及有关数据；(3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可以用线性等式或不等式来描述。

问题重述某厂生产三种产品I ，II ，III 。

每种产品要经过B A ,两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以21,A A 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以321,,B B B 表示。

产品I 可在B A ,任何一种规格设备上加工。

产品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品III 只能在2A 与2B 设备上加工。

已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

附表一基本假设与符号说明基本假设：每一类产品在A 工序加工的产品总量等于B 工序加工产品的总量，即每一件产品都经过完整的程序成为真正的成品而不是半成品。

符号说明：设产品I 在21,A A 321,,B B B 上加工的数量分别为11x 、12x 、13x 、14x 、15x；产品II 在21,A A ，1B 上加工的数量分别为212223,,x x x；产品III 在21,A B 上加工的数量分别为3234,x x 。

问题的分析运用数学建模方法处理一个优化问题，首先应确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后用数学工具（变量、常量、函数等）表示它们。

§2 生产计划的制定企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。

第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。

此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。

下面举例说明这些优化问题的建模过程。

例1 某厂有n 种产品n J J J ,,,21 ，单位数量产品的利润为n c c c ,,,21 ，根据市场调查，其需求不超过n q q q ,,,21 ，按照工厂生产能力，单位数量),,2,1(n i J i =所需人力资源为i a 1，所需设备资源为i a 2，所需原料为i a 3，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为321,,b b b ，问工厂在制定生产计划时应如何确定这n 种产品的产量。

这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。

决策变量应是问题要求确定的量——各产品的产量，记以n x x x ,,,21 。

目标函数显然应是总利润∑==ni i i x c C 1 （1）人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件∑=≤ni ii b x a111 （2）∑=≤ni ii b x a122 （3）∑=≤ni ii b x a133 （4）n i x q x i i i ,,2,1,0, =≥≤ （5）问题归结为在条件（2）~（5）下求n x x x ,,,21 ，使（1）式给出的∑==ni ii xc C 1最大。

在运筹学中（1）~（5）称为线性规划，因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。

例2 工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为1021,,,d d d ，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，2~6是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数，如4个5装配1个3。

数学建模——工厂生产计划模型学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学教师：郑**姓名：杨**学号：***********摘要本文以工厂所获得的总收益为研究对象，采用了线性规划的分析方法，通过求解不同产品的生产计划以及按计划生产所获得的利润，解决了工厂为达到最大总收益的产品生产计划问题。

在问题一的求解过程中，以每月每种产品的销售量和生产量为自变量，以工厂所获得的收益为目标函数，结合各种约束条件，建立了一个动态规划方程组，将各月份各种产品生产的最佳配置转化为动态规划方程组的求解问题，得到了最大收益为6.9256万元。

问题二在问题一的基础上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，首先考虑市场价格的变化对计划和收益的影响。

然后假定市场价格不变，利用Lingo 软件，模拟出引入新机床对计划和收益的影响。

它是问题一的拓展，通过更改约束方程，利用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。

关键字：总收益销售量生产量动态规划一、问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。

工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。

每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7收益10 6 8 4 11 9 3磨0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.5垂直钻孔0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0水平钻孔0.2 0 0.8 0 0 0 0.6镗孔0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08刨0 0 0.01 0 0.05 0 0.05本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修：一月磨床一台二月卧式钻床2台三月镗床一台四月立式钻床一台五月磨床一台，立式钻床一台,上台下六月刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7一月500 1000 300 300 800 200 100二月600 500 200 0 400 300 150三月300 600 0 0 500 400 100四月200 300 400 500 200 0 100五月0 100 500 100 1000 300 0有存货50件。

工厂生产计划问题的优化模型摘要企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次看，工厂要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大的利润为目标制定产品的生产计划；从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

实际生产中要考虑的除了成本费、存贮费等与产量有关的费用，还要考虑生产这种产品所需要的时间，生产设备的检修等等因素。

用数学规划的解决这种问题通常是最有效的方法。

针对工厂生产计划问题,本文首先全面分析了题目所给的信息和数据。

我们建立了动态优化模型——整数线性规划模型，以每月的生产量和库存量为决策变量，以市场最大需求量、库存面积、生产能力（即工时）的限制为约束条件，合理安排生产从而达到本季度利润最大的目标。

因此，我们在解决问题（1）时建立了整数线性规划模型I。

模型I问题（2每类机器的检修总台数不变，故我们主要是通过引入0——1变量来实现每月的检修模式安排，将模型I改进为模型II，使得该厂在本季度的获利最大。

模型II由于模型I方便而且还可以对模型进行灵敏度分析。

虽然并不能满足每月都能达到市场最大需求，但这是由机器的最大运转工时决定的。

对实际问题来说，还有很多的因素没有考虑，比如原料的供应、原料的成本、生产的产品是不是都符合标准等，模型还有待改进。

这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性，对其它的工厂（或企业）的生产也适用，只要给出的数据足够，实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义。

关键词：动态规划；生产量；库存量；最大需求量；线性规划模型。

一、问题重述生产计划是工厂每个季度必须进行的重要的决策，它直接关系到该工厂该季度的经济效益和下一季度的发展战略，而工厂的计划又要包括外部需求、内部设备。

外部需求量的大小关系到该季度的直接的经济效益，内部设备的生产能力以及生产设备的检修等又直接影响到产品的供求是不是能够保持平衡，如果供大于求那么月末多余产品的贮存费用。

企业最优生产的数学模型第九组：张乐 康倩妮 罗少梅 (西安航空学院，西安 710077)摘要本文针对企业及工厂应该怎样合理安排生产计划而获得最大利润做了简单分析，主要用于解决企业及工厂在各种互相矛盾，互相排斥的约束条件下如何安排生产获取最大利润，建立了生产量对利润影响的线性规划模型。

对于问题一，根据对影响利润的因素的初步分析，综合得出其主要因素有：每种产品的单件利润、生产单位各种产品所需的有关设备台时、生产量、最大需求量、库存量、每月的工作时间、设备维修。

综合考虑多种因素，利用线性规划来建立模型解决问题，即将每月各种产品的最大需求量、一月初无库存、任何时候每种产品的存储量均不能超过100件、六月末各种产品各储存50件作为约束条件，最大利润作为目标函数，利用lingo11.0软件求解，得出最大利润为：93.71518万元。

对于问题二，要求重新安排维修，并以最大利润作为前提，类比于问题一，并在问题一模型的基础上，添加ij b ，ij z 分别为第i 种设备在第j 个月工作的台数和第i 种设备在第j 个月维修的台数。

并定义ij p 为在不进行维修的情况下工作的台数，则ij p =ij z +ij b ；表示第i 种设备在第j 月维修的台数等于每种设备可以维修的台数s 。

关键词：线性规划、lingo 软件、最大利润问题的提出每个企业都希望在成本最低，工作时间最短的条件下获得最大利润，但各种约束条件总是互相制约，这就需要我们在考虑到实际情况时，酌情筛减。

已知某企业要生产7种产品，以，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ来表示，并给出了每种产品的单件利润，生产单件每种产品的设备所耗费的时间及每种产品在各个月的最大需求量。

产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，且任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。

一月初无库存，要求六月末各种产品各存储50件，并且每月均有设备参与维修：一月维修1台磨床，二月维修2台水平钻，三月维修1台镗床，四月维修1台立钻，五月维修1台磨床和1台立钻，六月维修1台刨床和1台水平钻。

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v .. . ..数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号. . . 资料. .1生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。

针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。

模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。

关键词：Lingo、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。

1该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。

已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。

因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。

规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。

问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。

三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。

四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用i4,3,2,1=jx,3,2,1,=第j季度产品i的产量ij=ji,=d34,3,2,1,,2,1第j季度产品i的需求量ij114,3,2,1,3,2,1,==j i s ij 第j 季度末产品i 的库存量五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，1线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ij z d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo 得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。