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21.3实际问题与一元二次方程传播问题一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
二、典型题型传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。
例题1、（2018•中山市一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目=91，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设每个支干长出x小分支，则1+x+x2=91，解得：x1=9，x2=﹣10，答：每个支干长出9小分支．【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．例题2、某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同数目的有益菌．（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌？（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌，则第一轮分裂后有60（1+x）【分析】个，第二轮分裂成60（1+x）2个，第二轮后有24000个，建立方程求出其解就可以；（2）根据（1）的结论，就可以得出第三轮共有60（1+x）3个有益菌，将x的值代入就可以得出结论．【解答】解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌，由题意，得60（1+x）2=24000，解得x1=19，x2=﹣21，∵x＞0，∴x=19．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成19个有益菌．（2）由题意，得60×（1+19）3=480000个．答：经过三轮培植后有480000个有益菌．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时分别表示出每轮分解后的总数是关键．三、综合练习一．选择题（共15小题）1．（2018春•利津县期末）有一人患流感，经过两轮传染后，共有121人患上了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人2．（2017•迁安市一模）小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）=48，则方程的解中一定不合题意的是（）A．5B．9C．﹣5D．﹣93．（2017秋•江岸区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57，则每个支干长出（）根小分支．A．5根B．6根C．7根D．8根4．（2017秋•北碚区月考）中秋节当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人，问小明给（）人发了短信？A．10B．11 C．12D．135．（2017秋•江岸区校级月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A．2根小分支B．3根小分支C．4根小分支D．5根小分支6．（2017秋•新市区校级月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出小分支的数量是（）A．5B．6C．5 或6D．77．（2017秋•青山区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出（）A．5根小分支B．4根小分支C．3根小分支D．2根小分支8．（2017秋•卫辉市期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）A．9人B．10人C．11人D．12人9．（2017秋•黄陂区月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个10．（2015秋•东平县期末）元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（）人发了短信？A．10B．11C．12D．1311．（2015秋•武汉期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A．2根小分支B．3根小分支C．4根小分支D．5根小分支12．（2016秋•江都区期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（）A．5人B．6人C．7人D．8人13．（2016秋•西陵区校级期中）某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（）台．A．81B．648C．700D．72914．（2016秋•保亭县校级月考）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（）人．A．10B．11C．12D．1315．（2015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（）人患了该病．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题）16．（2017秋•乌鲁木齐期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．17．（2017秋•武昌区期中）某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出小分支．18．（2017秋•鼓楼区校级期中）秋冬季节为流感病毒的高发期，若一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患流感，则每轮传染中平均一个人传染个人．19．（2017秋•华安县校级月考）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．20．（2017秋•龙潭区校级月考）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出个小分支．三．解答题（共3小题）21．（2018•潮南区一模）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？22．（2017秋•越秀区期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？23．（2017秋•乐昌市期末）2015年某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，則经过两轮传染就共有144人患病．（1）毎轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人？参考答案一．选择题（共15小题）1．C．2．D．3．C．4．A．5．B．6．A．7．B．8．B．9．B．10．C．11．B．12．C．13．D．14．B．15．B．二．填空题（共5小题）16．12．17．9．18．11．19．9．20．7．三．解答题（共3小题）21．设每天传染中平均一个人传染了x个人，1+x+x（x+1）=9，x=2或x=﹣4（舍去）．每天传染中平均一个人传染了2个人，9+18=27，27+27×2=81，81+81×2=243，243+243×2=729，729+729×2=2187．故5天后共有2187人得病．22．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）=81，整理，得：x2+2x﹣80=0，解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8=729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．23．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，由题意，得1+x+x（x+1）=144，解得x=11或x=﹣13（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；（2）144+144×11=1728（人）．答：三轮传染后，患病的人数共有1728人．。
一元二次方程的实际应用知识点解题要点：（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为：“审、设、列、解、验、答。
”（2）在解决实际问题时有几个重要环节：①完整、准确地审清题意；②提取问题中的等量关系；③正确地求解方程并检验解的合理性。
例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?例4、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方形水槽，使它的底面积为800平方厘米。
求截去正方形的边长。
【变式练习1、】某小区计划在一个长40米，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如图，若想使每一块草坪的面积都为144平方米，求小路的宽度。
例2、为落实素质教育要求，促使学生全面发展，我市某中学2011年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2013年投资18.59万元。
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2011年到2013年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？【变式练习2】 （1）某纪念品原价168元，连续两次降价a ℅后售价为128元。
九年级数学一元二次方程与实际问题专项练习（包括几何动点相关题型）1、某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.【详解】解：设每件应降价x 元。
根据题意列方程，(4030)(488 )510x x --+=解得，1 2.5x =，2 1.5x =因为为了尽快减少库存，所以 1.5x =舍去故 2.5x =答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.2、将进货单价为100元的商品按120元售出时，能卖出500件．已知这种商品每涨1元，其销售量就减少10件．如果希望能获得利润12 000元，售价应定多少元？这时应进货多少件？【答案】售价应定130元，这时应进货400个，或售价应定140元，这时应进货300个．【详解】解：设涨价x 元能赚得12000元的利润，即售价定为每个(120)x +元， 应进货(50010)x -个，依题意得：(120100)(50010)12000x x -+-=，解得110x =，220x =，当10x =时，120130x +=，50010400x -=；当20x =时，120140x +=，50010300x -=．答：售价应定130元，这时应进货400个，或售价应定140元，这时应进货300个．3、某商场一种洗发液的进价为每瓶20元，根据市场调查预测，按30元一瓶出售时，一年能卖出400瓶，如果单价每提高1元，那么销售量将递减20瓶，问应怎样定洗发液的售价，一年才能获利4 500元．【答案】35元【详解】解：设单价每提高x 元，由题意得(3020)(40020)4500x x -+⨯-=，整理得：210250x x -+=，解得：125x x ==，3035x +=．答：当洗发液的售价为35元，一年才能获利4500元．4、一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单 价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.（1）若每件商品降价 2 元，则平均每天可售出 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为 1600 元？【答案】（1）24；（2）10. 【详解】（1）若降价2元，则平均每天销售数量为202224+⨯=（件），（2）设每件商品应降价x 元时，该商品每天的销售利润为1600元，根据题意，得()()502021600x x -+=，整理，得2403000x x -+=，解得：110x =，230x =， 要求每件盈利不少于25元，∴230x =应舍去，解得：10x =.答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1600元.5、暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价多少元？【答案】每件文化衫应定价80元.【详解】设每件文化衫的定价为x 元，根据题意，得()60401505560010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭， 解得180x =，2320x =.∵售价不能超过进价的2倍，∴80x ≤.∴80x =. 答：每件文化衫应定价80元.6、随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车。
第3讲 实际问题与一元二次方程【知识导航】面积问题，增长率问题，传染问题，循环及握手问题，经济问题等．【板块一】面积问题【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一 围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2答案：(1)设鸡场的宽AB 为xm ，则BC ＝(31－2x ＋1)m ，依题意得， x (31－2x ＋1)＝120,解得x 1＝6，x 2＝10，由0＜31－2x ＋1≤14得9≤x ＜16，∴x ＝10．答：长为12m ，宽为10m ．(2)S ＝x (31－2x ＋1)＝－2(x －8)2＋128，当x ＝8时，S 有最大值为128．【点评】矩形开口就是增加长度，要注意取值范围．【题型二 矩形中通道】【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm 的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？答案：设横彩条的宽为2x cm ，竖彩条的宽为3x cm ，依题意，得：(20－2x )(30－3x )＝81%×20×30．解之，得x 1＝1，x 2＝19当x ＝19时，2x ＝38＞20，不符题意，舍去．所以x ＝1答：横彩条的宽为2cm ，竖彩条的宽为3cm ．【题型三 边框设计】【例3】第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图，该照片(中间的矩形)长29cm 、宽为20cm ，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框(阴影部分)，且镜框所占面积为照片面积的14，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为x cm ，依题意列方程得________． 30cm答案：设镜框的宽度为x cm ，依题意列方程，(29＋2x )(20＋2x )＝54×29×20， 化简得，4x 2＋98x －145＝0．【针对练习1】 1．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5答案：B2．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm答案：D3．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．答案：设甬道宽为xm ，依题意得，(32－x )(20－x )＝540，解得x 1＝2，x 2＝50，∵x ＜20，∴x ＝2 答：甬道宽为2m ．4．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．答案：设横彩条的宽度为3x cm ，竖彩条的宽度为2x cm ．(20－4x )(12－3x )＝20×12×(1－25)解得x 1＝1，x 2＝8． ∵3x ＜12，∴x ＜4，∴x ＝1．答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．20m5．如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm．(1)若两个鸡场总面积为96m2，求x；(2)若两个鸡场总面积和为Sm2，求S关于x的关系式；(3)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？答案：(1)x＝8，提示：x(36－3x)＝96，x＝4或x＝8，当x＝4，AD＝24＞0，舍去；(2)S＝AD×AB＝(36－3x)x＝－3x2＋36x(163≤x≤343)；(3)S＝－3x2＋36x＝－3(x－6)2＋108，当x＝6，即AB＝6时，S取得最大值108．【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题1．n支球队参加单循环比赛、一共赛12n(n－1)场；n支球队参加双循环比赛，一共赛n(n－1)场；2．基数A经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x，两轮后结果为A(1士x)2；3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x人，两轮后感冒人数为(1＋x)2【题型一循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【解析】设应邀请x个球队参加比赛，依题意得，12x(x－1)＝15，解得x1＝6，x2＝－5(舍去)答：应邀请6个球队参加比赛．【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x名学生，根据题意列出方程为________．答案：x(x－1)＝1980．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640答案：选D【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________答案：200(1－x)2＝98．【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？答案：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得，1＋x＋(1＋x)x＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)∴平均一台电脑会感染8台电脑；(2)三轮感染后，(1＋x)2＝729＞700，∴被感染的电脑会超过700台【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？答案：设每个支干长出x个小分支，依题意得，1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(舍去)答：每个支干长出8个小分支【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12答案：C【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．10答案：C2．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________答案：12x(x－1)＝363．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．8答案：C4．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%答案：C5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________答案：12000(x＋1)2＝145206．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．答案：10【板块三】利润问题【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？答案：设售价为x 元，依题意得：[x －21][100－10(x －25)]＝400，解得x 1＝25，x 2＝31．∵21(1＋20％)≤x ≤21(1＋50％)，∴25．2≤x ≤31．5，∴x ＝3当x ＝31时，铺售量为100－10(x －25)＝40件．故每件商品的售价为31元时，可卖出40件，每天可赚400元．【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【解析】（1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则（30－x 0.5）×（10＋x ）－（30－x 0.5）×1－x 0.5×0.5＝275，解得1x ＝0.5，2x ＝5.答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为275万元.针对练习31.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？解:设每千克水果应涨价x 元，则（500 —20x )(10＋x ) ＝ 6000，解得1x ＝5，2x ＝10. 要使顾客得到实惠，应取x ＝5.答：每千克应涨价5元.2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x 元（x ≥100).（1）每天有游客居住的房间数为 （用x 表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w (元)最大?解：（1）30－110x ； （2）w ＝（x －20）（30－110x ）＝－1102x ＋32x －600＝－1102160x （） ＋1960 当x ＝160时，w 有最大值为1960；。
一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。
（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。
突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
例题 2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。
若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
初三数学一元二次方程在实际中的应用【本讲主要内容】一元二次方程在实际中的应用包括用一元二次方程去解一些实际问题，从而提高分析问题、解决问题的能力。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 通过列一元二次方程解实际问题。
2. 通过列一元二次方程解图形中的计算问题。
【解题方法指导】例1. 某学校要在一块长为8米、宽为6米的矩形草坪上，中间划出一块面积为24平方米的矩形土地种花，要求矩形四周留出的宽度一样，求这个宽度。
分析：设宽度为x 米，则中间矩形的长为（8－2x ）米，宽为（6－2x ）米，由它的面积为24平方米，可列出方程。
解：设矩形四周留出的宽度为x 米，则中间小矩形的长为（8－2x ）米，宽为（6－2x ）米， 据题意，得24)x 26)(x 28(=--6x 7x 024x 28x 424x 4x 2848222=+-=+-=+- 6x 1x 21==∴，（不合题意，舍去）答：宽度为1米。
评析：列方程解应用题时，尽可能画出一个示意图，设出未知数，列出方程求解。
但由于它是实际问题，把不合实际的解还要舍去。
例2. 在三角形中，一条边比这边上的高长2cm ，它的面积为2cm 24，求这条边的长。
分析：由于三角形的面积21=×底×高，设这边长为xcm ，则高为（x －2）cm ，由面积可列出方程求解。
解：设三角形的边长为xcm ，这边上的高为（x －2）cm ， 由三角形的面积为24cm ， 则24)2x (x 21=- 0)6x )(8x (048x 2x 2=+-=--6x 8x 21-==∴，（不合题意，舍去）答：这条边长为8cm 。
评析：由于线段的长度为正，因此要把负根舍去。
例3. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果十位数字与个位数字调换后，所得两位数乘以原来的两位数得到1855，求原来的两位数。
分析：由十位数字与个位数字之和是8，可设十位数字为x ，则个位数字为（8－x ），原来的两位数为10x ＋（8－x ），调换后的两位数为10（8－x ）＋x ，由它们的乘积为1855，可列出方程。
日常生活中一元二次方程的应用当今社会正处在市场经济的时代，我们的日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助．问题1：联华超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：我们知道商品的定价和进货量应该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务．解：设该种商品的单价为（50+x ）元，则每个的利润是[]40)50(-+x 元，销售数量为（500-10x ）个，由题意得方程：[]8000)10500(40)50(=--+x x ；整理得：0300402=+-x x ；解之得：101=x ，302=x故这个商品的单价可定为60元时，其进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个．注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元．问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=该区人口总数该区住房总面积，单位平方米/人）．该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据此提供的信息解答下面问题：（1）该区2003年和2004年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）由于经济发展需要，预计到2006年底，该地区人口总数将比2004年底增加2万，为使到2006年底地区人均住房面积达到11平方米/人，试求2005年和2006年这两年该地区住房总面积的年增长率应达到百分之几？分析：随着我们国家经济迅速发展，经济实力的不断强大，广大人民的住房条件正在得到不断的改善，生活水平正在得到不断地提高．我们从上述问题的图象中可以获取一些信息：解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米． （2）设住房总面积年平均增长率应达到x ，由题意得：0 2002 2003 2004 99.6 10 平方米/年开发区近三年人均住房面积变化曲线17 2004 2003 2002 年 20 万人开发区近三年人口变化图)220(11)1(2002+⨯=+x ；解得：101.01==x ℅；1.22-=x （不合题意，舍去）． 答略．应该说一元二次方程在日常生活中的应用应该说是非常广泛的，还有诸如储蓄、利税问题等，同学们有兴趣的话还可以作更多的研究．。
