九年级数学(上)期末测试试卷四

2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个.小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是( )A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小3.方程x 2−6x−5=0经过配方后，所得的方程是( )A. (x−6)2=30B. (x−6)2=41C. (x−3)2=4D. (x−3)2=144.在平面直角坐标系中，以点(−3,4)为圆心，3为半径的圆( )A. 与x 轴相离，与y 轴相切B. 与x 轴相离，与y 轴相交C. 与x 轴相切，与y 轴相交D. 与x 轴相切，与y 轴相离5.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是( )A. a =3，b =1B. a =3，b =−1C. a =−32，b =−1D. a =−32，b =16.二次函数y =−(x +1)2+2的图象大致是( )A. B.C. D.7.若A (−4,y 1)，B (−3,y 2)，C (1,y 3)为二次函数y =ax 2+4ax +a (a >0)的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 3<y 1<y 2D. y 1<y 3<y 28.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是( )A. 56B. 34C. 12D. 239.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB=1，∠AOB=30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为( )A. (1,3)B. (1,−3)C. (−3,1)D. (−1,3)10.定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”.现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( )A. 22B. 2−2C. 2−1D. 22−2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

九年级数学期末综合测试（四）一、选择题（每小题2分，共30分）1x 的取值范围是（ ） （A ）x ≤1 （B ）x ≤1且2x ≠- （C ）2x ≠- （D ）x <1且2x ≠-2．有两棵树，高度分别为6米、2米，它们相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米（ ）（A ）41 （B ）41 （C ）3 （D ）93．关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则（ ）（A ）0a > （B ）0a ≠ （C ）1a = （D ）a ≥04．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 和D 两点，AB ＝10cm ，CD =6cm ，则AC 长为（ ）（A ）0.5 cm （B ）1 cm （C ）1.5 cm （D ）2 cm 5．下列图形中，是中心对称图形的共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6．如图，B 、C 、D 在⊙O 上，∠BOD =1000，则∠BCD 为（ ） （A ）1300 （B ）1000 （C ）800 （D ）500 7．下列说法正确的是（ ） （A ）长度相等的两条弧是等弧 （B ）优弧一定大于劣弧（C ）不同的圆中不可能有相等的弦 （D ）直径是弦且同一个圆中最长的弦8．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为8和5，两圆没有公共点，则圆心距O 1O 2的取值范围是( )（A ）O 1O 2＞13 （B ）O 1O 2＜3 （C ）3＜O 1O 2＜13 （D ）O 1O 2＞13或O 1O 2＜39．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD,AB=6cm ,CD=8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ）（A ）1cm （B ）7cm （C ）1cm 或7cm （D ）无法判断11．已知关于x 的一元二次方程x 2－(R ＋r )x ＋14d 2=0没有实数根，其中R ，r 分别为⊙O 1和⊙O 2的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）（A ）外离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）内含12．从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地．则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）（A ）20种 （B ）8种 （C ）5种 （D ）13种13．小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（（A ）154 （B ）31 （C ）51 （D ）152 （第4题） （第6题）14．某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。

九年级数学（上）期末试卷（含参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣2x+3C．y＝D．y＝2．若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（）A．（﹣2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（﹣5，2）3．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）A．2、3、4、5B．2、3、4、6C．1、2、3、4D．1、4、9、16 4．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：26．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（）A．﹣16B．﹣8C．8D．167．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（）A．m＝+0.8B．m＝+0.2C．m＝﹣0.2D．m＝﹣0.8 8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：39．已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．410．二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为．13．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是．14．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB 于点F．（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝；（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；（2）点A1的坐标为，点C1的坐标为．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．（1）求BC的长．（2）求sin B．18．已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝；（2）求二次函数y n的解析式及其顶点坐标；（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．（1）求一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积．20．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）求抛物线顶点坐标．（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB 的长．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；②求点P到直线BC距离的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣2x+3C．y＝D．y＝【分析】根据反比例函数的定义判断即可．解：A．y＝x是正比例函数，故A不符合题意；B．y＝﹣2x+3是一次函数，故B不符合题意；C．y＝是反比例函数，故C符合题意；D．y＝不是反比例函数，故D不符合题意；故选：C．2．若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（）A．（﹣2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（﹣5，2）【分析】根据抛物线的对称性求解．解：∵y＝mx2，∴抛物线对称轴为y轴，∵图象经过点（2，﹣5），∴图象经过点（﹣2，﹣5），故选：A．3．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）A．2、3、4、5B．2、3、4、6C．1、2、3、4D．1、4、9、16【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A、1×4≠2×3，故选项不符合题意；B、3×4＝6×2，故选项符合题意；C、1×4≠2×3，故选项不符合题意；D、1×16≠9×4，故选项不符合题意．故选：B．4．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．解：A．观察图形可得tanα＝，符合题意；B．观察图形可得tanα＝，不符合题意；C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．故选：A．5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比求解．解：两个相似六边形的对应边之比为3：2，则这两个相似六边形的周长之比3：2．故选：D．6．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（）A．﹣16B．﹣8C．8D．16【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求﹣ab，最后求k．解：∵C是OB的中点，△ABC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b），∵AB⊥x轴于点B，∴﹣ab＝16，∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝﹣16．故选：A．7．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（）A．m＝+0.8B．m＝+0.2C．m＝﹣0.2D．m＝﹣0.8【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC﹣AC即可得出m的值．解：∵CD＝1米，∠CDB＝α＝60°，∴BC＝CD•tanα＝1×＝，∴m＝AB＝BC﹣AC＝0.2，故选：C．8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3【分析】由矩形性质可证明△BEF∽△DCF，从而可得，由于△BEF与△BCF等高，故S△BEF：S△BCF＝1：2．解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，∴AB∥CD，BE＝，∴△BEF∽△DCF，∴，∵△BEF与△BCF等高，∴S△BEF：S△BCF＝．故选：A．9．已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．解：∵y＝mx2+2mx﹣1＝m（x+1）2﹣m﹣1，m＞0，∴抛物线开口向上，函数最小值为﹣m﹣1，∴﹣m﹣1＝﹣5，解得m＝4．故选：D．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线图形，可得a＞0，c＜0，再由x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断出答案．解：由抛物线图形，可得a＞0，c＜0，根据一次函数y＝ax﹣c的图形，可排除B、D；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，根据反比例函数图象，可排除A．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是m＜0．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求得．解：∵正比例函数y＝7x的图象过第一、三象限，∵反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，∴反比例函数y＝（m≠0）的图象过第二、四象限，∴m＜0．故答案为m＜0．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为9．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝9．故答案为：9．13．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．解：由图象可得，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴当y＝0时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．14．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB 于点F．（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝2；（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝．【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理求得CE的长，再根据BE＝BC﹣CE，即可得出BE的长；（2）先根据Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，求得BE的长，再根据Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，即可得到BF的长．解：（1）由题可得，DE＝AD＝BC＝6，∠C＝90°，Rt△CDE中，CE＝＝＝8，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2，故答案为：2；（2）设BE＝x，则CE＝4x，DE＝AD＝5x，Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，即152+（4x）2＝（5x）2，解得x1＝5或x2＝﹣5（不合题意），∴BE＝5，设BF＝y，则AF＝EF＝15﹣y，Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，即52+y2＝（15﹣y）2，解得y＝，∴BF＝．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式的化简进行运算即可得出答案．解：原式＝3﹣1+2﹣2﹣4＝﹣2．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4）．【分析】（1）把A、B、C横坐标与纵坐标乘以﹣2，即可得到A1、B1、C1的坐标（或A'1、B'1、C'1的坐标），然后描点连线即可．（2）根据图形写出点A1的坐标和点C1的坐标即可．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4），故答案为：（﹣4，2），（2，﹣4）．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．（1）求BC的长．（2）求sin B．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC；（2）Rt△BCD中利用边角间关系可得结论．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝8，∴∠ACD＝30°．∴AD＝AC＝4．∴CD＝＝4，BD＝AB﹣AD＝1．在Rt△BCD中，BC＝＝＝7．（2）在Rt△BCD中，由（1）知：CD＝4，BC＝7，∴sin B＝＝．18．已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝﹣2；（2）求二次函数y n的解析式及其顶点坐标；（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（2）根据y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x可得y n＝nx2+4nx，进而求解．（3）将（﹣2，﹣20）代入y n＝nx2+4nx求n的值，进而求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x的对称轴为直线x＝﹣2，故答案为：﹣2．（2）∵y1＝x2+4x＝x2+1×4x，y2＝2x2+8x＝2x2+2×4x，y3＝3x2+12x＝3x2+3×4x，..．∴y n＝nx2+4nx．把x＝﹣2代入y n＝nx2+4nx得y n＝﹣4n，∴二次函数y n的解析式为y n＝nx2+4nx，顶点坐标为（﹣2，﹣4n）．（3）把x＝﹣2代入y n＝nx2+4nx得y n＝﹣4n，当﹣4n＝﹣20时，n＝5，满足题意，∴点（﹣2，﹣20）是“和谐二次函数”y5＝5x2+20x的顶点．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．（1）求一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），∴﹣3＝．∴k＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，∴m＝3．∴B点坐标为（3，﹣1）；把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣4．∴D点坐标为（0，﹣4）．∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．20．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．【分析】过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，根据矩形的性质得到BG＝FD，解直角三角形即可得到结论．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD，在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，AB＝18cm，∴BG＝AB•sin60°＝18×＝6（cm），AG＝AB＝9（cm），∵AD＝24cm，∴BF＝DG＝AD﹣AG＝15（cm），在Rt△BCF中，cosα＝＝＝，CF＝＝＝3（cm），∴CE＝CF+DF+DE＝（3+6+3）cm，∴答：此时cosα的值为，灯罩顶端C到桌面的高度CE是（3+6+3）cm．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）求抛物线顶点坐标．（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．【分析】（1）把解析式转化为顶点式即可得到顶点坐标．（2）根据抛物线的性质可得，x2+x1＝2，再联立可求出x2和x1，再代入抛物线即可求出m的值．（2）根据题意可知|x2﹣x1|≥10，结合抛物线的性质可得x2+x1＝2，代入求出x1的取值范围，再结合抛物线增减性可得结论．解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1）；（2）∵M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2），∴M，N的纵坐标相等，∴x2+x1＝2，联立，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝1+2＝3；∴m的值为3；（3）根据题意可知，x2﹣x1≥10，∵x2+x1＝2，∴x1＝2﹣x2，∴x2﹣（2﹣x2）≥10，整理得，x2≥6，∵x≥1时，y随x的增大而增大，∴m≥62﹣2×6＝36﹣12＝24．故m的最小值为24．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB 的长．【分析】（1）证明△BDC∽△BAC．由相似三角形的性质可得出．则可得出结论；（2）证明△ABC∽△CBD，由相似三角形的性质可得出，设BD＝x，则AB＝x+1，得出，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BDC∽△BAC．∴．∴BC2＝BD•AB．（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A，∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴BC＝CD，∴AD＝CD＝BC＝1，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴，设BD＝x，则AB＝x+1，∴，即x2+x﹣1＝0，解得x＝（负值舍去），∴x＝，∴AB＝x+1＝+1＝．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；②求点P到直线BC距离的最大值．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，即可求出a，b的值；令x＝0可得出点C的坐标，进而可求出直线l的表达式；（2）①根据抛物线的解析式可表达点P的坐标，又PE∥x轴及（1）中l的解析式，由此可得点E的坐标，进而可得PE的长；②过点P作PF⊥BC于F，由此△PEF∽△CBO，则PF＝PE，根据二次函数的性质可求出PE的最大值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0），∴抛物线的解析式可表达为：y＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2ax+9a，∴﹣9a＝3，解得a＝﹣，∴b＝﹣2a＝，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）．设直线l的解析式为：y＝kx+c，∴，解得，∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．（2）①∵点P在抛物线y＝﹣x2+x+3上，∴P（n，﹣n2+n+3），∵PE∥x轴，∴点E和点P的纵坐标相同，又∵点E在直线l上，∴﹣n2+n+3＝﹣x+3，解得x＝n2﹣2n，∴E（n2﹣2n，﹣n2+n+3），∴PE＝n﹣（n2﹣2n）＝﹣n2+3n．②如图，过点P作PF⊥BC于F，∴∠PFE＝∠COB＝90°，∵PE∥x轴，∴∠PEF＝∠CBO，∴△PEF∽△CBO，∴PE：PF＝BC：OC，∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝6，∴PE：PF＝BC：OC＝2：1，∴PF＝PE＝（﹣n2+3n）＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，∴当n＝时，PF的最大值为，即点P到BC的最大值为．。

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg 4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 ．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝ °．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 ．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为 ．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是 ；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；D、y＝，不是二次函数，不符合题意．故选：B．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，故选：C．3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．故答案为：．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数　60°或120°　．【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB 是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，则∠ACB＝∠AOB＝60°；如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°；故答案为：60°或120°．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝　80　°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°∴∠DCE＝∠A＝80°故答案为：80．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程　36（1﹣x）2＝25　．【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，36（1﹣x）2＝25，故答案为：36（1﹣x）2＝25．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　15π　cm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为　8　环．【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．【解答】解：由题意可得，x1+x2+x3＝3×7＝21，∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6＝48÷6＝8（环），即这6箭的平均成绩为8环，故答案为：8．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为　3﹣　．【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵D为的中点，直径AD交BC于点E，∴AD⊥BC，∴BE＝BC＝，∵AD＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，∴32＝OE2+，∴OE＝或OE＝﹣（舍去），∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，故答案为：3﹣．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为　y＝x2﹣2x　．【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为　13　．【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝3﹣x，x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出y1和y2即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，，解得，所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝﹣1时，；当x＝4时，；∴y1＞y2．故答案为：＞．19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设边AB边的长为x m，由题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，答：边AB的长为5m．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为　3　．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，解得：AC＝3．故答案为：3．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是　2　；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，∴，解得a＝2，经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．故答案为：2．（2）列表如下：白红红白（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，红）（红，红）红（红，（红，（红，白）红）红）共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，∴2次摸到的球颜色不同的概率为．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；（2）如图②，∠APB为所作；23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是　⑤　．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；（2）对照表格可得答案；（3）参照天气情况图可得答案．【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，故答案为：⑤；（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100x2+3400x﹣24000＝﹣100（x﹣17）2+4900．∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．∴每月最大利润为147000元．答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，∴xy＝4ab，将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，即，∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；如下图所示：（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，∴b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，∵x＝3a，∴，∴．∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是　0≤d＜2　．【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，连接AD，BE，AE，CE，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴＝＝，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，又∵D，E分别是，的中点，∴＝＝＝，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，∴DE∥AB，∴∠DAB＝∠EBA＝90°，∴DA⊥AB，EB⊥AB，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE；证明：（2）在（1）的条件下，∵∠ACB＝60°，FG∥AB，∴∠CFG＝∠CGF＝60°，∴△CFG为等边三角形，∴CF＝FG＝CG，又∵∠CED＝∠ECB＝30°，∴CG＝GE，∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，∴BG＝2GE＝2FG，∵AB＝AF+CF，∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；解：（3）连接OB，作OM⊥AB，∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，∴点O与点I的距离d为0，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴劣弧对的圆心角为120°，∴∠OBM＝30°，又∵AB＝6，∴OB＝2，∵OI≤OB+IB，∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，∵点C不与A，B两点重合，∴OI＜2，∴0≤d＜2，故答案为：0≤d＜2．。