初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

扇形阴影部分面积题型
扇形阴影部分面积的题型是数学中常见的问题，主要涉及到扇形的面积计算和几何图形的组合。

首先，我们需要了解扇形面积的计算公式。

扇形面积的计算公式是：
扇形面积= (θ/360) × π × r^2其中，θ是扇形的圆心角，r是扇形的半径。

对于扇形阴影部分面积的题型，通常会涉及到两个或多个扇形的组合，以及与其他几何图形（如矩形、三角形等）的结合。

解题时，我们需要根据题目的具体条件，分析各个扇形之间的关系，并利用扇形面积的计算公式进行计算。

例如，一个常见的题型是求一个半圆内切一个正方形，正方形的一个顶点位于半圆的圆心，另一个顶点在半圆上，求正方形和半圆之间的阴影部分面积。

这种题型需要我们利用正方形的性质和半圆的性质，通过几何推理和计算得出阴影部分的面积。

总的来说，扇形阴影部分面积的题型需要我们具备一定的几何知识和推理能力，通过分析几何图形的性质和关系，利用扇形面积的计算公式进行计算。

求阴影部分的面积专题透析：计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型,多以选择题、填空题的形式出现,其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成,考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识,还常与函数相结合.在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分析和组合图形,常常借助转化化归思想,将阴影部分不规则图形转化为规则的易求的图形求解.典例精析：例1.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、,以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、,则阴影部分的面积是A.π-3233 B.π-3433C.π-43D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的,要直接求出阴影部分的面积不现实,但我们发现阴影部分是菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD 可根据题中条件直接求出,要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ,所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：1. 如图,Rt △ACB 中,C 90AC 15AB 17∠===，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ,与CA CB 、分别交于E F 、两点,则 图中阴影部分的面积为 .2.如图的阴影部分是一商标图案图中阴影部分,它以正方形ABCD的顶点A 为圆心,AB 为半径作BD ,再以B 为圆心,BD 为半径作弧, 交BC 的延长线与E ,BD,DE 和DE 就围成了这个图案,若正方形的边长为4,则这个图案的面积为A.π4B.8C.π3D.π-38 3.如图,Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=,点O 在斜边AB 上,半径为2,⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E,则由线段CD EC 、及DE 围成的阴影部分的面积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =,以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ,过M 引MP ∥AO 交AB 于P ,求AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .例2.如图,⊙O 的圆心在定角()0180αα∠<<的角平分线上运动,且⊙O 与α∠的两边相切,图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是分析：连结OA OB OC 、、后,本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ,⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====,∴BOC 3609090180αα∠=---=-;∵AO 平分MAN ∠,xAB AC 1tan 2α==,且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπαα⎛⎫⎪--=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵x 0> ,且()0180αα∠<<是定角∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .师生互动练习：1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E F G H 、、、分别为各边上的点,且AE BF CG ==DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x 的函数图象大致为2.2013.临沂中考如图,正方形ABCD 中,AB 8cm =,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ,OEF 的面积为()2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为3.2014.菏泽中考如图在Rt ABC 中,AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边AC BC 、的动点,C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ,ABC 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 例3.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点在格点上, 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的水平直线,一定交于点E .则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1,根据正多边形形的性质,可以得出过正六边 形中心的对角线长为2,间隔一个顶点的对角线长为3,则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢 解：由同学们自我完成解答过程 师生互动练习：1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2,图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .2.如图,已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.结果均保留π⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心,分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．,图中阴影部分的面积为 ；⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；⑶.图③中在AB 的上方,分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .3.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的FEBD O A CEC D ABDE OBA C PNMBO A E F D BA C E DB CA F x y 1212O A x y 123412345O C x y 1212O D B αCBAO MNxy OA xy OB xy OC xy ODC E A B ②①③CC交点上,若灰色三角形面积为214,则方格纸的面积为．附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一.旋转、翻折为特殊图形：图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的,其中OA=9,OB=4,要求阴影部分的面积,可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便见图①的第二个图.图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD,其中OF=1,要求阴影部分的面积,可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便见图②的第二个图二.图①的第一个图大圆⊙O 的弦并与小圆⊙圆⊙O O图①这样来求圆环的面积更容易；虽三.如图第一个图是以等腰Rt△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径画出的两个半圆组成的图形,要求第一个图形阴影,可以按如图所示路径割补成一个弓形见第二个图中的标示更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10,求出第一个图形阴影部分的面积略解：S阴影=2B0A11S S AOB101010255042ππ-=⨯⨯-⨯⨯=-扇形点评：解决.割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四.差法求叠合图中形的阴影例1.图①是教材114页的第3题,可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；例2.图②自贡市中考题△ABC中,AB=BC=6,AC=10,分别以AB,BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为．略解：△ABC的底边AC===2ABC1161S2S S21592222ππ⎛⎫⨯⨯-=⨯⨯⨯-⨯=-⎪⎝⎭影点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合,具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后,两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三,“难题”不难师生互动练习：：见上学期圆单元训练和专题复习的相应部分.迎考精炼：1.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD AB,CD⊥=,则S阴影 =A.πB.2π D.23π2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径均为,则图中的三个阴影部分的面积之和为A.12πB.8πC.6πD.4π3.如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中的阴影部分的面积为2π23πC.2πD.23π4.如图,在Rt△ABC中,C90,AC8BC4∠===， ,分别以AC BC、为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积之和为A.2016π- B.1032π- C.1016π- D.20132π-5. 如图,四边形ABCD是正方形, AE垂直于BE于E,且AE3,BE4==,则阴影部分的面积是6. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形'''AB C D,图中的阴影部分的面积为A.1 C.1 D.127.如图,ABCD沿对角线AC平移,使A点至AC的中点''''A B C D,新的正方形与原正方形的重叠部分图中的阴影部分的面积是B.12C.148.将n个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放,点,,,1nA A风别是正方形对角线的交点,则n个正方形重叠部分的面积的和为A.21cm4B.2n1cm4-C.()24n1cm- D.n21cm4⎛⎫⎪⎝⎭9. 两张宽均为5cm的纸带相交成α角,则这两张带重叠部分图中阴影的面积为A.()225cmsinαB.()225cmcosαC.()250sin cmα D.()225sin cmα10. 如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,线段AB被截成相等的三部分,则图中的阴影部分的面积是△ABC面积的A.19B.29C.13D.4911.AB是⊙O的直径,以AB为一边作等边△ABC,交⊙O于点E F、,2=,则图中的阴影部分的面积为A.43π- B.23πC.3πD.3π12.如图;三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积OC图①CD DB图②BA2A1C'C结果保留π13. 如图①,等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1,将△ABD 沿AC 方向平移得到△'''A B D 的置,得到图 形②,则阴影部分的周长为 .14.如图,△ABC 的边AB 3AC 2==，,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB AC BC 、、为边的正方形,则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . 15.若图中正方形F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形：①.若正方形A B C D 、、、的边长分别是a b c d 、、、,则正方形F 的面积如何用含a b c d 、、、的式子表示出来为 ；②.如果正方形F 的边长16cm ,那么正方形A B C D 、、、的面积之和是 .16.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG 交AD 于点H ,S 四边形HFCD = .17.如图, 已知AD DE EF 、、分别是ABC 、ABD 、AED 的中线,若2ABC 24cm S =,则阴影部分DFE 的面积为 .18.如图,在正方形ABCD 内有一折线,其中AE EF EF FC ⊥⊥、,并且AE 6=,EF 8=, AF 10=则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 . 19.如图把⊙O 向右平移8个单位长度得到⊙O 2,两圆相交于 A 、B,且O 1 A 、O 2 A 分别与⊙O 2、⊙O 1相切,切点均为A 点, 则图中阴影部分的面积为 . 20.如图,矩形ABCD 中,BC 4DC 2==，,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ,则图中的阴影部分的面积是 结果保留π21.在Rt △ABC 中,A 90AB AC 2∠===，,以AB 为直径作圆交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .22.如图,在△ABC 中,,AB 5cm AC 2cm ==,将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△11A B C 的位置,则线段AB 扫过的区域图中阴影部分的面积为 2cm .23.如图,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD EF 、和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过C E 、和点D F 、,则图中的阴影部分的面积是 .24.如图,抛物线21y x 2=-+向右平移1个单位得到抛物线2y ,则抛物线2y 的顶点坐标为 ；阴影部分的面积S = . 25.如图在边长为2的菱形ABCD ,B 45∠=,AE 为BC 边上的 高,将△ABE 沿AE AE 在直线翻折得△'AB E ,求△'AB E 与四边形 AECD 重叠阴影部分的面积. 26.如图,矩形OBCD 按如右图所示放置在平面直角坐标系中坐标 原点为O ,连结AC 点A C 、的坐标见图示交OB 于点E ；求阴影 部分的四边形OECD 的面积27.如图,在△ABC 中,=90A ∠, O 是BC 边上的一点以O 为圆 心的半圆分别与AB AC 、边相切于点D E 、,连接OD 已知. 求：⑴.tan C ∠.⑵.求图中的阴影部分的面积之和.28.如图,⊙O 的直径AB 为10cm 1,弦AC 为6cm ,ACB ∠的平分线 交⊙O 于点D .⑴.求弦CD 的长； ⑵.求阴影部分的面积;29.如图, 在平面直角坐标系中,以(),10为圆心的⊙P 与y 轴 相切于原点O ,过点(),A 10-的直线AB 于⊙P 相切于点B . ⑴.求AB 的长；⑵.求AB OA 、与OB 围成的阴影部分面积不取近似值； ⑶.求直线AB 上是否存在点M ,使OM PM +的值最小 如果存在,请求出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.FB'EDA BC xy(4,2)(0,-1)E BDC A O BD C A ①B'D 'A'B D C ②FE D A B C 17题H G EF D A B C 16题15题ⅢⅡⅠG F M E B C A 14题18题1086B D C F E A xy –1–2123–1–212O24题A 1C AB 22题DB 21题O DA EBC 20题23题xy 1-1BA O。

圆、扇形、弓形的面积(一)圆的面积在几何学中，圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的点的集合。

圆的面积是围绕圆心一周的区域。

公式推导设圆的半径为r，我们可以使用数学公式计算圆的面积。

圆的面积公式如下：面积= πr²其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159。

例子例如，如果一个圆的半径为 5 cm ，那么它的面积可以用以下公式计算：面积= π × (5 cm)² ≈ 3.14159 × 25 cm² ≈ 78.53975 cm²所以，这个圆的面积约为 78.54 平方厘米。

扇形的面积扇形是一个由圆心、圆弧及两个半径所围成的图形，其中圆心角等于360度（或2π弧度）。

扇形的面积是扇形圆心角所对应的圆弧面积。

公式推导设扇形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算扇形的面积：面积= (θ/2π) × πr² = (θ/2) × r²例子例如，如果一个扇形的半径是 6 cm ，圆心角是 60 度，我们可以使用以下公式计算扇形的面积：面积= (60/360) × π × (6 cm)² = (1/6) × 3.14159 ×36 cm² ≈ 18.84956 cm²所以，这个扇形的面积约为 18.85 平方厘米。

弓形的面积弓形是一个由圆弧、半径和两个弦所围成的图形。

弓形的面积是弓形圆心角所对应的圆弧面积减去弓形中的三角形面积。

公式推导设弓形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算弓形的面积：面积= (θ/2π) × πr² - (1/2) × r² × sin(θ)其中，sin(θ) 是角度θ的正弦值。

例子例如，如果一个弓形的半径是 8 cm ，圆心角是 90 度，我们可以使用以下公式计算弓形的面积：面积= (90/360) × π × (8 cm)² - (1/2) × (8 cm)² × sin(90°)= (1/4) × 3.14159 × 64 cm² - (1/2) × 64 cm² × 1≈ 12.56637 cm² - 32 cm²≈ -19.43363 cm²因为弓形在这个例子中是开口向下的，并且sin(90°)等于1，所以面积为负数。

中考求阴影部分⾯积（供参考）中考求阴影部分⾯积【知识概述】计算平⾯图形的⾯积问题是常见题型，求平⾯阴影部分的⾯积是这类问题的难点。

不规则阴影⾯积常常由三⾓形、四边形、⼸形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合⽽成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍⼏种常⽤的⽅法。

⼀、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等⽅法将不规则的图形转化成⾯积相等的规则图形，再利⽤规则图形的⾯积公式，计算出所求的不规则图形的⾯积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和C D⌒围成的阴影部分图形的⾯积为_________。

⼆、和差法有⼀些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的⾯积是由哪些规则图形组合⽽成的，再利⽤这些规则图形的⾯积的和或差来求，从⽽达到化繁为简的⽬的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的⾯积问题转化为可求⾯积的规则图形的重叠部分的⽅法。

这类题阴影⼀般是由⼏个图形叠加⽽成。

要准确认清其结构，理顺图形间的⼤⼩关系。

例4. 如图4，正⽅形的边长为a，以各边为直径在正⽅形内作半圆，求所围成阴影部分图形的⾯积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利⽤特殊图形的⾯积求出原不规则图形的⾯积。

例5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠=?∠=∠=A B D60，90?，求四边形ABCD所在阴影部分的⾯积。

例6. 如图6，在⼀块长为a、宽为b的矩形草地上，有⼀条弯曲的柏油⼩路（⼩路任何地⽅的⽔平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的⾯积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平⾏，且与⼩半圆相切，那么图中阴影部分的⾯积等于_______。

七、代数法将图形按形状、⼤⼩分类，并设其⾯积为未知数，通过建⽴⽅程或⽅程组来解出阴影部分⾯积的⽅法。

例8. 如图10，正⽅形的边长为a，分别以两个对⾓顶点为圆⼼、以a为半径画弧，求图中阴影部分的⾯积。

例 如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ，则AD 是△ACO 的边OC 上的高，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=33236=⨯．∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO =)cm (3291233321360612022-π=⨯⨯-⋅π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S =∆；②B sin ca 21C sin bc 21C sin ab 21S ===∆． 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π38，求弓形的面积．解：如图，根据弧长公式有π=⋅π38180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB =π=⨯π3836022402， S △OAB =360sin 2221=︒⨯⨯，∴S 弓形AmB =338+π． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．例 如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ．解：S 阴影=22121S S 4S 41π-=-π-=-⨯-）（）（正方形圆正方形． 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积．分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ．解：S 曲边形MNP =三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+=π-=⨯π⨯-︒⨯⨯213360160360sin 22212．说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．典型例题五例 已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______. 解：设扇形的面积为S ，弧长为l ，所在圆的半径为R ，由弧长公式，得18015020Rππ=. ∴24=R （cm ）. 由扇形面积公式，得ππ240360241502=⋅=S .故填π240.说明：本题主要考察弧长公式180R n l π=和扇形面积公式3602R n S π=.典型例题六例 已知弓形的弦长等于半径R ，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧） 解：∵弓形的弦长等于半径R ， ∴弓形的弧所对的圆心角为60°，∴扇形的面积为63606022R R S ππ==. 三角形的面积为224360sin 21R R =︒. ∴弓形的面积为22436R R -π. 即212332R -π.故应填212332R -π.说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.典型例题七例 如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 的面积，而AO B AO B Am B S S S ∆-=扇.解 cm 4=OA ︒=∠90O ，则cm 4=OB22)cm (4360490ππ=⨯⨯︒=∴AOBS 扇cm 24=AB)cm (82=∴∆AO B S)cm (42)22(22ππ==∴半圆S)cm )(84(2-=∴πAm B S 弓形即阴影部分面积)cm (8)84(42=--=-=ππAm B S S 弓形半圆典型例题八例 如图，A 为⊙O 外一点，AO 交⊙O 于P ，AB 切⊙O 于B ，5=AP 厘米，35=AB 厘米，求图中阴影部分的面积.分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为OBA ∆Rt 与扇形OBP 的面积差. 解 连结OB ，因AB 为⊙O 的切线，故AB OB ⊥ 设⊙O 的半径为r ，在OBA ∆Rt 中，r OB =，35=AB ，r OA +=5. 则有222)5()35(r r +=+，︒=∠∴60OO BP O BA S S S 扇形阴影-=∴∆360560355212⋅-⨯⨯=π 6252325π-=（平方厘米） 说明：本例求半径r 时，还可用切割线定理.典型例题九例 已知：如图，OA 和1OO 是⊙O 中互相垂直的半径，B 在上，弧的圆心是1O ，半径是1OO ，⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 都相切，61=OO .求图中阴影部分的面积.解析设⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 分别切于点D 、C 、E ，设⊙2O 的半径为r ，连结21O O ，E O 2，过点2O 作O O F O 12⊥于F ，连结B O 1、OB 、2OO .r E O r F O r O O O O =-=+=∴=21211,6,6,6212212F O O O EO F O -==r r r 62)6()6(22=--+=r r F O O O S O OO 6662621212121=⋅⨯⨯=⋅=∴∆又)69)(69)(69(921r r S O OO --+--⨯=∴∆)9(332r -=)9(33662r r -=∴2922r r -=，298r r -=1=∴r 或9-=r （舍去）又OB O 1∆ 是等边三角形︒=∠=∠===∴60,61111BOO O BO O O OB B O∴扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积相等且都等于ππ63606021=⋅O O O O 1∴、、所组成的图形面积为扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积之和减去三角形OB O 1的面积.即391223662166-=⨯⨯⨯-+πππ 又 扇形1OAO 的面积为：ππ96412=⋅∴阴影部分的面积为：ππππππ-+-=⋅---39129)3912(92r π439-=说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.典型例题十例 （1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2. （2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.（3）如图，已知半圆的直径︒=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.解 （1）设扇形半径为R ，弧长为l ，则).cm (2510521212ππ=⨯⨯=⋅=R l S 扇形 （2）设扇形的半径为R 3，则圆的半径为R ，22)(R R S ππ=⋅=圆.依题意，得扇形的圆心角为：︒=÷120360)3(22R R ππ（3）连结,,,AD AB OA OD = ∴∴.2ACD ∠=∠又.352,35︒=∠∴︒=∠ACD 又.1,3521,ACD OC PA ∠=∠∴︒=∠=∠∴=)cm (925360540.,//22ππ=⨯⨯==∴=∴∴∆∆OCDADC ODC S S S S DC AO 扇形阴影说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解题关键.典型例题十一例 如图，已知：⊙O 的长l 是半径R 的π32倍，BC AC ,是方程01)1(22=++---m x m x 的根，1=OC ，求弓形AmB 的面积.解 延长线段OC 交⊙O 于F E ,，作AB OG ⊥于G ，∴.21AB GB =又.120,120,32180︒=∠=∴==AOB n R R n l ππ ∴.60︒=∠GOB在Rt OGB ∆中，.2360sin R R GB =︒⋅= ∴R AB 3=，又.21,cos R OG OB OG GOB =∴=∠ ∴.4321321212R R R OG AB S ABO =⨯⨯=⋅=∆ BC AC , 是方程01)1(22=++---m x m x 的根，∴21+-=⋅m BC AC ，① 21m BC AC -=+ ② 又1))((222-=-=+-=⋅=⋅R OC R OC R OC R CF CE BC AC ③ ∴R AB BC AC 3==+ ④ 由②④得213m R -=，由①，③得.2112+=-m R解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=.211,2132m R m R 得.3=R∴.360)3(120,4334322ππ===∆OAmB ABO S R S 扇形＝∴弓形AmB 的面积.433-=-=∆πOAB OAmB S S 扇形 说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O 的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.典型例题十二例 如图，已知：⊙O 的半径为R ，直径⊥AB 直径CD ，以B 为圆心，以BD 为半径作⊙B 交AB 于E ，交AB 的延长线于F ，连结DB 并延长交⊙B 于M ，连结MA 交⊙O 于N ，交CD 于H ，交⊙B 于G .（1）求图中阴影部分的面积S ；（2）求证：.HM HG HN HA ⋅=⋅解 （1）连结BC ，则,,2122R S R S BCD BCED ==∆π扇形 .2121.2122222R R R R S S R S CED =+-=∴-=∴πππ弓形（2）由相交弦定理，得HC HD HM HG HC HD HN HA ⋅=⋅⋅=⋅,，∴.HM HG HN HA ⋅=⋅说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.典型例题十三例 如图，ABC ∆为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，ABC ∆之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2）.解 分别过C B A ,,作BC C C BC B B AC A A AC C C AB B B AB A A ⊥''⊥''⊥''⊥'⊥'⊥',,,,,，则A A A S A A AC B B BC B B AB S '''+''⋅+''⋅+'⋅=3.2540005800518018022πππ+=⋅+⨯='⋅⋅+⨯'=∆B B l B B ABC 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.选择题1. 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90BAC ，2==AC AB 以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分面积为（）A ．1B ．2C ．41π+D ．42π-2. 如果扇形的圆心角为︒150，扇形面积为2cm 240π，那么扇形的弧长为（） A ．cm 5π B ．cm 10π C ．cm 20π D ．cm 40π3. 正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（） A ．222r -πB ．221r -π C ．2)2(r -πD ．2)1(r -π4. 设三个同心圆的半径分别为1r ，2r ，3r ，且321r r r <<，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么321::r r r 为（） A ．1：2：3B ．3:2:1C ．9:4:1D ．2:3:15．已知如图，扇形AOB 的半径为12，OB OA ⊥，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆1O 和以BC 为直径的半圆2O 相切于点D ，则图中阴影部分面积为（ ）（A ）π6 （B ）π10 （C ）π12 （D ）π206．若⊙1O 的60°弧与⊙2O 的45°弧长度相等，则⊙1O 与⊙2O 的面积之比为（ ） A ．16：9 B ．9：16 C ．4：3 D ．3：47．若扇形的面积为π12，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（ ）A ．212B ．30512C ．12D ．612 8．两圆半径分别为R 和r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（ ）A ．)(21r R + B ．)(2122r R + C ．2221r R + D ．222r R + 9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm ，则这两圆围成的环形面积为（ ）。

15解题技巧专题圆中求阴影部分的面积圆中求阴影部分的面积是一类常见的几何解题题型。

解决这类问题的关键是理解题意，找出合适的几何关系，并运用相应的公式进行计算，下面将结合一些具体的例题，介绍一些解题技巧。

首先，我们需要理解圆中求阴影部分的面积是指如何计算圆与一些几何图形的交集部分的面积。

在解题时，我们可以通过切割、旋转、改变图形位置等方式来求解阴影部分的面积。

接下来，我们将介绍三个常见的情况：正方形在圆内、矩形在圆内以及两个半圆的交集。

情况一：正方形在圆内题目描述：一个边长为a的正方形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。

解题思路：首先，我们可以画出正方形和圆的示意图，并标明已知的边长和半径。

然后，我们来观察正方形在圆内的情况，可以发现正方形四个顶点与圆心连线的交点是正方形对角线的中点。

这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算正方形对角线的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。

这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。

最后，我们可以通过求解正方形对角线的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。

具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，正方形对角线的长度为a*√2，所以中点到圆心的距离d为d=√(a^2/2)。

计算阴影部分的面积S：阴影部分的面积可以通过圆的面积减去扇形的面积得到，所以S=π*r^2-π*(d^2)/4情况二：矩形在圆内题目描述：一个长为a，宽为b的矩形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。

解题思路：首先，我们可以画出矩形和圆的示意图，并标明已知的长、宽和半径。

然后，我们来观察矩形在圆内的情况，可以发现矩形四个顶点与圆心连线的交点是矩形边的中点。

这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算矩形边的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。

这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。

最后，我们可以通过求解矩形边的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。

具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，矩形的对角线长度为√(a^2+b^2)，所以中点到圆心的距离d为d=√((a^2+b^2)/4)。

圆、扇形、弓形的面积【重点难点解析】重点是圆面积，扇形面积、弓形面积公式，要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形面积的计算与证明问题.难点是扇形面积公式的推导，要理解圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的，圆心角为n°的扇形面积及于圆面积的即，注意：公式中的n没有单位.【基础知识精讲】一、基本公式1.圆的面积：S＝πR22.扇形面积：S扇形＝＝lR3.弓形面积：①弓形所含弧为劣弧时 S弓＝S扇-S△②弓形所含弧为优弧时 S弓＝S扇+S△③弓形所含弧为串圆时 S弓＝S圆二、值得注意的问题1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的一样，不带单位.2.对于一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为学过的几何图形的面积和或差.对于弧形部分，一定要分清圆心和半径.典型例题〔例1〕已知如图7-65，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，且CP＝CO，弦AB∥OP，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.图7-65解：连OA，OB∵PA为⊙O切线，∴OA⊥AP∵OA＝OC＝CP＝OP∴∠OPA＝30°，∴∠AOP＝60°∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOPB＝60°∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形∴∠AOB＝60°∴S扇形OAB＝＝∵AB∥OP，∴S△ABP＝S△AOB∴S阴影＝S扇形OAB＝〔例2〕已知：如图7-66⊙O的半径为R，直径AB垂直于弦CD，以B为圆心，以BC为半径作⊙B 交AB于点E，交AB的延长线于F，连结CB并延长交⊙B于点M，连结AM交⊙O于N，(1)求两圆公共部分的面积S.(2)求证AM·AN＝2AE·AF图7-66(1)解：连结BD∵CD为⊙O直径∴∠CBD＝90°∵CD⊥AB，OC＝OD ∴CB＝DB在Rt△CBD中，CD＝2R∴BC＝CDcos45°＝2R· ＝R∴S＝S⊙O+S弓形CDE＝πR2+〔π( R)2- ( R)2〕＝(π-1)R2(2)证明连AC∵AB为直径∴∠ACB＝90°∵BC为⊙B半径∴AC为⊙B的切线∴AC2＝AE·AF∵OA＝OB ∴CA＝CB∵MN·MA＝MB·MC＝BC·2BC＝2BC2＝2AC2∴AM·MN＝2AE·AF〔例3〕已知：如图7-67，⊙O的长l是半径R的π倍，AC，BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，OC＝1，求弓形AmB的面积.图7-67〔解〕延长线段OC交⊙O于E，F，作OG⊥AB于G，∴GB＝ABl＝＝R，∴n=130,∴∠AOB＝120°∴∠GOB＝60°在Rt△OGB中，sin∠GOB＝，∴GB＝R·sin60°＝R∴AB＝R，又cos∠GOB＝，∴OG＝R，∴S△ABD＝AB·OG＝× R× R＝R2.∵AC、BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，∴AC·BC＝- ①AC+BC＝. ②又∵AC·BC＝CE·CF＝(R-OC)(R+OC)＝R2-OC2＝R2-1 ③AC+BC＝AB＝R ④∴由②，④得R＝由①，③得R2-1＝-解方程组R＝R2-1＝- 得R＝∴S△ABC＝R2＝·S扇形OAmB＝＝π∴弓形AmB的面积＝S扇形OAmB-S△OAB＝π- (平方单位).〔说明〕此题是一道代数几何综合问题，解决此题的关键是求出⊙O的半径，综合分析题的图形与已知条件，寻找与半径有关的式子，发现AC+BC＝AB，AC·BC＝CE·CF，而AB及CE·CF都与半径与关，再由题已知方程的根与系数关系，找到含R的方程组，从而求得R.〔例4〕如图7-68，已知半径为3cm和1cm的两个圆，⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是它们的一条外公切线，切点分别为A，B，QP垂直于O1O2于P交AB于Q点，连O1Q和O2Q，求：图中阴影部分面积.图7-68〔解〕连O1A，O2B可求得外公切线长AB＝2 ＝2 (cm)∵QP⊥O1O2，∴QP是⊙O1，⊙O2的内公切线，由切线长定理知AQ＝QP＝QB，∠＝O1QO2＝∠AQB＝90°.∴QP＝AB＝(cm)在Rt△QO1P中，tg∠QO1P＝＝，∴∠QO1P＝30°，∴∠QO2P＝60°∴S阴＝S －S -S ＝O1O2·QP－-＝×4× - π- ＝2 - π(cm2).〔说明〕此题就是将一个不规则图形的面积化归为几个已学过的图形面积的和差形式.练习一、填空题1.扇形的弧长是2πcm，半径是10cm，则此扇形的面积是 .2.圆心角为n°，面积为S的扇形的半径是 .3.如果圆的周长是π，则圆的面积是 .4.如下图7-75，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，OC，OD是半径，且半径为长6，CD为弦，则图中阴影部分的面积是 .图7-75 图7-765.如图7-76，Rt△ABC中两直角边AC＝4cm，BC＝5cm，分别以AB，AC，BC为直径的三个半圆所围成的两个新月形(图中阴影部分)的面积和为平方厘米.图7-776.如图7-77，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，以A为圆心，以AC的长为半径画弧与AB 相交于D，若图中阴影部分的面积为6πcm2，则AB＝ cm.7.若扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积是 .二、选择题1.如图7-78，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是( )A. (2 -π)；B. (2 -π)；C. +D. a2.2.如图7-79，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm 长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为( )A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2图7-78 图7-79 图7-803.三个半径为R的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是( )A. R2- πR2B. R2- πR2C.( -1)R2D. R2-R24.如图7-80，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，再以AB为直径作半圆，所得月牙形面积为( )A.大于S△OABB.等于S△OABC.小于S△OABD.以上都有可能三、解答题1.如图7-81所示，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A为圆心，AB为半径作，由AD的中点E，作EF∥AB，交BC于F，交于G，再以E为圆心，ED为半径作交EF于H，试求图中阴影部分的面积.图7-81 图7-822.如图7-82所示，正三角形ABC的高AD＝4cm，以AD为直径作圆分别交AB、AC于E、F，求阴影部分的面积.四、1.如图7-83所示，已知直角梯形ABCD中，∠D＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以斜腰AB为直径的半圆切CD于E，交AD于F.求图中阴影部分的面积.图7-83 图7-842.如图7-84所示，已知⊙O1与⊙O2的公共弦为AB，若AB分别为⊙O1和⊙O2的内接正三角形和内接正六边莆的一边，且AB＝a，求两圆公共部分的面积.答案：一、1.10πcm2 2. 3. 4.6π 5.10 6.12 7.140πcm2二、1.A 2.C 3.D 4.B。

圆、扇形、弓形的面积（精选8篇）圆、扇形、弓形的面积篇1(一)教学目标：1、把握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；2、通过扇形面积公式的推导，培育同学抽象、理解、概括、归纳力量和迁移力量；3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特别到一般，再由一般到特别”的辩证思想.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分析.教学活动设计：（一）复习（圆面积）已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好讨论这样的图形引出一个概念.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法老师引导同学迁移推导弧长公式的方法步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=.归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）2、探究新问题老师组织同学对比讨论：（1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积=；（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积=.归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S扇形= （扇形面积公式）（三）理解公式老师引导同学理解：（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要留意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即根据上面推导过程记忆）；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（老师组织同学探讨）S扇形=lR想一想：这个公式与什么公式类似？（老师引导同学进行，或小组协作讨论）与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，关心同学记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让同学在理解的基础上记住公式.（四）应用练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=____.2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____.4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____.5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____.（，2，120°，，）例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.同学独立完成，对基础较差的同学老师指导（1）怎样求圆环的面积？（2）假如设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a 有什么联系？解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.S=.∵ ，∴S=.说明：要留意整体代入.对于教材中的例2，可以采纳典型例题中第4题，充分让同学探究.课堂练习：教材P181练习中2、4题.（五）总结学问：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.方法力量：迁移力量，对比方法；计算力量的培育.（六）作业教材P181练习1、3；P187中10.(二)教学目标：1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；2、培育同学观看、理解力量，综合运用学问分析问题和解决问题的力量；3、通过面积问题实际应用题的解决，向同学渗透理论联系实际的观点.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.教学活动设计：（一）概念与熟悉弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简洁的组合图形之一.（二）弓形的面积提出问题：怎样求弓形的面积呢？同学以小组的形式讨论，沟通归纳出结论：（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.理解：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观看它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.（三）应用与反思练习：(1)假如弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；(2)假如弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.（同学独立完成，巩固新学问）例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)老师引导同学并渗透数学建模思想，分析：（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？（2）求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？同学完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.反思：①要注意题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，依据条件特征，敏捷应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求与围成的新月牙形ACED的面积S.解：∵ ，有∵，，，∴ .组织同学反思解题方法：图形的分解与组合；公式的敏捷应用.（四）总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；2、应用弓形面积解决实际问题；3、分解简洁组合图形为规章圆形的和与差.（五）作业教材P183练习2；P188中12.(三)教学目标：1、把握简洁组合图形分解和面积的求法；2、进一步培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量；3、渗透图形的外在美和内在关系.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：对图形的分解和组合.教学活动设计：（一）学问回顾复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？（二）简洁图形的分解和组合1、图形的组合让同学熟悉图形，并体验图形的外在美，激发同学的讨论爱好，促进同学的制造力.2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.以小组的形式协作讨论，班内沟通思想和方法，老师组织.给同学进展思维的空间，充分发挥同学的主体作用.归纳沟通结论：方案1.S阴=S正方形-4S空白.方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD……………反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要仔细观看图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.解：连结AO，设P为其中一个三等分点，连结PA、PO，则△POA是等边三角形..∴说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.练习2：教材P185练习第1题例5、已知⊙O的半径为R.（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).例5的计算量较大，老师引导同学完成.并进一步巩固正多边形的计算学问，提高同学的计算力量.说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积（三）总结1、简洁组合图形的分解；2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11.探究活动四瓣花形在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.（2）两朵“花”是相像图形.（3）试求两“花”面积提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.从而，∠ADP=30°.同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.由对称性知，四段弧均被三等分.假如证明白结论(2)，则图 (12)也得相同结论.(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影.明显两“花”是相像图形；其相像比是AB ﹕EF =﹕1.(3)花形的面积为：， .圆、扇形、弓形的面积篇2(一)教学目标：1、把握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；2、通过扇形面积公式的推导，培育同学抽象、理解、概括、归纳力量和迁移力量；3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特别到一般，再由一般到特别”的辩证思想.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分析.教学活动设计：（一）复习（圆面积）已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好讨论这样的图形引出一个概念.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法老师引导同学迁移推导弧长公式的方法步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=.归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）2、探究新问题老师组织同学对比讨论：（1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积=；（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积=.归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S扇形= （扇形面积公式）（三）理解公式老师引导同学理解：（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要留意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即根据上面推导过程记忆）；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（老师组织同学探讨）S扇形=lR想一想：这个公式与什么公式类似？（老师引导同学进行，或小组协作讨论）与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，关心同学记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让同学在理解的基础上记住公式.（四）应用练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=____.2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____.4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____.5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____.（，2，120°，，）例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.同学独立完成，对基础较差的同学老师指导（1）怎样求圆环的面积？（2）假如设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a 有什么联系？解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.S=.∵ ，∴S=.说明：要留意整体代入.对于教材中的例2，可以采纳典型例题中第4题，充分让同学探究.课堂练习：教材P181练习中2、4题.（五）总结学问：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.方法力量：迁移力量，对比方法；计算力量的培育.（六）作业教材P181练习1、3；P187中10.(二)教学目标：1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；2、培育同学观看、理解力量，综合运用学问分析问题和解决问题的力量；3、通过面积问题实际应用题的解决，向同学渗透理论联系实际的观点.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.教学活动设计：（一）概念与熟悉弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简洁的组合图形之一.（二）弓形的面积提出问题：怎样求弓形的面积呢？同学以小组的形式讨论，沟通归纳出结论：（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.理解：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观看它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.（三）应用与反思练习：(1)假如弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；(2)假如弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.（同学独立完成，巩固新学问）例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)老师引导同学并渗透数学建模思想，分析：（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？（2）求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？同学完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.反思：①要注意题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，依据条件特征，敏捷应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求与围成的新月牙形ACED的面积S.解：∵ ，有∵，，，∴ .组织同学反思解题方法：图形的分解与组合；公式的敏捷应用.（四）总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；2、应用弓形面积解决实际问题；3、分解简洁组合图形为规章圆形的和与差.（五）作业教材P183练习2；P188中12.(三)教学目标：1、把握简洁组合图形分解和面积的求法；2、进一步培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量；3、渗透图形的外在美和内在关系.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：对图形的分解和组合.教学活动设计：（一）学问回顾复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？（二）简洁图形的分解和组合1、图形的组合让同学熟悉图形，并体验图形的外在美，激发同学的讨论爱好，促进同学的制造力.2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.以小组的形式协作讨论，班内沟通思想和方法，老师组织.给同学进展思维的空间，充分发挥同学的主体作用.归纳沟通结论：方案1.S阴=S正方形-4S空白.方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD……………反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要仔细观看图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.解：连结AO，设P为其中一个三等分点，连结PA、PO，则△POA是等边三角形..∴说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.练习2：教材P185练习第1题例5、已知⊙O的半径为R.（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).例5的计算量较大，老师引导同学完成.并进一步巩固正多边形的计算学问，提高同学的计算力量.说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积（三）总结1、简洁组合图形的分解；2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11.探究活动四瓣花形在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.（2）两朵“花”是相像图形.（3）试求两“花”面积提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.从而，∠ADP=30°.同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.由对称性知，四段弧均被三等分.假如证明白结论(2)，则图 (12)也得相同结论.(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影.明显两“花”是相像图形；其相像比是AB ﹕EF =﹕1.(3)花形的面积为：， .圆、扇形、弓形的面积篇3教学目标：1、简洁组合图形的分解；3、通过简洁组合图形的分解，培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量.4、通过对s△与s扇形关系的探讨，进一步讨论正多边形与圆的关系，培育同学抽象思维力量和归纳概括力量.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：正确分解简洁的组合图形.教学过程：一、新课引入：上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简洁组合图形面积的计算可转化为规章图形的和与差来解决的方法.今日我们连续学习“7.20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简洁组合图形为规章图形和与差的方法.同学在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简洁组合图形，计算其面积的方法.但要正确分解图形，还需肯定题量的练习，所以本堂课为同学供应练习题让同学们相互切磋、探讨.通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使同学初步体会极限的思想，了解s△与s扇形之间的关系.二、新课讲解：(复习提问)：1.圆面积公式是什么？2.扇形面积公式是什么？如何选择公式？3.当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4.当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5.当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均支配中下生回答.)(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙o上任意一点c为圆心，以r从题目中可知⊙o的半径为r，“以⊙o上任意一点c为圆心，以r为半径作弧与⊙o相交于a、b.”为我们供应的数学信息是什么？(支配中上生回答：a、b到o、c的距离相等，都等于oc等于r.)转化为弓形面积求呢？若能，帮助线应怎样引？(支配中等生回答：能，连结ab.)大家观看图形不难发觉我们所求图形实质是两个弓形的组合，即倍？(支配中下生回答：因已知oa=oc=ac所以△oac是等边三角同学们争论讨论一下，s△aob又该如何求呢？(支配中上等生回答：求s△aob，需知ab的长和高的长，所以设oc与ab交点为d.∵∠aoc=60°，oa=r∴解rt△aod就能求出ab与高od.)连结oc交ab于d怎么就知od⊥ab？(支配中等生回答：依据垂径定理∵c是ab中点.)同学们相互讨论看，此题还有什么方法？下面给出另外两种方法，供参考：幻灯展现题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.请同学们认真观看图形，思索如何分解这个组合图形.同学间相互争论、讨论、沟通看法：现将同学可能提出的几种方案列出，供参考：方案1.s阴=s正方形-4s空白.观看图形不难看出sⅱ+sⅳ=s正方形-方案2.观看图形，由于正方形abcd∴∠aob=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分.观看发觉半圆aob的面积-△即可.即s阴=4s瓣而s瓣=s半⊙-s△aob∴s阴=4.(s半⊙-s△aob)=2s⊙-4s△aob=2s⊙-s正方形.方案4.观看扇形eao，一瓣等于2个弓形，一个s弓形=s扇oa-方案5.观看rt△abc部分.用半圆boc与半圆aob去盖rt△abc，发觉这两个半圆的和比rt△abc大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣.因此有2个s瓣=2个s半圆-srt△abc=方案6.用四个半圆盖正方形，发觉其和比正方形大，大的部分恰是s即：在同学们充分争论沟通之后，要求同学认真回味展现出来的不同解法.尤其要琢磨这些解法是怎样观看、思索的.幻灯展现练习题：1.如图7-176，已知正△abc的半径为r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；2.如图7-177，已知正方形abcd的半径r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积3.如图7-178，已知正六边形abcdef的半径r，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆。