2020年云南省曲靖市高考(理科)数学二模试卷 (解析版)
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2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2+2x﹣15＜0，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A．1 B．√𝟐 C．2 D．3
3．已知cos（𝜋4−𝜶）=45，则sin2α＝（ ）
A．−725 B．725 C．−15 D．15
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
5．已知向量𝒂→，𝒃→，|𝒂→|=𝟐，𝒃→=(𝒄𝒐𝒔𝜶，𝒔𝒊𝒏𝜶)(𝜶∈𝑹)，若|𝒂→+𝟐𝒃→|=𝟐√𝟑，则𝒂→与𝒃→夹角是（ ）
A．5𝜋6 B．2𝜋3 C．𝜋3 D．𝜋6
6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）
A．6 B．21 C．27 D．54
7．已知实数x，y满足{𝒙−𝟐≥𝟎𝒚−𝟐≥𝟎𝒙+𝒚−𝟖≤𝟎，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（﹣3，1）
8．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）
A．7539 B．6038 C．7028 D．6587
9．设函数f（x）=2𝑥𝑥+1+lnx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），若f（x）存在零点x0，则下列选项中一定错误的是（ ）
A．x0∈（a，c） B．x0∈（a，b） C．x0∈（b，c） D．x0∈（c，+∞）
10．若双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=𝟏(𝒂＞𝟎，𝒃＞𝟎)的一条渐近线被圆（x+2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2√33 B．√𝟐 C．√𝟑 D．2
11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，a+b+c＝3，且csinAcosB+asinBcosC=√32a，则△ABC的面积为（ ）
A．√34或3√34 B．3√33 C．2√33 D．√34
12．f（x）={𝒙𝟐，𝒙≤𝟎𝒍𝒏(𝒙+𝟏)，𝒙＞𝟎，对于∀x∈[﹣1，+∞），均有f（x）﹣1≤a（x+1），则实数a的取值范围是（ ）
A．[1𝑒2，+∞） B．[1𝑒，+∞） C．[1，+∞） D．[1𝑒2，1𝑒）
二、填空题
13．若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点，则p＝ ．
14．已知二项式（1+x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(𝟏+1𝑥2)(𝟏+𝒙)𝒏展开式中常数项为 ．
15．关于函数𝒇(𝒙)=𝟒𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙+𝜋3)(𝒙∈𝑹)，有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②y＝f（x）在区间(−5𝜋13，𝜋13)上单调递增；
③y＝f（x）的图象关于点(−𝜋6，𝟎)对称；
④y＝f（x）的图象关于直线𝒙=−𝜋6对称．
其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
16．在几何体P﹣ABC中，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABC，且AB＝BC＝2，AB⊥BC，则P﹣ABC外接球的表面积等于 ．
三、解答题
17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：
（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．
18．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足4Sn＝an2+2an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=1(𝑎𝑛+1)2，设数列{bn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜14．
19．如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB＝90°，M，N分别是CD，PB的中点．
（1）证明：CN∥平面PAM；
（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60°，求二面角M﹣AP﹣C的余弦值．
20．已知△ABC的两个顶点坐标是𝑩(−𝟐√𝟑，𝟎)，𝑪(𝟐√𝟑，𝟎)，△ABC的周长为𝟖+𝟒√𝟑，O是坐标原点，点M满足𝑶𝑨→=−𝟐𝑨𝑴→．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．
21．已知函数f（x）＝xlnx，𝒈(𝒙)=12𝒙𝟐．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值；
（Ⅱ）若对b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，求实数m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{𝒙=𝟑+√32𝒕𝒚=12𝒕（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；
（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12𝑎+𝑏+3𝑏+2𝑐≥𝟐+√𝟑．
参考答案
一、选择题
1．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2+2x﹣15＜0，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
解：B＝{x|﹣5＜x＜3，x∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}；
∴A∩B＝{1，2}．
故选：A．
2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A．1 B．√𝟐 C．2 D．3
【分析】求出z，求出z的模即可．
解：z=21+𝑖=1﹣i，
故|z|=√𝟐，
故选：B．
3．已知cos（𝜋4−𝜶）=45，则sin2α＝（ ）
A．−725 B．725 C．−15 D．15
【分析】由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sinαcosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．
解：∵cos（𝜋4−𝜶）=45，即 √22cosα+√22sinα=45，平方可得12+sinαcosα=1625，∴sinαcosα=750，
则sin2α＝2sinαcosα=725，
故选：B．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．
解：模拟程序的运行，可得：
𝒊=𝟏，𝑺=𝒍𝒈13=−𝒍𝒈𝟑＞−𝟏，否；
𝒊=𝟑，𝑺=𝒍𝒈13+𝒍𝒈35=𝒍𝒈15=−𝒍𝒈𝟓＞−𝟏，否；
𝒊=𝟓，𝑺=𝒍𝒈15+𝒍𝒈57=𝒍𝒈17=−𝒍𝒈𝟕＞−𝟏，否；
𝒊=𝟕，𝑺=𝒍𝒈17+𝒍𝒈79=𝒍𝒈19=−𝒍𝒈𝟗＞−𝟏，否；
𝒊=𝟗，𝑺=𝒍𝒈19+𝒍𝒈911=𝒍𝒈111=−𝒍𝒈𝟏𝟏＜−𝟏，
是，输出i＝9，
故选：B．
5．已知向量𝒂→，𝒃→，|𝒂→|=𝟐，𝒃→=(𝒄𝒐𝒔𝜶，𝒔𝒊𝒏𝜶)(𝜶∈𝑹)，若|𝒂→+𝟐𝒃→|=𝟐√𝟑，则𝒂→与𝒃→夹角是（ ）
A．5𝜋6 B．2𝜋3 C．𝜋3 D．𝜋6
【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．
解：由题意可得|𝒃→|＝1，
因为|𝒂→+𝟐𝒃→|=𝟐√𝟑，
所以𝒂𝟐+𝟒𝒂→⋅𝒃→+𝟒𝒃→𝟐=12，即8+4𝒂→⋅𝒃→=12， 所以𝒂→⋅𝒃→=1，设向量𝒂→与𝒃→夹角θ，
所以cosθ=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→||𝑏→|=12，
因为θ∈[0，π]，所以θ=𝜋3．
故选：C．
6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）
A．6 B．21 C．27 D．54
【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．
解：根据几何体的三视图：
得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，
所以：S=12⋅𝟑⋅𝟓+12⋅𝟑⋅𝟒+12⋅𝟑⋅𝟓+12⋅𝟑⋅𝟒，
＝27，
故选：C．
7．已知实数x，y满足{𝒙−𝟐≥𝟎𝒚−𝟐≥𝟎𝒙+𝒚−𝟖≤𝟎，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（﹣3，1）
【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线ax+by﹣1＝0由直线系方程得答案．
