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第一章 倍数与因数

一倍数与因数

1. 倍数与因数的概念

如果整数a能被自然数b整除，那么a就叫做b的倍数，就b叫做a的因数，也称为因数。（1是所有非0自然数最小的因数;一个数最少有一个因数）

因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。如：a是b的倍数，反过来b就是a的因数，因此，描述描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数）

只有在乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。如5×0.8=4不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。

5×0.8=4 5×8=40

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

因数 因数 积 因数 因数 倍数（整数）

4是0.8的5倍，但不能说4是0.8的倍数。

2. 一个数因数的求法

利用因数的概念，a×b=c,a和b都是c的因数，找出所有两个数相乘等于c的数。

例：18的因数有哪几个？

解：1×18=18 2×9=18 3×6=18

18的因数有1、2、3、6、9、18

总结：一个数的因数是有限的；最小的因数是1；最大的因数是它本身。

3. 一个数的倍数的求法

求一个数的倍数，可以用这个数分别去乘非0自然数1,2,3，4„„

总结：一个数的倍数是无限的；最小倍数是它本身；没有最大倍数。

二 2、5、3的倍数的特征

1. 2的倍数的特征

个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

2. 5的倍数的特征

各位上0、5的数，都是5的倍数。（任意5个连续自然数，它们的和一定是5的倍数）

① 一个奇数加上5，一定是2的倍数。

② 能同时被2，5整除的最小数是10，符合这三个条件的最大三位数是990，最小四位数是1000

3. 3的倍数的特征

如果一个数的各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（3个连续的自然数所组成的数是3的倍数，123,234,345,456.567……）

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少？（120）

4. 9倍数的特征

如果一个数的各位上的数字的和是9数，这个数就是9倍数。

三质数和合数

1. 质数的概念

一个数，除了1和本身以外，再也没有别的因数，这个数叫做质数，又叫素数。(质数只有两个因数)

① 例如：2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数（最小的质数是2，最大的质数是无穷大） ② 除了2以外的所有质数都是奇数。

③ 所有的奇数都是质数。（×）（15是合数）

2. 合数的概念

一个数，除了1和本身以外，还有别的因数，这个数叫做合数。（合数有3个或3个以上的因数）

① 例如：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20„„都是合数（最小的合数是4，最大的合数无穷大）

② 所有的合数都是偶数。（×）（9、15是合数，但也是奇数）

③ 1不是质数也不是合数。

四分解质因数

1. 认识质因数

① 如果一个数的因数是质数，那么，这个因数叫做该数的一个质因数。（如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数）

② 每一个合数，都能表示为质因数的积的形式。

2. 什么是分解质因数

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

3. 分解质因数的方法及注意事项

①短除法：把368分解质因数

2∣＿3 6 8

2∣1 8 4

2∣9 2

2∣4 6

2 3

368=2×2×2×2×23

③ 注意事项：a.连乘式中不能出现合数，必须都是质数。

b.连乘式中不能出现1，因为1不是质数。

c.合数用质数连乘的形式表示，不能写成乘法算式。应将合数写在等式的左边，分解出的质因数写在等式的右边。【如2×2×3=12（×）】

d.只写短式，不写出质因数的连乘的横式是错误的，因为短除式是分解质因数的手段，分解质因数的目的就是把合数写成质因数连乘的形式。

非0自然数中除了质数以外都是合数。（×）【1既不是质数也不是合数】

五数的组成

数：整数、小数、分数、自然数

自然数：像0、1、2、3、4、5、6、„„这样的数就是自然数。【0和正整数】

整数：正整数、0、负整数（0既不是正数，也不是负数）[包括负数和自然数]

正整数：①质数与合数

②奇数与偶数（奇数：在数学上，我们把不能被2整除的数叫做奇数，又称单数。

偶数：在数学上，我们把能被2整除的数叫做偶数，又称双数。【0是偶数，能被2整除】

偶+偶=偶 偶-偶=偶 奇+奇=偶

奇-奇=偶 偶+奇=奇

③因数与倍数

④最小公倍数

⑤最大公约数

0 表示数位：如101,0表示十位

表示起点：如跑到上的0米处表示跑道的起点

表示没有：如盘子中没有水果，可用0表示

表示分界：如数轴上的0

负整数：在正整数前面加“-”号（负号）的整数

小数：纯小数和带小数或有限小数和无限小数（无限循环小数和无限不循环小数）

分数：表现形式带分数和假分数

基本性质：通分和约分

意义：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数

百分数 意义：表示一个数是另一个数的百分之几

表示倍比关系：百分数表示两个数量之间的倍比关系

○整除与除尽

整除与除尽的区别在于商有没有小数。【整除的商不能有小数】

第二章 平面图形（图形的面积）

一 平行四边形（不稳定性，易变性）

概念：两组对边分别平行的四边形

性质：对边相等；对角相等；邻角的和是180度；对角线互相平分。

周长公式：C=(a+b)×2

面积【转换为长方形】公式：S=a×h(a为底，h为高)

二 三角形

概念：由三条线段首尾顺次连结所围成的图形。它的内角和为180度。

分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分为不等边三角行、等腰三角形、等边三角行【等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三者重合。等边三角形的三条边相等；三个角相等；三条边上的高相等；任意一条边上的高、中线及对角平分线三者重合。】

性质：两边之和大于第三边

两条之差小于第三边

内角和为180度。三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和。

具有稳定性，不易变形

面积S=ah÷2(1/2底×高)

三 梯形

分类：等腰梯形 性质：在等腰梯形中，同一底上的两个底角相等；对角线相等。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中线的直线。

直角梯形：有个一角是直角的梯形。或者说，有一腰垂直于底的梯形。

两个相同的梯形能组成一个平行四边形，两个相同的直角梯形能组成一个长方形或正方形。 梯形的面积公式：S=(a+b)×h÷2[（上底+下底）×高÷2]

四 正方形

性质：是特殊的平行四边形，也是特殊的长方形，它具有平行四边形、长方形的全部性质。

正方形有四条对称轴，即两条对角线和每组对边终点的连线。

正方形的周长公式：C=4a (边长+边长+边长+边长)

正方形的面积公式：S=a×a

五 长方形

性质：长方形是特殊的平行四边，且四个角都是直角、对角线相等。

长方形对边中点的连线是它的对称轴。

长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

长方形的周长公式： C=2a+2b (2边长+2宽)

长方形的面积公式： S=a×b (长×宽)

六 正方体

定义：长、宽、高相等的长方体

1.表面积公式

S表=6×a×a（a为边长）

2.体积公式

V体积=a×a×a

=S×h

七 长方体

定义：每个面都是长方形（有时有两个相对面是正方形）的六面体

1.表面积

S表=2（ab+bh+ah）[长×宽+长×高+宽×高]

2.体积

V体积=abh(长×宽×高)

八 正方体、长方体的比较

正方体是一种特殊的长方体

相同点 不 同 点

面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长

长方体 6个 12条 8

个 6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形 相对的面的面积相等 每一组相互平行的四条棱的长度相等

正方体 6个 12条 8

个 6个面都是正方形 6个面的面积相等 12条棱的长度都相等

九 体积单位的进率

1.常用的体积单位

立方米、立方分米、立方厘米

2.体积单位的进率

1立方米 =1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米

3.体积单位名数的变换

体积单位名数的变换由高级单位化为低级单位乘进率1000，由低级单位化为高级单位的名数除进率1000。

4.长度单位、面积单位和体积单位表

进率单位间的比较

单位

名称 相邻两个单位间的进率

备注

长度 米

分米

厘米

10

必须把单位统一起来才能计算 面积 平方米

平方分米

平方厘米

100

体积 立方米

立方分米

立方厘米

1000

5.容积和容积单位

①容积的意义和计算

容器能装的量叫容积，计算容积的方法与计算体积的方法相同。

②常用的容积单位

升、毫升

1L=1000ml

③容积单位与体积单位的关系

1升 = 1立方分米

1毫升=1立方厘米

要计算长方体、政法提、圆柱体、圆锥体的木材、钢材、油桶及小麦等物体的质量，首先要计算出物体的体积，再利用下面的公式计算。

物体的质量=单位体积的质量×体积

第三章 分数

一分数的意义

1. 分数的定义

把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。如1↚2

2. 分数与除法的区别

除法是一种运算，而分数是一个数。

二真分数和假分数

1. 真分数 （分子比分母小的分数叫真分数，真分数都小于1）