高中数学第三章概率3.2.1古典概型学案新人教A版必修3

1 高中数学第三章概率3.2.1古典概型学案新人教A版必修3

1．了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点)

2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)

3．会用列举法求古典概型的概率．(重点)

[基础·初探]

教材整理1 基本事件的特点

阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．

1．任何两个基本事件是互斥的．

2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【解析】 基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．

【答案】 C

教材整理2 古典概型

阅读教材P126～P127“探究”以上的部分，完成下列问题．

1．古典概型的特点

如果某类概率模型具有以下两个特点：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2 (2)每个基本事件出现的可能性相等．

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型的概率公式

对于任何事件A，P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( )

(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．( )

(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )

(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是1n.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )

A.16 B.12

C.13 D.23

【解析】 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝26＝13.

【答案】 C

3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．

【解析】 从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为310.

【答案】 310

[小组合作型]

基本事件和古典概型的判断 3 (1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是( )

A．向上的点数是奇数

B．向上的点数是3

C．向上的点数是4

D．向上的点数是6

(2)下列是古典概型的是( )

A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

【精彩点拨】 结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．

【尝试解答】 (1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．故选A.

(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．

【答案】 (1)A (2)C

1．基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．

2．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．

[再练一题]

1．下列试验是古典概型的为________.

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

【解析】 ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响． 4 【答案】 ①②④

基本事件的计数问题

有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“朝下点数之和大于3”；

(3)事件“朝下点数相等”；

(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．

【精彩点拨】 根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．

【尝试解答】 (1)这个试验的基本事件为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．

1．在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写．

2．确定基本事件是否与顺序有关．

3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．

[再练一题]

2．连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

(1)写出这个试验的所有基本事件；

(2)求这个试验的基本事件的总数；

(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？

【解】 (1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)． 5 (2)这个试验包含的基本事件的总数是8.

(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

简单的古典概型的概率计算

袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．

(1)写出所有不同的结果；

(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；

(3)求至少摸出1个黑球的概率．

【精彩点拨】 (1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．

【尝试解答】 (1)用树状图表示所有的结果为：

所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，

所以P(A)＝610＝0.6，

即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.

(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，

则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，

所以P(B)＝710＝0.7，

即至少摸出1个黑球的概率为0.7.

1．求古典概型概率的计算步骤

(1)确定基本事件的总数n； 6 (2)确定事件A包含的基本事件的个数m；

(3)计算事件A的概率P(A)＝mn.

2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．

[再练一题]

3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：

(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；

(3)三次摸到的红球多于白球．

【解】 每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个．全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．

(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．

∵A中含有基本事件个数为m＝6，

∴P(A)＝mn＝68＝0.75.

(2)记事件B为“三次颜色全相同”．

∵B中含基本事件个数为m＝2，

∴P(B)＝mn＝28＝0.25.

(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．

∵C中含有基本事件个数为m＝4，

∴P(C)＝48＝0.5.

[探究共研型]

基本事件的特征

探究1 为什么说基本事件是彼此互斥的？

【提示】 基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．

探究2 基本事件的表示方法有哪些？