概率论与数理统计复习资料
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《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
基本概念：
随机试验 E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结
果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果
样本点 ---随机试验 E 的每一个可能出现的结果
样本空间----随机试验 E 的样本点的全体
随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集
必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系：
⑧A，B 相互独立 P(AB)=P(A)P(B)
例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）
A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、A∪B＝Ω
D、A，B 构成对样本空间的一个剖分
例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）
A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
例 3.设甲乙两人朝同一目标射击，设 A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则： A =（ D ）
A) 甲未命中目标且乙命中目标 B) 甲乙都没命中目标
C) 甲未命中目标 D) 甲未命中目标或乙命中目标
事件之间的运算：
事件的交 AB 或 A∩B
事件的并 A∪B
事件的差 A-B 注意： A-B = A‾B = A-AB = (A∪B)-B
n
A n 构成的一个完备事件组(或分斥)指 A
1,A2,…,A 1,A2,…,An 两两互不相容，且 i∪=1Ai=
例 1 设事件 A、B 满足 A∩¯B =，由此推导不出 (D)
A、AB B、¯A ¯B C、A∪B=B D、A∩B=B
例 2 若事件 B 与 A 满足 B – A=B，则一定有 (B)
A、A= B、AB= C、A¯B = D、B=¯A
运算法则：
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A
结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶律 A‾∪‾B =‾A ∩‾B ‾A∩‾B =‾A ∪‾B
文氏图
事件与集合论的对应关系表：
记号 概率论 集合论
样本空间，必然事件 全集
不可能事件 空集
基本事件 元素
A 事件 全集中的一个子集
‾ A 的对立事件 A 的补集
A
AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集
A=B 事件 A 与事件 B 相等 A 与 B 相等
A∪B 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集
AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集
A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集
AB= 事件 A 与事件 B 互不相容（互斥） A 与 B 没有相同的元素
古典概型：
古典概型的前提是={1, 2, 3,…, n,}, n 为有限正整数，且每个样本点i 出现的可能性相等。
A 包含样本总个数 P(A)= 样本点总数
例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2 的概率。
[解]：每个球有 4 种放入法，3 个球共有 43 种放入法，所以||=43=64。
3
(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C43！
=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个 1 2 1 1 1 2 1 1
球(C4C3)，另有一个杯子恰有 1 个球(C3C1)，所以|A2|= C4C3C3C1
=36；则 P(A2)=36/64 =9/16
例 2 从 1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2)三数之积为 21 的倍数的
概率 p2。
[解]：p1= 4
3 C9 1 = 21
, p2= 1 1 2 C3C5+C3
3 C9
= 3
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古典概型基本性质：
(1)非负性，对于任一个事件 A，有 P(A)0;
(2)规范性:P()=1 或 P()=0;
(3)有限可加性：对两两互斥事件 A1,A2,…,An 有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)
概率的公理化定义：
要求函数 P(A)满足以下公理：
(1)非负性，有 P(A)0;
(2)规范性:P()=1;
(3)可列可加性：对两两互斥事件 A1,A2,…,An 有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)
概率公式：
求逆公式 P(‾A )=1- P(A)
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当 AB 时，有 P(A-B)=P(A)-P(B)
注意： A-B = A‾B = A-AB = (A∪B)-B
P(AB)
P(B)
条件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)>0)
P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)>0, P(B)>0)
一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)>0)
全概率公式：P(A)= 错误!P(A|Bi)P(Bi) 其中 B1,B2,…,Bn 构成的一个分斥。
贝叶斯公式：P(Ak|B)= P(B|Ak)P(Ak)
P(B) = P(B|Ak)P(Ak) （由果溯因）
错误!P(B|Ai)P(Ai)
例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占 45%。据以往记录，吸烟
的可疑病人中有 90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有 5%确患有肺癌
（1）在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率;
（2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率.
解 ：设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：
P(B)=0.45, P（ B ）=0.55, P(A B) 0.9 , P(A B) 0.05 .
（1）由全概率公式得：
P(A) P(A B)P(B) P(A B)P(B) =0.68.
（2）由贝叶斯公式得：
P(B A) P(AB) P(A B)P(B) 81
. P(A) P(A) 136
2.在一个每题有 5 个答案可供选择的测验题中，假如有 80%的学生知道指定问题的正确 答案，
不知道正确答案的作随机猜测，求：
1）任意指定的一个学生能正确回答率;（5 分）
2）已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率
解 设 A={正确回答}, B={随机猜测}, 则由条件得：
P(B)=0.2, P（ B ）=0.8, P(A B) 1/5 , P(A B) 1.
（1）由全概率公式得：
P(A) P(A B)P(B) P(A B)P(B) =0.84.
（2）由贝叶斯公式得：
P(AB) P(A B)P(B) 1
P(B A) 0.0476. P(A) P(A) 21
3.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为 0.2、0.4、0.4，乘火车来迟到的概率为 0.5，
乘轮船来迟到的概率为 0.2，乘飞机来不会迟到. 试求：
（1）他来迟到的概率是多少？(5 分)
（2）如果他来乙地迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少？(5 分)
解:设 A={迟到}, B1={乘火车}, B2={乘轮船}, B3={乘飞机}, 则由条件得：
P(B1)=0.2, P(B2)=0.4, P(B3)=0.4,
P(A B1) 0.5 , P(A B2) 0.2 , P(A B3) 0 . （3 分）
（1）由全概率公式得：
P(A) P(A B1)P(B1) P(A B2)P(B2) P(A
B3)P(B3)
0.18. （7 分）
（2）由贝叶斯公式得：
P(AB2) P(A B2)P(B2) 4 P(B2 A) 0.44. （10 分）
P(A) P(A) 9
4.将两种信息分别编码为 A 和 B 传递出去，由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接
收站收到信息时，信息 A 被误收为 B 的概率是 0.02,而 B 被误收为 A 的概率是 0.01。整个传送过程中，信
息 A 与 B 传送次数比为 2 :1，(1)求收到信息是 A 的概率;(8 分)
(2)试求当收到信息是 A 时，问原发信息也是 A 的概率.(7 分)
一、 解 设 A={收到信息是 A}, B1={发出信息为 A}, B2={发出信息为 B}，则由条件得：
P(A|B1)=0.98, P(A|B2)=0.01, P（B1）=2/3，P（B2）=1/3 （3 分）
（1）由全概率公式得：
P（A）=0.982/3+0.011/3 0.66 （8 分）
（2）由贝叶斯公式得：
P（B1|A）= 0.98 2/3
0.66 （3 分）
196
197
= （7 分）
