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“利用频率估计概率”用处大
作者：陈世亨
来源：《初中生世界·八年级》2014年第04期
同学们，我们知道，在日常生活中，有很多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事件就是随机事件. 对于一个随机事件来说，它发生的可能性的大小是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度、一块土地有面积一样. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，求某事件的概率的实质与测量长度和面积一样平常. 在实际操作中，我们可以用频率估计概率. 虽然谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是在相同的条件下进行多次重复试验后，一个随机事件发生的频率会在一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减少，这个性质称为频率的稳定性. 人们常把试验次数n很大时事件发生的频率作为其概率的估计值.
例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，当试验次数较少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，也有可能是1或0与1之间的其他数值，但从义务教育教科书苏科版《数学》七年级下册第46页上“统计学家历次做„抛掷质地均匀的硬币试验‟的结果”表中可以看出，随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”发生与否具有随机性，在不同试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等，但是在相同条件下进行多次重复试验后，“正面朝上”的频率会稳定在0.5左右. 其实，抛掷质地均匀的硬币“正面朝上”的概率为0.5. 利用随机事件的频率来估计它的概率可以解决一类概率问题.
首先，同学们对频率和概率的关系要有正确的理解.
例1 下列说法正确的是（ ）.
A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2 000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2 001次一定抛掷出5点
B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖
C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨
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一、基础知识：
用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.其中0≤p≤1
条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。
关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。
二、重难点分析
本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。
典型例题分析
例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850
发芽的频率=nm 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950
则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90 - 2 - 率=频数与总情况数之比．
例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的实验，得到取出红球的频率是41，求：（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？
三、感悟中考
1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
《利用频率估计概率》典型例题
例1:某篮球队教练记录了该队一名主力前锋练习罚球的结果如下
练习罚球的次数 30 60 90 150 200 300 400 500
罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401
罚中频率
(1) 填表求该前锋罚球命中的频率(保留三个有效数字)
(2) 比赛中该前锋队员上蓝得分并造成对手犯规,罚球一次,你能估计这次他能投中的概率是多少吗?
解析:罚中的频率=罚中的次数÷罚球的次数,故表中的频率可以直接求得,用频率估计概率时,一定要注意试验的次数增加时频率会稳定在那个常数附近.
答案:(1)表中的频率依次为0.900, 0.750, 0.867, 0.787, 0.805, 0.797, 0.805, 0.802.
(1)从表中的数据可以发现,随着练习次数的增加,该前锋罚球命中的频率稳定在0.8左右,估计他这次能罚中的概率为0.8
分析:随机事件的频率可以对随机事件发生的可能性进行客观估计,当我们大量重复试验时,试验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性,此时频率与概率几乎相当,所以用稳定的频率估计概率合理的,并由此来说明事件发生的可能性大小.
例2．某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，•进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．
柑橘总质量（）/千克 损坏柑橘质量（）/千克 柑橘损坏的频率（mn）
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.50 _____
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第 1 页 共 2 页 利用频率估计概率
陈德前
当实验的所有可能结果不是有限个，我们可以通过统计频率来估计概率．
例1 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000
3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912
2850
发芽的频数mn 0.96 0.94 0.955 0.95 0.948 0.956 0.95
则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）
A 0.96 B 0.95 C 0.94 D 0.90
解析：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．故选B．
例2 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是____.
解析：由题意，可由大量重复实验后较稳定的频率20%来估计概率，所以3a×100%=20%，解得a=15．
例3 研究“掷1个图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做实验进行比较，他们的统计数据如下：
掷图钉的次数 50 100 200 300 400
针尖朝上的次数 第1小组 23 39 79 121 160
第2小组 24 41 81 124 164
（1）请你估计第1小组和第2小组所得的概率分别是多少？
（2）你认为哪个小组的结果更准确？为什么？
解析：（1）根据题意，因为实验次数越多，估计出的概率就越精确，所以选取实验次数最多的进行计算. 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源
