高三二轮复习(理数) 第三讲 统计与统计案例(教案)(Word版,含答案)

第三讲 统计与统计案例

[考情分析]

统计部分在选择、填空题中的命题热点有随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性，难度较低．回归分析常在解答题中考查

年份 卷别 考查角度及命题位置

2017 Ⅱ卷 频率分布直方图与独立性检验·T18

2016 Ⅲ卷 统计图表的应用·T4

回归分析的应用·T18

2015 Ⅰ卷 回归分析及应用·T19

Ⅱ卷 条形图、两变量间的相关性·T3

[真题自检]

1．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确，故D错误．

答案：D

2．(2015·高考全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，„，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

x y w ∑8i＝1 (xi－x)2

46.6 563 6.8 289.8

∑8i＝1

(wi－w)2

∑8i＝1 (xi－x)(yi－y) ∑8i＝1 (wi－w)(yi－y)

1.6 1 469 108.8

表中wi＝xi，w＝18∑8i＝1wi.

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，„，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

β^＝∑ni＝1 ui－uvi－v∑ni＝1 ui－u2，α^＝v－β^ u.

解析：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．

由于d^＝∑8i＝1 wi－wyi－y∑8i＝1 wi－w2＝108.81.6＝68，

c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.

(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值

y^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z的预报值

z^＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.

所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

抽样方法

[方法结论]

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN.

[题组突破]

1．(2017·荆门调研)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为001,002，„，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为( )

A．14 B．15

C．16 D．21

解析：系统抽样的样本间隔为50050＝10，第一个号码为003，按照系统抽样的规则，抽到的号码依次为003,013,023,033,043,053，„，493，第三考点抽到的第一个号码为363，最后一个号码为493，由等差数列的通项公式得493＝363＋(n－1)×10，解得n＝14，故选A.

答案：A

2．工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为________．

解析：由已知得n×22＋3＋5＝16，解得n＝80.

答案：80

[误区警示]

利用系统抽样分段时，若分段间隔不为整数，应先随机剔除部分元素，再分组，但每个个体被抽到的概率仍为样本容量总体个数.此问题易忽视．

用样本估计总体 [方法结论]

1．在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小矩形高的比也就是频率比．

2．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据效果较好，要分清何为茎，何为叶，并明确其特征数字的含义．

3．特征数字

(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数的估计值是最高的矩形的中点的横坐标．

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．在频率分布直方图中，把使左边和右边的直方图的面积相等的直线所对应的横坐标的估计值作为中位数的值．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋„＋xn)．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

(4)方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋„＋(xn－x)2]，其中s为标准差．方差与标准差都反映了样本数据的稳定与波动、集中与离散的程度．s2越小，样本数据的稳定性越高，波动越小．

[典例] (1)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名学生完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分．已知甲、乙两组学生的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数字模糊，记为x.则下列命题正确的是(

)

A．甲组学生的成绩比乙组稳定

B．乙组学生的成绩比甲组稳定

C．两组学生的成绩有相同的稳定性

D．无法判断甲、乙两组学生的成绩的稳定性

解析：x甲＝14×(9＋9＋11＋11)＝10，x乙＝14×(8＋9＋10＋x＋12)＝10，解得x＝1.又s2甲＝14×[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s2乙＝14×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝52，∴s2甲＜s2乙，∴甲组学生的成绩比乙组稳定．选A.

答案：A

(2)海尔公司的n名员工参加“我是销售家”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示．

下表是年龄的频数分布表：

区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]

人数 x 100

①求实数n，x的值；

②现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少？

③在②的条件下，从这6人中随机抽取2人参加“我是销售家”的彩排活动，求恰有1人的年龄在第3组的概率．

解析：①由频率分布直方图可知年龄在[35,40)的频率为0.08×5＝0.4，又其人数为100，所以100n＝0.4，解得n＝250.

所以x＝0.02×5×250＝25.

②因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，则第1组抽取的人数为6×25150＝1，第2组抽取的人数为6×25150＝1，第3组抽取的人数为6×100150＝4，所以年龄在第1,2,3组中分别抽取的人数为1,1,4.

③由②可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从这6人中抽取2人的所有情况为

{A，B}，{A，C1}，{A，C2}，{A，C3}，{A，C4}，{B，C1}，{B，C2}，{B，C3}，{B，C4}，{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C3，C4}，共有15种情况．

其中恰有1人的年龄在第3组的所有情况为

{A，C1}，{A，C2}，{A，C3}，{A，C4}，{B，C1}，{B，C2}，{B，C3}，{B，C4}，共有8种情况．

所以恰有1人的年龄在第3组的概率为815.

[类题通法]

1．用样本估计总体充分体现了数形结合思想的运用，主要考查利用茎叶图或频率分布直方图来估计总体．

2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

[演练冲关]

空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数．空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)为( )

A．15 B．18

C．20 D．24

解析：从茎叶图中可以发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，估计该地本月空气质量优良的频率为35，从而估计该地本月空气质量优良的天数为30×35＝18.选B.

答案：B

回归分析

[方法结论]

1．方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数，回归方程的截距和斜率分别为b^＝∑ni＝1xiyi－nx－ y－∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x，(x，y)是样本中心点，回归直线过样本中心点．

2．(1)正相关与负相关就看回归直线的斜率，斜率为正则为正相关，斜率为负则为负相关．

(2)样本相关系数r具有以下性质：r>0表示两个变量正相关，r<0表示两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，线性相关程度越强，|r|越接近于0，线性相关程度越弱．

[典例]某家具厂对每日的原材料费支出与销售额之间的关系进行分析研究，12月1日～5日的原材料费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下数据：

日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日