高中数学必修二《第十章 概率》同步练习及答案

第十章概率一、单选题1．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为4 9 ,故选：C.2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【答案】B【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．3．根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（）A．460B．480C．不少于480D．不多于480【答案】C【解析】根据题意,知该校近视的学生人数约为40%1200480⨯=,结合实际情况,眼镜商应准备眼镜不少于480副.故选:C4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【答案】B【解析】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p==故选：B5．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）A．13B．310C．25D．34【答案】B【解析】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为(,,)x y z,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为3 10,故选：B.6．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A．116B．316C．14D．1316【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，所以灯泡亮的概率为31311616-=，故选D．7．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶【答案】D【解析】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶” 均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶” 均包含中靶两次的情况.故C 错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D8．如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A ,B ,C ,D ,E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结错误的是( )A ．A ,B 两个盒子串联后畅通的概率为13 B ．D ,E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率为56 D ．当开关合上时,整个电路畅通的概率为2936【答案】B 【解析】由题意知,1()2P A =,1()3P B =,1()4P C =,1()5P D =,1()6P E =,所以A ,B 两个盒子畅通的概率为121233⨯=,因此A 正确;D ,E 两个盒子并联后畅通的概率为1112911563030-⨯=--=,因此B 错误;A ,B ,C 三个盘子混联后畅通的概率为2115113466-⨯=-=,C 正确;根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为2952930636⨯=,D 正确. 故选：B二、多选题9．下列命题是假命题的是( )A ．对立事件一定是互斥事件B ．若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)C ．若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；D ．若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．【答案】BCD【解析】由题意A 中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；B 中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；C 也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D 也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.10．下列各对事件中,M ,N 是相互独立事件的有( )A ．掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M = “出现的点数为奇数”,事件N = “出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M = “第1次摸到红球”,事件N =“第2次模到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币,事件M = “第1枚为正面”,事件N = “两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次,事件M = “第一次为正面”,事件N = “第二次为反面”【答案】CD【解析】在A 中, ()0P MN =，所以,M N 不相互独立;在B 中,M ,N 可能同时发生，不是相互独立事件;在C 中,1()2P M =,1()2P N =,1()4P MN =,()()()P MN P M P N =,因此M ,N 是相互独立事件;在D 中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M ,N 是相互独立事件.故选：CD11．某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.根据表中数据,下列结论正确的是( )A．顾客购买乙商品的概率最大B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3【答案】BCD【解析】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;对于B, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=,故B正确;对于C,从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,∴顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=,故C正确;对于D,从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,∴顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2<,故D正确.故选:BCD.12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误；同理，C 错误； 1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．三、填空题13．玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平【解析】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38，所以不公平；故答案为不公平14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A B+发生的概率为________（B表示B的对立事件）．【答案】2 3【解析】由题意，可知抛掷一颗骰子，基本事件的个数共有6个，则事件A表示“不大于4的偶数点出现”的概率为21 ()63P A==，事件B表示“小于5的点数出现”的概率为42()63P B==，则1()3P B=，∵A与B互斥，∴112()()333 ()P A B P A P B+=+=+=．15．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.16．某地移动分公司为打破“流量月清零”的做法，推出流量“季度包”“半年包”“一年以上”三种业务.甲乙丙分别随机选择其中一种流量业务，则至少有一人选择“半年包”业务的概率是__________. 【答案】1927【解析】记“季度包”“半年包”“一年以上”分别为1,2,3，甲、乙、丙分别随机选择其中一种流量业务，用实数对表示如下（数字顺序对应甲、乙、丙所选的业务流量）：{1,1,1},{1,1,2},{1,1,3},{1,2,1},{1,2,2},{1,2,3},{1,3,1},{1,3,2},{1,3,3}，{2,1,1},{2,1,2},{2,1,3},{2,2,1},{2,2,2},{2,2,3},{2,3,1},{2,3,2},{2,3,3}，{3,1,1},{3,1,2},{3,1,3},{3,2,1},{3,2,2},{3,2,3},{3,3,1},{3,3,2},{3,3,3}共有27种选择方法，至少有一人选择“半年包”业务有19种选择方法， 所以概率为1927. 故答案为:1927. 四、解答题17．现有7名数理化成绩优秀者,分别用1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,1C ,2C 表示,其中1A ,2A ,3A 的数学成绩优秀,1B ,2B 的物理成绩优秀,1C ,2C 的化学成绩优秀.从中选出数学､物理､化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,求1A 和1B 不全被选中的概率. 【答案】56【解析】 从这7人中选出数学､物理､化学成续优秀者各1名,所有可能的结果组成的基本事件为()111,,A B C ,()112,,A B C ,()121,,A B C ,()122,,A B C ,()211,,A B C ,()212,,A B C ,()221,,A B C ,()222,,A B C ,()311,,A B C ,()312,,A B C ,()321,,A B C ,()322,,A B C ,共12个.设“1A 和1B 不全被选中”为事件N ,则其对立事件N 表示“1A 和1B 全被选中”,由于111112{(,,),(,,)}A B C A B N C =,所以21()126P N ==,由对立事件的概率计算公式得15()1()166P N P N =-=-=. 18．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（Ⅰ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； 【答案】（Ⅰ） 16；（Ⅰ） 12【解析】（Ⅰ）设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题” ． 由已知15()6P A =，24()5P A =，33()4P A =，41()3P A =． （Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则1235431()()(1)6546P B P A A A ==⨯⨯-= （Ⅰ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则1121231515431()()(1)6656542P C P A A A A A A =++=+⨯+⨯⨯-= 19．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500,1750)，[1750,2000)，[2000,2250),[2250,2500),[2500,2750)，[2750,3000](单位:克)中，其频率分布直方图如图所示，（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在[1500,1750)，[2000,2250)的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个．求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率:（Ⅰ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案:方案一:所有蜜柚均以30元/千克收购；方案二:低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（Ⅰ）110；（Ⅰ）选择方案二. 【解析】（Ⅰ）质量落在[)1500,1750和[)2000,2250中的频率分别是0.1和0.15,分层抽样的方法抽取5个蜜柚，则[)1500,1750中抽取2个，[)2000,2250中抽取3个，2个蜜柚质量均小于2000的概率为110； （Ⅰ）根据题意，方案一收益为: 30(1.625500⨯⨯+1.875500⨯+2.125750⨯+2.3752000⨯+2.6251000⨯+2.875250)343125⨯=(元) 方案二收益为:(500500++ ()750)602000100025080⨯+++⨯ 365000=(元)365000343125>，∴选择方案二.20．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）若以A表示和为6的事件，求()P A；（2）现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）15；（2）B与C不是互斥事件；（3）不公平.【解析】（1）甲、乙出手指都有种可能，因此基本事件的总数为5525⨯=，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)共种情况.∴51 ()255 P A==.（2）B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件，即符合题意.（3）这种游戏规则不公平，由（1）知和为偶数的基本事件数为个.(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平.21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅰ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅰ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅰ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅰ）1 25；（Ⅰ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=，所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）.（Ⅰ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为1 25.（Ⅰ）由（Ⅰ）知支付金额大于2000元的概率为1 25，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.22．近几年S 市加大雾霾治理的投入，空气质量与前几年相比有了很大改善，并于2018年S 市入选中国空气优良城市TOP50.已知该市设有9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量.（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重度污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[)140150,内. ①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI 值在[)170,200的天数的概率.【答案】（1）157；（2）①815；②1021. 【解析】（1）设重度污染区AQI 平均值为x ，119970211543x ⨯=⨯+⨯+，157x ∴=；（2）①AQI 在[)140,170上的有830308900⨯⨯=天，AQI 在[)170,200上的有530305900⨯⨯=天， AQI 在[)200,230上的有230302900⨯⨯=天， 所以11月份AQI 不小于150的共852114++-=天. 即能参加户外活动的概率为14813015P =-=； ②由①AQI 在[)170,200上的5天的编号为a 、b 、c 、d 、e ，AQI 在[)200,230上的2天的编号为m 、n ，从7天中抽取两天的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),a m 、(),a n 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),b m 、(),b n 、(),c d 、(),c e 、(),c m 、(),c n 、(),d e 、(),d m 、(),d n 、(),e m 、(),e n 、(),m n ，共21种情况.满足条件的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，共10种，所以，抽取的这两天中AQI 值在[)170,200的天数的概率为1021.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河北省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 线段AB 上任取一点C ，若 ， 则点C 是线段AB 的“黄金分割点”，以AC ，BC 为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB 上任取一点C ，若以AC ，BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ）A.B.C.D.至少有一个红球与都是红球至少有一个红球与都是白球至少有一个红球与至少有一个白球恰有一个红球与恰有二个红球2. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A. B. C. D.3. 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若， 则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D.0.40.50.60.74. 已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）X 012345P 0.10.1A0.30.20.1则 等于（ ）A. B. C. D. 5. 给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（ ）0123A. B. C. D. 0.9540.9560.9580.9596. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（ ）A. B. C. D. ①②④③①③7. 从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ）A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为 ，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ）A.B.C.D.事件A 与C 互斥任何两个事件均互斥事件B 与C 互斥任何两个事件均不互斥9. 从一批产品中取出三件产品，设A 表示事件“三件产品全不是次品”，B 表示事件“三件产品全是次品”，C 表示事件“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8统计一个班级数学期末考试成绩，平均分数不低于85分与平均分数不高于85分播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒检查某种产品，次品率低于1%与次品率为1%10. 下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）A. B. C. D. 对立事件互斥但不对立事件不可能事件必然事件11. 把黑、红、白各1张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A. B. C. D. 0.70.40.30.212. 已知随机变量 ， 若 ， 则（ ）A. B. C. D. 13. 在一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就及格，某学生会答10道题中的8道题，这位学生口试及格的概率为 ．14. 经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下表：排队人数012345人及5人以上概率t0.30.160.30.10.04(1) t＝；(2) 至少3人排队等候的概率是．15. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则16. 有一批同规格的产品，由甲乙丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙各厂分别生产2500件、3000件、4500件，而且各厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从中任取一件，则取到次品的概率为，如果取得零件是次品，计算它是甲厂生产的概率．17. 在某疫苗Ⅰ期临床研究中，按照研究方案要求，每位志愿者要在一次接种后的第7天、第14天和第30天各完成一次研究访视.每次访视，调查该志愿者是否有不良反应，若有，则记录本次访视有不良反应.若在这三次访视中，有不良反应的访视不超过1次，则该药物得6分，否则得2分.假设三次访视中，每次是否有不良反应相互独立，且每次有不良反应的概率均为 .(1) 求某志愿者在一次接种，后有不良反应的访视次数的分布列和期望；(2) 若参与实验的志愿者有名，在一次接种实验中该药物获得的总分数不低于，即可认为该疫苗通过Ⅱ期实验.现有8名志愿者参与接种实验，则该疫苗通过Ⅱ期实验的概率是多少？18. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．(1) 求第三局结束时乙获胜的概率；(2) 求甲获胜的概率．19. 为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.(1) 甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(2) 若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.20. 2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷文、理科试卷满分均为100分，并对整个高三年级的学生进行了测试，现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图假定每名学生的成绩均不低于50分（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的中位数用分数表示；（Ⅱ）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考后分析会，试求组中至少有1人被抽到的概率．21. “斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．(1) 求甲以3∶1赢得比赛的概率；(2) 设比赛的总局数为，求．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.(1)(2)15.16.(1)(2)(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)。

10.1.4 概率的基本性质课后·训练提升基础巩固1.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察抛掷出骰子的点数,设事件A=“出现偶数点”,事件B=“出现3点”,已知P(A)=12,P(B)=16,出现偶数点或3点的概率为( )A.12B.56C.16D.23答案:D 解析:记事件C=“出现偶数点或3点”,因为事件A 与事件B 互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=12+16=23. 2.围棋盒子中有多粒黑子和白子(除颜色外其余完全相同),已知从中任意取出2粒都是黑子的概率为17,从中任意取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D.1答案:C解析:设事件A=“从中任意取出2粒都是黑子”,事件B=“从中任意取出2粒都是白子”,事件C=“从中任意取出2粒恰好是同一色”,则C=A ∪B,且事件A 与B 互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g 的概率为0.3,质量不小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在区间[4.8,4.85)内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68答案:B解析:利用对立事件的概率公式可得P=1-(0.3+0.32)=0.38.4.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A=“不大于4的偶数点出现”,事件B=“小于5的点出现”,则事件A∪B发生的概率为(B表示B的对立事件).答案:23解析:由题意可知,事件A与B是互斥的,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=23.5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.(1)如果B⊆A,那么P(A∪B)= ,P(AB)= ;(2)如果A,B互斥,那么P(A∪B)= ,P(AB)= .答案:(1)0.4 0.2 (2)0.6 0解析:(1)因为B⊆A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.(2)因为A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6,P(AB)=P(⌀)=0.6.一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若某人从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为;若从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为.答案:0.6 0.48解析:将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5,从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2 ),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,=0.6.2),(5,3),共12个,所以P(A)=1220从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5 ),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),( 5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共包含25个样本点,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B为“所选的题不是同一种题型”,故所选题不是同一种题型的样本点共12个,所以P(B)=12=0.48.257.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示:血型 A B AB O该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35已知同种血型的人可以相互输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何血型的人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若他因病需要输血,问:(1)任找一人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一人,其血不能输给小明的概率是多少?解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是两两互斥的.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.由于B,O型血的人可以输给B型血的人,故“任找一人,其血可以输给小明”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一人,其血不能输给小明”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.能力提升1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,20)和[25,30)内的为二等品,在区间[10,15)内和区间[30,35]上的为三等品.现从该批产品抽检的样本中随机抽取一件,则其为二等品的概率为( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45答案:D解析:由题意可知,除去一等品和三等品就是二等品,故可用对立事件的概率公式求解.由题图可知抽得一等品的概率为0.06×5=0.3,抽得三等品的概率为(0.02+0.03)×5=0.25,故抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.2.(多选题)小明与小华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( )A.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则小明获胜,向上的点数为偶数则小华获胜B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则小明获胜,两枚都正面向上则小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一小,扑克牌是红色的则小明获胜,扑克牌是黑色的则小华获胜D.小明、小华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则小明获胜,否则小华获胜答案:ACD解析:选项A 中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A 符合题意;选项B 中,小明获胜的概率是12,而小华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B 不符合题意;选项C 中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C 符合题意;选项D 中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D 符合题意.3.若随机事件A,B 互斥,A,B 发生的概率均不为0,且P(A)=2-m,P(B)=4m-5,则实数m 的取值范围是( )A.(54,2) B.(54,32) C.[54,32] D.(54,43] 答案:D解析:由概率的性质得{0<P (A )<1,0<P (B )<1,0<P (A )+P (B )≤1,即{0<2-m <1,0<4m -5<1,0<3m -3≤1,解不等式组得54<m≤43. 4.在30瓶饮料中,有3瓶已过保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,已知所取的2瓶全在保质期内的概率为351435,则至少取到1瓶已过保质期的概率为 .答案:28145解析:事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“取到的2瓶饮料全在保质期内”是对立事件,根据对立事件的概率公式得至少取到1瓶已过保质期的概率P=1-351435=84435=28145.5.设集合P={x,1},Q={y,1,2},P⊆Q,x,y∈{1,2,3,…,9}.在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个,其落,则r2的一个可能整数值是(写出一在圆x2+y2=r2内的概率恰为27个即可).答案:30(或31或32)解析:满足条件的点有(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,3),(4,4),(5,5),(6, 6),(7,7),(8,8),(9,9),共14个.欲使其落在x2+y2=r2内的概率为2,则这714个点中有4个点在圆内,所以只需29<r2≤32.6.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C,且B 与C 互斥.从7人中随机抽取3人共有35种可能的结果,其中n(B)=18,n(C)=12,则P(B)=1835,P(C)=1235.故P(A)=P(B ∪C)=P(B)+P(C)=67.所以事件A 发生的概率为67.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为 ， ， 则至少有一人命中目标的概率（ ）A.B.C.D.2. 从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得的概率是( )A.B.C.D.第一次出现的点数 第二次出现的点数两次出现点数之和两次出现相同点的种数3. 将一颗均匀骰子掷两次，随机变量为（ ）A. B. C. D. 甲48枚，乙48枚甲64枚，乙32枚甲72枚，乙24枚甲80枚，乙16枚4. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A. B. C. D. 5. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为 ；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为 ，他第2球投进的概率为（ ）A. B. C. D.6. 若 ，其中 ，则 等于（ ）A. B. C. D.互斥互为对立相互独立相等7. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则 与 的关系是（ ）A. B. C. D. 8. 甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）A.B.C.D.01239. 设 ， ， 是一个随机试验中的三个事件，且，， ， 给出下列结论：①若与互斥，则；②若与独立，则；③若 ， ， 两两独立，则；④若， 则 ， ， 两两独立．则其中正确结论的个数为（ ）A. B. C. D. ， 10. 在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”，在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A. B.C. D.0.6040.6980.1510.30211. 在利用随机模拟方法估计函数y=x 2的图象、直线x=﹣1，x=1以及x 轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为（ ）A. B. C. D. 12. 甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、 ， 则有人能够解决这个问题的概率为A.B.C.D.13. 安排 ， ， ， ， 五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则 ， 被安排在不同的福利院的概率为 ．14. 已知事件 互相对立，且 ，则 ＝ ．15. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为．16. 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若腰每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为（填A、B或C）17. 甲､乙､丙三名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，丙投篮命中的概率为，每人只投篮一次.(1) 求三人都投篮命中的概率；(2) 求三人中有人投篮命中的概率；(3) 求三人中恰有两人投篮命中的概率.18. 经国务院批准，自1998年起，每年9月第三周为全国推广普通话宣传周（以下简称推普周）.今年9月12日至18日为第25届推普周，并以“推广普通话，喜迎二十大”为主题. 为了更好做好此次活动，某高校组织了推普周知识竞赛，其中有一环节要回答难度相当的三道题，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位答题者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则该环节通过，否则就一直抽题到第3次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.(1) 写出样本空间；(2) 求李明第二次答题通过该环节的概率；(3) 求李明最终通过该环节的概率.19. 袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．(1) 求得分X的分布列；(2) 求得分大于6的概率．20. 已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.(1) 求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；(2) 求该射手的总得分X的分布列和数学期望.21. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.(1) 假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2) 这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）至少有1个黑球与都是红球至少有1个黑球与都是黑球至少有1个黑球与至少有1个红球恰有1个黑球与恰有2个黑球1. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）A. B. C. D. 2. 已知直角梯形 中， ， ， ， ， ，点 在梯形内，那么为钝角的概率为（ ）A. B. C. D.0.350.650.10.63. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ）A. B. C. D. 至少有两次中靶 三次都中靶只有一次中靶三次都不中靶4. 一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（ ）A. B. C.D. 5. 重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 赛， 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手 ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛 队选手获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 队的得分高于 队的得分的概率为（ ）A. B. C. D.6. 某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，不经过B 的概率为（ ）A. B. C. D.0.230.20.160.17. 某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）A. B. C. D. 129868.为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. “恰有1个红球”和“恰有2个白球”“至少有1个红球”和“至少有1个白球”“至多有1个红球”和“至多有1个白球”“至少有1个红球”和“至多有1个白球”9. 袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球.现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（ ）A. B. C. D. 0.99940.95060.45360.546410. 如图，用A ，B ，C ，D 四类不同的元件连接成系统（A ，B ，C ，D 是否正常工作是相互独立的），当元件A ，B 至少有一个正常工作，且C ，D 至少有一个正常的工作时，系统正常工作．已知元件A ，B ，C ，D 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，0.70，则系统正常工作的概率为（ ）A. B. C. D. ①②①③②③②④11. 甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（ ）①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多；②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少；③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多；④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多．A. B. C. D. 12. 某道路的A ，B ，C3处设有交通灯，这3盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，3处都不停车的概率是（ ）A. B. C. D.13. 甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为．14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。

《第十章概率》同步练习10.1随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件基础巩固训练一、选择题1．下列事件中，随机事件的个数为( )①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．不能确定答案 A解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A.3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点答案 B解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B.4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )A．5 B．6C．3或4 D．5或6答案 C解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B.二、填空题6．“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件．答案随机解析当a>1时，y＝a x在(－∞，1 ]上是增函数．当0<a<1时，y＝a x在(－∞，1]上是减函数，故事件随a值变化会有不同结果，为随机事件．7．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为________．答案19解析一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个．其中方程有关根的充要条件为b2≥4ac，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个样本点．8．同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________．答案8,3解析由题意，样本点的总个数为23＝8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个．三、解答题9．已知集合M＝{－1,0,1,2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标．(1)写出试验的样本空间；(2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数．解(1)样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}．(2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，则A包含的样本点有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(2,0)，共7个．能力提升训练做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出事件A：“第1次取出的数字是2”的集合表示；(4)说出事件B＝{(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义．解(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的样本点的总数是6.(3)A＝{(2,0)，(2,1)}．(4)事件B表示“第1次取出的数字是0”．10.1.2 事件的关系和运算基础巩固训练一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B 正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则A－等于( )A．{至多有2件次品} B．{至多有两件正品}C．{至少有两件正品} D．{至多有一件次品}答案 D解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D.3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( ) A．至多有一次为正面B．两次均为正面C．只有一次为正面D．两次均为反面答案 D解析对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④C．③D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( )A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球答案 B解析A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C，D中的两个事件互斥且对立．二、填空题6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪B－表示________．答案出现的点数为2,4,5,6解析因为B－表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A ∪B－表示“出现的点数为2,4,5,6”．7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________．答案A∩B∩C－解析∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩C－＝{2,4}．8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”，其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．答案②④解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④.三、解答题9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；(5)只有甲破译；(6)密码未被破译．解用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则(1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C＋A－∩B－∩C－；(4)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C；(5)A∩B－∩C－；(6)A－∩B－∩C－.能力提升训练判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生．(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件．10.1.3 古典概型基础巩固训练一、选择题1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A.2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.18答案 C解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32个子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为832＝14.3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )A.110B.18C.14D.12答案 C解析设两款优惠套餐分别为A，B，列举样本点如图所示．由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共2个样本点，故所求概率为P＝28＝14.4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.516答案 B解析两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58.5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调查．已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( ) A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 D解析记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10种结果发生的可能性是相等的．记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A所包含的样本点有(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共7个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝710＝0.7，故选D.二、填空题6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为________．答案1 9解析同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为436＝19.7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．答案1 5解析抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种情况，这15种情况发生的可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足b>a，故所求概率为315＝15.8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．答案1 2解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.三、解答题9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．解(1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．(2)不正确，理由如下：由(1)，知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等的．其中摸出的2个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23，故不中奖的概率比较大．能力提升训练小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解(1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(B)＝1225＝0.48.10.1.4 概率的基本性质基础巩固训练一、选择题1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为( )A.56B.34C.23D.13答案 C解析乙队不输的概率为1－13＝23.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案 C解析设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C.3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )A．0.3 B．0.6C．0.7 D．0.9答案 C解析∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C.4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案 B解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－(B－表示事件B的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析由题意，知B－表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B－互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B－)＝P(A)＋P(B－)＝26＋26＝46＝23.二、填空题6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案120解析设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－9 20＝1120.再由题意，知1120n－920n＝12，解得n＝120.7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．其中错误命题的个数是________．答案 3解析由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确．8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知1P1，1 P2是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋14＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．答案1223解析由P1满足方程x2－x＋14＝0知，P2 1－P1＋14＝0，解得P1＝12；因为1P1，1P2是方程x2－5x＋6＝0的根，所以1P1·1P2＝6，解得P2＝13.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶的概率为1－13＝23.三、解答题9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝3 16，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.能力提升训练某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)＝13，P(C＋D)＝512.又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－13－512＝14.所以甲的停车费为6元的概率为1 4 .(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．所以所求概率为316.10.2 事件的相互独立性基础巩固训练一、选择题1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则P(A B－)＝( )A.112B.16C.14D.12答案 A解析∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝14，P(B)＝23，则A与B－也是相互独立事件，∴P(A B－)＝P(A)·P(B－)＝14×13＝112.故选A.2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( )A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生答案 C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.42答案 D解析 P ＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )A.14B.19C.13D.127 答案 D解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为13，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为13×13×13＝127.5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12 答案 A解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.二、填空题6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．答案49512解析 由已知每次打开家门的概率为18，则该人第三次打开家门的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18×18＝49512.7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为12，乙同学解出它的概率为13，丙同学解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概率为________．答案1124解析 只有一人解出的概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．答案 35解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 三、解答题9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C)＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×710＝83125.能力提升训练某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率为P 0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512. 综合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．10.3 频率与概率 基础巩固训练一、选择题1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A 表示正面朝上这一事件，则事件A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近0.6答案 B解析 事件A ＝{正面朝上}的概率为12，因为试验次数较少，所以事件A 的频率为35，与概率值相差太大，并不接近．故选B.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为( )A.199 B.1100 C.99100 D.12答案 D解析 ∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P ＝12.3．袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任取一个球，取后放回，再取，直到取出“骄”字为止，用随机模拟的方法，估计第二次就停止的概率．且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“东”“方”“骄”“子”这四个字，每两个随机数为1组代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：23 14 12 31 3341 44 22 31 4312 13 24 42 3223 11 43 31 24则第二次停止的概率是( )A.14B.15C.13D.16答案 A解析由20组随机数，知直到第二次停止的有：23,43,13,23,43，共5组，故所求概率为P＝14.故选A.4．通过模拟实验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 77404422 7884 2604 3346 09526807 9706 5774 5725 65765929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数，在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )A.14B.13C.15D.16答案 A解析表示恰有三次击中目标的有：3013,2604,5725,6576,6754，共5组，随机数总共20组，故四次射击恰有三次击中目标的概率约为520＝14.5．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在(10,40]上的频率为( )A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64答案 C解析(10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分．所以数据在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，由f n(A)＝nAn可得频率为0.52.故选C.二、填空题6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的频率是________．答案0.9 0.3解析打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为910＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是310＝0.3.7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．答案500解析设进行了n次试验，则有10n＝0.02，解得n＝500，故共进行了500次试验．8．样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．答案64 0.4解析样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率，知所求概率约为0.4.三、解答题9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．解(1)事件A的频率f(A)＝17＋26100＝0.43.(2)事件B的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C的频率f(C)＝2＋2100＝0.04.。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况？( )A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2.把两个骰子掷一次，得到11点的概率是( )A．136B．118C．19D．163.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率．先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 03474373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 60113661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.85B．0.82C．0.80D．0.755.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0∼9中任选一个，当某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( )A．25B．310C．15D．1106. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是 ( ) A ． 25B ． 715C ． 1130D ． 167. 在某微信群的“微信抢红包”活动中，某次所发的红包总金额为 10 元，被随机分配为 2.13 元，3.44 元，1.83 元，2.60 元，现有甲、乙等 4 人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和大于 5 元的概率为 ( ) A ． 23B ． 12C ． 13D ． 148. 甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为 1，2，3，4，5，6 点），所得点数分别记为 x ，y ，则 x <y 的概率为 ( ) A ． 13B ． 12C ．512D ．7129. 整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现 220 和 284 具有如下性质：220 的所有真因数之和恰好等于 284，同时 284 的所有真因数之和也等于 220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮．已知 220 和 284，1184 和 1210，2924 和 2620 是 3 对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组 2 个数，另一组 4 个数，则 220 和 284 在同一组的概率为 ( ) A ．115B ． 25C ．715D ． 1510. 某社区开展“建军 90 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲，乙两人能荣获一等奖的概率分别为 35，23，两人能否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 ( ) A ． 35B ． 215C ． 1315D ． 815二、填空题（共6题）11. 一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了 20000 部汽车，时间从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 600 部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为 ．12. 正八边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8 的中心为 O ，从向量 OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i =1,2,⋯,8）中任取两个不同向量OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （m,n ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，m ≠n ），则使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 的概率等于 ．13. 将一枚硬币连掷三次，出现“2 个正面，1 个反面”的概率是 ，出现“1 个正面、 2 个反面”的概率是 ．14. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为 b ，且 a,b ∈{n∣ 0≤n ≤9,n ∈N ∗}，若 ∣a −b ∣≤1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．15. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算），有甲、乙两人各自单独来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是 12，14，两人租车时间都不会超过四小时，且是否还车互不影响则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 ．16. 某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用 0，1，2，3，⋯，9 这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是 3 的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 ．（结果用数值作答）三、解答题（共6题）17. 某初级中学七、八、九三个年级共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：七年级八年级九年级女生(人数)373x y 男生(人数)377370z已知在三个年级的学生中随机抽取 1 名，抽到八年级女生的概率是 0.19． (1) 求 x 的值；(2) 现用分层抽样的方法在三个年级中抽取 48 名学生，应从九年级抽取多少名？18. 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球编号，分别为 1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸岀一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1) 求甲赢且编号的和为 6 的事件发生的概率； (2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.为节能环保，推进新能源汽车的推广和应用，对购买纯电动汽车的用户进行财政补贴，财政补贴由地方财政补贴和国家财政补贴两部分组成．某地补贴政策如下（R表示纯电续航里程）：续航里程/km地方补贴(万元/辆)国家补贴(万元/辆)R<150不补贴不补贴150≤R<2000.75 1.75有A，B，C三个纯电动汽车4S店分200≤R<300 1.2 2.3300≤R<400 1.7 3.3400≤R 2.55别销售不同品牌的纯电动汽车，在一个月内它们的销售情况如下：（每位客户只能购买一辆纯电动汽车）(1) 从上述购买纯电动汽车的客户中随机选一人，求此人购买的是B店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元的概率；(2) 从上述B，C两个纯电动汽车4S店的客户中各随机选一人，求恰有一人享受5万元财政补贴的概率．20.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1) 取出1球是红球或黑球的概率；(2) 取出1球是红球或黑球或白球的概率．21.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．22.在100件产品中，有5件不合格品，现从中任意抽取3件，求：(1) 至少有2件不合格的概率．(2) 至多有1件不合格的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．【知识点】频率与概率2. 【答案】B【知识点】古典概型3. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【解析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1−520=0.75，故选D．【知识点】频率与概率5. 【答案】C【解析】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0∼9中任选一个，当某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p=110+910×19=15．【知识点】古典概型6. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算7. 【答案】B【解析】记甲、乙两人抢到的金额分别为a，b，甲、乙两人抢到的金额用有序实数对(a,b)表示，则(a,b)的情况有(2.13,3.44)，(2.13,1.83)，(2.13,2.60)，(3.44,1.83)，(3.44,2.60)，(1.83,2.60)，(3.44,2.13)，(1.83,2.13)，(2.60,2.13)，(1.83,3.44)，(2.60,3.44)，(2.60,1.83)，共12种，符合条件的情况有(2.13,3.44)，(3.44,1.83)，(3.44,2.60)，(3.44,2.13)，(1.83,3.44)，(2.60,3.44)，共6种，故甲、乙两人抢到的金额之和大于5元的概率为12．【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】由于甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为 1，2，3，4，5，6 点），那么得到点数为 36 种，即 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,3)(2,2)⋯⋯(6,6)，那么满足题意 x <y 的情况有 5+4+3+2+1=15， 那么可知满足题意的基本事件数有 15， 利用古典概型概率得到为 15:35=5:12． 【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】已知 220 和 284，1184 和 1210，2924 和 2620 是 3 对“亲和数”， 把这六个数随机分成两组，一组 2 个数，另一组 4 个数，基本事件总数 n =C 62，220 和 284 在同一组包含的基本事件个数 m =C 22+C 42，由题意 220 和 284 在同一组的概率 P =C 22+C 42C 62=715．故选：C ．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】由题意可知，甲，乙两人都不能获得一等奖的概率为 (1−35)×(1−23)=215，因此这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 1−215=1315．故选C ．【知识点】独立事件积的概率、事件的关系与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03． 【知识点】频率与概率12. 【答案】 27【解析】由题，可分两步选取 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，第一步先选取 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时 8 个向量 OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i =1,2,⋯,8）被选取的概率相同，故任意选一个向量后再选一个向量使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 的概率即为“任取两个不同向量 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （m,n ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，m ≠n ），则使得 OA m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0”的概率．不妨设第一次选取的向量为 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则剩下的 7 个向量中仅有 OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA 7⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足． 故概率为 27．【知识点】古典概型13. 【答案】 38； 38【知识点】古典概型14. 【答案】 725【解析】试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个共有 10×10 种不同的结果，则 ∣a −b ∣≤1 的情况有 0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8 共 28 种情况，甲乙出现的结果共有 10×10=100，所以他们”心有灵犀”的概率为 P =28100=725． 【知识点】古典概型15. 【答案】 516【解析】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A ，则 P (A )=14×12+12×14+14×14=516．所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 516．【知识点】事件的相互独立性16. 【答案】 127【解析】三位数首位不为零，所以总的情况为 9×9×8，奇数有 1，3，5，7，9，其中三者之和为 3 的倍数的组合有 1，3，5；1，5，9；3，5，7；5，7，9 四种，即符合条件的情况有 4×P 33，所以概率为 4×P 339×9×8=127．【知识点】古典概型三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 x2000=0.19，所以 x =380．(2) 九年级学生人数为 y +z =2000−(373+377+380+370)=500 (名)， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，则应从九年级抽取 5002000×48=12 (名)．【知识点】分层抽样、频率与概率18. 【答案】(1) 设“甲胜且编号的和为 6”为事件 A ，甲编号为 x ，乙编号为 y ，(x,y ) 表示一个基本事件，则两人摸球结果的样本空间 Ω={(1,2),(1,3),⋯,(1,5),(2,1),(2,2),⋯,(5,4),(5,5)}， 共 25 个样本点，A ={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}， 共 5 个样本点， 所以 P (A )=525=15，所以甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率为 15． (2) 这种游戏不公平．设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，记D为“两个编号的和为偶数”．D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}，共包含13个样本点，所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=1325，乙胜的概率为P(C)=1−1325=1225，因为P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 由题意可知，从A，B，C三个纯电动汽车4S店购买纯电动汽车的客户共70人，购买型号Ⅰ，型号Ⅰ，型号Ⅰ纯电动汽车享受补贴分别为2.5万元，3.5万元，5万元．从上述购买纯电动汽车的客户中任选一人共70个等可能的结果，此人购买的是B店纯电动汽车且享受补贴不低于3.5万元（购买型号Ⅰ或型号Ⅰ）的结果共16个，所以所求概率为1670=835．(2) 从上述B，C纯电动汽车4S店的客户中各随机选一人共20×20个等可能的结果．其中恰有一人享受5万元财政补贴（即1人购买型号Ⅰ，1人没购买型号Ⅰ）的结果为4×8+16×12，所以所求概率为P=420×820+1620×1220=1425．【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 方法一（利用互斥事件求概率）记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4= {任取1球为绿球}，则P(A1)=512，P(A2)=412=13，P(A3)=212=16，P(A4)=112．根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34．方法二（利用对立事件求概率）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1−P(A3∪A4)=1−P(A3)−P(A4)=1−2 12−112=34．(2) 方法一（利用互斥事件求概率）取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=512+412+212=1112．方法二（利用对立事件求概率） 因为 A 1∪A 2∪A 3 的对立事件为 A 4， 所以 P (A 1∪A 2∪A 3)=1−P (A 4)=1−112=1112．【知识点】事件的关系与运算21. 【答案】设保护区中天鹅的数量为 n ，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A ={捕到带有记号的天鹅}，则 P (A )=200n．从保护区中捕出 150 只天鹅， 其中有 20 只带有记号， 由概率的定义可知 P (A )≈20150．由200n≈20150，解得 n ≈1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1500 只．【知识点】频率与概率22. 【答案】(1) 抽取产品出现的结果为等可能事件，其基本事件为 C 1003，P (A )=C 52⋅C 951+C 53⋅C 95C 1003=950+10161700≈5.937×10−3．(2) P (B )=C 953+C 51⋅C 952C 1003=160740161700=0.994 或 P (B )=1−P (A )≈0.994．【知识点】古典概型。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(8)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）110551. 随机变量的概率分布规律为 ， 则（ ）A. B. C. D. 0.120.160.20.322. 某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）A. B. C. D. 0.250.350.650.753. 某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）A. B. C. D. 至多有一次中靶两次都中靶两次都不中靶只有一次中靶4. 一人在打靶时，连续射击两次，事件“至少中靶一次”的对立事件是A. B. C. D. 0.060.070.0750.085. 设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为， 现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）A. B. C. D. B 与C 互斥A 与C 互斥任何两个均互斥任何两个均不互斥6. 从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品”，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.7. 2020年6月23日，我国第55颗北斗导航卫星发射成功.为提升卫星健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良好”、“待提高”三个等级.现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概率分别为 、 、 、 ，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有 人获得“优秀”的概率为（ ）A. B. C. D.无法确定8. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A. B. C. D. 9. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和P ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，则 （ ）A. B. C. D.10. 某同学在阅览室陈列的5本科技杂志和6本文娱杂志中任选一本阅读，他选中科技杂志的概率是（ ）A. B. C. D.任何事件的概率总是在（0，1）之间频率是客观存在的，与试验次数无关随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率概率是随机的，在试验前不能确定11. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上边长为a ，b 的长方形面积为a 从100个零件中取出2个，2个都是次品平时的百分制考试中，小强的考试成绩为105分12. 下列事件为随机事件的是( )A. B. C. D. 13. 某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 ．14. 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。

高中数学必修二第十章概率真题单选题1、抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．A ∪B B ．A ∩B C ．A ⊆B D ．A =B 答案：B解析：根据事件A 和事件B ，计算A ∪B ，A ∩B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 由题意可得：A ={1,2}，B ={3,4}， ∴A ∪B ={1,2,3,4}，A ∩B ={2}. 故选B.小提示：本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.2、从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（ ）． A ．13B ．12C ．14D ．23答案：B分析：一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数n 和有利事件数m ，代入古典概型的概率计算公式P =mn ，即可得解.解：从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为12.故选：B.3、下列叙述正确的是（ ）A ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1C ．频率是稳定的，概率是随机的D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小答案：B分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解. 解：对于A ，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A 错误； 对于B ，事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，即B 正确； 对于C ，概率是稳定的，频率是随机的，即C 错误；对于D ，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15，即D 错误， 即叙述正确的是选项B ， 故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.4、已知样本空间为Ω，x 为一个基本事件.对于任意事件A ，定义f (A )={0,x ∉A 1,x ∈A，给出下列结论：①f(Ω)=1,f(∅)=0；②对任意事件A ，0≤f(A)≤1；③如果A ∩B =∅，那么f(A ∪B)=f(A)+f(B)；④f(A)+f(A )=1.其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：D分析：根据f (A )的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.∵任意x ∈Ω恒成立，任意x ∈∅恒不成立，∴f(Ω)=1,f(∅)=0，故①正确； 对任意事件A ，f (A )={0,x ∉A 1,x ∈A，∴f (A )∈{0,1}，∴0≤f(A)≤1成立，故②正确；如果A ∩B =∅，当x ∈A ∪B 时，f (A ∪B )=1，此时x ∈A 或x ∈B .若x ∈A ，则x ∉B ,f (A )=1,f (B )=0，f (A )+f (B )=1，f(A ∪B)=f(A)+f(B)成立；x ∈B 时，x ∉A ，f (A )=0,f (B )=1，f (A )+f (B )=1，f(A ∪B)=f(A)+f(B)成立；当x ∉A ∪B 时，x ∉A ，x ∉B ，∴f (A ∪B )=0,f (A )=0,f (B )=0，那么f(A ∪B)=f(A)+f(B)成立，∴③正确；当x ∈A 时，x ∉A ,此时f (A )=1,f (A )=0, f(A)+f(A )=1成立；当x ∉A 时，x ∈A ,此时f (A )=0,f (A )=1, f(A)+f(A )=1成立，故④正确.综上，正确的结论有4个， 故选：D5、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．15答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25．故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 6、一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45 答案：C分析：写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解. 5人小组中，设2男生分别为a ,b ，3名女生分别为A,B,C ，则任意选出2名同学，共有:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)10个基本事件， 其中选出的同学中既有男生又有女生共有(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)6个基本事件， 所以P =610=35,故选：C7、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（ ）A．0.0324B．0.0434C．0.0528D．0.0562答案：B解析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，∴第4次恰好取完所有红球的概率为：2 10×(910)2×110+810×210×910×110+(810)2×210×110=0.0434，故选：B8、某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案：D分析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p甲则p甲=12[(1−p2)p1p3+p2p1(1−p3)]+12[(1−p3)p1p2+p3p1(1−p2)]=p1(p2+p3)−2p1p2p3；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则p乙=(1−p1)p2p3+p1p2(1−p3)=p2(p1+p3)−2p1p2p3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则p丙=(1−p1)p3p2+p1p3(1−p2)=p3(p1+p2)−2p1p2p3则p甲−p乙=p1(p2+p3)−2p1p2p3−[p2(p1+p3)−2p1p2p3]=(p1−p2)p3<0p乙−p丙=p2(p1+p3)−2p1p2p3−[p3(p1+p2)−2p1p2p3]=(p2−p3)p1<0即p甲<p乙，p乙<p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D多选题9、已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为89的是（）A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球答案：ACD分析：把所有情况列举出来，找到符合要求的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为327=19，不为89；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为89；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为627=29，不为89；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为827，不为89.故选：ACD10、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.11、已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（）A．甲参赛的概率大B．乙参赛的概率大C．这种选取规则公平D．这种选取规则不公平答案：BD分析：列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以P(A)=3.10记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以P(B)=7.10因为P(A)<P(B)，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选：BD.填空题12、A，B，C表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.答案：0.994解析：根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解.某段时间内三个开关全部坏掉的概率为(1−0.9)×(1−0.8)×(1−0.7)=0.006，所以系统正常工作的概率为1−0.006=0.994，所以此系统的可靠性为0.994.所以答案是：0.994.小提示：本题主要考查对立事件和独立事件的概率求解，正面考虑情况较多时，一般考虑对立事件来转化，侧重考查数学运算的核心素养.13、由1， 2， 3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则ab >13的概率为______．答案：16672000解析：根据题意，A={x∈N∗|1≤x≤1000}，且a,b∈A，要使得ab >13，即：a>13b，分类讨论当a=1,2,3⋯时，对应的b的值，得出所有取法，即可求出ab >13的概率.解：由题可知，A={x∈N∗|1≤x≤1000}，且a,b∈A，要使得ab >13，即：a>13b，则有：当a=1时，b=1或2，有2种取法；当a=2时，b的取值增加3、4、5，有2+3种取法；当a=3时，b的取值增加6、7、8，有2+2×3种取法；⋯⋯当a=333时，b有2+332×3种取法；当334≤a≤1000时，b都有1000种取法.故P(ab >13)=2+(2+3)+(2+2×3)+⋯+(2+332×3)+667×100010002=333×(2+166×3)+667×100010002=16672000.所以答案是：16672000.小提示：本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.14、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程2x−b=0的解的概率为_______.答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b),其中，a,b∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b)共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a是方程2x−b=0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112.所以答案是：112解答题15、从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(2)求至多遇到5个红灯的概率．答案：(1)a=0.2(2)0.97分析：（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出a的值；（2）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.（1）由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.（2）设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D̅，则P(D̅)=1−P(D)=1−0.03=0.97.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河北省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上， 则这个人站起来； 若硬币正面朝下， 则这个人继续坐着. 那么， 没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A.B.C.D.2. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．每局比赛甲队获胜的概率是 ，没有平局．假设各局比赛结果互相独立．甲队以3:2胜利的概率是（ ）A.B.C.D.以上都不对3.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）A. B. C. D. 至多有一次中靶两次都中靶两次都不中靶只有一次中靶4. 一人在打靶时，连续射击两次，事件“至少中靶一次”的对立事件是A. B. C. D. m>nm=nm<n不能确定5. 一批工具共100个，其中有95个合格品，5个次品，每次任取1个，用后放回.若第1次取到合格品的概率是m ，第2次取到合格品的概率是n ，则（ ）A. B. C. D.6. 在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为（ ）A.B.C.D.0.650.350.30.0057. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P （A ）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（ ）A.B.C.D.0.970.630.340.039. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.7．若两人同时独立射击，则他们只有一人中靶的概率是（ ）A. B. C. D. 至少有一个黑球与都是黑球至少有一个黑球与都是红球至少有一个黑球与至少有1个红球恰有1个黑球与恰有2个黑球10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. B. C. D. 0.650.350.30.00511. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P （A ）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山西省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A. B. C. D.， ， ， ，2.某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a ，高一（6）班被抽到的可能性为b ，则（ ）A. B. C. D. 0.090.420.510.63. 甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（）A. B. C. D. 与 是互斥而非对立事件 与 是对立事件与 是互斥而非对立事件 与 是对立事件4. 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件 表示向上的一面出现奇数点，事件 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）A. B. C. D. 5. 我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示A. B. C. D.6. 随机变量ξ的概率分布规律为P(X ＝n)＝ (n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则 的值为（ ）A. B. C. D.7. 一个盒中装有大小相同的1个黑球与2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有1次取到黑球的概率为（ ）A. B. C. D.23458. 若随机变量的分布列如下表，且＝X02aP p A. B. C. D. 0.550.60.70.759. 10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为， 用未校准的枪射击时，中靶的概率为 ， 现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（ ）A. B. C. D. 至少有 个红球，都是红球恰有 个红球，恰有 个白球至少有 个红球，都是白球恰有 个红球，恰有 个白球10. 从装有 个红球和 个白球的袋内任取 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. B. C. D. 11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是（ ）A. B. C. D.12. 甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）A. B. C. D.13. 随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动．某地单位甲有10名志愿者（其中8名男14. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.02，则抽查一件产品是正品的概率为．15. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．16. 甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是，，则2人中恰有1人投进的概率为．17. 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．18. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年.100年栉风沐雨，共青团始终坚定不移跟党走，团结带领共青团员和广大青年前赴后继､勇当先锋，书写了中国青年运动的华章.实践证明，共青团不愧为党和人民事业的生力军和突击队，不愧为党的得力助手和可靠后备军.为庆祝共青团建团100周年，我校举行团史知识竞赛活动，比赛共20道题，答对一题得5分，答错一题扣2分，学生李华参加了这次活动，假设每道题李华能答对的概率都是，且每道题答对与否相互独立.(1) 求李华开始答题后直到第3题才答对的概率：(2) 求李华得分的期望值.19. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.(1) 求甲、乙两人都选择社区医院的概率；(2) 求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；(3) 设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.20. 质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：(I)求出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两个公司各抽取的100颗糖果的质量指标方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；(Ⅱ)用样本情况估计甲乙另个公司的产品情况，估计在甲、乙两个公司的糖果中各随机抽取1颗，恰有一颗的质量指标大于20，且另一颗糖果的质量指标不大于20的概率；(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙公司生产的糖果质量指标值服从正态分布 .其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙公司生产的糖果中随机抽取10颗，其品质指标值位于（14.55， 38.45)的颗数，求的数学期望.21. 一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为 ，取出黑球的概率为 ，取出白球的概率为 ，取出绿球的概率为.求：(1) 取出的1个球是红球或黑球的概率；(2) 取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.13.14.15.16.17.18.(2)19.(1)(2)(3)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山西省高中数学人教A版 必修二第十章概率同步测试(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）0.350.650.2501. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（ ）A. B. C. D. 2. 设 是一个离散型随机变量，其分布列为：-101则q 等于（ ）A. B. C. D.3. 春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是（ ）A. B. C. D.4. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（ ）A. B. C. D.5. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是偶数”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ）A. B. C. D.6. 如图，正方形ABCD 的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，恰有53个点落入阴影图形M 中，则图形M 的面积的估计值为0.470.530.94 1.06（）A. B. C. D. 12347. 下列事件中，随机事件的个数为（ ）①在标准大气压下，水在0℃结冰②方程x 2+2x+5=0有两个不相等的实根③明年长江武汉段的最高水位是29.8m④一个三角形的大边对小角，小边对大角A. B. C. D. 8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A. B. C. D.9. 一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为 ， 且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A. B. C. D.一颗是3点，一颗是1点两颗都是2点两颗都是4点一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点10. 掷两颗骰子，所得点数之和为 ， 那么=4表示的随机试验结果是（ ）A. B. C. D. 11. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为， 之后每局甲赢的概率为 ， 每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（ ）A. B. C. D.12. 设为两个随机事件，给出以下命题：（1）若为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则为相互独立事件；（3）若，，，则为相互独立事件；（4）若，，，则为相互独立事件；（5）1234若， ， ，则 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. B. C. D. 13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(10)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与 ， 且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）A. B. C. D. 2. 如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为 ， 则该系统正常工作的概率为（ ）A.B. C. D.恰有1个白球和全是白球至少有1个白球和全是黑球至少有1个白球和至少有2个白球至少有1个白球和至少有1个黑球3. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知x 是上的一个随机的实数，则使x 满足的概率为（ ）A. B. C. D.2个球不都是红球的概率2个球都是红球的概率5. 从甲口袋摸出一个红球的概率是 ， 从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ， 则是（ ）A. B.至少有一个红球的概率2个球中恰好有1个红球的概率C. D. 6. 某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（ ）A. B. C. D.7. 甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为 ，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ）A. B. C. D.不确定8. 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（ ）A. B. C. D. “至少有1个红球”与“都是黑球”“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”“都是红球”与“都是黑球”9. 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）A. B. C. D. 23101510. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 相互独立事件不相互独立事件互斥事件对立事件11. 一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次模得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与 是（ ）A. B. C. D. A 与C 互斥A 与B 互为对立事件B 与C 互斥 任何两个均互斥12. 从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 阅卷人二、填空题（共4题，共20分）得分13. 为了普及安全教育，某校组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两班代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是，甲队总得分为2分且乙队总得分为3分的概率是 .14. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为.15. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈ （用分数表示）．16. 事件、互相独立，若，，则．17. 某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天､第二天分别生产了1件､2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.(1) 求两天全部通过检查的概率；(2) 若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元､900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？18. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2) 计算甲班的样本方差；(3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.19. 某校要组建篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩一级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，且规定在确认已经入围后则不必再投篮．若投中2次则确定为二级，若投中3次可确定为一级．已知根据以往的技术统计，某班同学王明每次投篮投中的概率是，每次投篮结果互不影响．（1）求王明投篮3次才被确定为二级的概率；（2）现在已知王明已经入围，在此条件下求他实际投篮5次才入围的概率．20. 某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：附：，，.(1) 求图中的值；(2) 估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？(3) 由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）．21. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1) 甲试跳三次，第三次才能成功的概率；(2) 甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3) 甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(17)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， 则当时，随b 的增大而增大若 ， 则当时，随b 的增大而减小若 ， 则当时，有最小值若 ， 则当时，有最大值1. 随机变量ξ的分布列如下表：ξ1a9P bb 其中 ， ， 则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 0.80.750.60.482. 大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是( )A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为 ， ， ，则此密码能译出的概率是（ ）A. B. C. D.0.6480.6254. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.5，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A. B.0.3750.5C. D. “至少一枚硬币正面向上”；“只有一枚硬币正面向上”；“两枚硬币都是正面向上”；“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.5. 先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是 ( )A. B. C. D. 6. 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）A. B. C. D.产生的随机数的大小产生的随机数的个数随机数对应的结果产生随机数的方法7. 用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（ ）A. B. C. D. 8. 已知x 是上的一个随机的实数，则使x 满足的概率为（ ）A. B.C. D. 9. 在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为 ， 乙击中目标的概率为 ， 在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）A. B. C. D.110. 甲乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和 ， 两人同时参加测试，其中有且只有一人通过的概率为（ ）A. B. C. D. 11. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为（ ）A. B. C. D.概率为 频率为概率接近 每抽10台电视机，必有1台次品12. 从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C 表示抽到次品这一事件，则对C 的说法正确的是( )A. B. C. D.13. 高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .14. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜的概率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3∶1取得胜利的概率为．15. 六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其他尚在考试的同学的概率为 .16. 已知A，B是相互独立事件，且，，则 .17. 某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1) 写出这个试验的所有结果；(2) 写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．18. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：(1) 3只全是红球的概率；(2) 3只颜色全相同的概率；(3) 3只颜色不全相同的概率．19. 某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A､B､C､D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立.培训项目A B C D学分5分6分4分8分员工甲通过测试的概率(1) 若员工甲参加A､B､C三项测试，求他本年度考核合格的概率：(2) 员工甲欲从A､B ， C､D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案.20. 2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A ， B两点处进行套圈，已知甲在A ， B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.(1) 若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；(2) 若甲和乙每人在A ， B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；(3) 在（2）的条件下，若，求的取值范围21. 一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II.电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行.设电梯在每一层运行时间为a.现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量.(1) 求：(2) 为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯.求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）12341. 下列事件中，随机事件的个数是（ ）① 如果a>b>0，则 >1；② 某校对高一学生进行体检，每个学生的体重都超过100 kg ；③ 某次考试的及格率是95%；④ 从100个灯泡中，取出5个，这5个灯泡都是次品(这100个灯泡中有95个正品，5个次品).A. B. C. D. 恰好有1枚正面和恰有2枚正面至少有1每正面和恰好有1枚正面至少有2枚正面和恰有1枚正面最多有1枚正面和恰有2枚正面2. 同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A. B. C. D. 0.60.40.20.033. 若A ，B 事件互斥，且有P(A)=0.1，P(B)=0.3，那么P （A ∪B ）=（ ）A. B. C. D. 1个2个3个4个4. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（ ）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A. B. C. D. 20%24%16%4%5. 公务员考试分笔试和面试，笔试的通过率为20%，最后的录取率为4%，已知某人已经通过笔试，则他最后被录取的概率为（ ）A. B. C. D. 6. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A. B. C. D.0.30.320.680.77. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）A. B. C. D. p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A. B. C. D. 9. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件中恰有一个发生的概率是（ ）A. B. C. D.0.1620.180.1680.17410. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3：1取得胜利的概率为（ ）A. B. C. D. 两次都不中靶至多有一次中靶两次都中靶只有一次中靶11. 某人在打靶中，连续射击2次，至多有1次中靶的对立事件是（ ）A. B. C. D. 互斥相互独立对立相等12. 掷两枚质地均匀骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件 “第二枚出现偶数点”则A 与B 的关系为（ ）A. B. C. D. 13. 三行三列的方阵中有9个数 ， 从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是 ．14. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为 .15. 小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为 ， 小陈做出这道题的概率为 ， 小胡做出这道题的概率为 ， 每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为 ．16. 冰壶（Curling）又称掷冰壶，冰上溜石，是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被大家喻为冰上的“国际象棋”，某省冰壶队选拔队员，甲、乙两队员进行冰壶比赛，获胜者加入省队，采用五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场胜者获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，甲在前一局获胜的情况下下一局获胜的概率为0.6，在前一局失败的情况下下一局获胜的概率为0.4，若第一局甲获胜，则最终乙加入省级冰壶队的概率为．17. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1) 求P（X=2）；(2) 求事件“X=4且甲获胜”的概率.18. 甲、乙、丙三人独立的对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为；(1) 求这一技术难题被攻克的概率；(2) 若该技术难题未被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励6万元．奖励规则如下：若只有一人攻克，则此人获得全部奖金6万元；若只有2人攻克，则此二人均分奖金，每人3万元；若三人均攻克，则每人2万元．在这一技术难题被攻克的前提下，设甲拿到的奖金数为 ,求的分布列和数学期望．19. 为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛．甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为，各局胜负相互独立．(1) 求甲获得羽毛球比赛冠军的概率(2) 长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局打3就结束，则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3，则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名．已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X（单位：元）的分布列．20. 2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立.(1) 求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；(2) 记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，求的分布列及小明闯关成功的概率.21. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．Ⅰ求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；Ⅱ求该选手至多进入第三轮考核的概率；Ⅲ该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X的分布列和期望．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.第 11 页 共 11 页。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省高中数学人教A 版 必修二第十章 概率同步测试(14)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）100m 120m 160m200m 1. 某人从甲地去乙地共走了600m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为， 则河宽为（ ）A. B. C. D. 2. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是A. B. C. D.3. 某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是，则甲、乙均被选中的概率是（ ）A. B. C. D. 0.180.210.390.424. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5；且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是（ ）A. B. C. D. 5. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A. B. C. D.6. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和． 假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（）A. B. C. D.正确错误不一定对无法解释7. 某次测验有12道选择题，每道题有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项是正确的．某同学说：“每个选项正确的概率都是 ，我每道题都选A ，则一定有3道题选择结果正确．”这句话（ ）A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有人掷硬币的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则进入下一轮，并且按相同的规则继续进行游戏，规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏.则该游戏终止前，至少玩了六局的的概率为（ ）A. B. C. D.以上都不对9.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）A. B. C. D. 10. 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为（ ）A. B. C. D.“至少有1个红球”与“都是黑球”“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”“都是红球”与“都是黑球”11. 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）A. B. C. D. 0组1组2组3组12. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有（ ）A. B. C. D. 13. 有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为， 若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为．14. 某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；（2）请你估计袋中红球接近个．15. 若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为．16. 甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，甲与乙射击相互独立，则甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是17. 某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为 (假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的).(1) 求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；(2) 求这次会展活动展出的平均天数.(结果精确到0.1)18. 2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速分成六段，，，，，，得到如图的频率分布直方图.(1) 根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；(2) 现从平均车速在区间的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间上的概率；(3) 出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全.假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？19. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.(1) 求第4局甲当裁判的概率；(2) 求前4局中乙恰好当1次裁判概率.20. 排球队的6名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他5人的概率相等，由甲开始传球(1) 求前3次传球中，乙恰有1次接到球的概率；(2) 设第 次传球后球在乙手中的概率为 ，求 ．21. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。

人教A版（2019）必修第二册《第十章概率》2021年真题同步卷一．选择题（共10小题）1．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p（0＜p＜1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A．（1﹣p）n B．1﹣p n C．p n D．1﹣（1﹣p）n2．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛．则甲、乙相遇的概率为（）A．B．C．D．3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.74．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．6．下列说法中正确的是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则7．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）＝0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.158．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张9．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A．B．C．D．10．2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件二．填空题（共5小题）11．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．15．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．三．解答题（共5小题）16．设有关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2＝0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b＝2，求上述方程没有实根的概率．17．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．19．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．20．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．人教A版（2019）必修第二册《第十章概率》2021年真题同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p（0＜p＜1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A．（1﹣p）n B．1﹣p n C．p n D．1﹣（1﹣p）n【解答】解：根据题意，“至少有一位同学通过测试”与“没有人通过通过测试”为对立事件，记“至少有一位同学通过测试”为A．则＝“没有人通过通过测试”，易得P（）＝（1﹣p）n，则P（A）＝1﹣（1﹣p）n，故选：D．2．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛．则甲、乙相遇的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙在同一组：P1＝．甲、乙不在同一组，但相遇的概率：P2＝••＝，∴甲、乙相遇的概率为P＝+＝．故选：D．3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15＝0.4．故选：B．4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P＝+＝．故选：A．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则＝＝．因此P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：D．6．下列说法中正确的是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则【解答】解：在A中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故A错误；在B中，线性回归直线一定过样本中心点，故B错误；在C中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；在D中，设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则由正态分布性质得，故D正确．故选：D．7．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）＝0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态分布N（85，9），∴其图象关于直线x＝85对称，∵P（80＜X≤85）＝0.35，∴P（85＜X≤90）＝P（80＜X≤85）＝0.35，∴P（X＞90）＝0.5﹣P（85＜X≤90）＝0.5﹣0.35＝0.15．故选：D．8．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．所以甲得到的游戏牌为12×＝9，乙得到游戏牌为12×＝3；当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，故选：A．9．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，依题意得所拨数字共有n＝＝24，所拨数字大于200包含两种情况：①上珠拨的是千位档或百位档，有种，②上珠拨的是个位档或十位档，则有＝6种，所拨数字大于200包含的基本事件有m＝12+6＝18种，则所拨数字大于200的概率为p＝＝．故选：D．10．2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件【解答】解：2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选：A．二．填空题（共5小题）11．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案为：0.98．12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为．【解答】解：加工出来的零件为次品的对立事件为零件是正品，而零件是正品需要三道工序全部是正品．由对立事件公式得，加工出来的零件的次品率．＝．故答案为．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．【解答】解：设“甲球落入盒子”为事件A，“乙球落入盒子”为事件B，由题意可知事件A与事件B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，则甲、乙两球都落入盒子的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1﹣（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝1﹣＝，故答案为：，．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．【解答】解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故答案为：②④15．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．设有关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2＝0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b＝2，求上述方程没有实根的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程x2﹣2ax+b2＝0无实根”当a＞0，b＞0时，方程x2﹣2ax+b2＝0无实根的充要条件为△＝4a2﹣4b2＝4（a2﹣b2）＜0，即a＜b（1）基本事件共12个：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2）（1，2），∴事件A发生的概率为P（A）＝＝．（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的所有基本事件所构成的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，b＝2}，其中构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b＝2，a＜b}∴所求概率为P（B）＝．17．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．【解答】解：（1）∵甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率和乙机床产品的正品率是定值∴本题是一个独立重复试验∴任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为P3（2）＝C32×0.92×0.1＝0.243．（2）记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B．则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品包括三种结果，一是两个产品都是正品，二是甲生产的是正品且乙生产的是次品，三是甲生产的是次品且乙生产的是正品这三种结果是互斥的，∴＝0.995．18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）＝0.3，解可得p＝0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2＝0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P＝C31×0.2×0.82＝0.384．19．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A+B•C，P（A）＝0.5×0.5＝0.25，P（B）＝2×0.5×0.5＝0.5，P（C）＝0.3，P（D）＝P（A+B•C）＝P（A）+P（B•C）＝P（A）+P（B）P（C）＝0.25+0.5×0.3＝0.40．（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，则P（E）＝（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3＝0.1296+0.3456＝0.4752，∴＝1﹣0.4752＝0.5248，即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．20．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．【解答】解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，则P（A）＝P（B）＝P（C ）＝，甲、乙、丙没中奖的事件分别为、、，则P （）P ＝（）＝P （）＝，（Ⅰ）由于“三位同学都没有中奖”是三个相互独立事件，∴P （）＝P （）P （）P （）＝答：三位同学都没有中奖的概率为；（Ⅱ）“三位同学中至少有两位没有中奖”的对立事件为“至少有两位中奖”∴1﹣P （•B•C+A ••C+A•B•+A•B•C）＝1﹣3×答：三位同学至少两位没有中奖的概率为．第11页（共11页）。

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是 5 的概率是 ( ) A ． 19B ． 16C ． 14D ． 182. 若书架中放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，则抽出一本书为外文书的概率为 ( ) A ． 15B ． 310C ． 25D ． 123. 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为 4 或 6 时，两颗骰子的点数之积大于 20 的概率是 ( ) A ． 14B ． 13C ． 12D ． 354. 从 2 本不同的语文书和 3 本不同的数学书中一次任取 2 本，则取出的都是数学书的概率为 ( ) A ． 425B ． 925C ． 310D ． 255. 电子钟一天显示的时间从 00:00 到 23:59，每一时刻都由 4 个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和是 23 的概率是 ( ) A ．1180B ．1288C ．1480D ．13606. 三个元件 T 1，T 2，T 3 正常工作的概率分别为 12，34，34，且是互相独立的．若将它们按如图的方式接入电路中，则电路不发生故障的概率是 ( )A ． 1532B ． 932C ． 732D ． 1732两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A．15B．25C．35D．458.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对9.从n个正整数1，2，3，⋯，n中任意取出两个不同的数．若取出的两数之和等于5的概率为114，则n的值为( )A．4B．5C．8D．1010.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y，则事件“x+y≤3”的概率为( )A．112B．19C．13D．115二、填空题（共6题）11.某三位数密码，每位数字可在0∼9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．12.若书架上放的数学书、物理书、化学书分别有5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为．13.对于函数f(x)，其定义域为D，若对任意的x1,x2∈D，当x1<x2时都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为“不严格单调增函数”．若函数f(x)定义域为D={1,2,3,4,5,6}，值域为A= {7,8,9}，则函数f(x)是“不严格单调增函数”的概率是．14.判断正误．古典概型中每个事件发生的可能性相同．15.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A ，B ，C ，D ，E ，则事件取出的是理科书可记为 ．16. 若 P (X ≥a )=14，P (X ≤b )=12，其中 a >b ，则 P (b <X <a )= ．三、解答题（共6题）17. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．①2+i 1−2i；②−4+3i 3+4i；③−1−i −1+i（i 是虚数单位）．(1) 从三个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．18. 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束． (1) 求 P (X =2)；(2) 求事件“X =4 且甲获胜”的概率．19. 某人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字，于是他进行了调查，结果如下表：每批邮箱数601302653061233213047006897名称里有数字的邮箱数3678165187728130028204131频率(1) 填写上表中的频率（精确到 0.01）；(2) 中国人在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？20. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a ，b ，c ． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足 a +b =c ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 a ，b ，c 不完全相同”的概率．21. 某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 20 名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：(1) 求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；(2) 若规定分数在[120,150)的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．22.华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名，某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这100人的手机价格按照[500,1500)，[1500,2500)，⋯[6500,7500)分成7组，制成如图所示的频率分布直方图，其中a是b的2倍．(1) 求a，b的值；(2) 求这100名顾客手机价格的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；(3) 利用分层抽样的方式从手机价格在[1500,2500)和[5500,6500)的顾客中选取6人，并从这6人中随机抽取2人进行回访，求抽取的2人手机价格在不同区间的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】列表得：(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)共有 36 种等可能的结果，向上的点数之和是 5 的情况有 4 种，所以两个骰子向上的点数之和为 5 的概率为 436=19．【知识点】古典概型2. 【答案】D【解析】在 10 本书中，中文书 5 本，外文书为 3+2=5 本，由古典概型，在其中抽出一本书为外文书的概率为 510，即 12． 【知识点】古典概型3. 【答案】B【解析】抛掷红、黄两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表黄色骰子，当红色骰子的点数为 4 或 6 时，有 (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 种情形，其中两颗骰子的点数之积大于 20 的有 (4,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 4 种，根据概率公式得，两颗骰子的点数之积大于 20 的概率为 P =412=13． 【知识点】古典概型4. 【答案】C【知识点】古典概型5. 【答案】D【解析】一天显示的时间总共有 24×60=1440（种）， 分两步完成：第一步（时）：00∼23，共 24 种结果；第二步（分）：00∼59，共 60 种结果，利用分步乘法计数原理求得总结果数． 其中和为 23 的有 09:59，18:59，19:49，19:58，总共有 4 种， 故所求概率为 P =41440=1360．【知识点】古典概型6. 【答案】A【解析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)=12，P(A2)=34，P(A3)=34．记“电路不发生故障”为事件M，则M=(A2∪A3)∩A1，所以不发生故障的概率P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1−P(A2)P(A3)]⋅P(A1)=(1−14×14)×12=1532.【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】因为从袋中任意取两个球所有的情况有A62=30，那么从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的基本事件数有2C21C31=12，利用古典概型概率公式可知求解的概率为25．【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算9. 【答案】C【知识点】古典概型10. 【答案】A【解析】基本事件共6×6=36个，“x+y≤3”的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个，故P=3 36=112．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】27100【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0∼9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C101C32C91=270，则其中恰有两位数字相同的概率是2701000=27100；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0∼9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10=730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1−7301000=27100．【知识点】古典概型12. 【答案】310【解析】从中随机抽出一本书共有10种情况，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为310．【知识点】古典概型13. 【答案】154【知识点】古典概型、函数的单调性14. 【答案】×【知识点】古典概型15. 【答案】B∪D∪E【解析】由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E．【知识点】事件的关系与运算16. 【答案】14【知识点】事件的关系与运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+4i+i−25=i，−4+3i3+4i=(−4+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−12+16i+9i+1225=i，−1−i−1+i=(−1−i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=1+2i−12=i．(2) 根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：a+bib−ai=i（a,b∈R且a，b不同时为零），下面进行证明：要证明a+bib−ai =i，只需证a+bi=i(b−ai)，只需证a+bi=a+bi，因为上式成立，所以a+bib−ai=i成立．（或直接利用复数的乘除运算得出结果）【知识点】复数的乘除运算18. 【答案】(1) X=2就是10:10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X=2)=0.5×0.4+(1−0.5)×(1−0.4)=0.5．(2) X=4且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1−0.4)+(1−0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1．【知识点】事件的相互独立性19. 【答案】(1) 0.60；0.60；0.62；0.61；0.59；0.61；0.60；0.60(2) 由（1）知，计算出的频率虽然不全相等，但都在常数0.60附近摆动，因此，中国人在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60．【解析】(1) 由频率公式可算出；表格中应填写的频率从左到右依次为0.60；0.60；0.62；0.61；0.59；0.61；0.60；0.60．【知识点】频率与概率20. 【答案】(1) 由题意，(a,b,c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)=327=19，因此，“抽取的卡片上的数字满足 a +b =c ”的概率为 19．(2) 设“抽取的卡片上的数字 a ，b ，c 不完全相同”为事件 B ， 则事件 B 包括 (1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种， 所以 P (B )=1−P(B)=1−327=89．因此，“抽取的卡片上的数字 a ，b ，c 不完全相同”的概率为 89．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 根据茎叶图得： 甲班抽出同学分数的中位数：122+1142=118， 乙班抽出同学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平； 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度． (2) 根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为 10，14，若用分层抽样法抽出 12 人，则应从甲、乙两班各抽出 5 人、 7 人． 设“抽出的 12 人中恰含有甲、乙两班的所有 140 分以上的同学”为事件 A ， 则 P (A )=C 22⋅C 83C 105⋅C 33⋅C 114C 147=5234．故抽出的 12 人中恰含有甲、乙两班的所有 140 分以上的同学的概率为 5234． 【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 由已知得 {a =2ba +b =0.00024，解得 a =0.00016，b =0.00008．(2) 平均数 x =1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+7000×0.02=3860（元）．(3) 由已知得从手机价格为 [1500,2500) 中抽取 4 人，设为 a ，b ，c ，d ， 在手机价格为 [5500,6500) 中抽 2 人，设为 x ，y ， 从这 6 人中任意取 2 人，共有 15 种抽法，分别为：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ， 其中抽取的 2 人的手机价格在不同区间的有 8 种，所以抽取的2人手机价格在不同区间的概率：p=8．15【知识点】古典概型。

10.1.2 事件的关系和运算课后·训练提升基础巩固1.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是( )A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案:A解析:事件A与事件B互斥,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生.2.(多选题)下列各组事件中,是互斥事件的是( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%答案:ACD解析:对于选项B,设事件A1=“平均分不低于90分”,事件A2=“平均分不高于90分”,则A1∩A2=“平均分等于90分”,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.而选项A,C,D中的事件显然都是互斥事件.3.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( )A.A⊆BB.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件答案:C解析:显然事件A与B不能同时发生,但又不一定非要发生一个,有可能都不发生,故A与B为互斥事件,但不是互为对立事件.4.袋中装有黑、白两种颜色的球(除颜色外其余均相同)各三个,现从中取出两个球,设事件P=“取出的两球都是黑球”,事件Q=“取出的两球都是白球”,事件R=“取出的两球中至少有一个黑球”.则下列结论正确的是( )A.P与R互斥B.Q与R互斥C.任何两个都互斥D.任何两个均不互斥答案:B解析:袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的结果共有以下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.事件R包括①③两种情况,因此事件P包含于事件R,故A 中结论不正确;事件Q与事件R互斥且对立,故B中结论正确;因为事件P包含于事件R,故C中结论不正确;事件P与事件Q互斥,故D中结论不正确.5.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对答案:A解析:因为每人一个方向,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不可以同时发生,所以两事件为互斥事件.但是,若事件“甲向南”与事件“乙向南”都不成立,则丙或丁也有可能向南走,因此事件“甲向南”与事件“乙向南”不是对立事件.6.(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机}.下列关系正确的是( )A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪C=DD.A∪B=B∪D答案:ABC解析:分别用x1,x2表示第一次和第二次的击中情况,则可能的结果用(x1,x2)表示.进一步地,用0表示没有击中飞机,用1表示击中飞机,则A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},因此A⊆D,故A中关系正确;B∩D={(0,0)}∩{(0,1),(1,0),(1,1)}=⌀,故B中关系正确;A∪C={(1,1)}∪{(0,1),(1,0)}={(0,1),(1,0),(1,1)}=D,故C中关系正确;A∪B={(1,1)}∪{(0,0)}={(0,0),(1,1)},B∪D={(0,0)}∪{(0,1),(1,0),(1,1)}={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}≠A∪B,故D中关系不正确.故选ABC.7.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,两枚骰子的点数和可能是2,3,4,…,11,12中的一个,事件A={2,5,7},事件B={2,4,6,8,10,12},那么A∪B= ,A∩B= .答案:{2,4,5,6,7,8,10,12} {5,7}解析:∵事件A={2,5,7},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∪B={2,4,5,6,7,8,10,12},B={3,5,7,9,11},∴A∩B={5,7}.8.加工某一个零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序出现次品分别为事件A,B,C,且各道工序互不影响,则事件“加工出来的零件为合格品”表示为.答案:ABC解析:加工出来的零件为合格品是指每道工序都没有出现次品,故记为ABC.9.设A,B,C为三个事件,说明下列各式所表示的意义.(1)A BC;(2)A⋃B⋃C;(3)A BC∪ABC∪AB C.解:(1)事件A的对立事件与事件B,C同时发生;(2)事件A,B,C都未发生;(3)事件A,B,C中恰有一个发生.能力提升1.任意抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”,事件B=“恰好两枚正面朝上”,事件C=“恰好两枚反面朝上”,事件D=“至少一枚正面朝上”,事件E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是( )A.A与BB.C与DC.B与CD.C与E答案:B解析:在选项A中,事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;在选项B中,事件C与事件D既不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在选项C中,事件B与事件C不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在选项D中,事件C与事件E能同时发生,不是对立事件,故D错误.2.(多选题)一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,下列四组事件中,是互斥事件的是( )A.恰有一件次品和恰有两件次品B.至少有一件次品和全是次品C.至少有一件正品和至少有一件次品D.至少有一件次品和全是正品答案:AD解析:因为从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件,所以事件“恰有一件次品”和事件“恰有两件次品”是互斥事件,事件“至少有一件次品”和事件“全是正品”是互斥事件,所以AD是互斥事件.3.抛掷一枚质地均匀的骰子,若随机事件A=“出现奇数点”,则A的对立事件B表示.答案:出现偶数点解析:抛掷一枚质地均匀的骰子,结果只有2种:出现奇数点、出现偶数点.若随机事件A表示“出现奇数点”,则A的对立事件B表示“出现偶数点”.4.抛掷一枚质地均匀的骰子,记A=“点数为6”,B=“点数为偶数点”,则A∩B表示的含义为.答案:点数为6解析:因为抛掷一枚骰子点数为偶数的有2,4,6共3个可能的基本结果,所以A∩B={6}∩{2,4,6}={6}.5.从100件产品中抽查10件产品,记事件A=“至少3件次品”,则A的对立事件是.答案:至多2件次品解析:从100件产品中抽查10件产品,记事件A为“至少3件次品”,根据对立事件的定义,事件和它的对立事件不会同时发生,且它们的和事件为必然事件,故事件A的对立事件为“至多2件次品”.6.如图,事件A=“甲元件正常”,事件B=“乙元件正常”,事件C=“丙元件正常”,则A∪B∪C表示的含义为;A∩B∩C表示的含义为.答案:电路工作正常电路工作不正常7.从学号分别为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长,其中1,3,5号同学为男生,2,4,6号同学为女生,记:C1=“选出1号同学”,C2=“选出2号同学”,C3=“选出3号同学”,C4=“选出4号同学”,C5=“选出5号同学”,C6=“选出6号同学”,D1=“选出的同学学号不大于1”,D2=“选出的同学学号大于4”,D3=“选出的同学学号小于6”,E=“选出的同学学号小于7”,F=“选出的同学学号大于6”,G=“选出的同学学号为偶数”,H=“选出的同学学号为奇数”.据此回答下列问题:(1)如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?(2)如果事件H发生,则哪些事件可能发生?在集合中,事件H与这些事件之间有何关系?(3)两个事件的交事件为不可能事件,在上述事件中能找出这样的例子吗? 解:(1)如果事件C1发生,则事件D1,D3,E,H一定发生.(2)事件C1,C3,C5可能发生,H=C1∪C3∪C5.(3)能,如:事件C1和事件C2;事件C3和事件C4等等.拓展创新某连锁火锅店开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20名顾客可参加如下活动:如图,摇动游戏转盘(每个扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”.则事件A的对立事件为;事件A的一个互斥事件为.(写出一个即可)答案:获得多于30元但不多于120元菜品或饮品获得40元菜品或饮品(答案不唯一)。