(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性

抽象函数单调性与奇偶性1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。

证明：令=0, 则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。

2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。

解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x ＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝（0），∴ f（0）＝0，故f （－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。

5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。

∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。

∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。

求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）【解析】题干解析:∵函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，∴12﹣a＜0，∴a＞12，故选：B．例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0 D．b＜0【答案】B【解析】题干解析:例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．【答案】④【解析】题干解析:①y＝|x|＝，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；②y＝，所以该函数在（﹣∞，0）上是常数函数，不具有单调性；③，所以该函数在（﹣∞，0）上单调递减；④y＝x＋，所以该函数在（﹣∞，0）上为增函数；∴在（﹣∞，0）上为增函数的有④．故答案为：④．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）【解析】题干解析:（1）f（﹣x）＝f（x）＝1，故结论正确；（2）定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故假命题；（3）H（﹣x）＝f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）＝﹣H（x），故结论正确；（4）f（|﹣x|）＝f（|x|），函数y＝f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，结论正确；故选C例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）【解析】题干解析:因为奇函数的图象关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），故f（﹣a）＝﹣f （a）．即在f（x）上的点是（﹣a，﹣f（a））．故选C．例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）【解析】题干解析:∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．对于A，g（﹣x）＝﹣x＋f（﹣x）＝﹣x﹣f（x）＝﹣g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x），∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数．故选B．通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，﹣]和[0，）【解析】题干解析:，，当，∴其图象关于y轴对称，作图如下：∴函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是（﹣∞，﹣]和[0，）．故答案为：（﹣∞，﹣]和[0，）．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．【答案】（0，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x|的零点为x＝0，其图象如下，通过图象可知，函数单调递增区间为（0，＋∞）．故答案为：（0，＋∞）．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）【解析】题干解析:由题意y＝x﹣1是一次函数，将图象右边翻折到左边，去掉原来左边图形可得y＝|x|﹣1图象．由图象可知：函数y＝|x|﹣1的减区间为（﹣∞，0），故选A．例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．【答案】[1，＋∞）【解析】题干解析:函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，＋∞），故答案为：[1，＋∞）．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2020春∙沙坪坝区校级期中）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx【解析】题干解析:A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件。

专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。

证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。

2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。

解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。

f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。

高一升高二个辅资料第三课时第二次课、基本知识1定义：对于函数 y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值 x-\, x 2，当 x-\ x 2时，都有f(xj f (X 2)(或f(xj f (X 2))，那么就说函数 y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。

重点2 .证明方法和步骤：(1) 取值: 设X i ,X 2是给定区间上任意两个值，且 X i X 2 ；(2) 作差:f (X i )f (X 2)；(3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口定号：即 f (X i ) f (X 2)或 f (X i )f (X 2)；(5) 根据定义下结论。

3•常见函数的单调性■ ■-1 -'.时，订述在R 上是增函数；k<0时m 在R 上是减函数(2)代直)(k > 00寸)，『仗)在(一a, 0), (0, +8)上是增函数,4•复合函数的单调性：复合函数y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”在函数f(x)、g(x)公共定义域内,5. 函数的单调性的应用:判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析第一章 函数的基本性质之单调性(k<0时)，總述在(一汽0), ( 0, +8)上是减函数,(3)二次函数的单调性：对函数2f (x) ax bx c (a 0),当a 0时函数f(x)在对称轴x 当a 0时函数f (x)在对称轴x b 2a 的左侧单调减小，右侧单调增加; b 2a的左侧单调增加，右侧单调减小;增函数f(x)增函数g(x)是增函数; 减函数f (x)减函数g (x)是减函数; 增函数f(x)减函数g(x)是增函数;减函数f(x)增函数g(x)是减函数.例1:证明函数f(x)二一在(0 , +8 )上是减函数。

例2 :证明1上- L :在定义域上是增函数。

抽象函数中的单调性问题摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。

介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。

关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。

函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。

同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。

[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。

对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。

一、特定函数单调性判断法（一）定义的方法通常情况下，设定f是定义于D中的函数。

若对任何x1、x2∈D，当x1f（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。

[2]应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：（1）设元，任取x1,x2∈D且x1（2）作差f（x1）-f（x2）；（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。

例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。

证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个减函数；当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。

总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。

本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。

利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。