长春市高考数学一轮专题：第9讲 对数函数B卷

第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。

2025高考一轮复习专练9对数与对数函数（原卷版）[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg 2－(12)－1＝()A ．1B ．－1C ．3D ．－32．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是()A ．[1，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．23，1D ．(23，1]3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是()A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图像过点()A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(－3，0)D ．(3，0)5．[2024·江西省高三联考]设a ＝log 0.222022，b ＝sin (sin 2022)，c ＝20220.22则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a 6．[2024·河北省高三二模]已知x ＝(43)54，y ＝log 45，z ＝log 34，则x 、y 、z 的大小关系为()A ．y >x >zB ．x >y >zC ．z >x >yD ．x >z >y7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则()A ．f (x )在(0，2)上单调递增B ．f (x )在(0，2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()9．[2024·重庆市高三质量检测]若函数f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)有最小值，则实数a 的取值范围是()A ．(32，1)B ．(1，3)C ．(0，32)D ．(3，＋∞)二、填空题10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________.11．函数f (x )x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.[能力提升]13．[2024·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T 0，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足T －T c ＝(12)t h (T 0－T c )，其中T c 是环境温度，h 为常数．现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30℃，则m 的值约为(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.414．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.615．[2024·江西省高三一模]纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．0123451248163267891011641282565121024204812 (19202122)4096 (524288104857620971524194304)232425…83886081677721633554432…如512×1024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若x＝log4(20211226×1314520)，则x落在区间()A．(15，16)B．(22，23)C．(42，44)D．(44，46)16．已知函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝a x＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________2025高考一轮复习专练9对数与对数函数（解析版）1．B原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg －2＝1－2＝－1.2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1.3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．A ∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3，∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0，∴g (x )的图像过(－2，0).5．A 因为a ＝log 0.222022<log 0.2210.22＝－1，－1<b ＝sin (sin 2022)<1，c ＝20220.22>20220＝1，所以a <b <c .故选A.6．D ∵y ＝log 45>1，z ＝log 34>1，∴y z ＝log 45log 34＝log 45·log 43≤(log 45＋log 432)2＝(log 4152)2＝(log 415)2<(log 44)2＝1，即z >y ，∵43＝log 3343，而(343)3＝34＝81>43＝64，∴43＝log 3343>log 34，又43＝(43)1<(43)54，∴x >z ，综上，x >z >y .7．C f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ).设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A 、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图像不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图像可知1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x x为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．A 依题意a ∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x 2＋4ax －1>0，所以Δ＝16a 2－12>0，解得a >32或a <－32，综上可得a ∈(32，1)∪(1，＋∞)，令－3x 2＋4ax －1＝0的根为x 1、x 2且x 1<x 2，u (x )＝－3x 2＋4ax －1，y ＝log a u ，若a ∈(1，＋∞)，则y ＝log a u 在定义域上单调递增，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ∈(32，1)，则y ＝log a u 在定义域上单调递减，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递减，在(2a 3，x 2)上单调递增，所以函数在x ＝2a 3取得最小值，所以a ∈(32，1).10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7.11．8解析：因为函数y x，y ＝－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，f (x )x －log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f (－2)－2－24)＝9－1＝8.－∞，32解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 由75－15＝(12)1h (105－15)，有(12)1h ＝23，又30－15＝(12)m h (75－15)，有(12)m h ＝14，即(23)m ＝14，则m lg 23＝lg 14，解得m ＝－lg 4lg 2－lg 3＝2lg 2lg 3－lg 2≈3.4.14．C 4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.15．B x ＝log 4(20211226×1314520)＝12log 2(20211226×1314520)，设20211226＝2m ，1314520＝2n ，由表格得知：220＝1048576，221＝2097152，224＝16777216，225＝33554432，所以24<m <25，则20<n <21，所以m ＋n ∈(44，46)，log 2(20211226×1314520)∈(44，46)，则x ＝12log 2(20211226×1314520)∈(22，23).16．[－1，＋∞)解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f (0)＝0，∴f(－2)＝log a3＝－1，∴a＝13，∴g(x)x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).。

课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2 3．[2012·四川卷] 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )图K9－14．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.46．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B．(0，1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，1)8．[2012·三明联考] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2C ．lg2D ．－lg29．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝exa ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2.15．(13分)已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，且函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0，1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说课时作业(九)【基础热身】 1．D [解析] f (x )＝32x是R 上的减函数，实数m ，n 满足f (m )>f (n )，故m <n .故选D. 2．B [解析] 由题知f (x )＝log a x ，∵点(a ，a )在其图象上，∴a ＝log a a ，即a a＝a 12，解得a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选B.3．C [解析] 由f (1)＝0可知选C.4.32 [解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.【能力提升】5．C [解析] 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x ，为减函数，y ＝lg x 为增函数，所以B ，D 都对；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．6． D [解析] y ＝x 13在－1≤x ≤1时，有－1≤y ≤1；y ＝12x ，在x ≤0时，有y ≥1，所以A ∩B ＝{1}．故选D.7．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22＝1，所以函数的值域为(－∞，1]，选C.8．D [解析] 当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f 1100＝lg 1100＝－2，ff 1100＝f (－2)．又y＝f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故f (－2)＝－f (2)＝－lg2.9．D [解析] x ＝ln π>lne ＝1，0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.10．(－∞，－1)∪(0，33) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 3a <13或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.11．[2，＋∞) [解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．12．(1，＋∞) [解析] 构造函数y ＝f (x )，y ＝－x ＋a ，当这两个函数的图象只有一个交点时，方程f (x )＋x －a ＝0只有一个实数根．如图，当a >1时，两个函数图象只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．13．①②④ [解析] 因为定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，所以①正确；因为g (x )＝x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，且y ＝lg x 为增函数，所以f (x )≥lg2，即②正确，而⑤不正确；因为g (x )＝|x |＋1|x |的递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)，所以f (x )在(－1，0)和(2，＋∞)上是增函数，即④正确，而③不正确．14．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即e －xa ＋a e －x ＝e xa ＋ae x 恒成立．整理，得(a 2－1)(e 2x－1)＝0对任意实数x 恒成立， 故a 2－1＝0.又a >0，所以a ＝1. (2)证明：由(1)知f (x )＝e x＋1ex .在(0，＋∞)上任意取x 1，x 2，设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1，由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0，1－e x 2＋x 1<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由f (x )＝2，得e x ＋1e x ＝2，即e 2x －2e x＋1＝0.所以e x＝1＝e 0.所以x ＝0. 故方程f (x )＝2的根为x ＝0.15．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0，1)(a >1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． 因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求． 【难点突破】16．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

备考2019年高考数学一轮专题：第9讲对数函数一、单选题1.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A. a>5或a<2B. 2<a<3或3<a<5C. 2<a<5D. 3<a<42.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.（2018•天津）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为( )A. 6B. 13C. 22D. 335.已知，则的值为（）A. B. 4 C. 1 D. 4或16.函数f（x）=（a2+a﹣5）log a x为对数函数，则f（）等于（）A. 3B. ﹣3C. ﹣log36D. ﹣log387.函数y=的定义域是（）A. B. C. （，+∞） D. （，+∞）8.函数的定义域为（）A. （，）B. （，）C. （，）D. [，）9.函数的定义域是（）A. B. C. D.10.设则f[f（2）]的值为（）A. 0B.C. 2D.二、填空题11.已知a为非零常数，函数满足f（lg0.5）=﹣1，则f（lg2）=________12.函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为________．13.命题“f（x）=log a（x2﹣ax+1）的值域为R”是真命题，则实数a的取值范围为________．14.已知函数在区间（2，3）上有意义，则实数a的取值范围是________．15.函数的单调递增区间是________．16.已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是________．三、解答题17.已知函数f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．18.已知：函数f（x）=（a>0且a≠1）.（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）设a=，解不等式f（x）>0.19.已知f（x）＝（a>0，a≠1）.（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）>0成立的x的取值范围.20.已知函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；（2）若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．21.设为奇函数，且实数。

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练： 对数运算和对数函数A.C. D.4．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )A.的增长速度最快, 的增长速度最慢B.的增长速度最快, 的增长速度最慢C.的增长速度最快, 的增长速度最慢D.的增长速度最快, 的增长速度最慢5．已知函数，则下列说法正确的是( ).A.B.函数的图象与x 轴有两个交点C.函数的最小值为-434log 9log 2+=212log 3=+5log 3259=225511log 25log log 8log 252⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22,2,log x f x x g x h x x ===(4,)x ∈+∞()f x ()h x ()g x ()h x ()g x ()f x ()f x ()g x ()2222()log log 3f x x x =--(4)3f =-()y f x =()y f x =D.函数的最大值为46．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则7．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则8．已知，且，下列说法中错误的是( ).A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9．下列运算错误的是( ).A. B.C. D.10．下列运算错误的是( )A.B.C.D.11．若,,且,则( )A. B.C. D.12．下列式子中正确的是( )()y f x =lg(lg10)0=lg(ln e)0=lg 10x =10x =ln e x =2e x=1232=129ln e 4+=3log (lg )1x =1000x=log a c =7cb a =0a >1a ≠M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=23511log 25log log 16169⨯⨯=lg 2lg 5010+=11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⋅⋅=lg 2lg 5010+=((2225log (2log 4-=-1a >1b >lg()lg lg a b a b +=+lg(1)lg(1)0a b -+-=11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭lg(1)lg(1)1a b -+-=11lg 1a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.若，则B.若C.D.13．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，南极星的星等是-0.72，则( )A.天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是14．已知且A. B. C. D.15．下列运算正确的是( )A. B.C. D.16．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.17．下列运算正确的是( )A. B.C. D.18．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg 2lg5010+=ln 2ln3e 6+=10lg x =10x =25log x =5=±lg(lg10)0=24log 5280+=2152m m -=k ()1,2k E k =10,110-0,29210-0a b >>ln a =22log log a b>2e ab >122ab a b ++<a b b aa b a b >lg 5lg 21+=42log 32log 3=ln πe π=5lg 5lg 2log 2÷=lg5lg 21+=ln πe π=42log 32log 3=2lg 5lg 2log 5÷=52log 10log 0.252s +=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg2lg5010+=ln 2ln36e +=19．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快20．已知，，则的值可能为( )A.B.C.24D.12()log f x x =1()2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,+∞()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ,a b ∈R 249a b ==2a b -8338124参考答案解析：对选项A:,正确;对选项C:,正确;341log 9log 222+=+=2212log 32log 3==-=+555log 3log 3log 9225559===对选项D:,正确;故选:BCD 4．答案：ACD解析：画出函数,,的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数,,中,当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.所以选项B 正确;选项ACD 不正确.故选：ACD.5．答案：ABC解析：对于A ，，正确；对于B ，，，令，得，即得或，所以或，即的图象与x 轴有两个交点，正确；对于C ，，，当，即时，，正确；对于D ，易知没有最大值.6．答案：AB 解析：7．答案：BCD 解析：8．答案：ACD 解析：()2222(4)log 4log 433f =--=-()222()log 2log 3f x x x =--(0,)x ∈+∞()0f x =()()22log 1log 30x x +-=2log 1x =-2log 3x =12x =2255252511log 25log log 8log log 5log 42log 5log 2252⎛⎫⎛⎫++=⨯=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2f x x =()2x g x =()2log h x x =()2f x x =()2x g x =()2log h x x =(4,)x ∈+∞()2x g x =()2log h x x =8x =()f x ()22()log 14f x x =--(0,)x ∈+∞2log 1x =2x =min ()4f x =-()f x9．答案：ABD 解析：对于A ，，故A 错误.对于B ，误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误.10．答案：ABC解析：对于A ，，A 错误；对于B ，对于C ，，C 错误；对于D ，故选：ABC.11．答案：AB解析:依题意,,由,得,所以,且,即,.故选AB12．答案：CD解析：若，则，故A 错误；若，故B 错误；因为，则，故C 正确；()221111115555552log 10log 0.25log 10log 0.25log 100.25log 252+=+=⨯==-4259lg 27lg8lg 53lg 33lg 2lg 5log 27log 8log 5lg 4lg 25lg 92lg 22lg 52lg 3⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=242235235112lg 54lg 22lg 3log 25log log log 5log 2log 316169lg 2lg 3lg 5----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=lg 2lg 50lg1002+==()22111155552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==-334259222lg 312lg 533log 27log 8log 5lg 215lg 3222g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯lg 2lg 50lg1002+==((22221log (2log 12⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭1a >1b >lg()lg lg lg()a b a b ab +=+=a b ab +=(1)(1)()1a b ab a b --=-++=111a b=+=[]lg(1)lg(1)lg (1)(1)lg10a b a b -+-=--==11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lg x =1010x =25log x =12255x ==lg101=lg(lg10)lg10==，故D 正确.故选：CD.13．答案：AC 解析：14．答案：AD解析：对于选项A ：因为，又因为在上单调递增，所以，故A 正确；对于选项B ：因为，解得或，所以或，故B 错误；对于选项C ：因为，且，可得，同号，则有若，同正，可得，则，可得；若，同负，可得，则，可得.综上所述，，又因为在定义域内单调递增，所以，故C 错误；对于选项D ：因为，则，可得在上单调递增，可得，且，，所以，故D 正确.故选AD.15．答案：AC解析：,故选项A 正确;,故选项B 错误;根据对数恒等式可知,,选项C 正确;根据换底公式可得：,故选项D 错误．故选：AC.16．答案：AD解析：对于选项A ，，所以选项A 正确；224log 5log 5422216580+==⨯=⨯0a b >>2log y x =()0,+∞22log log a b >2(ln ln )ln ln 4a b a b +<=()2ln 14ab >()ln 2ab >()ln 2ab <-2e ab >210e ab <<0a b >>ln ln 10a b =>ln a ln b ln a ln b e 1a b >>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+ln a ln b 110ea b >>>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+1ab a b +>+2x y =122ab a b ++>0a b >>0a b ->a b y x -=()0,+∞0a b a b a b -->>0b a >0b b >a b b a a b a b >()lg 5lg 2lg 52lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===ln πe π=5lg 2log 2lg 2lg 5lg 5==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==对于选项B ，误；对于选项C ，，所以选项C 错误；对于选项D ，，所以选项D 正确.故选：AD 17．答案：ABD解析：对于选项A ，，故选项A 正确；对于选项B ，根据对数恒等式可知，故选项B 正确；对于选项C ，，故选项C 错误；对于选项D ，根据换底公式可得，故选项D 正确.故选ABD.18．答案：AD解析:对于选项A,,所以选项A 正确;对于选项B,项C,,所以选项C 错误;对于选项D,, 所以选项D 正确.19．答案：ABD解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.20．答案：BC解析：由题意得，，则时，，同理时，334259222lg 3lg 2lg 533log 27log 8log 5lg 2lg 5lg 3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg 2lg50lg1002+==ln 2ln3ln 2ln3e e e 236+=⋅=⨯=lg5lg 2lg(52)lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===2lg 5log 5lg 5lg 2lg 2==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==334259222lg3lg2lg533log 27log 8log 5lg2lg5lg3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg2lg50lg1002+==ln 2ln 3ln 2ln 3236e e e +=⋅=⨯=()f x ()g x ()f x ()g x 42log 9log 3a ==3b =±3b =23228a a bb -==3b =-22242a a bb -==故选：BC.。

高考数学热点必会题型第9讲 导数处理双变量问题和双变量不等式——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、双变量不等式转化为单变量问题 【题型】二、双变量不等式中点型【题型】三、双变量不等式极值和差商积问题 【题型】四、双变量不等式主元法 【题型】五、同构函数法与双变量不等式 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、双变量不等式转化为单变量问题例1．（2022·全国·高三专题练习）若12ln xe x =，令21t x x =-，则t 的最小值属于（ ）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例2．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知函数()e 2xf x x =+-和()ln 2g x x x =+-，若()()120f x g x ==，则（ ）A ．122x x +=B ．110x 2<<C．12x x ⋅D ．1221ln ln x x x x <- 例3．（2022·北京十四中高三阶段练习）关于函数2()ln f x x x=+，给出如下四个命题：①2x =是()f x 的极大值点；②函数()y f x x =-有且只有1个零点； ③存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；④对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>； 其中的真命题有___________.例4．（2022·北京十四中高三阶段练习）关于函数2()ln f x x x=+，给出如下四个命题： ①2x =是()f x 的极大值点；②函数()y f x x =-有且只有1个零点； ③存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；④对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>； 其中的真命题有___________.例6．（2022·上海·上外附中高三阶段练习）已知函数()ln ,04,0x x x f x x e x ->⎧=⎨+≤⎩，若存在120,0x x ≤>，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的最小值为__________.【题型】二、双变量不等式中点型例7．（2021秋•山西期末）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． 例8．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数2()22(0)f x x ax lnx a =-+>． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()g x lnx bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，212()x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且1212()()2x x y x x g +=-'的取值范围是[31ln -，)+∞，求实数a 的取值范围． 例9．（2021秋•巴南区校级月考）已知函数()(f x lnx ax a =-为常数）．（1）当1a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）当322a时，设函数2()2()g x f x x =+的两个极值点1x ，212()x x x <满足1212lnx lnx t x x -=-，求121222()()3y x x t x x =--++的最小值．第二天学习及训练【题型】三、双变量不等式极值和差商积问题例10．（2022·全国·高三专题练习）若直线y ax =与曲线:ln C y x =相交于不同的两点11(,)A x y ，11(,)B x y ，曲线:ln C y x =在点A ，B 处的切线相交于点00(,)P x y ，则（ ）A ．1a e≤B ．120ex x x =C ．2AP BP k k a +>D ．2AP BP k k a +≤例11．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数1()ln 12f x x ax =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()()g x xf x =，若()g x 有两个极值点12,x x ，证明：212e x x >．【题型】四、双变量不等式主元法例12．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）若实数,x y 满足()24ln 2ln 284x y x y +≥+-，则（ ）A．xy =B．x y +=C．21x y +=+D ．21x y =例13．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x ，y ，使得等式2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．112e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．20e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．()20e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， D ．112e ⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，， 例14．（2022·全国·高三专题练习）已知大于1的正数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．11例15．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________． ①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2e xx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-第三天学习及训练【题型】五、同构函数法与双变量不等式例16．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知()()12()ln ,()e ,x a f x x x a g x x f x g x +=+-=+=，若121x x ≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,e]-∞ C ．(,1]-∞D ．[e,)+∞例17．（2022·江苏南京·高三开学考试）若函数()1e xf x x -=，()1ln xg x x =+，存在1x 、2x 使得()()12f x g x =，则下列说法不正确的是（ ） A ．若12x x >，则21x < B ．若12x x <，则11<x C ．存在12x x =D ．存在0x ，使得当10x x >，20x x >时，21x x -的值随着1x 、2x 的增大而增大 例18．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）若实数,x y 满足()24ln 2ln 284x y x y +≥+-，则（ ）A．xy =B．x y +=C．21x y +=+D ．21x y =例19．（2022·全国·高三专题练习）设实数0λ>，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．10eλ<≤B ．01e λ<≤-C ．0e λ<≤D ．20e λ<≤例20．（2022·全国·高三专题练习）若12ln xe x =，令21t x x =-，则t 的最小值属于（ ）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例21．（2022·全国·高三专题练习）若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 2x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．1eD ．12。

重庆市高考数学一轮专题：第9讲对数函数B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设，则a,b,c之间的关系是（）A .B . b<a<cC . c<b<aD . a<b<c2. （2分）设，则之间的关系是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·天津) 已知，则的大小关系为（）A .B .C .D .4. （2分）设，则（）A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . b<a<c5. （2分）已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则＝（）A .B .C . 10D . 1006. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 若且在上既是奇函数又是增函数，则函数的图像是（）A .B .C .D .7. （2分）若，则（）A . a>b>cB . b>a>cC . c>a>bD . b>c>a8. （2分） (2016高一上·商丘期中) 设m，n∈z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若函数g（x）=2|x﹣1|+m+1有唯一的零点，则m+n=（）A . 2B . ﹣1C . 1D . 09. （2分） (2016高一上·公安期中) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A . y=xB . y=lgxC . y=2xD . y=10. （2分）函数的值域是（）A . （﹣∞，1）∪（2，+∞）B . （1，2）C . RD . [2，+∞）二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是________12. （1分）函数y=（ x）2﹣ x2+5 在2≤x≤4时的值域为________．13. （1分） (2017高一上·苏州期中) 函数f（x）= 的值域为________．14. （1分） (2016高一上·天河期末) 函数y=ln（1﹣2x）的定义域是________．15. （1分）当a＞0且a≠1时，函数y=ax﹣1的图象一定经过________点，函数y=loga（x+1）的图象一定经过________点．16. （1分）(2020·杨浦期末) 己知函数的反函数 ,则 ________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高一下·黑龙江开学考) 设函数f（x）=loga（x﹣3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x﹣2a，﹣y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，试确定a的取值范围．18. （5分）已知函数f（x）=loga（﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论函数f（x）的单调性（不需证明）．19. （10分） (2019高一上·龙江期中) 已知且，求满足的的取值范围20. （10分）已知函数f（x）=log （x2﹣2ax+3）．（1）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值；（3）若函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．21. （15分）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.（1）求a，k的值；（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．22. （10分） (2018高一上·阜城月考) 已知指数函数，时，有 . （1）求的取值范围；（2）解关于的不等式 .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

武汉市高考数学一轮专题：第9讲对数函数B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·丹东月考) 三个数，，的大小关系为（）．A .B .C .D .3. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 设a=log30.3，b=20.3 ， c=0.32则（）A . c＞b＞aB . c＞a＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c4. （2分）函数y=log2x，x∈（0，8]，其值域为（）A . [﹣3，+∞）B . [3，+∞）C . （﹣∞，﹣3]D . （﹣∞，3]5. （2分）若函数，则（）A .B . 3C .D . 46. （2分）若，则（）A . a>b>cB . b>a>cC . c>a>bD . b>c>a7. （2分） (2018高一下·雅安期中) 若向量＝(a－1，2)，＝(4，b)，且⊥ ，a＞0，b＞0，则有（）A . 最大值B . 最小值C . 最大值－D . 最小值08. （2分）函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A . （﹣2，1）B . （﹣2，1]C . [﹣2，1）D . [﹣2，﹣1]9. （2分） (2018高一上·深圳月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·正定期末) 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，若函数g（x）=f（x）﹣loga（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9）内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是________12. （1分） (2016高一上·东海期中) 函数y=log （x2﹣6x+17）的值域为________．13. （1分）若函数f（x）=loga有最小值，则实数a的取值范围是________14. （1分） (2016高一上·天水期中) 函数y=log（x﹣1）（3﹣x）的定义域是________．15. （1分） (2016高一上·吉林期中) 函数f（x）=log （x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为________．16. （1分） (2018高二下·北京期末) 若函数f(x)满足，则 f(2) =________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知函数f（x）=log3（2﹣x）+log3（x+6）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的最大值．18. （5分）已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1﹣x）（a∈R）的图象关于原点对称．（1）求定义域．（2）求a的值．19. （10分） (2019高一上·大名月考) 已知函数，函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．20. （10分） (2017高一上·眉山期末) 已知函数f（x）=log 的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+log （x+1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=log （x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．21. （15分） (2016高一上·哈尔滨期中) 已知f（x）= ，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x﹣2，ny）在函数y=gn（x）的图象上运动（n∈N*）．（1）求y=gn（x）的表达式；（2）若方程g1（x）=g2（x﹣2+a）有实根，求实数a的取值范围；（3）设，函数F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域为，求实数a，b的值．22. （10分） (2017高一下·怀仁期末) 已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。