选择题的解法1

数学选择题满分技巧
数学选择题满分技巧包括以下几点：
1. 排除法：通过排除一些明显错误的选项，来缩小选择范围，提高答题的正确率。

2. 推理法：通过对题目中的信息进行逻辑推理，推导出正确的答案。

3. 验证法：将选项代入题干进行验证，看是否符合题目的条件。

4. 特例法：通过举出一些特殊的例子来验证选项的正确性。

5. 观察法：通过观察选项中的数字、图形、表达式等特征，来快速找到正确的答案。

以上方法仅供参考，建议根据实际情况选择合适的方法。

同时，要想在数学选择题上获得满分，还需要具备扎实的数学基础和全面的思维能力。

专题突破练(5) 立体几何的综合问题一、选择题1．(2019·武汉模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 C解析对于A，若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故错误；对于B，若m ∥α，n∥α，则m与n平行或相交或异面，故错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错误．选C．2．(2020·昆明高三摸底)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m；但l⊥α，l⊥m，m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A．3．(2019·湖南长沙市长郡中学二模)如图，在下列三个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是( )A．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有①C．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有③答案 A解析对于①，连接BD，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD∥GE，DD1∥EF，从而可得BD∥平面EFG，DD1∥平面EFG，又BD∩DD1＝D，所以平面BDD1∥平面EFG，所以BD1∥平面EFG.对于②，连接DB ，DA 1，设正方体的棱长为1，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·GE →＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12DA 1→＝12(DD 1→·DA 1→－DB →·DA 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EG .连接DC 1，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·12DC 1→＝12(DD 1→·DC 1→－DB →·DC 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .对于图③，设正方体的棱长为1，连接DB ，DG ，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·EG →＝(DD 1→－DB →)·(DG →－DE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫DC →＋12DD 1→－12DA →＝12DD 1→2－DB →·DC →＋12DB →·DA →＝12－2×1×22＋12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EG .连接AF ，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·(AF →－AE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝⎛⎭⎪⎫DD 1→＋12DC →＋12DA →＝DD 1→2－12DB →·DC →－12DB →·DA →＝1－12×2×1×22－12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .故选A ．4．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ．∴A ′B ⊥A ′D ．∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，又A ′D ∩CD ＝D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°.故选B ．5．(2019·郑州二模)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则三角形PBB 1面积的最小值为( )A.32B ．1C ．34 D ．12答案 C解析 补全截面EFG 为截面EFGHQR ，如图，设BT ⊥AC 于T ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P ∥平面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∴P ∈AC ，且当P 与T 重合时，BP ＝BT 最短，此时△PBB 1的面积最小，由等积法：12BT ×AC ＝12BC ×BA ，即12BT ×12＋32＝12×1×3，∴BT ＝32，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，∴△PBB 1面积的最小值为12×32×1＝34，故选C.6．如图所示，已知在多面体ABC －DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.故选B ．7．(2019·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( )A ．πB ．6＋ 2C ．6－ 2D ．π＋2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其侧面展开图如图所示，则依题意，点A ，M 的最短距离，即为线段AM .∵PA ＝PB ＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM ＝πPB＝π2，∵∠APB ＝π3，∴∠APM ＝5π6，∴在△APM 中，根据余弦定理有，MA 2＝22＋22－2×2×2cos 5π6＝8＋43＝(6＋2)2，∴MA ＝6＋2，即蚂蚁所经过路程的最小值为6＋2.故选B ．8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( ) A ．22πR 2B ．94πR 2C ．83πR 2D ．52πR 2 答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R ＝x R，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx (3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.故选B ．9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，平面CEF 与直线PD 交于点H ，若点A ，B ，C ，H 都在球O 的表面上，则球O 的半径为( )A ．1B ． 2C ．32D ． 3答案 D解析 如图，取PD 的中点H ，PA 的中点G ，连接BG ，GH ，FH ，CH ，则GH ＝BC ，GH ∥BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．因为EF ∥平面PCD ，设平面PAB 与平面PCD 相交于直线m ，则EF ∥m ，CH ∥BG ∥m ，所以EF ∥BG ∥CH ，所以点H 就是平面CEF 与直线PD 的交点．取AD 的中点M ，连接CM ，HM ，则球O 就是直三棱柱ABG －MCH 的外接球，球心O 是两底面外接圆圆心连线的中点．直三棱柱ABG －MCH 的高BC ＝2，底面△ABG 的外接圆的半径为12BG ＝2，所以球O 的半径R ＝12＋22＝ 3.故选D ．10．(2020·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为( )A ．105B ．15C ．55D ．155答案 B解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1D ，可得A 1D ∥B 1C ，所以异面直线A 1B 与B 1C 所成的角即为直线A 1B 与直线A 1D 所成的角，即∠DA 1B 为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝BC ＝2AA 1＝2，则A 1B ＝A 1D ＝5，BD ＝22，在△A 1BD 中，由余弦定理得cos ∠DA 1B ＝A 1B 2＋A 1D 2－BD 22A 1B ·A 1D ＝5＋5－82×5×5＝15.故选B ．11．(2020·广东四校联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2答案 B解析 如图，连接AC ，交BD 于点O ，因为BD ＝BC 1＝DC 1＝2，所以△BC 1D 是等边三角形，故三棱锥C －BC 1D 为正三棱锥，设O ′为△BC 1D 的中心，连接CO ′，故CO ′⊥平面BC 1D ，延长CO ′到M ，使得MO ′＝O ′C ，连接OO ′，则OO ′∥AM ，所以AM 与平面ABCD 所成的角等于OO ′与平面ABCD 所成的角．因为BD ⊥OO ′，BD ⊥AC ，AC ∩OO ′＝O ，所以BD ⊥平面AMC ，故平面AMC ⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面AMC ＝AC ，根据两个平面相互垂直的性质可知OO ′在平面ABCD 上的射影一定落在线段AC 上，故∠O ′OC 为OO ′与平面ABCD 所成的角，即AM 与平面ABCD 所成的角．因为OC ＝22，OO ′＝13×32×2＝66，所以O ′C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝33，所以tan ∠O ′OC ＝3366＝2，故选B ．12．(2020·湖北重点中学高三起点考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，顶点P 在底面的正投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且AB ＝2，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN ＋MN 取最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．9π2B ．16π3C ．25π4D ．64π9答案 B解析 如图，在PC 上取点M ′，使得PM ＝PM ′，连接NM ′，则MN ＝M ′N ，AN ＋MN ＝AN ＋M ′N ，则当A ，N ，M ′三点共线时，AN ＋M ′N 最小，为AM ′，当AM ′⊥PC 时，AM ′取得最小值，即AN ＋NM ′的最小值．因为此时M 恰为PD 的中点，所以M ′为PC 的中点，连接AC ，所以PA ＝AC ＝2，因此PO ＝PA 2－AO 2＝ 3.易知外接球的球心在四棱锥的内部，设外接球的半径为r ，则r 2＝(3－r )2＋1，解得r ＝233，因此外接球的表面积S ＝4πr 2＝16π3.故选B ．二、填空题13．(2020·长春高三摸底)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α；③设α∩β＝l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β；④直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．答案 ①②解析 ①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.14．(2019·湖南湘潭四模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD －A 1B 1C 1D 1)的粮仓，宽3丈(即AD ＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________(填写所有正确结论的编号)．①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为31313；③长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为133π4平方丈．答案 ①③解析 由题意，因为10000×2.7＝30×45×AA 1，解得AA 1＝20尺＝2丈，故①正确；异面直线AD 与BC 1所成角为∠CBC 1，则sin ∠CBC 1＝21313，故②错误；此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4.52＋32＋2222＝133π4平方丈，所以③正确．15．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________．答案3＋12解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC ；折起后原正方形顶点到底面的距离为12，如图中的BC ．由图知球心与巢底面的距离OF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝3＋12.16．(2020·惠州调研)在三棱锥A －BCD 中，底面BCD 是直角三角形且BC ⊥CD ，斜边BD 上的高为1，三棱锥A －BCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为________．答案 43解析 如图，过点C 作CH ⊥BD 于点H .由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB ＝4.因为AB 为外接球的直径，所以∠BDA ＝90°，∠BCA ＝90°，即BD ⊥AD ，BC ⊥CA ，又BC ⊥CD ，CA ∩CD ＝C ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AD ，又BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CH ⊥BD ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ABD ．设AD ＝x (0<x <4)，则BD ＝16－x 2.在△BCD 中，BD 边上的高CH ＝1，所以V 三棱锥A －BCD ＝V 三棱锥C －ABD ＝13×12×x ×16－x 2×1＝16 －x 4＋16x 2，当x 2＝8时，V 三棱锥A －BCD 有最大值，故三棱锥A －BCD 体积的最大值为43.三、解答题17．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝π3，M 是PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面MBD ； (2)若PB ⊥PD ，三棱锥P －ABD 的体积为63，求四棱锥P －ABCD 的侧面积． 解 (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面MBD ，∴平面PAC ⊥平面MBD . (2)设菱形ABCD 的边长为x ， ∵∠ABC ＝π3，∴∠BAD ＝2π3.在△ABD 中，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos∠BAD ＝2x 2－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3x 2，∴BD ＝3x .又PA ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，PB ⊥PD ，∴PB ＝PD ＝62x ， ∴PA ＝PB 2－AB 2＝32x 2－x 2＝22x . 又S △ABD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12·x 2·sin 2π3＝34x 2，∴V 三棱锥P －ABD ＝13·S △ABD ·PA ＝13·34x 2·22x ＝63，∴x ＝2，∴PA ＝2，PB ＝PD ＝ 6. ∵∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝2.又PA ⊥平面ABCD ，∴PC ＝PB ＝6， ∴四棱锥P －ABCD 的侧面积为2S △PAB ＋2S △PBC ＝2×12×2×2＋2×12×62－1×2＝2(5＋2)．18. (2020·福建莆田月考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求点M 到平面A 1B 1C 的距离．解 (1)证明：如图，连接CM ，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥AA 1.在△ABC 中，由题意知AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)在矩形ABB 1A 1中，A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AMAA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x (x >0)，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.解法一：如图，连接B 1C ，B 1M .从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋CB 21－A 1B 212A 1C ·CB 1＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin∠A 1CB 1＝12×22×22×74＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M －A 1B 1C ＝V 三棱锥C －A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2×37＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.解法二：如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于点O . 在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可知CM ⊥A 1B 1. 又CM ∩DM ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM . 因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长为点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM ⊥DM .又MD ＝2，所以由勾股定理可得CD ＝CM 2＋MD 2＝7，S △CMD ＝12·CD ·MO ＝12·CM ·MD ，即12×7×MO ＝12×3×2，解得MO ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 19. (2019·安徽黄山三模)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：CD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥B －APQ 的体积．解 (1)证明：因为四边形ABCM 是平行四边形，且∠ACM ＝90°， 所以AC ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ， 又CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥CD ，又CD ⊥AC ，AC ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABC . (2)取AC 上一点H ，使CH ＝23CA ，因为DQ ＝23DA ，连接QH ，则QH ∥CD ，所以由(1)可得QH ⊥平面ABC .因为AB ＝AC ＝3，所以BC ＝32，AD ＝32，所以BP ＝DQ ＝32×23＝22，所以QH ＝13CD ＝13×3＝1，所以V 三棱锥B －APQ ＝V 三棱锥Q －APB ＝13S △PAB ·QH ＝13×23×12×3×3×1＝1.20.(2019·江西省名校联考)如图，在空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图，取BC 和BD 的中点H ，G ，连接HG ，则直线HG 为所求直线．证明如下．因为H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，所以HG ∥平面CDE . 取CD 的中点O ，连接EO ，AH ，AG ，如图，易知EO ⊥CD ，AH ⊥BC . 因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，所以EO ⊥平面BCD ， 又由平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，得AH ⊥平面BCD ， 所以EO ∥AH ，所以AH ∥平面CDE ，所以平面AHG ∥平面CDE ， 所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行． (2)由(1)可得EO ∥AH ，所以EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则点O 到平面ABC 的距离d ＝12DH ＝32，因为AB ＝13，所以三角形ABC 的面积S ＝12×2×132－1＝23，而经分析可得三角形ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，设B 到平面AEC 的距离为h ，用等体积法可得，V 三棱锥E －ABC ＝V 三棱锥B －ACE ，即13×23×32＝13×394×h ，解得h ＝43913. 21. (2019·湖北仙桃一中考前适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，∠PAD ＝∠APD ，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且AB＝CF ＝2FD ＝6.(1)证明：EF ⊥平面APB ；(2)在PC 上是否存在一点K ，满足PK →＝λKC →，使得平面EFK ∥平面PAD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图，取线段PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是线段PB 的中点，所以ME ∥AB ，ME ＝12AB .又AB ＝CF ＝2FD ＝6，所以DF ＝12AB ，所以ME ＝DF .又DF ∥AB ，所以ME ∥DF ，所以四边形MDFE 是平行四边形，所以EF ∥MD . 因为∠PAD ＝∠APD ，所以PD ＝AD ，所以MD ⊥PA .因为平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以MD ⊥AB .又PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面APB ，AB ⊂平面APB ，所以MD ⊥平面APB ，故EF ⊥平面APB . (2)存在满足条件的点K .由(1)可知EF ∥MD ，EF ⊄平面PAD ，MD ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD . 根据题意，可得当点K 为PC 上靠近点P 的三等分点时，满足题意． 因为PK KC ＝DF FC ＝12，所以FK ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FK ⊄平面PAD ，所以FK ∥平面PAD .又FK ∩EF ＝F ，所以平面EFK ∥平面PAD ，此时PK →＝12KC →，即λ＝12.故当PK →＝12KC →时，平面EFK ∥平面PAD .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

《比的应用》练习附答案一、填空题。

1、晨晨看一本书，已看页数与剩下页数之比是5:3。

已经看了65页，这本书一共有（）页。

2、甲、乙、丙三个数的平均数是60。

甲、乙、丙三个数的比是3:2:1。

甲、乙、丙三个数分别是（）、（）、（）。

3、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2:1，这两个锐角分别是（）度、（）度。

4、一套衣服的总价是112元，上衣与裤子的价格比是5:3，买一条裤子（）元，买一件上衣（）元。

二、选择题。

1、一种药水，药粉和水的质量比是1:50.现在要配制这种药水2550克，需要水（）克。

A、50B、51C、2500D、20502、甲乙两地相距900千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，5小时相遇。

已知客车和货车的速度比是5:4，客车平均每小时行（）千米。

A、100B、400C、500D、803、已知葡萄糖药粉和水的质量比是1:9，现在有葡萄糖药粉8.5千克，可以配制出葡萄糖药液（）千克。

A、76.5B、85C、8.5D、80.54、把一根木头按5:4分成甲乙两段，已知乙段长36c m，甲段长（）厘米。

A、20B、16C、45D、54三、判断题。

（1）一块长方形菜地有984平方米，计划按3:5中茄子和西红柿，茄子要种369平方米。

（）（2）六一班共有学生45人，男女生人数的比是6:5。

（）（3）甲乙两数的和是65，甲乙两数的比是2:3，甲数是26，乙数是39。

（）（4）学校生物兴趣活动小组饲养白兔、黑兔和灰兔，它们的只数比是2:2:3，已知白兔和灰兔共70只，黑兔有20只。

（）四、解答题1.果园里桃树棵树和梨树棵树的比是5:3，桃树和梨树共有400棵，两种果树各有多少棵？2、小明和小华所存钱数的比是3:5，如果小明再存入400元，就和小华存的钱数一样多。

小明原来存了多少钱？3、用84厘米的铁丝围城一个三角形，三角形的三条边长度的比是3:4:5，最长边是多少厘米？4、蔬菜批发市场周六早上批发销售了西红柿、黄瓜和辣椒共45吨，这三种蔬菜的质量比是8:2:5.这三种蔬菜各销售了多少吨？参考答案一、填空题。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高考数学 选择题专题研究理科、文科通用（第一版）谢昌鹏 编著2008年2月第一章 选择题解法研究 1前言在高考数学试题中，选择题共12题，分值60分，占总分的40%。

高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。

同时它又在全卷的开始部分，因此解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用。

赢得时间是高考获取高分的必要条件。

高考中快速准确解决选择题是取得高分的关键。

近年高考选择题的命题特点是：“多考一点想，少考一点算”。

因此，必须从解题法入手，才能提高选择题的解题效率。

每道选择题所考查的知识点一般为2～5个，以3～4个居多，故选择题组共考查知识点可达到近50个之多。

若每题均使用常规方法求解，按3分钟/题的最快速度计算，至少也需半个小时。

而使用解题技巧，可将时间缩短一半，效率提高一倍以上。

我们来看以下两个例子：【引例1】化简cos sin 44cos sin 44x x x x ππππ⎛⎞⎛⎞+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的结果是（ ）。

（A ）tan x − （B ）tan2x（C ）tan 2x （D ）cot x 如果用常规方法计算，解法如下：解：原式coscos sin sin sin cos sin cos 4444coscos sinsin sincos sin cos4444x x x x x x x x ππππππππ−−−=−++cos sin cos sin tan 2222x x x xx −−−===−故选（A ）。

按照常规方法，该题考查的是三角函数和差化积的应用。

先将原式展开，再合并同类项得出答案。

耗时约2～3分钟。

但使用选择题速解法，仅需半分钟！（解答过程见【例10】。

）【引例2】已知函数1xy x =−，那么（ ）。

一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．即x 1=121k +，x 2=61k -． 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，∴只有k =2为所求．二、填空题2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．答案：2解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．∴x 1=61k +，x 2=31k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．答案：24解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．此时原方程的两个实数根为：x =212m +14502=±，不妨设x 1＞x 2，则x 1=32，x 2=18．故m=244、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，∴m =7或m =-1．三、解答题5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．答案：-1．解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，设4m 2+5=n 2（n 为正整数），4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩， 则m =-1．6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，由求根公式得：x1=61a-，x2=41a+，∵方程有两个不相等的负整数根，∴a-1=-1，-2，-3，-6，a+1=-1，-2，-4，即：a=0，-1，-2，-5，a=-2，-3，-5，∴a=-2或-5．∴a=-2．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．解答：当m=0时，x=-1，当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1m，∵xm为整数，∴m=±1，综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，有整数根x=1，满足题意．当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，[mx-（2m+2）]（x-1）=0，mx-（2m+2）=0或a-1=0，∴x1=22mm+=2+2m，x2=1．又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴2m为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．则m 的值为0或1或2或-2．9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？答案：（1）证明见解答．（2）m =2或m =3．解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．由求根公式解得：x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．∴m =2或m =3．10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．答案：（1）证明见解答．（2）当m =-1时，原方程的根是整数．解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，得x =3m --．要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩．将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．∴当m =-1时，原方程的根是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，∴x =()22m +±． ∵该方程的根均为整数，∴m 2-12m +4必为平方数，令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），整理得（m -6）2-n 2=32，∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122m n =⎧⎨=⎩，当157m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．当122m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．答案：（1）证明见解答．（2）2或0或3或-1．解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，a =m -1，b =-2m ，c =m +1，∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m±-， ∴x 1=1，x 2=11m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m ＜-3．（3）m =-3，-1，3．解答：（1）解法一：由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．解法二：原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，∵m ≠0，∴原方程必有两个实根．（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m-， ∴2＜23m m -＜3，化简得2＜2-3m＜3， 由2＜2-3m可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．（3）∵m 为整数，x 2=2-3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．答案：（1）m ＜52． （2）2．解答：（1）由题意得：b 2-4ac =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，解得：m ＜52．（2）由m 为正整数，可知m =1或2，求根公式得x =-1∵方程的根为整数，∴5-2m 为完全平方数，则m 的值为2．15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．答案：（1）m ＞-1．（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）=8m +8．∵方程有两个不相等的实数根，∴8m +8＞0，∴m ＞-1．（2）在（1）的条件下，当m =1时，该方程可化为x 2+4x =0．∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．答案：（1）m ＞-18． （2）m =15．解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，原因：方程解为x =()23m -，∵10＜m＜21，m为整数，∴81＜8m+1＜169且为整数，∴913，又∵方程有两个整数根，或11或12，∴m=998或15或118，∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得（2x-m）（x-2m）=5故2521x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2125x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2521x mx m-=-⎧⎨-=-⎩，或2125x mx m-=-⎧⎨-=-⎩解得31311313 x x x xm m m m==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1＞0由根与系数关系得：x1+x2=-1kk+=-1-1k，x1·x2=1kk-=1-1k，∵根都是整数，∴k=±1，检验：k=-1不符合（舍）．综上所述，k=1．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k 的值．答案：（1）k =0，±2．（2）k =0，±2，±12． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，∴k =0，±2．（2）由x 1=61k +，x 2=31k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，∴k =0，±2，±12． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，∴2k -3≠0，∴k ≠32． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，∴0＜4k +1＜14，∴-14＜k ＜134． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，∴k ≥1516， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，∴k =1或2或3．当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24 B ．39C ．104D ．52解析：D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ．2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14nb==，所以201220T b b b=++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114n na a+-=，从而数列21na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求na=，14nb==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且310179a a a++=，则19S=（）A．51 B．57 C．54 D．72解析：B【分析】根据等差数列的性质求出103a=，再由求和公式得出答案.【详解】317102a a a+=1039a∴=，即103a=()1191019191921935722a a aS+⨯∴===⨯=故选：B4．若数列{}n a满足121()2nnaa n N*++=∈，且11a=，则2021a=（）A．1010B．1011C．2020D．2021解析：B【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.【详解】由121()2nnaa n N*++=∈，则11()2n na a n N*+=+∈，即112n na a+-=，所以数列{}n a是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107C ．109D ．105解析：B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.6．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B7．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸解析：D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161C ．141D ．151解析：B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B9．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33C ．34D ．35解析：D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D10．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49解析：C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C12．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ）A ．7B ．12C ．14D ．21解析：C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C14．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C15．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B.二、等差数列多选题16．题目文件丢失！17．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；20．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.21．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.22．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.23．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 24．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.25．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n nS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n nS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

智康1对1数学辅导教你选择题的十种解法谈及高考数学相信很多考生都有这样的体会，我每天做大量的数学题，数学公式倒背如流，平时的数学卷子也做的很不错，但是一到考场，每次都会折戟成沙，一败涂地。

那为什么会是这样呢?除去心理素质的原因，我们还能在哪些方面做到改进呢?智康1对1数学辅导老师就数学中最容易得分又最容易失分的选择题为广大考生做了总结并给出选择题的十种解法供同学们参阅。

数学选择题是高考数学三大基本题型之一，一组高考数学选择题，只要备题充分的扬长避短，运用好群体效应，就能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的全面考察。

能比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度，还能在一定程度上有效考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。

2003年的高考数学试卷(全国卷)仍将有12个选择题，每题5分，共计60分，占总分150分的40%。

而去年全国卷的难度为0。

60，即平均分为90，而60分占90分的比例为三分之一。

约67%。

可见选择题的成功率对于全卷的成功来说多重要。

从选择题的结构特征、命题方法可以寻找并总结出一些简捷巧妙的解法。

下面给出十种简捷巧妙的解法。

供你参考。

一、“抓住特征，逆施倒行”;二、“火眼金睛，一眼洞穿”;三、“观察思考，估算判断”;四、“多思少算，特值判断”;五、运动变化，巧用极端”;六、“数形结合，巧用直观”;七、“敢于排除，善于排除”;八、“注意平衡，巧用对称”;九、“等价转化，活用定义”;十、“巧用蕴含，果断排除”。

以上十种方法，配合应用就可以使得选择填空题解答又快又准。

比如，有些方程的解，我们可以翻过来用选择支代入验证，这就是逆向代入法，它比直接求解对号入座有时候要来得快。

再比如估值法，某年一道高考题是说，一个正方体的表面积是a的平方，那么，它的外接球的表面积是：题目中给出了四个选择支，我们估计圆的表面积比它的内接正方体的表面积要大一些，但也大不到哪里去，有两个答案说，外接球的表面积，分别是正方体表面积的六倍多和九倍多，显然应该排除另一个选择支，所求的表面积是正方体表面积的1。

第1讲选择题、填空题的解法方法思路概述高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.解法分类指导方法一直接法直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数=1-b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+b i|=()A.-1+2iB.1C.5D.(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos-2sin cos(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在上单调递增D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{a n}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=()A.-14B.9C.14D.20(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是.方法二特值、特例法特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则=.【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则()A. B.sin a>sin bC. D.a2>b2(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点.方法三等价转化法在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.【例3】(1)函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1(2)已知f(x)与函数y=-a sin x关于点,0对称,g(x)与函数y=e x关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.-∞,B.,+∞C.-∞,D.,+∞【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为()A.3B.2C. D.(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=ax-ln x-1,g(x)=,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为.方法四数形结合法数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是()A.3B.4C.3D.4(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【对点训练4】(1)已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是()A.(24,36)B.(48,54)C.(24,27)D.(48,+∞)(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|,下列说法正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在区间上是增函数C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z)D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点方法五构造法利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则()A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为.【对点训练5】(1)(2020天津和平区一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53(lo5),则a,b,c大小关系为()A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0方法六排除法(针对选择题)数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是()A.y=x+B.y=2x+2-xC.y=sin x+,x∈D.y=x2-2x+3(2)(2020浙江,4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是()方法七估算法选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则的取值范围是()A.B.C.∪(5,+∞)D.∪[5,+∞)专题方法归纳1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.第1讲选择题、填空题的解法解法分类指导【例1】(1)D(2)BD解析(1)由=1-b i,得2-a i=i(1-b i)=b+i,∴a=-1,b=2,则a+b i=-1+2i,∴|a+b i|=|-1+2i|=,故选D.(2)由题得,f(x)=cos-sin sin2x-cos2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x时,2x-,函数f(x)在上先单调递减后单调递增,故C错误;将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=f=sin2x,故D正确.对点训练1(1)D(2)解析(1)令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.∵等差数列{a n}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d==1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20;当a1=7,a6=2时,d==-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.(2)|2e1-e2|2,解得e1·e2又e1·e2≤1,所以e1·e2≤1.cosθ==,设e1·e2=x,则x≤1.cos2θ=,得cos2,所以cos2θ的最小值是【例2】(1)B(2)解析(1)因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b,故A,C错;log c b=3>log b a=,故D错,B正确.(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=,y2=则=(x,2y)(-x,2y)=-x2+4y2=对点训练2(1)C(2)(1,0)解析(1)对于A,取a=1,b=-1,则a>b成立,但,故A 错误;对于B,取a=π,b=0,则a>b 成立,但sin π=sin0,故B 错误; 对于C,因y=在R 上单调递减,若a>b ,则,故C 正确;对于D,取a=1,b=-2,则a>b 成立,但a 2<b 2,故D 错误. (2)曲线y=的对称中心为(1,0),设过对称中心的直线与曲线交于A ,B 两点,则A ,B 的中点为对称中心(1,0),所以过D ,E ,F 三点的圆一定经过定点(1,0). 【例3】(1)A (2)C 解析(1)当x>0时,函数f (x )过点(1,0),又函数f (x )有且只有一个零点,可推出,当x ≤0时,函数y=-2x +a 没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x 与直线y=a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a ≤0或a>1},故选A .(2)依题意得f (x )=a sin(1-x ),g (x )=ln x ,设h (x )=g (x )-x=ln x-x ,x ∈(0,1],∵h'(x )=-1≥0,∴h (x )在(0,1]上单调递增, ∴h (x )max =h (1)=ln1-1=-1. 故原题等价于存在x ∈,2,使得a sin(1-x )≥-1,∵sin(1-x )≤0,∴a 故只需a 而y=在x ∈,2上单调递减,而,∴a 故选C .对点训练3(1)C (2) 解析(1)如图,延长CA 至D ,使得AD=3,连接DB ,PD ,因为AD=AB=3,故△ADB 为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB ⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC 2=PB 2+BC 2,所以CB ⊥PB.因为DB ∩PB=B ,DB ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以CB ⊥平面PBD.所以V 三棱锥P-CBD=V 三棱锥C-PBD =CB×S △PBD .因为A 为DC 的中点,所以V 三棱锥P-ABC =V 三棱锥P-CBD =3×S △PBD =S △PBD .因为DA=AC=AP=3,故△PDC 为直角三角形,所以PD=又DB=AD=3,而PB=4,故DB 2=PD 2+PB 2,即△PBD 为直角三角形,所以S △PBD =4=2,所以V 三棱锥P-ABC =故选C .(2)当x ∈(0,3)时,g (x )=,当x ∈[3,+∞)时,g (x )=,所以φ(x )在[3,+∞)必成立,问题转化为φ(x )在(0,3)恒成立,由ax-ln x-1恒成立,可得a 在x ∈(0,3)恒成立,设h (x )=,x ∈(0,3),则h'(x )=,当0<x<1时,h'(x )>0,当1<x<3时,h'(x )<0,所以h (x )在(0,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,所以h (x )max =h (1)=,所以a,故实数a 的取值范围为【例4】(1)A (2)C 解析(1)作出对勾函数y=x+(x>0)的图象如图,由图象知函数的最低点坐标为A (2,4),圆心坐标为C (2,0),半径R=1,则由图象知当A ,B ,C 三点共线时,|AB|最小,此时最小值为4-1=3,故选A .(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练4(1)B(2)AC解析(1)画出f(x)=的图象,如图所示.∵a<b<c,∴由二次函数的性质可得a+b=6.由图可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)==9,∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范围是(48,54),故选B.(2)由题得,f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|==图象如图所示,由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;f(x)在区间上不是单调函数,故B错误;若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z),故C正确;函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.【例5】(1)A(2)(1,+∞)解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.(2)设F(x)=,则F'(x)=f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵e x-1f(x)<f(2x-1),,即F(x)<F(2x-1),∴x<2x-1,即x>1,∴不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为(1,+∞).对点训练5(1)C(2)C解析(1)构造函数g(x)=,则函数在(0,+∞)内单调递减,∵0.22<1<log35,则f(0.22)>f(1)>f(log35)=-f(lo5),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(lo5),∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(lo5),∴a>b>c.(2)当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件;当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,①当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)·(x-2a-b)≥0不恒成立;②当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0;③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C.【例6】(1)D(2)A解析(1)由题意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.(2)∵f(-x)==f(x),∴f(x)是偶函数,故f(x)图象关于y轴对称,排除C,D;又x=1时,f(1)=<0,排除B,故选A.对点训练6(1)BD(2)A解析(1)对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;对于C,对x,y=sin x+2,但等号成立需sin x=,方程无解,故C错误;对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.故选BD.(2)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x时,x cos x+sin x>0,所以排除B.故选A.【例7】B解析设人体脖子下端至肚脐长为x cm,则,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.对点训练7A解析作出表示的可行域如图所示,直线2x+y=4与坐标轴的交点为B(2,0),C(0,4).设z=,∵A(0,0), ∴z A=1;∵B(2,0),∴z B=;∵C(0,4),∴z C=5.由题知,无法取到B,C两点,的取值范围是。

1.2 等差数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{}n a 中，若25=a ，43=a ，则6=aA. －1B. 0C. 1D. 6 【答案】C【解析】（解法一）因为25a =，43=a ，有2642+=a a a ，得6a =1，故选C ．（解法二）因为25a =，43=a ，所以2224-=-=a a d ，6421a a d ∴=+=，故选C ． 2．在等差数列{}n a 中，若34830a a a ++=，则19a a +=A ．15B ．20C ．25D ．30 【答案】B【解析】由34830a a a ++=，得5330a =，则195220a a a +==，故选B ． 3．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】（解法一）m m m m m S S S S S 232--，， ，即10070 303-m S ，，成等差，1101003=-∴m S ，2103=∴m S ．故选C ．（解法二）特值法：取1=m 则100,3021211=+===a a S a S ，702=∴a ，1103=∴a ， 2103213=++=∴a a a S ．故选C ．4．设{}n a 是等差数列，则下列结论中正确的是A ．若021>+a a ，则032>+a aB ．若031<+a a ，则021<+a aC ．若210a a <<，则312a a a >D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a 【答案】C【解析】反例 A ： 2，-1，-4 B ：2，-1，-4 D:-3，-2，-1 或 02>-d 不成立．C ：210a a << ，3210a a a <<<∴，313122a a a a a >+=∴．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和， 则使n S 达到最大值的n 是A ．21B ．20C ．19D ．18 【答案】B【解析】（解法一） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，∴335a =,433a =， ∴432d a a =-=-， ∴139a =，∴2240(20)400n S n n n =-+=--+， ∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ．（解法二） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，两式相减得：63=-d ，2-=∴d ． 又13533105a a a a ++==，335a ∴=，3(3)241n a a n d n ∴=+-=-+． 令0n a >,得412n <,∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ． 6．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且n n n a a b -=+1．若23-=b ，1210=b ，则=8a A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 【答案】B【解析】d b b 7310=- 且23-=b ，1210=b ,2=∴d,82622)3(3-=-+-=-+=∴n n d n b b n ,821-=-∴+n a a n n ,)()(.....)()(7867231218a a a a a a a a a a -+-++-+-+=∴36420)2()4()6(3=++++-+-+-+=．故选B ．二、填空题7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10a ≠，213a a =，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因为213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+．8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且27S S =,6k S S =（6k ≠），则k = ．【答案】3【解析】（解法一）由27S S =,得1176272a d a d ⨯+=+, 所以14a d =-． 因为6k S S =，所以()11165622k k a d ka d -⨯+=+，所以()1241542k k d d kd d --+=-+，整理得，29180k k -+=，解得3k =，或6k =（舍去）． （解法二）因为()2111)222n n n d dS na d n a n -=+=--(， 所以对应的函数()21()22d df x x a x =--的图象是一条抛物线，因为27S S =， 所以()fx 的图象关于27922x +==对称． 又因为6k S S =，所以6922k +=，解得3k =． 9．已知}{n a 为等差数列，n S 表示}{n a 的前n 项和，}{n a 满足4560a a a ++>，100S <， 则n S 取得最大值时n 的取值为：___________． 【答案】5【解析】因为0)(510110<+=a a S ，所以065101<+=+a a a a ，又456530a a a a ++=>， 即05>a ， 所以06<a ，所以当5=n 时，n S 取得最大值．10．已知数列{}n a 的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的 前n 项和为n S ，则2019S =__________．（用数字作答） 【答案】3993【解析】（解法一）第1k +个1为数列{}n a 的第21(13521)1k k k k ++++++-=++项当44k =时211981k k ++=；当45k =时212071k k ++=； 所以前2019项有45个1和244(20191981)+-个2，所以22019452[44(20191981)]3993S =+⨯+-=．（解法二）把该数列排成如下格式 1，2 1，2，2，2 1，2，2，2，2，2 1，2，2，2，2，2，2，2 …设其前m 行共有m T 项，则)1(2642+=+⋯⋯+++=m m m T m , 令2019)1(≤+m m 则44≤m 又1980454444=⨯=T , 即前44行共有1980项，其中有44个1，1936441980=-个2,所以第2019项为第45行第3919802019=-项（其中有1个1，38个2）, 即前2019项共有45144=+个1，1974381936=+个2, 所以2019451197423993S =⨯+⨯=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，213a a =，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列．【解析】因为数列是等差数列，设公差为d ===(n -=，()n *∈N ，所以12n S a n =，()n *∈N所以当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-， 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-，所以{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N所以()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦，所以{}n a 是等差数列． 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，0≠n a ，11-λ=+n n n S a a ，其中为常数，（I ）证明：λ=-+n n a a 2；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．【解析】（I ）11-λ=+n n n S a a ， 1121-λ=∴+++n n n S a a ，1121++++λ=-∴n n n n n a a a a a ， 又01≠+n a ， λ=-∴+n n a a 2．（II ）由（I ）可知：{}n a 的奇数项和偶数项均为等差数列． 若{}n a 为等差数列，则122++=+n n n a a a ，又λ=-+n n a a 2，λ+=∴++1222n n a a ，即212λ=-++n n a a ． 由11=a ，11-λ=+n n n S a a ，可得:12-λ=a ,13+λ=a ．3122a a a += ，即11)1(2+λ+=-λ，解得4=λ，212=-∴a a ，又2212=λ=-++n n a a ， ∴当4=λ时，{}n a 是以2为公差的等差数列．1．3 等比数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等比数列t ，33+t ，66+t ，…的第四项等于A ．24-B ．0C ．12D ．24 【答案】A【解析】（解法一）23366=++=t t q ， t t 233=+∴，3-=∴t ， ∴第四项为：24233-=⨯-．故选A ．（解法二）依题意：)66()33(2+=+t t t ，091232=++∴t t ，即0)1)(3(32=++t t ，3-=∴t 或1-=t （舍去），所以该等比数列各项依次为：3-，6-，12-，24-． 即第四项为：24233-=⨯-．故选A ．2．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路， 第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目 的地．”那么，此人第4天和第5天共走路程是A ． 24里B ． 36里C ． 48里D ． 60里 【答案】B【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列． 由6378S =，得16611)2378112(a S -==-，解得：1192a =，344511192()192()24123622a a ∴+=⨯+⨯=+=，所以此人第4天和第5天共走了241236+=里．故选B ． 3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则=8a A ．8 B ．16 C ．32 D ． 64 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q )0(>q ，显然1≠q ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=4631)1(471)1(616313q q a S q q a S ，两式相除可得：91136=--q q ，即911)1)(1(3333=+=-+-q q q q ，2=∴q ，411=∴a ，3224178=⨯=∴a ．故选C ． 4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+A．3+ B．1 C．1+ D．3- 【答案】A【解析】 1321,,22a a a 成等差数列，3122a a a ∴=+，∴2210q q --=，解得1q =± 又0>n a ，0>∴q，1q ∴=+∴2910783a a q a a +==++A ． 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2021S与2021a 的关系是A. 2021202141S a =+ B ．2021202143S a =- C ．2021202121S a =- D ．2021202121S a =+ 【答案】C【解析】设等比数列的公比为)0(>q q ，由423,,a a a -成等差数列，得4322a a a +-=，又11=a ， 322q q q +-=∴， 即022=--q q ，0)1)(2(=+-∴q q ．又0>q ，2=∴q ，202020212=∴a ，122121202120212021-=--=S ，2021202121S a ∴=-．故选C ． 6．正项等比数列{}n a 中，463718+=a a a a ，则31323339log log log log ++++a a a a =A ．4B ．5C ．8D ．9 【答案】D【解析】因为246375218+==a a a a a 且{}n a 各项均为正数， ∴53=a ．所以()3132333931289log log log log log a a a a a a a a ++++=()()()()()423192837465355log log a a a a a a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦99353log log 39a ===． 故选D ． 二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和22nn S a a =⋅+-，则=a ________．【答案】1【解析】因为11()2211n n n a aS q a a q q=+-=⋅+---，所以20a a +-=，解得1a =． 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若24S =，46S =，则6S = ． 【答案】7【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以24S =，42642S S -=-=，所以641S S -=，所以641167S S =+=+=． 9．已知{}n a 为等比数列，且334,12a S ==，则=q ． 【答案】1=q 或21-=q 【解析】（解法一）当1=q 时，31333a a S ==，显然1=q 符合题意；当1≠q 时，4213==q a a 214qa =∴．又12)1(1)1(21313=++=--=q q a q q a S ， 解得 21-=q ．∴综上可得：1=q 或21-=q ． （解法二）4213==q a a ，214q a =∴．又123113=++=a q a a S ， 可得：84422=+q q q ，即0122=--q q ，0)1)(12(=-+∴q q ，21-=∴q 或1=q ． 10．设等比数列{}n a 满足13+=10a a ，24+=5a a ，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为_________． 【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=+=⎧⎨⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q +=+=⎧⎨⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=， 于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=． （2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =． 12．已知为数列{}n a 的前项和，11=a ，241+=+n n a S ．（1）设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和．【答案】（1）证明详见解析；（2）22)43(1+-=-n n n S ．【解析】（1）（解法一）241+=+n n a S ， 2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，)2(2211-+-=-∴n n n n a a a a ，即2,21≥=-n b b n n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（解法二）241+=+n n a S ，2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，22422244221111111=--=---=--=∴-----+-n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a b b ，2≥n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（2）241212+=+=a a a S 且11=a ，52=∴a ，32121=-=∴a a b ，11232-+⨯=-=∴n n n n a a b ，432211=-∴++n n n n a a ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2是以2121=a 为首项，以43为公差的等差数列， )13(41)1(43212-=-+=∴n n a n n ，22)13(--=∴n n n a ． 当2≥n 时，312)43(---=n n n a ，∴241+=-n n a S 22)43(1+-=-n n ，又111==a S 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式及前n 项和22)43(1+-=-n n n S ．n2.1 直线的斜率（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的是A ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等B ．若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等C ．若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角越大的，斜率也越大D ．若两直线的斜率不相等，则它们中斜率越大的，倾斜角也越大 【答案】B【解析】当倾斜角都为2π时，斜率都不存在，所以A 项不正确； 钝角的正切是负值，锐角的正切是正值，不是角越大斜率越大，所以C 、D 都不正确； 因为直线的斜率确定，则倾斜角就确定了，直线的斜率相等，倾斜角一定相等，故选B ． 2．若图中的直线123l l l ，，的斜率分别为123k k k ，，，则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 【答案】D【解析】直线1l 的倾斜角α是钝角，故10k <．直线2l 与3l 的倾斜角β与γ均为锐角，且<γβ，所以320k k <<，因此132k k k <<．故选D ．3．已知直线过)4 2(，A ，)1(mB ，两点，且倾斜角为 45，则=m A ．0 B ．2C ．3D ．5 【答案】C【解析】因为直线过)4 2(，A ，)1(m B ，两点，所以直线的斜率为m m -=--4214， 又直线的倾斜角为 45，所以直线的斜率为145tan =，即14=-m ，所以3=m ．故选C ．4．已知三点)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(kC ，在同一条直线上，则k 的值为 A ．4 B ．5 C ．6D ．7 【答案】B【解析】因为)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(k C ，三点共线，所以BC AB k k =，即45324)1(3--=---k ， 解得5=k ．故选B ．5．直线02sin =++⋅y x α的倾斜角的范围是A ．)0[π，B ．]40[π，C ．)43[]40[πππ，， D ．)2[]4 0[πππ，， 【答案】C【解析】因为02sin =++⋅y x α，可化为2sin -⋅-=x y α，所以直线的斜率为αsin -． 设直线的倾斜角为θ，则有]1 1[sin tan ，-∈-=αθ， 又)0[πθ，∈，所以)43[]40[πππθ，， ∈．故选C ． 6．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(-A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率 的取值范围是A ．]31,3[--B ．]3,31[ C ．),31[]3,(+∞---∞ D ．),3[]31,(+∞-∞ 【答案】A【解析】如图，311201-=---=AP k ，31003-=--=BP k所以]31,3[--∈k ．故选A ． 二、填空题7．直线2-=x y 的倾斜角的大小为_______． 【答案】4π 【解析】由一次函数的图像及直线的斜率公式可知，直线2-=x y 的斜率为1， 设倾斜角为θ，则)0[πθ，∈，由1 tan =θ可得4πθ=．8． 直线l 经过点)1,3(A ，),2(2m B -，R m ∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是______． 【答案】)2,4[ππ【解析】直线l 的斜率1123122≥+=-+=m m k ，即1tan ≥α，又),0[πα∈，所以)2,4[ππα∈． 9．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 【答案】),1[]3,(+∞--∞ 【解析】如图，11201=--=AP k ，31003-=--=BP k ， 所以),1[]3,(+∞--∞∈ k ．10．已知0>ab ，且)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，则ab 的最小值为________． 【答案】16【解析】因为)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，所以BC AC k k =， 所以)2(0)2()2()2(0----=----b a ，即2222+=+b a ，所以)(2b a ab +-=． 又因为0>ab ，故0<a ，0<b ，所以ab b a b a ab 4)]()[(2)(2≥-+-=+-=． 从而0≤ab (舍去)或4≥ab ，故16≥ab ，当且仅当4-==b a 时取等号， 即ab 的最小值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．a 为何值时，过点(2,3)A a ，(2,1)B -的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？ 【答案】当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角.．【解析】当22a =，即1a =时，直线AB 的斜率不存在，直线的倾斜角为直角． 当1a ≠时，132221AB k a a --==--，若直线的倾斜角α是锐角，则2tan 01AB k a α==>-，即10a ->，得1a >； 若直线的倾斜角α是钝角，则2tan 01AB k a α==<-，即10a -<，得1a <． 综上，当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角； 当1a =时，直线的倾斜角为直角．12．在平面直角坐标系内，)32 1(，A ，)3 4(，B ． （1）求直线AB 的倾斜角θ的值；（2）若一束光线通过点A ，经x 轴反射，反射光线通过点B ，求入射光线与x 轴的交点P 的坐标．【答案】（1）65πθ=； （2） )0 3(，【解析】（1）因为)32 1(，A ，)3 4(，B ，所以直线AB 的斜率为3314323-=--=AB k ．又)0[πθ，∈，所以65πθ=． （2）依题意，有BPx APO ∠=∠，即直线AP 与直线BP 的倾斜角互补，所以BP AP k k -=． 设)0 (，a P ，则4301320---=--a a ，解得3=a ，即点P 的坐标为)0 3(，．13．如图，在矩形ABCD 中，2BC AB =，直线AC 的斜率为1，求直线BC 的斜率．【答案】3【解析】由题意，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2BC AB =，所以1tan 2AB ACB BC ∠==． 设直线AC 的倾斜角为θ，则tan 1θ=， 且直线BC 的倾斜角为ACB θ+∠， 所以tan()BC k ACB θ=+∠11tan tan 2311tan tan 112ACB ACB θθ++∠===-∠-⨯．2.2 直线的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线022:=--y x l 的方向向量可以是A ．)2 1(-，B ．)2 1(，C ．)1 2(，-D ．)1 2(， 【答案】D【解析】（解法一）因为022=--y x ，可化为121-=x y ，所以直线l 的斜率为21， 所以直线l 所有的方向向量为)211(，λ，其中λ是不为零的任意实数， 又)1 2(，)21 1(2，=，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ． （解法二）由0=++C By Ax 的一个方向向量为) (A B -，， 可知直线022=--y x 的一个方向向量为)1 2(--，， 又)1 2(，)1 2(---=，，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ． 2．已知直线0=++c by ax 经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足A ．0>ab ，0<bcB ．0>ab ，0>bcC ．0<ab ，0>bcD ．0<ab ，0<bc 【答案】A【解析】由于直线0=++c by ax 经过第一、二、四象限， 所以直线存在斜率，将方程变形为bc x b a y --=， 如图，易知0<-b a 且0>-bc，故0>ab ，0<bc ．故选A ． 3．已知直线l 的一个法向量为)2 1(-，，且经过点)4 1(，，则直线l 的方程为 A ．092=-+y x B ．012=++y x C ．072=+-y x D ．012=--y x 【答案】C【解析】因为直线l 的法向量为)2 1(-，，可设直线的方程为02=+-C y x ． 又直线l 经过点)4 1(，，所以081=+-C ，即7=C ， 所以直线l 的方程为072=+-y x ．故选C ．4．如图，直线0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 在同一坐标系中正确的图形可能为A B C D 【答案】B【解析】0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 可分别化为n mx y +=和m nx y +=． 当00>>n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都大于零，纵截距也都大于零，四个选项均不满足； 当0<mn 时，直线1l 和2l ，有一条直线的斜率大于零，纵截距小于零，而另一条直线的斜率小于零，纵截距大于零，选项B 满足；当00<<n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都小于零，纵截距也都小于零，四个选项均不满足； 当0=mn 时，直线1l 和2l 至少一条经过原点，四个选项均不满足．故选B ． 5．直线l 经过点)4,3(，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 A ．07=-+y x B ．01=--y xC ．07=-+y x 或01=+-y xD ．07=-+y x 或01=--y x 【答案】C【解析】设直线l 的方程为:1=+b y a x ，因为直线l 过点)4,3(，所以有143=+ba ． 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以b a =，即b a ±=． 当b a =时，有143=+aa ，故7==b a ； 当b a -=时，有143=-aa ，故1,1=-=b a ． 所以直线l 的方程为:177=+yx 或1=+-y x ，即07=-+y x 或01=+-y x ．故选C ． 6．已知直线1l ：422-=-a y ax ，2l ：42222+=+a y a x ，若20<<a 时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数=a A ．1- B ．21C ．1D ．2 【答案】B【解析】直线1l 可写成)2(22-=-x a y ，直线2l 可写成)2(222--=-x ay ，所以直线1l ，2l 恒过定点)2 2(，P ，直线1l 的纵截距为a -2，直线2l 的横截距为22+a ，又20<<a ，所以四边形的面积222111152(2)2(2)4()2224S a a a a a =⨯⨯-+⨯⨯+=-+=-+， 故当21=a 时，四边形的面积最小．故选B ． 二、填空题7．若直线过点)1 3(，和点)4 32(，，则该直线的方程为 ． 【答案】023=--y x【解析】（解法一）因为直线过点)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的方程为0)1)(332()3)(14(=-----y x ，整理得；023=--y x ．（解法二）因为直线过)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的斜率为333214=--=k ，所以直线的方程为)3(31-=-x y ，整理得023=--y x ．8．已知直线0322=-+-m my x ，当m 变化时，直线都通过定点 ．【答案】)3 1(--， 【解析】（解法一）当0≠m 时，0322=-+-m my x ，可化为)1(23+=+x my ， 即))1((2)3(--=--x my ，所以直线过定点)3 1(--，． 又当0=m 时，0322=-+-m my x ，可化为1-=x ，也过点)3 1(--，． 综上所述，当m 变化时，直线0322=-+-m my x 都通过定点)3 1(--，． （解法二）0322=-+-m my x 可化为)1(2)3(+=+x y m ,令03=+y ，得13-=-=x y ，，所以直线过定点)3 1(--，．9．已知直线l 经过点)3,1(--A ，且倾斜角等于直线x y 3=的倾斜角的2倍，则直线l 的方 程为 ． 【答案】01543=++y x【解析】设直线l 倾斜角为α，直线x y 3=的倾斜角为θ，则θα2=． 又因为直线x y 3=的斜率为3，即3tan =θ，所以直线l 的斜率为43tan 1tan 22tan tan 2-=-===θθθαk ． 又直线l 过点)3,1(--A ，所以其方程为：)1(433+-=+x y ，即01543=++y x ． 10．已知过点)2 2(，-P 的直线l 在第二象限与两坐标轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时直线l 的方程为 ． 【答案】04 =+-y x【解析】显然，直线l 的斜率存在且大于零，设直线l 的方程为)2 (2+=-x k y ，0>k ， 令0=x 得，22+=k y ；令0=y 得，)22(+-=kx ； 所以三角形的面积为8224)22)(22(21)22(2221≥++=++=+-+=k kk k k k S ， 当且仅当k k22=，即1=k 时取等．故三角形的面积的最小值为8． 此时直线l 的方程为2 2+=-x y ，即04 =+-y x ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．已知直线l 过点)2 3(，P ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程；（2）若直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，当OAB ∆的面积为12时求直线l 的方程．【答案】（1）032=-y x 或01=--y x ；（2）01232=-+y x ．【解析】（1）设若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b 当0=-=b a 时，直线l 过原点，斜率为320302=--， 所以直线l 的方程为x y 32=，即032=-y x ； 当0≠-=b a 时，直线l 的方程为1=+b y a x ．又直线l 过点)2 3(，P ，所以123=+ba ． 因为b a -=，所以123=-aa ，故1=a ，1-=b ． 所以直线l 的方程为1=-y x ，即01=--y x ； 综上，直线l 的方程为032=-y x 或01=--y x ． （2）设直线l 的方程为)3(2-=-x k y ，0<k ， 令0=x 得，k y 32-=；令0=y 得，kx 23-=；因为直线l 与x 轴和y 轴交于正半轴，所以032>-k ，023>-k， 所以OAB ∆的面积12)23)(32(21=--=k k S ，解得32-=k ． 所以直线l 的方程为)3(322--=-x y ，即01232=-+y x ． 12．过点)1 2(，P 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点． （1）求的最小值及此时直线l 的方程； （2）求最小值及此时直线l 的方程． 【解析】（1）根据题意可设直线l 的方程为，则， 直线l 过点，， 又(当且仅当，即时取等号)， ，即， 的最小值为8，此时直线l 的方程为；（2）由（1）可知，，则，(当且仅当，即时取等号)． 的最小值为4，此时直线l 的方程为．||||OA OB ⋅||||PA PB ⋅1(0,0)x ya b a b+=>>(,0),(0,)A a Bb (2,1)P 211(0,0)a b a b∴+=>>21a b +≥21a b =4,2a b ==1∴≤8ab ≥||||=OA OB ab ∴⋅240x y +-=211a b +=02ab a ∴=>-2a>||||PA PB ∴⋅4≥=221(2)=(2)a a --3a =||||PA PB ∴⋅30x y +-=2.3 两条直线的位置关系（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．23- 【答案】A【解析】直线()120x m y ++-=和240mx y ++=平行，可得11224m m +-=≠， 得1m =．故选A ．2．已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=垂直，则ab 的最小值为 A ．1 B ．2 C ．22 D ．23 【答案】B【解析】由已知两直线垂直，得22(1)0b ab +-=，即221ab b =+，又0b >，所以12ab b b=+≥，当且仅当1b =时等号成立，所以ab 的最小值为2．故选B ． 3．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点在第一象限，则直线l 的倾斜角α的取 值范围为A ．(0 )30，B ．(30 )90，C ．(90 )135，D ．(135 )180， 【答案】B【解析】（解法一）已知直线:3l y kx =-过定点(03) P -，， 直线30x y +-=与x 轴，y 轴分别交于(30) A ，，(03) B ，，如图． 又33PA k =，通过数形结合可得， 33k >，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．（解法二）由330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点坐标为3333,)1+1+k k k +-（，又交点在第一象限， 所以3301+3301+kk k⎧+>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得33k > ，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．4．已知0a >，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，则a 的取范围为A ．0a >B ．01a <<C ．1a >D ．1a ≥ 【答案】C【解析】y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，y x a =+表示斜率为1，在y 轴上的截距为a 的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >．故选C ．5．若(2 3)P ，既是11()A a b ，，22()B a b ，的中点，又是直线111:130l a x b y +-=与直线 222:130l a x b y +-=的交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．2350x y -+=D ．320x y -= 【答案】D【解析】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线23130x y +-=上，故23AB k =-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为32，又AB中点为(2 3)P ，，所以线段AB 的垂直平分线的方程是()3322y x -=-，即320x y -=． 故选D ．6．已知直线1:310l x y --=，2:250l x y +-=，3:30l x ay --=不能围成三角形，则 实数a 的取值不可能为 A ．1 B ．13C ．1-D ．2- 【答案】A【解析】因为直线1l 的斜率为3，直线2l 的斜率为12-，所以直线1l ，2l 一定相交， 由3125x y x y -=⎧⎨+=⎩解得交点坐标为：(1,2)．当0a =时，3l 与横轴垂直，方程为：3x =不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a ≠时，3l 的斜率为：1a． 当1l 与3l 的斜率相等即13a =，时，13a =，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形； 当2l 与3l 的斜率相等即112a =-时，2a =-，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形； 当3l 过12,l l 交点(1,2)即1230a --=时，1a =-，此时三条直线不能构成三角形；故选A ． 二、填空题7．过点()4,2P －与直线370l x y --=：平行的直线方程为： ． 【答案】3140x y -+=【解析】设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-， 因为点()4,2P －在直线上， 所以()3420m ⨯-+－＝，解得14m =，即所求直线方程是3140x y -+=． 8．已知ABC ∆三条边所在的直线方程分别为02:=+-y x l AB ，022:=++y x l AC ，1:=x l BC ，则AC 边上的高所在直线方程为： ．【答案】012=+-y x 【解析】由201x y x -+=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标为(1 3)，． 因为直线AC 的斜率为12-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为2， 所以AC 边上的高所在直线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x ．9．直线:(21)(31)730l x y λλλ+++--=恒过定点，则该定点的坐标为： ． 【答案】(2 1)，【解析】（解法一）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成(237)(3)0x y x y λ+-++-=，要使直线恒过定点，必须237030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点(2 1)，．（解法二）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成21733131y x λλλλ++=-+++，即212(21)13131y x λλλλ++=-++++，即211(2)31y x λλ+-=--+，所以直线l 恒过定点(2 1)，． 10．已知m R ∈，动直线110l x my +-=：过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于A ，B 两点），则PA PB +的最大值为： ．【答案】【解析】由题意可得()()1,0,2,3A B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=， 所以直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直， 则()2222102PA PB PA PB AB++==≥，当且仅当PA PB ==时取等号，所以PA PB +≤PA PB +的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．在ABC ∆中，已知角C 的角平分线所在的直线方程为2y x =，顶点A ，B 的坐标分别是(4 2)-，，(3 1)，，求顶点C 的坐标． 【答案】(2 4)，．【解析】设(4 2)A -，关于直线2y x =的对称点为00( )A x y '，， 则0024AA y k x '-=+，AA '的中点坐标为0042( )22x y -+，，所以0000221424222y x y x -⎧⨯=-⎪+⎪⎨+-⎪=⨯⎪⎩， 解得0042x y =⎧⎨=-⎩，所以(4 2)A '-，，因为点A '在直线BC 上，且(3 1)B ，，所以BC 所在的直线方程为211(3)43y x ---=--，即3100x y +-=． 因为C 为直线BC 与直线2y x =的交点， 所以由31002x y y x +-=⎧⎨=⎩，31003100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，即(2 4)C ，．12．已知ABC ∆的顶点(5 1)A ，，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(4 3)C ，； （2）6590x y --=．【解析】（1）由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，得21=BH k ， 所以2-=AC k ，又(5 1)A ，，所以AC 边所在直线方程为2110x y +-=， 联立直线AC 与直线CM 方程得2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即顶点C 的坐标为(4 3)，．（2）设00( )B x y ，，则AB 的中点M 为0051( )22x y ++，，由M 在直线250x y --=上，得005125022x y ++⨯--=，即00210x y --=， 由点B 在直线250x y --=上，得00250x y --=， 联立0000210250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，所以顶点B 的坐标为(1 3)--，．又(4 3)C ，，所以直线BC 的方程为333(1)14y x --+=+--，即6590x y --=．2.4 点到直线的距离（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点 0)F0=的距离为 ABC ．3D ．m 3 【答案】A【解析】点F0=的距离d ==．故选A ．2．直线1:330l x y +-=与直线2:610l x my ++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 A ．4 BCD【答案】D【解析】直线1:330l x y +-=可化为6260x y +-=，因为1l 与直线2:610l x my ++=平行，所以2=m ，即2:6210l x y ++=， 所以1l 与2l之间的距离为d ==故选D ． 3．已知12=+y x ，则22y x +的最小值为 A ．1 B ．14 C ．15 D ．110【答案】C【解析】22y x +表示)0,0(到12=+y x 上点的距离的平方， 所以22y x +的最小值是（0，0）到012=-+y x 的距离d 的平方，据点到直线的距离公式得d ==22y x +的最小值为15．故选C ． 4．直线1:320l x y --=和直线2:3100l x y +-=的夹角平分线的方程为 A ．240x y +-= B ．260x y --=C ．240x y +-=或260x y --=D ．240x y +-=或260x y --= 【答案】D【解析】设(,)P x y 为角平分线上的任意一点，由该点到两直线的距离相等，即可得：=32310x y x y --=+-，整理得240x y +-=或260x y --=．故选D ．5．知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为 A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示： 设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '， 连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值， 且()()22=32+61=26A B '--． 故选B ．6．已知点P 为直线013:=--y x l 上的动点，当点P 到(4 1)A ，和(0 4)B ，的距离之差最 大时，点P 坐标为A ．(1 2，）B ．4( 33，） C ．(2 5，）D ．(3 8，） 【答案】C【解析】如图，作点B 关于l 的对称点为B '，AB '的延长线交l 于0P ，在l 上任取一点P ，则00PA PB PA PB AB P A P B '''-=-≤=-，则点0P 即为所求．设(0 4)B ，关于直线l 的对称点为00( )B x y '，， 则004BB y k x '-=，BB '的中点坐标为004( )22x y +，， 所以0000431431022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩，解得0033x y =⎧⎨=⎩，所以(3 3)B '，．所以直线AB '的方程为092=-+y x ．由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得0P (2 5，）．故选D ．二、填空题7．若点Q P ，分别为直线01243=-+y x 与0343=++y x 上的动点，则PQ 的最小值 为： ． 【答案】3【解析】依题意知，两直线平行．所以PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离， 即=min PQ 22|123|334--=+．8．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是25m n += ．【答案】3【解析】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行，则1226m n -=≠-， 即4n =-且3m ≠，所以2:2460l x y --=，化为2:230l x y --=，所以1l 与2l 之间的的距离为22(3)251(2)m --=+-，又0m >，所以7m =，所以3m n +=．9．已知点(1 2)A -，，(3 4)B ，．点P 在x 轴上，且PA PB =，则PAB ∆的面积为________． 【答案】152【解析】设AB 的中点坐标为M ，则(13)M ，， 因为241132AB k -==--，所以AB 的中垂线方程为)1(23--=-x y ，即052=-+y x ． 令=0y ，则52x =，即P 点的坐标为5( 0)2，，所以22(13)(24)25AB =--+-=， 点P 到AB 的距离为22535(1)(30)2PM =-+-= 所以113515252222PAB S AB PM ==⨯=△． 10．函数2291041y x x x =+-+_________． 74 【解析】()22222291041354y x x x x x =+-+=+-+设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和．作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -， 连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值， ()22153474BA =+--=min 74y ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．已知直线l 经过直线052=-+y x 与02=-y x 的交点．（1）若点)0 5(，A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）若直线l '经过原点O ，且与直线l 平行，求l '与l 的距离最大值时直线l '的方程．【答案】（1）2=x 或0534=--y x ；（2）02=+y x ．【解析】（1）（解法一）设经过两已知直线交点的直线方程为0)2(52=-+-+y x y x λ， 即05)21()2(=--++y x λλ3=．即02522=+-λλ，所以0)2)(12(=--λλ，解得21=λ或2-=λ．故l 的方程为2=x 或0534=--y x ． （解法二）由25020x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得交点)1 2(，P ． 当直线l 斜率不存在时，方程为：2=x ，此时点)0 5(，A 到l 的距离为3，故2=x 符合题意； 当直线l 斜率存在时，设其方程为：)2(1-=-x k y ，即021=-+-k y kx ，所以点)0 5(，A 到l 的距离为：31132=++k k ，解得34=k ， 所以直线l 的方程为：)2(341-=-x y ，即0534=--y x ． 综上，直线l 的方程为2=x 或0534=--y x ．（2）当两条平行直线l '，l 与P ，O 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又101202OP k -==-，所以两条平行直线的斜率为2-， 所以直线l '的方程是x y 2-=，即02=+y x ．12．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=．（1）证明：直线恒过定点；（2）当m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）详见解析；（2）47m =； （3）AOB ∆面积的最小值为4，此时直线的方程240x y ++=．【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最=． 又 423312PQ k +==+， 且()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，故22321m m --=-+，解得47=m ． （3）由（1）可知，直线过定点，且分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点， 设直线方程为()21y k x +=+，0<k ，分别令=0x ，=0y ，可得2(1,0)A k -，()0,2B k -，则1212212(1)(2)2()24222AOB k S k k k k k -=--=--=++≥+=-△， 当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4． 此时直线的方程240x y ++=．2.5 圆的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则：( 0)( 0)A a B a -，，，，设(),C x y ，则()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，所以()()21AC BC x a x a y →→⋅=+-+=，整理可得：22210x y a +=+>，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选A ．2．已知点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为A ．1a <B ．01a <<C ．15a >D ．1a > 【答案】D【解析】因为圆22240x y ay +--=，可化为()2224x y a a +-=+， 所以圆心()0,a ，半径24ra ． 因为点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部，所以点(1,1)a a +-到圆心()0,a 的距离大于半径，>1a >．故选D ． 3．若过点(2 1)，的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为 A ．55 B ．552 C ．553 D ．554 【答案】B【解析】由于圆上的点(2 1)，在第一象限，所以圆心必在第一象限， 因为圆与两坐标轴都相切，所以设圆的半径为a ，则圆心的坐标为()a a ，，故圆的标准方程为222()()x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为(11)，或(5 5)，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==，所以圆心到直线230x y --=．故选B ． 4．若方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆取得最大面积，则直线(1)2y k x =-+的 倾斜角α等于A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】D【解析】方程22220x y kx y k ++++=的标准方程为2223()(1)124k k x y +++=-， 则22314k r =-，当所表示的圆取得最大面积时，0k =，此时1r =， 则直线()12y k x =-+为2y x =-+，所以tan 1α=-，因为[0 180)α∈，，所以135α=︒．故选D ． 5．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆1C 与圆2C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的 方程为A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y +++=C ．22(2)(2)1x y -++=D ．22(2)(2)1x y -+-=【答案】C【解析】圆1C 的圆心为(11)-，，半径长为1，设圆2C 的圆心为( )a b ，， 由题意得111022a b -+--=且1=1+1b a --，解得22a b ==-，，即圆2C 的圆心为(2 2)-，， 又圆2C 的半径长为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=．故选C ．6．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于 点P ，则||||PA PB +（异于A ，B 两点）的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得(0,0)A ，(1,3)B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=和直线230mx y m --+=垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+，因为(0 )2PAB π∠∈，，所以3( )444PAB πππ∠+∈，，所以2sin()(1]42PAB π∠+∈， 所以||||PA PB +(10,25]∈．故选B ．二、填空题7．已知圆C 经过(5 1)A ，，(1 3)B ，两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ．【答案】22(2)10x y -+=【解析】依题意设圆C 的方程为222()x a y r -+=，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程为：22(2)10x y -+=． 8．若方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径长为____．【答案】(2,4)--； 5．【解析】由题意22a a =+，即1a =-或2a =．当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆． 9．由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为 ．【答案】84π+【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ，0y 时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成， 所围成的面积是2122224(2)842ππ⨯+⨯⨯⨯=+． 10．已知点(, )P x y 是圆22:4230C x y x y ++-+=上的动点，则22(1)(2)-++x y 的取值范围为 ．【答案】[8 32]，【解析】圆22:4230C x y x y ++-+=可化为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径2r =， 故22(1)(2)-++x y 表示圆上的点(,)P x y 到点(1,2)Q -的距离的平方，因为22(21)(12)32QC =--++=，所以22QC PQ QC -≤≤+，即2242PQ ≤≤，所以2832PQ ≤≤，所以22(1)(2)-++x y 的取值范围为[8 32]，． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）圆M 是三角形ABC 的外接圆，求圆M 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）22(1)9x y -+=．【解析】（1）直线AB 的斜率为022220AB k +==---， 由题意可知AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为122BC AB k k =-=． 因此，BC 边所在直线的方程为2222y x +=，即240x y --=； （2）直线BC 的方程为240x y --=，由于点C 在x 轴上，令0y =得，点()4,0C ． 由于ABC ∆是以ABC ∠为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心M 为线段AC 的中点()1,0M ，半径长为132AC ．因此，圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=． 12．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；①锐角△ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，(0,)A t ，(4,0)B ， (0,2)C ，(4,0)D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及△ABC 的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．【答案】（1）2t =-，22340x y x +--=；（2）2216x y +=；（3）22654x y +=． 【解析】（1）因为(0,)A t 在曲线W ：2416x y +=上，所以令0x =得，2t =-． 由于△ABC 为锐角三角形，外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆．设△ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则4201640420E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得304D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．。

高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1B ） lim 0+→x )x1 +1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ）A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ）A.0； B.∞； C.2； D. 21． 10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ）A.0； B.∞； C. 161； D.16．()()x x x x f 25lg 12-+-+=二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx=_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ; 24.求lim ∞→　x (11-+x x )x ; 25.求lim 0　x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限n n n n 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。

中考化学选择题的解法和技巧选择题作为客观性试题，具有知识覆盖面宽，形式灵活多样，答案相近，迷惑性大等特点，因而在全国各地的中考化学试题中，选择题在各类题型中所占比例最大，可以说选择题解答的好坏，直接影响到整份试卷得分的高低。

化学选择题一般由题干和选项两部分组成，其特殊的结构即决定了它具有多功能性。

研究选择题的常见题型，探究其解法，是提高解题技巧，减少失误，提高成绩的重要途径。

一、选择题的高频考点：1.化学变化与物理变化（或物理性质与化学性质）2.用微粒的观点解释常见现象3.已知化学式求化合价4.利用质量守恒定律推导化学式5.化学用语6.微观结构7.化学与生活8.金属活动性顺序表的应用9.溶解度曲线（坐标题）10.物质的鉴别和分离提纯二、选择题中的易错点：1.物质组成和结构（易把微观和宏观弄混，把质量比看成是原子个数比或者相反等等）；2.化学变化的实质（被现象蒙蔽而忽略其本质应是有无新物质生成，微观粒子图表形式表示化学变化过程的题目中对于单质与化合物、纯净物与混合物识别存在偏差，忘记配平方程式直接解题等等）；3.溶解度曲线（对于溶解度的定义没有很好掌握，忽略“一定温度下或溶剂为100克”的前提，对溶质质量分数的计算出现错误等等）。

4.物质的鉴别和分离提纯（没有考虑除杂后是否生成新杂质，没有考虑实际可行性等）。

三、选择题的常见类型：四、失分的原因及对策：1.审题不清。

例.(2019·江西模拟)通过化学的学习，我们重新认识了早已熟悉的空气和水，知道了自然界的水是( )A、纯净物B、混合物C、氧化物D、化合物对策：提倡“两遍读题”：第一遍快速阅读，用笔圈住关键词；第二遍放慢速度，缩小范围。

2.知识概念模糊。

例1.（2019•柳州）下列物质属于氧化物的是（）A．CO2B．KOH C．AgNO3D．H2SO4例2.（2019·上海模拟）下列属于有机物的是（）A．酒精B．碳酸C．金刚石D．二氧化碳对策：平时注重对概念理解，对知识的记忆积累，加强易混淆知识区别。

考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5＝( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．±4 2答案 A解析 由a 7a 3＝q 4得q 4＝4，则q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2答案 C解析 由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1,4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.3．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{a n }不是等比数列；若{a n }是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，….故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －12×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·湖南六校联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30，故选C.6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项和为( )A ．－144B ．80C ．144D ．304答案 D解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n >5，所以前12项和为5×32＋02＋7×8＋562＝80＋224＝304.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63答案 B解析 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7a 2＋a 62＝7×142＝49.选B. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，选A.二、填空题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 3＝2，则S 6S 3＝________. 答案 72解析 设等差数列{a n }的公差为d ，a 6a 3＝2，即a 3＋3d ＝2a 3，a 3＝3d ，S 6S 3＝3a 3＋a 43a 2＝a 3＋a 3＋d a 3－d ＝3d ＋3d ＋d 3d －d ＝72.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＝3，即1＋qq 2＝2，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则m ＝________.答案 191解析 等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则a m ＝d ＋2d ＋…＋19d ＝19×1＋192d ＝190d ＝a 191，m ＝191.12．(2019·河南新乡第一次模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴n ＋1S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.(2)由(1)知a 5＝0，即a 5＝a 1＋4d ＝0，即a 1＝－4d ， 又a 1>0，所以d <0， 由S n ≥a n 得na 1＋n n －12d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ， 因为d <0，所以n 2－9n ≤2n －10， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是1≤n ≤10(n ∈N *)．14．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]＝－2n－13.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 解法一：a 2＝S 2－S 1＝23－22＝4，a 3＝S 3－S 2＝24－23＝8，所以a 1＝a 22a 3＝2，所以S 1＝22＋λ＝2，故λ＝－2.解法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n 项和公式的结构知λ＝－2.2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.3．若等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4，S 5≥S 4≥S 6，则公差d 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－89 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－45C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，－45D ．[]－1，0答案 A解析 因为S 5≥S 4≥S 6，所以S 4＋a 5≥S 4≥S 4＋a 5＋a 6，所以a 5≥0≥a 5＋a 6，又a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4d ≥0，8＋9d ≤0，解得－1≤d ≤－89.5．数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1 D ．13(4n－1) 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，n ＝1时也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以a 2n ＝4n －1(n ∈N *)也是等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，r ，s ，t 为正整数，则“r ＋t ＝2s ”是“a r ＋a t ＝2a s ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由a r ＋a t ＝2a s 得(r ＋t －2)d ＝(2s －2)d ，即r ＋t ＝2s 或d ＝0，则“r ＋t ＝2s ”是“r ＋t ＝2s 或d ＝0”的充分不必要条件．故选C.7．已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )A ．12×37－16 B ．310C ．318D ．320答案 D解析 由题意，得a 23＝9，设等比数列的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3·a 3q＋a 3q ＝4·a 3，由公比不为1，解得q ＝3，所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝a 81q 16·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝(a 23)4q 12＝94×312＝320.8．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．nB ．n n －12C ．n n ＋12D ．n ＋1n ＋22答案 C解析 因为a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )·(2a n －a n ＋1)＝0，又因为a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，a n ＋1a 1＝a 1q n a 1＝2n ，所以b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n＝n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.二、填空题9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝30，则S 20＝________.答案 20解析 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，因为S 10＝10，S 30＝30，所以(S 20－10)2＝10×(30－S 20)，解得S 20＝20或S 20＝－10，因为S 20－S 10＝q 10S 10>0，所以S 20>0，则S 20＝20.10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，数列{a n }的前20项和S 20＝________.答案 200或330解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，又a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.12．(2019·山东德州第一次考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ≠0,3S n ＝a n a n＋1＋1，则a 2019＝________. 答案 3028解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1,3S n ＝a n a n ＋1＋1 ①，当n ＝1时，整理得3S 1＝3a 1＝a 1·a 2＋1，解得a 2＝2，当n ≥2时，3S n －1＝a n －1·a n ＋1 ②，①－②得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，由于a n ≠0，故a n ＋1－a n －1＝3(常数)，故数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则a n ＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1.数列{a n }的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，a n＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1，所以a 2019＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫2019＋12－1＝3028. 三、解答题13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。