2017-2018学年高中数学选修2-2北师大版同步配套阶段质量检测(四)定积分 Word版 含解析

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.2．函数y ＝11－cos x的导数是________．3．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f xex＞2的解集为________．7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.8．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.11．对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)a t－(t－1)a s＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是：____________________________________.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由．答 案1．解析：2－2i1＋i ＝－2＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i 2．解析：y ′＝－cos x －－cos x－cos x2＝－sin x －cos x2.答案：y ′＝－sin x －cos x23．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1) 6．解析：令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝fx －f xex＞0，∴g (x )为增函数．由f xex＞2得f xex＞fe，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0.答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b－＝－a ＋b ＋，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tt t －1s＝112．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.答案：42713．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1－x 2d x 22＝834＝23. 答案：2315．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.当a <－1时，列表：⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.18．解：推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)f b －f a b －a ＝ln b －ln a b －a ＝lnb a b －a ，要比较lnba b －a 与2a ＋b的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较ln b a 与b －a a ＋b 的大小．∵ln ba－b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫ba －1ba＋1，构造函数φ(x )＝ln x －x －x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x－4x ＋2＝x －2x x ＋2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －x －x ＋1＞0.则有ln b a ＞b －a b ＋a成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b成立．即得f b －f a b －a ＞2a ＋b .∴f b －f a 2＞b －ab ＋a.。

§2 微积分基本定理1.∫ π0(cos x+1)d x 等于( )A.1B.0C.π+1D.π解析:∫ π0(cos x+1)d x=∫ π0cos x d x+∫ π01d x=sin x |π0+x |π0=π.答案:D2.∫ 40|x 2-2x|d x=( )A .643B .0C .8D .16解析:∵f (x )=|x 2-2x|={2x -x 2,0≤x ≤2,x 2-2x ,2<x ≤4,∴∫ 40|x 2-2x|d x=∫ 20(2x-x 2)d x+∫ 42(x 2-2x )d x=(x 2-13x 3)|02+(13x 3-x 2)|24=8.答案:C3.若∫ a 1(2x +1x )d x=3+ln 2,则a 的值是( )A.6B.4C.3D.2解析:∫ a1(2x +1x )d x=∫ a 12x d x+∫ a 11x d x=x 2|1a +ln |x||1a=a 2-1+ln a=3+ln 2.故a=2.答案:D4.若f (x )={f (x -5)(x >0),2x +∫cos π603tdt (x ≤0),则f (2 015)等于 ( ) A.1 B.2 C.43 D.53解析:∫ π60cos 3t d t=sin3t3|0π6=13,f (2 015)=f (0)=20+13=43.答案:C5.已知f (x )是一次函数,且∫ 10f (x )d x=5,∫ 10xf (x )d x=176,则f (x )的解析式为() A.f (x )=4x+3 B.f (x )=3x+4C.f(x)=-4x+2D.f(x)=-3x+4 解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则∫10f(x)d x=∫1(ax+b)d x=(12ax2+bx)|01=12a+b=5,①∫1 0xf(x)d x=∫1(ax2+bx)d x=(13ax3+12bx2)|01=13a+12b=176.②联立①②,解得a=4,b=3,故f(x)=4x+3.答案:A6.∫π20sin2x2d x等于()A.π4B.π2-1 C.2 D.π-24解析:∫π20sin2x2d x=∫π21-cosx2d x=12(x-sin x)|π2=π-24.答案:D7.∫2(3x2+k)d x=10,则k=.解析:∫2(3x2+k)d x=(x3+kx)|02=10,则k=1.答案:18.∫422x ln 2d x=.解析:∫422x ln 2d x=2x|24=24-22=12.答案:129.若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f'(2)x+3,则∫3f(x)d x=.解析:∵f'(x)=2x+2f'(2),∴f'(2)=4+2f'(2).∴f'(2)=-4.∴f(x)=x2-8x+3.∴∫30f(x)d x=∫3(x2-8x+3)d x=(13x3-4x2+3x)|3=-18.答案:-1810.求下列定积分: (1)∫a-a√x2d x(a>0);(2)∫21(t+2)d x.分析(1)利用定积分的性质和微积分基本定理求值,但要根据积分变量的范围,用好被积函数的解析式.(2)在求被积函数的原函数时,要注意积分变量是x ,而不是t.解(1)由√x 2={x , x ≥0,-x ,x <0,得∫ a -a √x 2d x=∫ a 0x d x+∫ 0-a (-x )d x=12x 2|0a −12x 2|-a 0=a 2. (2)∫ 21(t+2)d x=(tx+2x )|12=(2t+4)-(t+2)=t+2. ★11.已知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解由题意知f (a )=∫ 10(2ax 2-a 2x )d x =(23ax 3-12a 2x 2)|01=23a-12a 2. ∴f (a )=23a-12a 2=-12(a -23)2+29. ∴当a=23时,f (a )max =29.★12.如图,直线y=kx 分抛物线y=4x-x 2与x 轴所围平面图形为面积相等的两部分,求k 的值. 解抛物线y=4x-x 2与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=0,x 2=4,所以抛物线与x 轴所围平面图形的面积S=∫ 40(4x-x 2)d x=(2x 2-x 33)|04=32-643=323. 抛物线y=4x-x 2与直线y=kx 的两个交点的横坐标分别为x 3=0,x 4=4-k ,所以S 2=∫ 4-k 0(4x-x 2)d x-∫ 4-k 0kx d x =∫ 4-k 0(4x-x 2-kx )d x=(4-k 2x 2-x 33)|04-k =16(4-k )3. 又知S=323,所以16(4-k )3=163,于是k=4-√323=4-2√43.。

阶段质量检测(四) 定积分[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD ．m n2.∫10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD ．e ＋13．若∫k0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．不确定4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．166.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.157．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323C.643D ．98．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( )A ．16πB ．32πC ．8πD ．4π9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203 C.gt 202D.gt 20610.如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( )A ．6B ．9C ．12D ．3答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3 cos x d x ＝________.12．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 13．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.14．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．。

章末综合测评(四) 定积分 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )A B C D【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确. 【答案】 B2.⎠⎛02πsin x d x ＝( )A.1B.2C.－2D.0【解析】 ⎠⎛02πsin x d x ＝－cos x |2π0＝0.【答案】 D3.⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝( )A.12B.2C.－12D.－2【解析】 ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.【答案】 C4.若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( )A.2B.23C.2或23D.2或－23【解析】 ∵a >0，∴⎠⎛0a (2－3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 2|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2＝－2，解得a ＝2.【答案】 A5.曲线y 2＝6ax ，x ＝2a (a >0)绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( ) A.2πa 2 B.4πa 2C.12πa 3D.14πa 3【解析】 V ＝⎠⎛02a πy 2d x ＝⎠⎛02a π6ax d x ＝3πax 2|2a0＝12πa 3.【答案】 C6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈[1，e ]，则⎠⎛0e f (x )d x 等于( )【导学号：94210079】A.43 B.54 C.65D.76【解析】 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x |e1＝43. 【答案】 A7.由y ＝e x，x ＝2，y ＝e 围成的曲边梯形的面积是( ) A.e 2－2e B.e 2－e C.e 2D.e【解析】 所求面积为S ＝⎠⎛12(e x－e )d x＝(e x －ex )⎪⎪⎪21＝e 2－2e .【答案】 A8.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝3－ln 2，且a >1，则a 的值为( )A.6B.4C.3D.2【解析】 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝(x 2－ln x )|a 1＝a 2－ln a －1，故有a 2－ln a －1＝3－ln 2，解得a ＝2.【答案】 D9.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1【解析】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x ＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e (e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e (e －1)，所以ln 2<73<e (e－1)，即S 2<S 1<S 3.【答案】 B10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f ＝1，则实数a 的值是( )A.4B.3C.2D.1【解析】 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f ＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 【答案】 D11.定积分⎠⎛01(1－（x －1）2－x )d x 等于( )A.π－24B.π2－1 C.π－14D.π－12【解析】 ⎠⎛01(1－（x －1）2－x )d x＝⎠⎛011－（x －1）2d x －⎠⎛01x d x .⎠⎛011－（x －1）2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的上半圆与x ＝1，x ＝0，y ＝0围成的图形面积.画出图形(略)可知S 1＝⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4，S 2＝⎠⎛01x d x ＝12，∴S ＝S 1－S 2＝π－24. 【答案】 A12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2【解析】 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）⎪⎪⎪4＝4＋25ln 5.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.【解析】 ∵⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )⎪⎪⎪10＝1＋k ＝2，∴k ＝1.【答案】 114.曲线y 2＝4ax ，x ＝a (a >0)绕x 轴旋转所得的旋转体体积是________.【导学号：94210080】【解析】 由旋转体体积公式可得：V ＝π⎠⎛0a y 2d x ＝π⎠⎛0a 4ax d x ＝4πa ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2|a0＝2πa 3. 【答案】 2πa 315.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________.【解析】 ∵⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a3＝ax 20.∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.【答案】3316.曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是________.【解析】 作出两曲线y ＝x 2与y ＝x 12围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝23－13＝13.【答案】 13三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)由直线y ＝kx (k >0)，直线y ＝0，x ＝1所围成的图形的面积为S 1，由曲线y ＝3－3x 2，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求k 的值及直线的方程.【解】 依题意得S 1＝⎠⎛01kx d x ＝12kx 2|10＝k 2，S 2＝⎠⎛01(3－3x 2)d x ＝(3x －x 3)|10＝2.∵S 1＝S 2，∴k2＝2，解得k ＝4，则直线的方程为y ＝4x .18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线y ＝14x 2，x ∈，x ＝0及y ＝214所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所形成几何体的体积.图1【解】 根据题意和图形，所求体积V ＝⎠⎜⎛094 π·(2y )2d y ＝4π⎠⎜⎛094 y d y ＝4π×12y 2⎪⎪⎪⎪940＝2π×8116＝81π8.19.(本小题满分12分)计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 解得x 1＝0，x 2＝3.因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.20.(本小题满分12分)求由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2以及x 轴所围成的平面图形的面积.【解】 作出直线y ＝x －2，曲线y ＝x 的草图， 所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.可求得直线y ＝x －2与曲线y ＝x 的交点为(4，2).直线y ＝x －2与x 轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S )，由两部分组成：一部分是直线x ＝2左边的图形的面积(记为S 1)；另一部分是直线x ＝2右边的图形的面积(记为S 2).则S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛02x d x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛24x d x －⎠⎛24（x －2）d x ＝23x 32|20＋23x 32|42－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |42＝103. 21.(本小题满分12分)设F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t .(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在上的最值.【解】 依题意，F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞). (1)F ′(x )＝x 2＋2x －8， 令F ′(x )>0，得x >2或x <－4， 令F ′(x )<0，得－4<x <2， 由于定义域是(0，＋∞)，∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0，2). (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)， 由于F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－283.22.(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x ＋3所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】曲线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋3的交点为A (－1，1)，B (3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所得旋转体的体积V 等于直线y ＝2x ＋3，x ＝－1，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝－1，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V 2).又V 1＝⎠⎛－13π(2x ＋3)2d x ＝π⎠⎛－13(4x 2＋12x ＋9)d x ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3＋6x 2＋9x ⎪⎪⎪3－1＝3643π.V 2＝⎠⎛－13π(x 2)2d x ＝π⎠⎛－13x 4d x ＝π5x 5⎪⎪⎪3－1＝2445π.所以所求旋转体的体积V ＝V 1－V 2 ＝1 08815π.。

第四章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由三条直线x=1,x=3,y=2x+5和一条曲线y=x 2所围成的图形的面积可表示为( ) A.∫ 31(2x+5+x 2)d x B.∫ 31(2x+5-x 2)d x C.∫ 31(x 2-2x-5)d x D.∫ 31(x 2-2x+5)d x 答案:B2.定积分∫ 10(2x+e x )d x 的值为( )A.e +2B.e +1C.eD.e -1解析:因为(x 2+e x )'=2x+e x ,所以∫ 10(2x+e x )d x=(x 2+e x )|01=(1+e 1)-(0+e 0)=e . 答案:C3.已知f (x )={x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则∫ 1-1f (x )d x 的值为( )A.32 B.43C.23D.-23答案:B4.已知一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t (速度的单位:m/s),则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A .405 mB .540 mC .810 mD .945 m解析:令v (t )=27-0.9t=0,则t=30,所以列车刹车30 s 后可停车,列车由开始刹车到停车所走过的路程为s=∫ 300v (t )d t=∫ 300(27-0.9t )d t=(27t-0.45t 2)|030=405(m). 答案:A5.已知某物体从A 处向B 处运动的速度为1.4t m/s(t 为运动的时间),到B 处时的速度为35 m/s,则A ,B 间的距离为( ) A .120 m B .437.5 m C .360 m D .480 m解析:因为从A 处到B 处所用的时间为25 s,所以|AB|=∫ 2501.4t d t=0.7t 2|025=437.5(m). 答案:B6.∫ 4-2e |x|d x 的值等于( ) A.e 4-e -2 B.e 4+e 2 C.e 4+e 2-2D.e 4+e -2-2解析:∫ 4-2e |x|d x=∫ 0-2e -x d x+∫ 40e x d x=-e -x |-20+e x |04=-(1-e 2)+(e 4-1)=e 4+e 2-2.答案:C7.设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成封闭图形的面积为a 2,则a=( ) A.49B.29C.23D.解析:由已知得S=∫ a0√x d x=23x 32|0a =23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a=49. 答案:A8.已知f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x ,则f (a )的最小值是( )A.-1B.1C.14D.-14解析:f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x=(a 2x 3-ax 2)|01 =a 2-a=(a -12)2−14.当a=12时,f (a )取得最小值-14. 答案:D 9.如图所示的阴影部分的面积为 ( )A.2√3B.9-2√3C.323 D.353解析:阴影部分的面积S=∫ 1-3(3-x 2-2x )d x=(3x -13x 3-x 2)|-31=323.答案:C10.由曲线y=x 2-2x 与直线x=1,x=3及x 轴所围成的图形的面积为( ) A.2B.83C.43D.23解析:∫ 31|x 2-2x|d x=∫ 21[-(x 2-2x )]d x+∫ 32(x 2-2x )d x=(-13x 3+x 2)|12+(13x 3-x 2)|23=23+43=2. 答案:A11.已知某物体在变力F (x )=5-x 2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时,F (x )做的功为( ) A .√3 J B .2√33 JC .4√33 JD .2√3 J由于F (x )与位移方向成30°角,如图.F 在位移方向上的分力F'=F ·cos 30°,所以W=∫ 21(5-x 2)·cos 30°d x=√32∫ 21(5-x 2)d x=√32(5x -13x 3)|12=√32×83=4√33(J).答案:C12.将由曲线y=1x-2,x=14,x=2,y=0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) A .(21-6ln 2)π B .(212-12ln2)π C .(212-6ln2)πD .(21-12ln 2)π解析:所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=π∫ 1214(1x -2)2d x+π∫ 212(1x -2)2d x=π∫ 214(1x -2)2d x=π∫ 214(1x 2-4x +4)d x =π(-1x -4ln |x |+4x)|142=π[-12-4ln2+8-(-4-4ln 14+1)] =(212-12ln2)π. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某动点P 从原点出发,沿x 轴运动,其速度v (t )=2-t (速度的正方向与x 轴的正方向一致),则当t=3时,动点P 移动的路程为 .解析:∵由v (t )=2-t ≥0,得0≤t ≤2,∴当t=3时,点P 移动的路程为s=∫ 20(2-t )d t-∫32(2-t )d t=(2t -12t 2)|02−(2t -12t 2)|23=52. 答案:5214.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上的坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F=k ·qr 2(其中k 为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=b (a<b )处,则电场力对它所做的功为 .解析:W=∫ ba k ·q r 2d r=-k ·q r |ab =k (q a -qb ). 答案:k (q a -qb )15.将由曲线xy=a (a>0),x=a ,x=2a 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 . 解析:曲线方程可改写为y=ax ,因此所求体积为V=∫ 2a a π·a 2x 2d x=-πa 2x -1|a 2a =-πa 2·12a +πa 2·1a=πa2.答案:πa216.将曲线y=sin x (x ∈(0,π))及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .解析:所求体积V=π∫ π0sin 2x d x=π∫ π1-cos2x 2d x=π(12x -14sin2x)|π0 =π[π2-14sin2π-(-14sin0)]=π22. 答案:π22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)物体A 以速度v=3t 2+1在一条直线上运动,在此直线上与物体A 同时出发的物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v=10t 的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A 走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)解设A 追上B 时,所用的时间为t 0,依题意有s A =s B +5,即∫ t00(3t 2+1)d t=∫ t0010t d t+5,t 03+t 0=5t 02+5,t 0(t 02+1)=5(t 02+1),解得t 0=5 s,所以s A =5t 02+5=130 m . 18.(12分)是否存在常数a (a ≤2),使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解存在常数a 满足题意.当a ≤0时,由题意得∫ 0a (x 2-2x )d x=43,即(13x 3-x 2)|a 0=43,a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵a ≤0,∴a=-1.当0<a ≤2时,由题意得∫ a0|x 2-2x|d x=∫ a0(2x-x 2)d x=43,即a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵0<a ≤2,∴a=2.故存在a=-1或a=2使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43.19.(12分)设两条抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求: (1)M 的面积;(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.如图.(1)解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得x 1=0,x 2=1,交点坐标为(0,0),(1,1).M 的面积为S=∫ 10[(-x 2+2x )-x 2]d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-2×13x 3+x 2)|01=13. (2)旋转体的体积为V=π∫ 10[(-x 2+2x )2-(x 2)2]d x =π∫ 10(-4x 3+4x 2)d x=π(-x 4+43x 3)|01=π3. 20.(12分)如图,直线l 与抛物线y=x 2相交于A ,B 两点,AB 与抛物线所围成的图形的面积恒等于43,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.解设抛物线y=x 2上的两点为A (a ,a 2),B (b ,b 2)(a<b ),l 与抛物线所围成的图形的面积为S ,则S=∫ b a [(a+b )x-ab-x 2]d x=(a+b 2x 2-abx -13x 3)|a b =16(b-a )3=43,得b=a+2. 设线段AB 的中点为P (x ,y ), 则x=a+b 2,y=a 2+b22,即{x =a +1,y =a 2+2a +2,消去a ,得y=x 2+1,即为点P 的轨迹方程. 21.(12分)如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m 上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P (单位:N/m 2)与体积V (单位:m 3)的函数关系式为P=80V ,而正压力F (单位:N)与压强P 的函数关系为F=PS ,其中S (单位:m 2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半(开始活塞处于圆柱顶端),求活塞克服气体压力所做的功.解设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为P=80V =800.01π(0.8-x ), 从而活塞受到的压力为 F=PS=800.01π(0.8-x )×0.01π=800.8-x . 所以活塞克服气体压力所做的功为W=∫ 0.40800.8-x d x=[-80ln(0.8-x )]|00.4=80ln 2(J), 故活塞克服气体压力所做的功为80ln 2 J . 22.(12分)如图,已知抛物线y 2=x.(1)求抛物线上过点(-1,0)的切线方程; (2)求抛物线与(1)中的切线围成的图形的面积; (3)求将(2)中的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0),由y=±√x ,得y'=±2√x.则抛物线y 2=x 在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=±2√x (x-x 0).因为切线过点(-1,0),所以-y 0=±2√x (-1-x 0).又y 02=x 0,由{-y 0=2√x -1-x 0),y 02=x 0,解得{x 0=1,y 0=1或{x 0=1,y 0=-1.所以切线方程为y=±12(x+1).(2)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形的面积S 1=2∫ 10√x d x=2×23x 32|01=43.两条切线与直线x=1围成的图形的面积为S 2=12×2×2=2.故所求面积为S 2-S 1=2-43=23.(3)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为V 1, 所以V 1=π∫ 10x d x=π·12x 2|01=π2. 两条切线与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V 2=13π×12×2=2π3. 所以所求体积为V=V 2-V 1=2π3−π2=π6.。

北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。

阶段质量检测(一) 推理与证明 [考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n ＋12．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61C ．62D.635．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点6．已知函数f (x )＝5x ，则f (2 014)的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1257．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋18．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋19．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x ，g (x )＝－1x ； ④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．正负都有可能答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.12．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．13．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n 1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)． 求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．答 案1．选B2．选B 命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.3．选B 因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．4．选C 第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置， 第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1 953,2 014－1 953＝61<63，∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.5．选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．选B 因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f (2 014)的末四位数字与f (6)的末四位数字相同，即f (2 014)的末四位数字是5 625.7．选A 当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.8．选B 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为 (2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．9．选C 对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A ，D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．10．选A ∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0.11．解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋112．解析：因为y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像上的点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2213．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：20115．解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ， 即2a n1＋a n ＝a n，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.16．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0. 又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0.∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立．∴B 为锐角．法二(综合法)：由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ，则b ＝2aca ＋c ，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )．∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴0<B <π2，即B 为锐角．17．证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1，所以1－a >0.由基本不等式，得(1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 18．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k 2k ＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k 2k ·k k ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·kk ＋1＋(k ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1) ＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n ＝f (n )成立．。

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．2×10nB ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D ．2×10n －2 12.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A ．2B ．4C ．6D ．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B由题意知275L 2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

阶段质量检测(四) 定积分[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD ．m n2.∫10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD ．e ＋13．若∫k0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．不确定4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．166.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.157．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323C.643D ．98．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( )A ．16πB ．32πC ．8πD ．4π9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203 C.gt 202D.gt 20610.如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( )A ．6B ．9C ．12D ．3答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3 cos x d x ＝________.12．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 13．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.14．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．16.(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．答 案1．选C 根据定积分的性质，∫b a nf (x )d x ＝n ∫ba f (x )d x ＝mn .2．选C ∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪ 1＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C.3．选B ∫k0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 4．选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 5．选D ∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称，∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.6．选B 根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13.7．选B 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1－3(2x －3)d x＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323.8．选C 由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2x2 |40＝8π.9．选C s ＝⎠⎛0 t 0v (t )d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20. 10．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1，解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪2－1＝9.11．解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x ＝32.答案：3212．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，则x 0＝33. 答案：3313．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫60(6t－t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144(cm 3)．答案：14414．解析：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛012∫12010x 2d x ＋⎠⎜⎛121 (10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪112＝54. 答案：5415．解：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2－2x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－32＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×8＋32×4－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋32－2＝56－23＋56＝53－23＝1. 16．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x24－－x2d x ＋∫21⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 24－－d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫∫103x 24d x －∫21x 24d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪ 1－x 312⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝43. 法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0－1(2－y －－y )d y ＝2∫0－1－y d y＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×(－y－1＝43. 17．解：依题意知，阴影部分的面积S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t)d x ＝(x e t －e x )⎪⎪⎪t＋(e x －x e t )⎪⎪⎪1t＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝(2t －1)e t， 取g ′(t )＝0，解得t ＝12.当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．因此g (t )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e ＋1－(e －1)2，故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 18.解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ，因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2≥4b ，满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为S 1＝∫1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a24－－d a ＝∫1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋1d a ＝a 312|1－1＋2＝136.而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324.。