2同角三角函数的基本关系及诱导公式

2021年新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．(2018·成都诊断)已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .。

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：□1sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z ).2.三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切口诀一2k π＋α(k ∈Z )sin αcos αtan α奇变偶不变，符号看象限二π＋α□2－sin α□3－cos α□4tan α三－α□5－sin α□6cos α□7－tan α四π－α□8sin α□9－cos α□10－tan α五π2－α□11cos α□12sin α－六π2＋α□13cos α□14－sin α－常用结论1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，都有sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)已知sin(7π2＋α)＝35，那么cos α＝()A.－45 B.－35C.35D.45解析：B因为sin(7π2＋α)＝－cos α＝35，所以cos α＝－35.(2)已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝()A.－34 B.34C.－43 D.43解析：B由题意得cos α＝－45，故tan α＝sin αcos α＝34.(3)化简cos （α－π2）sin （52π＋α）·cos(2π－α)的结果为.解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.答案：sin α同角三角函数的基本关系“知一求二”问题例1(2023·全国乙卷)若θ∈(0，π2)，tan θ＝12，则sin θ－cos θ＝.解析：因为θ∈(0，π2)，则sin θ＞0，cos θ＞0，又tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.答案：－55sin α，cos α的齐次式问题例2(2024·咸阳模拟)已知方程sin α＋2cos α＝0，则cos 2α－sin αcos α＝()A.－45 B.35C.－35 D.45解析：B方程sin α＋2cos α＝0，化简得tan α＝－2，则cos 2α－sin αcos α＝cos 2α－sin αcos α1＝cos 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α，分子分母同时除以cos 2α可得，cos 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－2代入可得cos 2α－sin αcos α＝1－tan αtan 2α＋1＝1－（－2）（－2）2＋1＝35.故选B.“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系应用例3(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是()A.sin θ＝45 B.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75解析：ABD由题意知sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1－（－2425）＝4925＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.反思感悟同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z )可实现角α的弦切互化.(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解.(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1(1)若θ∈(π2，π)，且满足6tan θ－tan θ＝1，则sin θ＋cos θ＝()A.105 B.55C.－55D.－105解析：A 由6tan θ－tan θ＝1得(tan θ－2)(tan θ＋3)＝0，∴tan θ＝－3或tan θ＝2，∵θ∈(π2，π)，∴tan θ<0，∴tan θ＝－3.θ＝sin θcos θ＝－3，2θ＋cos 2θ＝1及sin θ>0，cosθ<0，得sin θ＝31010，cos θ＝－1010，∴sin θ＋cos θ＝105.故选A.(2)(2024·海口模拟)已知tan α＝2，则1－3cos 2αsin 2α＝()A.12B.14C.2D.4解析：A 因为tan α＝2，所以1－3cos 2αsin 2α＝sin 2α－2cos 2α2sin αcos α＝tan 2α－22tan α＝24＝12.故选A.(3)(多选)已知sin θcos θ＝12，π2＜θ＜2π，则()A.θ的终边在第三象限B.sin θ＋cos θ＝2C.sin θ－cos θ＝0D.tan θ＝－1解析：AC因为sin θcos θ＝12，π2＜θ＜2π，则θ为第三象限角，A 正确；由题意得sin θ＜0，cos θ＜0，B 错误；因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0，故sin θ－cos θ＝0，C 正确；结合选项C 可知tan θ＝1，D 错误.诱导公式的应用例4(1)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是()A.sin(3π－x )＝－sin xB.sinπ－x 2＝－cosx2C.cos(5π2＋3x )＝sin 3xD.cos(3π2－2x )＝－sin 2x解析：D sin(3π－x )＝sin(π－x )＝sin x ，sinπ－x 2＝sin(π2－x 2)＝cos x2，cos(5π2＋3x )＝cos(π2＋3x )＝－sin 3x ，cos(3π2－2x )＝－sin 2x .(2)已知sin(π3＋2α)＝23，则cos(π6－2α)＝()A.53B.－23C.23D.±53解析：C∵sin(π3＋2α)＝23，∴cos(π6－2α)＝cos[π2－(π3＋2α)]＝sin(π3＋2α)＝23.故选C.反思感悟1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数―――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数―――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.训练2(1)已知cos(π4＋α)＝45，则sin(π4－α)的值为()A.35B.－35C.45D.－45解析：C由cos(π4＋α)＝45，得sin(π4－α)＝sin[π2(π4＋α)]＝cos(π4＋α)＝45.(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos （3π2＋α）－sin 2（π2＋α）(1＋2sin α≠0)，则f (－23π6)＝.解析：因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，所以f (－23π6＝1tan （－23π6）＝1tan （－4π＋π6）＝1tanπ6＝ 3.答案：3同角关系与诱导公式的综合应用例5已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos(－α－π2)＝15，α∈[π，3π2]，求f (α)的值.解：(1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）＝－sin α×cos α×（－cos α）－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos(－31π3)＝－cos π3＝－12.(3)由cos(－α－π2)＝15，可得sin α＝－15，因为α∈[π，3π2]，所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.反思感悟1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数符号的影响.训练3(1)已知sin(3π2－α)＋cos(π－α)＝sin α，则2sin 2α－sin αcos α等于()A.2110 B.32C.32D.2解析：D 由诱导公式可得，sin α＝sin(3π2－α)＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此，2sin 2α－sin αcos α＝2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan αtan 2α＋1＝105＝2.(2)已知sin(α－2π3)＝23，其中α∈(π2，π)，则cos(α－π6)＝，sin(2α－π3)＝.解析：法一：令t ＝α－2π3，所以sin t ＝23，α＝t ＋2π3，所以cos(α－π6)＝cos(t ＋2π3－π6)＝cos(t ＋π2)＝－sin t ＝－23.因为α∈(π2，π)，所以α－π6∈(π3，5π6)，所以sin(α－π6)＝53，所以sin(2α－π3)＝sin 2(α－π6)＝2sin(α－π6)cos(α－π6)＝2×53×(－23)＝－459.法二：因为sin(α－2π3)＝23，所以cos(α－π6)＝cos(π6－α)＝sin[π2－(π6－α)]＝sin(π3＋α)＝sin[π－(π3＋α)]＝sin(2π3－α)＝－sin(α－2π3)＝－23.以下同法一.答案：－23－459限时规范训练(二十五)A 级基础落实练1.sin 1620°等于()A.0B.12C.1D.－1解析：A 由诱导公式，sin 1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.2.(多选)(2024·孝感协作体联考)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中成立的是()A.sin θ＜0B.sin θ＞0C.cos θ＞0D.cos θ＜0解析：BD因为sin(θ＋π)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，故B 正确；因为cos(θ－π)＝－cos θ＞0，所以cos θ＜0，故D 正确.故选BD.3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则sinα－cosαsinα＋cosα的值为()A.－2B.－14C.2D.3解析：D因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y ＝－2x上，所以tanα＝－2，sinα－cosαsinα＋cosα＝tanα－1tanα＋1＝3.4.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是()A.sin(A＋B)＝sin CB.sin B＋C2＝cos A 2C.tan(A＋B)＝－tan C(C≠π2)D.cos(A＋B)＝cos C解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；sin B＋C2＝sin(π2－A2)＝cos A2，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C(C≠π2)，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误.5.(2024·郑州模拟)已知角α∈(－π2，0)，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，则sin(α＋2023π)等于()A.154B.1 4C.－34D.－154解析：A因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0，因为α∈(－π2，0)，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即sinαcosα＝4sin α，所以cos α＝14，所以sin α＝－1－cos 2α＝－154，所以sin(α＋2023π)＝－sin α＝154.6.若sin(π＋α)－cos(π－α)＝35，则sin(π2＋α)·cos(π2－α)等于()A.825B.－825C.1625D.－1625解析：A 由sin(π＋α)－cos(π－α)＝35可得－sin α＋cos α＝35，平方可得1－2sin αcos α＝925，所以sin αcos α＝825，所以sin(π2＋α)cos(π2－α)＝cos αsin α＝825.7.(2024·武汉质检)若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin(α－5π)·sin(3π2－α)＝()A.34B.310C.±310 D.－310解析：B 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，分子和分母同除以cos α得tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，∴sin(α－5π)·sin(3π2－α)＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.故选B.8.(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P (45，n )(n ＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为()A.tanα＝34B.sinβ＝45C.tanβ＝43D.Q的坐标为(－35，45)解析：ABD由题意知cosα＝45，角α的终边在第一象限，则n＝sinα＝1－cos2α＝3 5，所以tanα＝sinαcosα＝34，A正确.由题意知β＝α＋π2，所以cosβ＝cos(α＋π2)＝－sinα＝－35，sinβ＝sin(α＋π2)＝cosα＝45，tanβ＝sinβcosβ＝－4 3，即Q点的坐标为(－35，45)，所以可得B，D正确，C错误.9.已知sinθ＝13，则tan（2π－θ）cos（π2－θ）sin（3π2＋θ）＝.解析：原式＝－tanθsinθ（－cosθ）＝1cos2θ＝11－sin2θ＝11－（13）2＝98.答案：9 810.已知α为第三象限角，且tan(π＋α)＝34，则cosα＝.解析：由tan(π＋α)＝34可得tanα＝34，即sinαcosα＝34，所以sinα＝34cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以(34cosα)2＋cos2α＝1，得cos2α＝1625，因为α为第三象限角，所以cosα＜0，所以cosα＝－45.答案：－4 511.已知sinα－cosα＝14，则sin3α－cos3α＝.解析：由题知sin3α－cos3α＝(sinα－cosα)·(sin2α＋cos2α＋sinαcosα)，因为sinα－cosα＝14，所以1－2sinαcosα＝116，所以sinαcosα＝1532，所以sin3α－cos3α＝14×(1＋1532)＝47128.答案：4712812.已知cos(π6－α)＝33，则cos(5π6＋α)－sin(α＋4π3)的值为.解析：因为cos(π6－α)＝33，所以cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－sin[π2－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，所以cos(5π6＋α)－sin(α＋4π3)＝－33－(－33)＝0.答案：0B级能力提升练13.(多选)已知角α满足sinα·cosα≠0，则表达式sin（α＋kπ）sinα＋cos（α＋kπ）cosα(k∈Z)的取值为()A.－2B.－1C.2D.1解析：AC 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.14.对于角θ，当分式tan θ＋sin θtan θsin θ有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子()A.tan θ＋cos θtan θcos θB.tan θ－sin θtan θC.tan θsin θtan θ－cos θD.tan θsin θtan θ－sin θ解析：D 由题意知tan θ＋sin θtan θsin θ＝sin θcos θ＋sin θsin 2θcos θ＝sin θ＋sin θcos θsin 2θ＝1＋cos θsin θ，∵tan θ＋cos θtan θcos θ＝sin θ＋cos 2θsin θcos θ，∴A 不符合题意；∵tan θ－sin θtan θ＝sin θ－sin θcos θsin θ＝1－cos θ，∴B 不符合题意；∵tan θsin θtan θ－cos θ＝sin 2θsin θ－cos 2θ，∴C 不符合题意；∵tan θsin θtan θ－sin θ＝sin 2θcos θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ（1－cos θ）＝1＋cos θsin θ，∴D 符合题意.故选D.15.已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos （11π2－α）sin （9π2＋α）＋sin 2αcos （π2＋α）sin （－π－α）＝.解析：由题设知，f (x )过定点P (2，3)，故tan α＝32，所以cos（11π2－α）sin（9π2＋α）＋sin2αcos（π2＋α）sin（－π－α）＝cos（3π2－α）sin（π2＋α）＋sin2αcos（π2＋α）sinα＝－sinαcosα＋2sinαcosα－sin2α＝－cosαsinα＝－1tanα＝－23.答案：－2 316.已知α∈(－π2，π2)，且sinα＋cosα＝55，则tanα的值为.解析：法一：由sinα＋cosα＝5 5，平方得1＋2sinαcosα＝1 5，所以sinαcosα＝－2 5，则sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－25，解得tanα＝－12或tanα＝－2.因为α∈(－π2，π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，即tanα＞－1，所以tanα＝－1 2 .法二：由sinα＋cosα＝55，①平方得1＋2sinαcosα＝1 5，即2sinαcosα＝－4 5，则(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝9 5 .因为α∈(－π2，π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，sinα－cosα＝－355，②联立①②α＝－55，α＝255，所以tanα＝sinαcosα＝－12.答案：－1 2。

同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin 2α+cos 2α=1;商数关系:tanα=2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);(3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α.3.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.(3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα.(4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.(5)公式五 (6)公式六即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( )A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限..sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos ααααα==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､灵活,尤其是利用平方关系sin 2α+cos 2α=1及其变形形式sin 2α=1-cos 2α或cos 2α=1-sin 2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值. 【典例1】 (1)已知sinα= ,且α为第二象限角,求tanα; (2)已知sinα= ,求tanα; (3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(当α为第一､四象限角时取正号,当α为第二､三象限角时取负号), 所以当α ;当α为第二､三象限角时,tanα= [反思感悟] ,关键是掌握住“先平方,的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但 ,原因是m 此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号.类型二 诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.()5.cos 2sin tan 11..2..222A B C D ααα-+=-若则等于22222(1,:sin2sin )1,tan 2.cos sin sin cos sin cos ααααααααα+⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩⎧=∴∴=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=解析1313()()()[]1sin ,cos tan 2sin 1,33.,cos tan 410,3ta ,1n sin cos ααααααααααααα∴====-∴=∴===->==∴=解为第二象限角为第一或第二象限角当为第一象限角时当为第二象限角时由知3()(2)2.()(2,())f sin cos tan cot sin ππαπαααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----=【典例】已知是第三象限角且()()()()()()31,251f ;2f ; 31860,f .coscos πααααα⎛⎫-= ︒⎭=-⎪⎝化简若求的值若求的值()()(2)(4)(3)222(2)(2)2 []12.f ()sin cos tan cot sin sin cos cot cos cot sin πππαααππααααααααα-------==--=解()31(3),2252sin ,sin cos f ()cos cos αααπαααπ=-∴⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭====(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.类型三sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos42x.[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.12-3,2π2π()22[]sinx cosxsinx1.21cosxsinxcosx.4+=∴+=⎛⎫=⎪⎝∴=-⎭解()()()33331sin x cos x sinx cosx3sinxcosx sin x cos134xαα⎛⎫--=⎪⎝⎭+=+-+=()()()2442222222sin x cos x sin x cos x2sin xcos x12sinxcosx117;428⎛⎫-=⎪⎝+=+-=-=-⨯⎭()()222222223tan x cot x tanx cot11221621x224.116sin x cos xsinx cosxsin x cos x⎛⎫+⎪⎝⎭=-=-=-+=+-==-()24.2sin sin cos21,13(1);.tantansin cossin cosααααααααα+=--+-+【典例】已知求下列各式的值()1.2133352.1131]a12[t nsin cos tansin cos tanααααααα---===-++∴+=解由已知得()()2222222222222sin sin cos2sin sin cos2cos3232111321322.5112sinsin sin cos cossin costan tantanααααααααααααααααα++=+++=+⎛⎫++⎪⎝⎭=∴++=+=⎛⎫+⎪⎝⎭++。

第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式复习目标学法指导1.同角三角函数的两个基本关系.2.三角函数的诱导公式(1)π+α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(2)-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(3)π-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(4)π2±α与α的正弦、余弦值的关系. 1.在高考中,常给出角α的一个三角函数值,求其他异名的三角函数值,解题的关键就是灵活地掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用.2.诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为[0,π2]内的三角函数,其解题思路是化负角为正角,化复杂角为简单角.3.求值问题是三角公式的主要应用,求解时首先根据题目特点选择公式类型,再正确应用.一、同角三角函数的基本关系式1.平方关系sin 2α+cos 2α=1. 2.商数关系tan α=sin cos αα.1.公式理解(1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin cos αα=tan α可以实现弦切互化.(2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如sin 22α+cos 22α=1,sin3cos3x x=tan 3x 都成立. 2.与公式应用相关的结论(1)1的代换:1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan 2α)=tan π4. (2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦.(3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围. 二、诱导公式 组序 一 二三四五 六 角2k π+α(k ∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α正切 tan αtan α-tan α-tan α口诀函数名不变 函数名改变符号看象限符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限1.公式理解诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限,“奇”“偶”指的是“k ·π2+α”中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变,若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2+α”中,将α看成锐角时“k ·π2+α”的终边所在的象限. 2.与诱导公式应用相关的知识诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,2A +2B +2C =π2等,于是可得sin(A+B)=sin C,cos 2A B +=sin 2C 等.1.已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π2,0),则tan(2π-α)的值为( B ) 2525(C)255解析:sin(π-α)=sin α=log 814=-23, 又α∈(-π2,0), 所以cos α21sin α-5则tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin cos αα25. 故选B.2.已知sin 3cos 3cos sin αααα+-=5,则sin 2α-sin αcos α的值是( A ) (A)25 (B)-25 (C)-2 (D)2解析:由sin 3cos 3cos sin αααα+-=5, 得tan 33tan αα+-=5,解得tan α=2. 所以sin 2α-sin αcos α=222sin sin cos sin cos ααααα-+=22tan tan tan 1ααα-+=25.故选A.3.(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( A ) (A)14(B)-3(C)-32 (D)3解析:sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°)=12×12=14. 故选A.4.已知-π2<x<0,sin x+cos x=15,则sin x-cos x= . 解析:因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=125,所以2sin xcos x=-2425. 又因为-π2<x<0, 所以sin x<0,cos x>0.又因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925, 所以sin x-cos x=-75. 答案:-75考点一 同角三角函数的基本关系[例1] (1)已知α∈(π,3π2),tan α=2,则cos α= . (2)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15. ①求tan α的值; ②把221cos sinαα-用tan α表示出来,并求其值.(1)解析:依题意得22sin tan 2,cos sin cos 1,ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩由此解得cos 2α=15, 又α∈(π,3π2), 因此cos α.答案(2)解:①法一联立方程221sin cos , (*)5sin cos 1,(**)αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩由(*)得cos α=15-sin α, 将其代入(**),整理得 25sin 2α-5sin α-12=0.解得sin α=45或sin α=-35.因为α是三角形的内角,所以4sin ,53cos ,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43. 法二 因为sin α+cos α=15, 所以(sin α+cos α)2=(15)2, 即1+2sin αcos α=125,所以2sin αcos α=-2425,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2425=4925.因为sin αcos α=-1225<0且0<α<π, 所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.所以sin α-cos α=75.由1 sin cos,57sin cos,5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得4sin,53cos,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43.②221cos sinαα-=2222sin coscos sinαααα+-=22tan11tanαα+-.因为tan α=-43,所以221cos sinαα-=22tan11tanαα+-=224()1341()3-+--=-257.(1)利用和积互换公式时,要注意依据和、差、积的值对角的范围进行确定,必要时要与特殊值比较,进一步优化缩小角的范围.(2)若某一三角函数值中含有参数,要讨论值的正负,否则会漏根或增根.(3)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据1的代换化为齐次分式,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切、整体代入.1.(2019·金华模拟)已知sin α+cos α2则tan α+cossinαα的值为( D )(A)-1 (B)-2 (C)12 (D)2 解析:因为sin α+cos α所以(sin α+cos α)2=2, 所以sin αcos α=12. 所以tan α+cos sin αα=sin cos αα+cos sin αα=1sin cos αα=2.故选D. 2.已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,π4),则sin θ-cos θ的值为 . 解析:因为(sin θ+cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ+2sin θ·cos θ =1+2sin θcos θ =169, 所以2sin θcos θ=79, 则(sin θ-cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ-2sin θcos θ =1-79=29.又因为θ∈(0,π4),所以sin θ<cos θ, 即sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ.答案考点二 三角函数的诱导公式[例2] (1)已知cos α是方程3x 2-x-2=0的根,且α是第三象限角,则23π3πsin ()cos()tan (π)22ππcos()sin ()22ααααα-++-+-等于( )(A)916 (B)-916 (C)-54 (D)54(2)在△ABC 中,若sin(2πππ-B),求△ABC的三个内角.(1)解析:方程3x 2-x-2=0的根为x 1=1,x 2=-23, 由题知cos α=-23, 所以sin α=-5,tan α=5.所以原式=2cos sin tan sin cos ααααα--=tan 2α=54.故选D. (2)解:由已知得sin 2sin ,3cos 2cos A B A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩①,②①2+②2得sin 2A+3cos 2A=2, 所以1-cos 2A+3cos 2 A=2, 所以2cos 2A=1, 即cos A=2或cos A=-2.当cos A=2时,cos B=3,又A,B 是三角形的内角,所以A=π4,B=π6, 所以C=π-(A+B)=712π.当cos A=-2时,cos B=-3,又A,B 是三角形的内角,所以A=34π,B=56π,不合题意. 综上可知,A=π4,B=π6,C=712π. 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成“单角”三角函数;③整理得最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.(3)求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小.1.已知cos(π6-θ)=a,则cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)的值是 . 解析:因为cos(5π6+θ)=-cos[π-(5π6+θ)]=-a,sin(2π3-θ)=sin[π2+(π6-θ)] =cos(π6-θ) =a,所以cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)=-a+a=0. 答案:02.在△ABC 中,求cos 22A B ++cos 22C 的值. 解:在△ABC 中,A+B=π-C,所以2A B +=π2-2C , 所以cos 2A B +=cos(π2-2C )=sin 2C , 所以cos 22A B ++cos 22C =sin 22C +cos 22C =1. 考点三 三角函数的求值 [例3] (1)已知cos(π6-α3,则cos(56π+α)-sin 2(α-π6)的值是( ) 23+23+23- 23-+212sin 40cos40cos401sin 50-︒︒︒--︒= .解析:(1)因为cos(56π+α)=cos[π-(π6-α)] =-cos(π6-α) 3而sin 2(α-π6)=1-cos 2(α-π6)=1-13=23, 所以原式=-3-23=-23+. 故选B. (2)原式=22sin 40cos 402sin 40cos40︒︒+︒-︒=sin 40cos 40sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 40sin 50sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 50sin 40sin 50sin 40︒︒︒-︒-=1.答案:(1)B (2)1(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.1.若tan α=12,则sin 4α-cos 4α的值为 . 解析:因为tan α=12, 所以sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)·(sin 2α-cos 2α)=2222sin cos cos sin αααα-+=22tan 11tan αα-+=-35.答案:-352.(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α=12+cos α,且α∈(0,π2),则cos2πsin ()4αα-的值为 .解析:由sin α=12+cos α可得sin α-cos α=12, 即2sin(α-π4)=12,可得sin(α-π4)=2,又α∈(0,π2),则α-π4∈(-π4,π4), 可得cos(α-π4)=2π1sin ()4α--=14,则cos2πsin ()4αα-=πsin (2)2πsin ()4αα---=ππ2sin ()cos()44πsin ()4ααα---- =-2cos(α-π4) =-14.答案:-14考点四 易错辨析[例4] 已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α= . 解析:因为5π4<α<3π2,所以cos α<0,sin α<0,且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0.因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=34, 所以cos α-sin α=3. 答案:3本题常因不能断定cos α-sin α的符号而致误,所以在利用和积互换公式时,要特别注意对sin α±cos α,sin αcos α符号的关注,其中sin α-cos α的符号如图所示.sin α+cos α的符号如图所示.已知sin α=13,0<α<π,则tan α= ,sin 2α+cos 2α= . 解析:因为0<α<π,所以tan α=sin cos αα=22sin cos αα=22sin 1sin αα-2,又0<2α<π2, 所以sin 2α>0,cos 2α>0, 所以sin 2α+cos 2α2(sin +cos )22αα12sin cos 22αα+1sin α+ 23答案:2 23。

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。