2017届高三(创新班)数学复习试题：第八课时 平面上两点间的距离 Word版缺答案

高中点到平面的距离公式好，今天咱们聊聊高中数学里那个让人又爱又恨的话题：点到平面的距离公式。

嘿，别皱眉，听我慢慢道来。

想象一下，咱们在一个三维空间里，像是在玩立体拼图。

你在某个点上，想要知道这点到一个平面的距离。

就像你想和朋友从各个方向搭建一个迷宫，结果不小心把一个拼图块弄得离得老远，心里想：哎，这块拼图到底离我有多远呢？咱们先简单聊聊这公式，它其实也没那么复杂。

你就记住它的基本形式：d =|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。

哇，听起来像是高深莫测的密码，其实就是几个字母和符号的组合。

这里的d就是咱们要找的距离，A、B、C和D就像是平面的“身份证”，它们帮你确定这个平面的位置。

你看，其实就像是问你：你现在在哪里，想去的地方又在什么地方，能不能顺利到达。

再想象一下，假如你的朋友在一张纸上画了个平面，而你就像一颗孤零零的星星漂浮在空中，心里想着：“我这颗星星离那张纸到底有多远呢？”就像在游乐场里，你在过山车上，突然抬头看到的那幅画。

你忍不住想，如果我从这个角度看过去，和我自己在上面碰面，会不会有点儿尴尬？这个距离公式就像是个万能钥匙，打开了你理解空间关系的大门。

比如说，平面可以用Ax + By + Cz + D = 0这样的方程表示，你只需把点的坐标（x₀, y₀, z₀）代入公式就能计算出距离。

就像数学老师常说的“代入法”，这招可真管用。

说到这里，别忘了那根“绝对值”符号，嘿嘿，听起来很高大上，其实它就告诉你，距离不能是负的。

就好比你去逛街，不管怎么逛，最后到家的那段路，总得是正的，不可能反着走回去。

这就像人生中的每一步，不管你走多远，总是要向前，不能后退。

如果你心里还在想着为什么要学这些，嗯，我告诉你，生活中处处都有用武之地。

比如说，搭建房子，装修，或者拍照时调整角度，哪怕是你去游乐场坐摩天轮，时不时就得考虑一下高度的问题。

2.1.5平⾯上两点间的距离学案1⾼中数学必修⼆苏教版Word版2.1.5 平⾯上两点间的距离平⾯⼏何问题.1．平⾯上两点间的距离公式(1)x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)之间的距离可以表⽰为P 1P 2＝|x 2－x 1|，当点P 1在点P 2的左侧时，P 1P 2＝x 2－x 1.P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2两点间的距离P 1P 2＝x 1＝x 2时，P 1P 2＝|y 2－y 1|；当y 1＝y 2时，P 1P 2＝|x 2－x 1|. (1)平⾯内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关？答案：平⾯内两点间距离公式与两点的先后顺序⽆关，仅与点的位置有关，即P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)算术平⽅根a 2＋b 2的⼏何意义是什么？答案：①a 2＋b 2可视为以a ，b 为直⾓边的直⾓三⾓形的斜边长(前提是a ＞0，b ＞0)．②若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2的⼏何意义是点(a ，b )(或点(－a ，b )，(a ，－b )，(－a ，－b )，(b ，a )，…)到原点的距离．2．线段的中点坐标公式⼀般地，对于平⾯上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.预习交流2已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若M (x 0，y 0)是线段P 1P 2的中点，你能⽤P 1点与M 点的坐标表⽰P 2点的坐标吗？答案：能．由x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22得x 2＝2x 0－x 1，y 2＝2y 0－y 1.∴P 2点坐标为(2x 0－x 1,2y 0－y 1)．预习交流3求下列两点间的距离：(1)A (0,1)，B(－3,1)；(2)A (2,5)，B (2，－5)；(3)A (0,0)，B (－2，－1)．答案：(1)AB ＝(－3－0)2＋(1－1)2＝3； (2)AB ＝(2－2)2＋(5＋5)2＝10； (3)AB ＝(－2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.⼀、两点间距离公式的应⽤(1)已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直⾓三⾓形．(2)已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求⼀点P ，使P A ＝PB ，并求P A 的长．思路分析：(1)由两点间的距离公式分别求出三边，再⽤勾股定理的逆定理判断，也可以⽤两直线的位置关系判断．(2)利⽤公式及已知列出⽅程，然后再求解．(1)证明：(⽅法⼀)∵A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，∴AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25， AC ＝(1－0)2＋(1－3)2＝5， BC ＝(5－0)2＋(3－3)2＝25＝5.∵AB 2＋AC 2＝BC 2，且A ，B ，C 三点不共线，∴△ABC 为以A 为直⾓顶点的直⾓三⾓形．(⽅法⼆)∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .⼜AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25，AC ＝(1－0)＋(1－3)2＝5，∴AB ≠AC ，∴△ABC 为直⾓三⾓形．(2)解：设所求点P 的坐标为(x,0)，则P A ＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， PB ＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由P A ＝PB ，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1，所以P 点坐标为(1,0)，且P A ＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.1．设点A (1,2)，在y 轴上求⼀点B ，使AB ＝5，则点B 的坐标是__________．解析：设点B 的坐标为(0，y )，则(0－1)2＋(y －2)2＝5，y ＝2±2 6. ∴B 点坐标为(0,2±26)．答案：(0,2±26)2．到点A (4,0)，B (0,4)距离相等且到原点的距离为10的点P 的坐标是__________．解析：由于P 点到(0,4)与(4,0)点距离相等，∴P 点⼀定在y ＝x 上，于是可设P (x ，x )．∵x 2＋x 2＝10，∴x 2＝5.∴x ＝±5. ∴P (5，5)或(－5，－5)．答案：(5，5)或(－5，－5)对平⾯内两点间距离公式的理解：(1)当A ，B 中有⼀个为原点时，公式变为AB ＝x 2＋y 2.(2)如果AB ∥x 轴，则AB ＝|x 2－x 1|；如果AB ∥y 轴，则AB ＝|y 2－y 1|.特别地，如果能确定A ，B 的先后顺序，则上式中的绝对值号均可以去掉．⼆、线段中点坐标及应⽤已知ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对⾓线的交点为E (－3,4)．求另外两个顶点的坐标．思路分析：由平⾏四边形的性质知点E 为AC ，BD 的中点，根据中点坐标公式，即可求得另外两个顶点的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∵E 为AC 的中点，∴4＋x 12＝－3，2＋y12＝4，解得x 1＝－10，y 1＝6，∴C 点坐标为(－10,6)．⼜∵E 为BD 的中点，∴5＋x 22＝－3，7＋y22＝4，解得?x 2＝－11，y 2＝1.∴D 点坐标为(－11,1)．1．过点P (3,2)的直线与x 轴正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，且点P 为线段AB 的中点，则该直线的⽅程为__________．解析：设点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则3＝a ＋02，2＝0＋b2，解得?a ＝6，b ＝4.所以直线AB 的⽅程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.答案：2x ＋3y －12＝02．已知点A (1，－4)，B (3,2)，⼜P 点在线段AB 上，且2AP ＝PB ，求P 点坐标．解：设P 1(x 1，y 1)平分线段PB ，P (x 0，y 0)为线段AP 1的中点，于是x 0＝1＋x 12，y 0＝－4＋y12.①⼜由P 1为线段PB 的中点，得x 1＝3＋x2，y 1＝2＋y2.②联⽴①②组成⽅程组，解得x 0＝53，y 0＝－2，故点P 的坐标为53，－2.与线段中点有关的问题是常见的题型，解题时常借助数形结合的思想，利⽤线段中点特征加以研究．线段的中点坐标公式是⼀个重要的基本公式，要熟记并能灵活应⽤．依据题意⽤中点坐标公式列出⽅程或⽅程组求点的坐标的⽅法是解析⼏何中常⽤的⽅法．三、解析法的应⽤⽤坐标法证明：三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．思路分析：(1)⽤坐标法证明需要建⽴适当的平⾯直⾓坐标系；(2)要证明三⾓形的中位线长与其对应边长的关系，需应⽤坐标表⽰出三⾓形的中位线长及对应边长，再找其对应关系．解：已知△ABC ，D ，E 分别是边AC 和BC 的中点．求证：DE ＝12AB .证明：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，如图所⽰，则A (0,0)．设B (c,0)，C (a ，b )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)，由D ，E 分别是边AC 和BC 的中点可知D a 2，b 2，E a ＋c 2，b 2.由两点间的距离公式得DE ＝a 2－a ＋c 22＋b 2－b 22＝c2.⼜AB ＝c ，所以DE ＝12AB .所以三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．1．已知A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最⼤值时的点P 的坐标是__________．解析：如图，点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B 交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的⽅程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13.所以P 点坐标为(13,0)．答案：(13,0)2．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，试建⽴适当的直⾓坐标系，证明：对⾓线AC ＝BD .证明：分别以AB 所在直线、AB 的垂直平分线为x 轴、y 轴，建⽴如图所⽰的坐标系．设A (－a,0)，D (－b ，c )，则B (a,0)，C (b ，c )．∴AC ＝(a ＋b )2＋c 2，BD ＝(a ＋b )2＋c 2，∴AC ＝BD .1．对解析法的认识解析法是建⽴平⾯⼏何与代数运算关系的桥梁，是它们之间相互转化的纽带．平⾯⼏何中求线段长度、判断点的位置、证明线段成⽐例等问题，都可以通过解析法转化为代数问题来解决．2．解析法证明⼏何问题的步骤(1)建系：根据题⽬条件建⽴适当的平⾯直⾓坐标系； (2)运算：进⾏有关的代数运算；(3)“翻译”：把代数运算结果“翻译”成⼏何关系．1．已知点A (－1,3)，B (3，－2)，则AB ＝__________. 解析：AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(－1－3)2＋[3－(－2)]2＝41.答案：412．已知A(－1,3)，B(3，b)两点间的距离为4，则实数b＝__________. 解析：由两点间的距离公式得AB＝(－1－3)2＋(3－b)2＝4，解得b＝3.答案：33．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线⽅程是__________．解析：k AB＝3－11＋5＝13，AB中点为(－2,2)，∴AB的垂直平分线⽅程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.答案：3x＋y＋4＝04．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三⾓形是__________三⾓形．(填“直⾓”“等边”“等腰”“等腰直⾓”)解析：∵A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，∴AB＝(1－5)2＋(4－5)2＝17，AC＝(4－5)2＋(1－5)2＝17，BC＝(4－1)2＋(1－4)2＝18＝3 2.⼜A，B，C三点不共线，显然△ABC为等腰三⾓形．答案：等腰5．求下列两点间的距离：(1)A(6,0)，B(－2,0)；(2)C(2,1)，D(5，－1)．解：(1)AB＝[6－(－2)]2＋(0－0)2＝82＝8；(2)CD＝(2－5)2＋[1－(－1)]2＝9＋4＝13.。

2.1.5 平面上两点间的距离学案（含答案）2.1.5平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式.中点坐标公式.2.能运用距离公式.中点坐标公式解决一些简单的问题.3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.知识点一两点间的距离1.条件点P1x1，y1，P2x2，y2.2.结论P1P2.3.特例点Px，y到原点O0,0的距离OP.提示当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，当直线P1P2平行于x轴时P1P2|x2x1|；当直线P1P2平行于y轴时P1P2|y2y1|.知识点二中点坐标公式一般地，对于平面上的两点P1x1，y1，P2x2，y2，线段P1P2的中点是Mx0，y0，则一.两点间的距离公式例1如图，已知ABC的三顶点A3,1，B3，3，C1,7，1判断ABC的形状；2求ABC的面积.解1方法一AB，AC，又BC，AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形.方法二kAC，kAB，kACkAB1，ACAB.又AC，AB，ACAB，ABC是等腰直角三角形.2SABCACAB226，ABC的面积为26.反思感悟1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.跟踪训练1已知点A1,2，B2，，在x轴上求一点P，使PAPB，并求PA的值.解设Px,0，PA，PB，PAPB，，得x1，P1,0，PA2.二.中点坐标公式例2ABC的两个顶点为B2,1，C2,3，求BC边的垂直平分线的方程.解因为B2,1，C2,3，所以kBC，线段BC的中点坐标是，即0,2，所以BC边的垂直平分线方程是y22x0，整理得2xy20.反思感悟求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于1，二是平分，即直线过线段的中点.跟踪训练2若ABC的顶点A5,0，B3，2，C1,2，则经过AB，BC两边中点的直线方程为A.3xy20B.x3y40C.x3y20D.3xy40答案C解析由题意，可得线段AB的中点为1，1，线段BC的中点为2,0.因此所求直线方程为，即x3y20.三.运用坐标法解决平面几何问题例3在ABC中，AD是BC边上的中线，求证AB2AC22AD2DC2.证明以BC所在直线为x轴，以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设Ab，c，Ca,0，则Ba,0.AB2ab2c2，AC2ab2c2，AD2b2c2，DC2a2，AB2AC22a2b2c2，AD2DC2a2b2c2，AB2AC22AD2DC2.反思感悟利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤1建立平面直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.2用坐标表示有关的量.3将几何关系转化为坐标运算.4把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练3已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证ACBD.证明如图所示，以点A为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A0,0，Ba,0，Cb，c，则点D的坐标是ab，c，则AC，BD.故ACBD.1.坐标平面内两点间的距离公式是解析几何中的最基本.最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.解析法证明几何问题的步骤1.已知M2,1，N1,5，则MN等于A.5B.C.D.4答案A解析MN5.2.已知点x，y到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是A.x2y21B.x2y20C.1D.0答案C解析由两点间的距离公式得1.3.已知点M1,3和点N5,1，点Px，y到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是______________.答案3xy40解析由PMPN，得，即3xy40.4.若三角形的顶点分别为A2，3，B2，5，C6,4，则AB边上的中线长为________.答案10解析AB的中点坐标为0，4，AB 边上的中线长为10.5.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M 的坐标是，则AB的长为________.答案13解析设Aa,0，B0，b，则a5，b12，即A5,0，B0,12，所以AB13.。

智才艺州攀枝花市创界学校高三数学第一轮复习讲义空间间隔【知识归纳】1、空间间隔的求解思路：立体几何中有关间隔的计算，要遵循“一作，二证，三计算〞的原那么〕2、空间间隔的类型：〔1〕异面直线的间隔：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的间隔，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。

③转化为求平面到平面的间隔，即过两直线分别作互相平行的两个平面。

〔2〕点到直线的间隔：一般用三垂线定理作出垂线再求解〔3〕点到平面的间隔：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过点确定面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。

〔4〕直线与平面的间隔：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的间隔都相等，转化为求点到平面的间隔。

〔5〕两平行平面之间的间隔：转化为求点到平面的间隔。

〔6〕球面间隔〔球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度〕：求球面上两点A 、B 间的间隔的步骤：①计算线段AB 的长；②计算球心角∠AOB 的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB 的长。

【根底训练】〔1〕正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么异面直线BD 与B 1C 的间隔为_____。

〔2〕等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ∆沿AD 折起，使之与ACD ∆所在平面成︒120的二面角，这时A 点到BC 的间隔是_____；〔3〕点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的间隔分别是3、4，那么P 到l 的间隔为_______；〔4〕在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的间隔相等，那么动点P 所在曲线的形状为_______。

〔5〕长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，那么点1A 到平面11D AB 的间隔等于______；〔6〕在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，那么A 1到平面MBD 的间隔为______。

高二数学两点间距离公式的练习题在高中数学中，我们学习了关于两点间距离的公式，这是解决几何问题中常用的工具之一。

本文将通过一些练习题来展示和巩固这一公式的运用。

在回答每个问题之前，我们首先要熟练掌握两点间距离公式的具体形式。

两点间距离公式可表示为:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$其中，$d$表示两点之间的距离。

$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别表示两点的横纵坐标。

现在，我们来解决一些练习题，从中加深对这一公式的理解。

练习题1：已知点A(3, 4)和点B(7, 6)，求点A和点B之间的距离。

解答1：根据两点间距离公式，代入给定的坐标:$d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (6 - 4)^2}$$d = \sqrt{4^2 + 2^2}$$d = \sqrt{16 + 4}$$d = \sqrt{20}$$d = 2\sqrt{5}$因此，点A和点B之间的距离为$2\sqrt{5}$。

练习题2：已知点C(-2, -5)和点D(1, 3)，求点C和点D之间的距离。

解答2：根据两点间距离公式，代入给定的坐标:$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (3 - (-5))^2}$$d = \sqrt{3^2 + 8^2}$$d = \sqrt{9 + 64}$$d = \sqrt{73}$因此，点C和点D之间的距离为$\sqrt{73}$。

练习题3：已知点E(-1, 0)和点F(5, 2)，求点E和点F之间的距离。

解答3：根据两点间距离公式，代入给定的坐标:$d = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 0)^2}$$d = \sqrt{6^2 + 2^2}$$d = \sqrt{36 + 4}$$d = \sqrt{40}$$d = 2\sqrt{10}$因此，点E和点F之间的距离为$2\sqrt{10}$。

让学生学会学习平面上两点间的距离分层训练1. 若(4,2)64126A B C --、（，）、（，）、D 212（，），则下面四个结论： ①//AB CD ；②AB CD ⊥；③AC BD =；④AC BD ⊥．其中，正确的个数是 ( )(A)１个. (B) 2个. (C)3个. (D) 4个.2. 点(2,3)P -关于点(4,1)M 的对称点Q 的坐标是 ( ) (A) (3,1)- (B) (1,2) (C) (6,5) (D) (2,4)3. 若过点(0,2)B 的直线交x 轴于点A 点，且||4AB =，则直线AB 的方程为 （ ）(A)12y +=(B) 12y=(C)1122y y +=+=(D)1122y y+=+=－ 4.直线34y x =-关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程是 （ ） (A) 310y x =- (B) 318y x =- (C) 34y x =+ (D) 43y x =+. 5.如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么 （ ） (A) 1,63a b ==- (B) 1,63a b == (C) 3,2a b ==- (D) 3,6a b ==.6. 若直线l 在y 轴上的截距为－2，l 上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l 的方程为 ．7. 已知ABC ∆的三个顶点(2,8)A ，(4,0)B -，(6,0)C ，则AB 边上的中线CD 所在直线的方程为 ． 8.若直线l 过点(3,2)P ，且被坐标轴截得的线段的中点恰为P ，则直线l 的方程是 ．9. 若点P Q 、的横坐标分别为12,x x ,直线PQ 的斜率为k ，则PQ = ． 10.已知直线:26l y x =-+和点(1,1)A -，过点A 作直线1l 与直线l 相交于B 点，且5AB =，求直线1l 的方程．11. 过点(3,0)P 作直线l ，使它被直线1:230l x y --=和2:30l x y ++=所截得的线段恰好被P 平分，求直线l 的方程．.让学生学会学习拓展延伸12.(1)已知点(1,3)A ，(3,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小；(2) 已知点(1,3)M ，(5,2)N -，在x 轴上求一点P ，使得||PM PN -最大，并求最大值．13.求函数y =的最小值及相应的x 值．本节学习疑点：。

点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离'的几种基本方法．例:已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面,且ＧＣ＝２,求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N,则有BN∥CG,BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P,易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝,由BQ·PN＝PB·BN,得BQ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ,ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３,ＧＨ＝,ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２)利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线,Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ,ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交,交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ,连结ＯＢ得θ．解法3．如图5,设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３)利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３）Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝（１/３）Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ,所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知,取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ,作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足,ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置,哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ—ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３,ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝,Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。

2.3.2 空间两点间的距离A级基础巩固1．若A(1，3，－2)、B(－2，3，2)，则A、B两点间的距离为( )A.61 B．25 C．5 D.57解析：|AB|＝（－2－1）2＋（3－3）2＋（2＋2）2＝5.答案：C2．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )A．|AB|>|CD| B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|解析：|AB|＝22＋12＋（m－3）2＝5＋（m－3）2，|CD|＝22＋02＋（－1）2＝ 5.因为(m－3)2≥0，所以|AB|≥|CD|.答案：D3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：因为|AB|＝（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝（x－2）2＋8＝2 6.所以x＝6或x＝－2.答案：D4．设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)解析：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0)．由题意，知|PP1|＝2|PP2|，所以（x－0）2＋（0－2）2＋（0－3）2＝2（x－0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x＝±1.所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：D5．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．解析：设x 轴上的点的坐标为(x ，0，0)，则由距离公式得：(x ＋4)2＋(－1)2＋(－7)2＝(x －3)2＋(－5)2＋22.解得x ＝－2.答案：(－2，0，0)6．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，AB 的中点M ，则|CM |＝________． 解析：由中点公式得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， 所以|CM |＝ （2－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－0）2＝532. 答案：532 7．已知空间三点A (0，0，3)，B (4，0，0)，C (4，5，0)，求△ABC 的周长． 解：因为|AB |＝（0－4）2＋02＋（3－0）2＝5，|BC |＝（4－4）2＋（0－5）2＋02＝5，|AC |＝（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2＝52，所以△ABC 的周长为10＋5 2.B 级 能力提升8．已知点A (1，－3，2)，B (－1，0，3)，在z 轴上求一点M ，使得|AM |＝|MB |，则M 的竖坐标为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：设M (0，0，z )，则12＋32＋（z －2）2＝12＋02＋（z －3）2，解之得z ＝－2.答案：B9．已知A (1－t ，1，t )，B (2，t ，t )(t ∈R)，则A ，B 两点间距离的最小值是( )A. 2 B ．2 C.22 D ．1 解析：由两点间的距离公式，得|AB |＝[2－（1－t ）]2＋（t －1）2＋（t －t ）2＝2t 2＋2，当t ＝0时，|AB |取最小值为 2.答案：A10．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光所走的距离是( )A.37B.33C.47D.57解析：P关于xOy面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的路程为|P′Q|＝（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2＝57.答案：D11．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．解析：|AB|＝2|OA|＝2（－3）2＋12＋42＝226.答案：22612．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形(填三角形的形状)．解析：|AB|＝（4－7）2＋（3－1）2＋（1－2）2＝14.|AC|＝（4－5）2＋（3－2）2＋（1－3）2＝6，|BC|＝（7－5）2＋（1－2）2＋（2－3）2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.所以2(a2＋b2＋c2)＝3.故|PO|＝a2＋b2＋c2＝32＝62.答案：6 214.如图所示，已知三棱锥P-ABC在某个空间直角坐标系中，B(3m，m，0)，C(0，2m，0)，P(0，0，2n)．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与x轴的正方向的夹角；(2)若M为BC的中点，n＝32m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．解：(1)如图所示，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.(2)连接AM，PM，因为AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2m2＋n2，又M为BC中点，所以AM⊥BC，PM⊥BC.所以∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．又n＝32m，所以PA＝AM＝3m.所以AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.。

两点间的距离公式课时作业(含答案)课时提升作业(二十) 两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2013•兰州高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y=x平行，则|AB|的值为( ) A.6 B. C. D.2 【解析】选C.kAB= =b-a. 又因为过点A，B的直线与y=x平行，所以b-a=1，所以|AB|= = . 2.(2014•佛山高一检测)已知点M(-1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.3x-y-4=0 【解析】选D.由|PM|=|PN|，得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，化简得3x-y-4=0. 3.已知两直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y-1=0相交于点P，则点P到原点的距离为( ) A.B.5C.D.2 【解题指南】先求出两直线的交点，然后利用两点间距离公式求解. 【解析】选C.由得两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为 = . 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2014•南阳高一检测)已知点M(1，1)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x，y的值分别为________. 【解析】由中点坐标公式得解得答案：-1，-1 5.(2013•四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 【解题指南】分析四边形ABCD的形状，结合几何性质进行判断. 【解析】由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)构成的四边形为凸四边形，则四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为2x-y=0，直线BD的方程为x+y-6=0，所以其交点为(2，4). 答案： (2，4) 三、解答题(每小题10分，共20分) 6.(2014•蚌埠高一检测)已知矩形ABCD的两个顶点A(-1，3)，B(-2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标. 【解析】设点M的坐标为(x，0)，由|MA|=|MB|根据两点间的距离公式，得 = ，解得x=-5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得 C (-9，-3)，D(-8，-4). 7.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：AG=AD. 【证明】建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=- x+1，由得即点G . 从而|AG|= =2=|AD|，故AG=AD. 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.已知两点M(a，b)，N(c，d)，且 - =0，则 ( ) A.原点一定是线段MN的中点 B.M，N一定都与原点重合 C.原点一定在线段MN上但不一定是中点 D.点M，N到原点的距离相等【解析】选D.将等式 - =0变形为 = ，根据两点间的距离公式可知，点M(a，b)到原点的距离与点N(c，d)到原点的距离相等. 2.(2014•济宁高一检测)已知A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上，则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5， 0) D.(1，0) 【解析】选B.点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.直线A′B的方程是y+3= (x-1)，即y= x- .令y=0，得x=13. 【变式训练】已知A(3，-1)，B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C. D.(-2，2) 【解析】选C.点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连接A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3= (x-1)，即y= x- ，与x+y=0联立，解得x= ，y=- . 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2014•咸阳高一检测)已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2+ ，1- )，则AB边上的中线CM的长为________. 【解析】由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有 |CM|= = . 所以AB边上的中线CM的长为 . 答案：4.(2014•淄博高一检测)在△ABC中，A(1，1)，B(3，1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________. 【解题指南】因为三角形为等边三角形，所以三边相等，又三角形的两个顶点A，B坐标已知，故可设点C(x，y)，由两点间的距离公式可知|AC|=|BC|，|AC|=|AB|，进而得到关于x，y的方程组可解. 【解析】设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|=|BC|，即 = . ① 又|AC|=|AB|，即 = . ② 由①得x=2，代入②得y=1± . 所以所求点C的坐标为(2，1+ )或(2，1- ). 答案：(2，1+ )或(2，1- ) 三、解答题(12分) 5.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，求线段AP的长. 【解题指南】先求出点C，M的坐标，再求出直线BD，CM的方程，从而得交点P的坐标，最后由距离公式求出AP的长. 【解析】AB的中点为M(4，1)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC的中点与BD的中点重合，设C点坐标为(x，y)，则所以C(10，6). 所以直线CM的方程为y-1= (x-4)，即5x-6y-14=0. 又直线BD的方程为y-1= (x-7)，即5x+3y-38=0. 由得P . 所以由两点间距离公式得 |AP|= = . 【变式训练】(2014•泉州高一检测)点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且满足-14≤x-y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是________. 【解题指南】利用点P在4x+3y=0上，表示出y与x的关系.由-14≤x-y≤7求出x的范围，最后用距离公式求出所求范围即可. 【解析】由4x+3y=0得y=- x，所以x-y= x. 由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3，所以x2∈[0，36]，所以点P到坐标原点的距离为 = = . 因为x2∈[0，36]，所以∈[0，10]. 答案：[0，10] 【拓展延伸】与距离相关的综合问题在解决与距离相关的综合问题时，往往要与直线的有关知识进行结合，例如直线的斜率、直线的位置关系等，这些关系往往用于确定点的坐标，再根据距离公式代入求距离或相关参数的值，因此要将相关知识有机地结合起来，在解题的过程中要注意这一特点.。