关于实数的连续性与完备性的进一步讨论PPT

第五讲实数的完备性I 基本概念与主要结果实数空间1 无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 义.事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上 的点 对应起来，充满全数轴，必须用别的方法.方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数.一个无限不循环小数 x ，取其n 位小数的不足近似值 a n 与过剩近似值 久，a n 与P n 均 为有理数，且P n -叫0（ n T 处），x j 比，（\】.可见以无限不循环小数定义10n无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定 理，即承认它是正确的.历史上引进无理数的传统方法有两种： 理数列的基本序列法.戴德金分割法具有很强的直观性， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段， 果折断处是有理点，那么它不在左子集， 最大数或B 的最小数.如果 A 中没有最大数，的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社，康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近毕达哥拉斯（公元前约 580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理，并把数的概 念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数戴德金（Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置,那么全体有理数被分为左、右两个子集 就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，A,B .如 即A 的B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上可定义其四则运算（可参见北京大学数学1986 年）.之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决.代数学中是十分有用的，影响深远 ②.定义1有理数列｛x n ｝称为是基本列，若 VS >0，弓N 〉0，当m,n>N 时，有< E 定义2两个有理数基本序列｛x j 和｛xn'｝称为是等价的，若 ”聖人-xn ）=将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类.有理数 a 可表为基本列的极限，如 常数列£壮•这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理 数时，称之为无理数.此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性， 称这种性质为完备性. X m -X n (1) （1） （2） 1 (域公理)V x, y, z 交换律： X +y = y +x ， 结合律： (X + y )+ z = X (X y ) z = x ( 分配律： X (y +z )= X ，，有 2实数空间的定义 公理 ,X y = y x ； +(y +z ),y z )； ”y + X ” z ； 两个特殊元素0与1: V X € R ，有 X + 0 = X ， X 1 每个X 迂R ，关于“ + ”的逆元 =X ；-X ，关于”的逆元X ，（此时X H 0 ）,有公理（1）X +（ — x ）= 0，X X2 （全序公理）与“ + ”、“ •”运算相容的全序公理 V x,^ R ，下列三种关系 xcy ， x=y ， x>y有且仅有一个成立； 传递性： 与“ + ” 与“.” （2） （3） （4） 公理若 x<y ， y<z ，贝U x<z ； 相容性：若 xcy ，则y z 亡R ，有x+z<y + z ； 相容性：若x<y ， ZA 0，贝y X"Z<y ・z . 3 （阿基米德（Archimedes ）公理）V x a 0 , y A 0, 亦迂N ，使得nx X y .从古至今，数学的发展大致经历了五个时期: 萌芽时期（公元前 600年以前）； 初等数学时期变量数学时期近代数学时期 现代数学时期 (1) (2) (3) (4)(5)（公元前 600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、 （17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程） （20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用.初等代数、三角等； 解析几何、运动观点等;公理4 （完备性公理）有上界非空数集必有上确界. 由此可定义：定义3实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了 足上述四组公理， R 中的元素称为实数.实数基本定理1 基本定理定理1 （Dedekind 确界定理）任何非空数集 E , 则必有下确界.定理2 （单调有界定理）单调有界数列必收敛.定理3 （Cauchy 收敛准则）数列<x j 收敛的充要条件是：Vs > 0 , W N 〉0，当m,n > N 时，有X m -X n（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列. （Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点. （Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点.（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖.说明：定理1~6属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在.这 种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点.定理 7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式， 不论用前6个定理来分别证明定理 乙还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出.2重要概念 _定义1 （确界）设S U R ，若3* E R 满足：（1小X 亡R , X <n ，即n 是S 的上界；（2） Vs >0, 3x ^ S ，使得xo _ £,即n -s 不是S 的上界. 则称n 是S 的上确界，记为n =supS .若予迂R ，满足：（1） 灯 X 亡 S ，有 x >© ； （2）Vs >0, 3x ^ S ，有 x 。

§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。

实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。

因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。

本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。

我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。

2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。

区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ΛΛΛΛ,0→-n n a b )(∞→n 。

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。

例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1, 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。

推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。

推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。

根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。

据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。