八年级数学上册 2011-2012学年12.3《等腰三角形》同步练习 人教新课标版

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

在一个三角形中，有一组 相等 一组 相等，即：等腰三角形等腰三角形的判定我预学：1．请你在纸上画一个等腰三角形ABC （如图），使得AB=AC ．（1）请你判断一下∠ B 与∠C 有什么大小关系呢？你的依据是什么？（2）请你再深入地思考一个问题：若只知道∠B 与∠C 相等，请你判断一下这个三角形是什么形状的呢？并说明你的探索思路．（3）由第（2）题你会得到一个什么结论呢？请用一句话概括出来．2.已知AB=AD, ∠ABC=∠ADC ，说明BC=CD 的理由.下面是小明同学对这个题的说理过程，细心的小慧发现了他的错误，请你指出小明的错误，并试着在预习完新课后写下你认为正确的方法.我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.在△ABC 中，∠A 的相邻外角是110°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B = .2.如图，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且∠C=2∠A ，则图中等腰三角形共有 个.3.如图，已知D 、E 是BC 边上的点，且BD=CE ，下列条件不能判定△ABE ≌△A CD 的是（ ）A ．AB=AC B.AD=AE在一个三角形中，有一组 相等，即：等腰三角形知识链接：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的. C.BE=CD D.∠BDA=∠CEA4.下列说法正确的有（ ）①等角对等边；②等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍； ③过等腰三角形一腰上的点作底边的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形； ④过等腰三角形底边上的点作一腰的平行线，所截得的小三角形是等腰三角形.A..1个B.2个C.3个D.4个5.如图，AC 、BD 相交于点O ，AB∥CD，且OA=OB ，请说明OC=OD 的理由.6.如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由.我挑战7.（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB .请说明：EO=ED .（2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED .请说明：ED ∥OB.（3）已知：ED ∥OB ，EO=ED .请说明：OD 平分∠AOB .8.如图，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过Ｆ作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ）.(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 69. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，且EF ∥BC ，若EF 交AD 于M ，EF=12，则A B CODM= .我登峰10．如图，已知在△AB C中，在AB上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC.等腰三角形的判定1．70°或40°或55° 2．3 3．C 4．C 5.略 6．略7．略 8．A 9．6 10．提示过D作DF∥AE交BC于点F。

12.3等腰三角形一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数参考答案一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．4512.3.2等边三角形一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．AQ CPB参考答案一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是∵△ABC 是等边三角形∴∠A =∠B =∠C=60°∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60°∴∠B =∠BED =∠BDE∴△ABC 是等边三角形8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形BD AB 21（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。

等腰三角形测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. 无法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满足，则是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．14.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．17.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证： ≌ ；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证： ≌ ；若，求度数．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．26.如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．求证：；若，求AF的长．答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. C8. C9. C10. C11. 312. 或或13. 或6s14. 32或3415. 816. 417. 1718. 2019. 3620.21. 证明：，，．，．又，≌ ．解： ≌．所以是等腰三角形．又，中，，，已知．22. 解：，理由为：证明：，，，，，，，，，，则EF与BC的位置关系是垂直．23. 解：在平行四边形ABCD中，则，，又AE平分，即，，即，又，，．故EC的长为3cm．24. 证明：，，在和中，，≌ ；，，，，，≌ ，，．25. 解：，，理由是：延长BD交AC于F．，，在和中≌ ，，，，，，，，；不发生变化．理由：，，，在和中≌ ，，，，，，，；能．和是等边三角形，，，，，，，在和中≌ ，，，即BD与AC所成的角的度数为或26. 解：，，，，，，，在和中，，≌ ，；连接CF，≌ ，，是等腰直角三角形．，，，，，BE是AC的垂直平分线．，．【解析】1. 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，；故选C．2. 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．【解答】解：四边形ABCD是菱形，，，，，，，，．故选A．3. 解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．故选D．首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长；当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，，，，，，由三角形的外角性质得，．故选B．根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6. 解：当角是顶角时，顶角；当角是底角时，顶角；故选D．题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．7. 解：是AC的垂直平分线，，的周长故选C．垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．8. 解：已知等式变形得：，即，，，即，则为等腰三角形．故选：C．已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9. 解：由可得，则为等腰三角形，故A可以；由且，可得 ≌ ，则可得，即为等腰三角形，故B可以；由，，无法求得或，故C不可以；由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；故选C．根据等腰三角形的判定逐项判断即可．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，则，，四边形MHPK是矩形，，，，N是EC的中点，，，，，同理得：，四边形ABCD为正方形，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，四边形ABCD为正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是DG的中点，，，，≌ ，，过M作于H，由勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是EC的中点，；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证 ≌HDM，再证 ≌ ，利用中位线可证．故选：C．解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明 ≌ ，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．11. 解：延长CE交AB于F，，，平分，，在与中，，≌ ，，，，，，，，，，，，．故答案为：3．延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12.解：，OC平分，，当E在时，，，；当E在点时，，则；当E在时，，则；故答案为：或或．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作于点D，，，，，即运动的时间6s；当时，，，运动的时间故答案为：或6s．由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．14. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．是等腰三角形，点D是BC边的中点，，，解得，是线段AB的垂直平分线，．．当点M位于点处时，有最小值，最小值6．的周长的最小值为．连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，由勾股定理得：，所以，．故答案为4．17. 解：若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18. 解：若，，，又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，，又，，故答案为：20．根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．19. 解：，，的垂直平分线MN交AC于D点．，平分，，，设为x，可得：，解得：，故答案为：36根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20. 解：过A作于F，连接CD．中，，，．在中，由勾股定理，得，，，，，．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．21. 由已知已知，，，可证 ≌ ；由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．24. 根据HL证明 ≌ ；因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．25. 延长BD交AC于F，求出，证出 ≌ ，推出，，根据推出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，，根据求出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，根据三角形内角和定理求出即可本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证 ≌ ，即可解题；连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证 ≌ 是解题的关键．。

数学：-12.3《等腰三角形》同步练习（人教版八年级上）一. 教学内容：等腰三角形及其性质二. 教学重点：等腰三角形的性质和判定三. 教学难点：利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明和计算【典型例题】如图，在△ABC中，D是AB边上一点，AD=DC，∠B=35︒，∠ACD=43︒，求：∠BCD的度数答案：59︒解析：因为AD=DC，所以∠A=∠ACD，又因为∠ACD=43︒，所以∠A=43︒，因为∠B=35︒，利用三角形︒-︒=︒内角和定理，得到∠ACB=102︒，所以∠BCD=∠ACB－∠ACD=1024359如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC答案：解析：连结BD，因为AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB，又因为BC=DC，所以△BCD 是等腰三角形，所以∠CBD=∠CDB，所以∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到E，使AE=AD，求证：ED⊥BC证明：延长ED交BC于F，因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为AE=AD，所以∠E=∠ADE，又因为∠ADE=∠BDF，所以∠E+∠C=∠BDF+∠B，再利用三角形内角和定理，所以∠EFC=∠EFB，又因为∠EFC+∠EFB=180︒，所以∠EFC∠EFB=90︒，所以ED⊥BC如图，O是△ABC内一点，AO=BO=CO，∠1=∠2，求证：AB=AC证明：因为AO=BO=CO，所以∠1=∠ABO，∠2=∠ACO，又因为∠1=∠2，所以∠ABO=∠ACO，因为BO=CO，所以∠OBC=∠OCB，所以∠ABO+∠OBC=∠ACO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，所以AB=AC如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，且△ABC 的周长为50cm ，△ABD 的周长为40cm ，求：AD 的长答案：15AD cm =解析：因为△ABC 的周长为50cm ，所以AB+AC+BC=50cm ，又因为△ABD 的周长为40cm ，所以AB+BD+AD=40cm ，又根据AB=AC ，所以252BCAB cm +=，再利用等腰三角形三线合一，所以得到12BD CD BC ==，所以25AB BD cm +=，这样就可以解出15AD cm =如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+EC=DE证明：因为∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点F ，所以∠DBF=∠FBC ，且∠ECF=∠FCB ，又因为DE ∥BC ，所以∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，所以∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠ECF ，所以DF=DB ，EF=EC ，所以BD+EC=DF+EF ，即BD+EC=DE如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为D ，求证：∠DBC=12∠A证明：作AE ⊥BC 于E ，因为BD ⊥AC ，AE ⊥BC ，所以∠BDC=∠AEC=90︒，根据三角形内角和定理，所以∠EAC+∠C=90︒，∠DBC+∠C=90︒，根据同角的余角相等，所以∠EAC=∠DBC ，又因为AB=AC ，根据等腰三角形三线合一，所以AE是∠BAC的角平分线，所以∠EAC=12∠BAC，即∠DBC=12∠A如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C解析：作辅助线，延AB至E使AE=AC，因为AC=AB+BD，所以AE=AB+BD，又因为AE=AB=BE，所以BD=BE，所以∠E=∠BDE，因为AD是△ABC的角平分线，所以∠EAD=∠CAD，且AE=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD，所以∠C=∠E，根据外角定理，所以∠ABD=∠E+∠BDE，所以∠ABD=2∠E，所以得到∠ABE=2∠C，即∠B=2∠C【模拟试题】一. 选择题：1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（）A. 43°B. 53°C. 47°D. 90°2. 等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形底边长（）A. 7cmB. 3cmC. 7cm或3cmD. 5cm3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形或直角三角形D. 以上结论都不对4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（）A. 110°B. 55°C. 35°D. 不能确定5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（）A. 36°B. 72°C. 36°或72°D. 54°二. 填空题：1. 如果等腰三角形一个角是45°，那么另外两个角的度数为2. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角的度数是3. 等腰三角形互相重合4. 等腰三角形底边长为10，则其腰长x的范围是5. 等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把这个三角形周长分为两部分，它们的差为3，则腰长为三. 解答题：1. 如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD中点，求证：AF⊥CD2. 如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF参考答案一.1. C2. B3. C4. C5. B二.1. 45°和90°或67.5°和67.5°2. 70°或55°3. 顶角角平分线和底边中线和底边高线4. 大于55. 8三.1. 连结AC和AD，证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，再利用等腰三角形三线合一2. 分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步练习（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确3. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为()A．60° B．50° C．40° D．30°4. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是()A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上5. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．127. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 10二、填空题（本大题共7道小题）8. 如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________．9. 若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为____________．10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD13. 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．14. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．三、解答题（本大题共3道小题）15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数.16. 如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠BAC的度数.17. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F.(1)若BC＝8 cm，求△OEF的周长；(2)若∠BOC＝130°，求∠EOF的度数．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步练习-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°.4. 【答案】D5. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.6. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.7. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.二、填空题（本大题共7道小题）8. 【答案】2[解析] 如图，连接OQ.∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ.∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ.∴∠POQ＝60°.∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2.9. 【答案】50°或80°10. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.13. 【答案】15[解析] 由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.14. 【答案】9三、解答题（本大题共3道小题）15. 【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝72°.∴∠DBC＝36°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝36°.16. 【答案】解：∵AD＝CD，∴设∠DAC＝∠C＝x°.∵AB＝AC＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝∠DAC＋∠C＝2x°，∠B＝∠C＝x°.∴∠BAC＝3x°.∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36.∴∠BAC＝3x°＝108°.17. 【答案】解：(1)∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠EBO，∠ACO＝∠FCO.∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF.∴∠EBO＝∠BOE，∠FCO＝∠COF.∴BE＝OE，OF＝FC.∴BC＝BE＋EF＋FC＝OE＋EF＋OF.∵BC＝8 cm，∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝8 cm.(2)∵∠BOC＝130°，∴∠OBC＋∠OCB＝50°.由(1)得∠OBC＝∠BOE，∠COF＝∠OCB，∴∠BOE＋∠COF＝50°.∴∠EOF＝∠BOC－(∠BOE＋∠COF)＝80°.。

数学：12.3 等腰三角形课时练（人教新课标八年级上）第一课时1. 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE=3，则点P 到AB 的 距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6＆2. 在△ABC 中，∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm ＆3. 如图所示，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC =5cm ，△ABC 的周长是__________cm4. 如图所示是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP =∠BOP .我们已知PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，那么PC 和PD 满足 条件，才能保证OP 为∠AOB 角平分线＆5. 如图所示，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .6.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？※7. 已知：如图，AB =AC =12 cm ，AB 的垂直平分线分别交ABCDEF1 2第6题图AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ， 求DC 的长.＃8. 如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶， M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄，当汽车行驶到哪个 位置时，与村庄M ，N 的距离相等第二课时 ＃1.下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形 ＆2. 若等腰三角形的顶角的外角是80°， 那么它的底角是____________．※3. 如图，B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上， 且AB=BC=CD ，EC=ED=EF ，∠A=20°， 则∠FEM 度数是 ． ＆4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， 角平分线BE 与CD 相交于点F ， 那么图中等腰三角形有 （ ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个＃5. 如图，已知AC=CD=DA=CB=DE ，则此图中共有 ______ 个等腰三角形．※6..如图所示，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN ∥BC ，MN 经过点O ，若AB=12,AC=18,那么△AMN 的周长是 ＆7. 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ．21E D A8. 在△ABD 中，C 是BD 上的一点，且AC ⊥BD ，AC=BC=CD ． （1）求证：△ABD 是等腰三角形． （2）求∠BAD 的度数．＃9. 已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ， 且AC ＝DF ，BF ＝CE 。

人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．33．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．126．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝度．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB＝2cm，∴AC＝AB＝1cm，故选：C．2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．3【解答】解：由于任意一个三角形都有三条角平分线、三条高线、三条中线，而等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共7条．故选：B．3．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝60°，∵AD⊥CD，∴∠DAB＝90°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝60°∴图中60°的角有5个，故选：C．4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，故本选项错误；B、等腰三角形的两腰相等，正确，故本选项错误；C、等边三角形的三个内角都是60°，正确，故本选项错误；D、两个内角分别为120°、40°的三角形的第三个内角为20°，不是等腰三角形，故本选项正确．故选：D．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．12【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AC＝6，∴AD＝AC＝×6＝3，AB＝2AC＝2×6＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．故选：C．6．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条【解答】解：等腰三角形为等边三角形时对称轴最多，可以有3条．故选：B．7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，AD是∠BAC的角平分线，又∵AD＝AE，∠BAC＝40°，∴∠ADE＝80°∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故选：A．9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm【解答】解：当第三边是5cm时，则5+5＝10，不能构成三角形，当另一边长是10cm时，能构成三角形．故选：B．10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AC，∴AE＝AF．故图中除AB＝AC外，相等的线段共有4对．故选：D．11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a【解答】解：如图，AB＝AC，BD是腰AC的高，则∠DBC＝α∴∠C＝90°﹣α∴∠A＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α故选：D．12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°【解答】解：∵等腰三角形的底角为a，且三角形的内角和等于180°，∴0°＜2a＜180°，∴0°＜a＜90°．故选：B．13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换【解答】解：∵△BOF与△COD是关于OE的轴对称图形，∴从△BOF到△COD需要经过轴对称变换．故选A14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm【解答】解：此等腰三角形的底为4cm，则有2x＞4，解得x＞2，故选：B．15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定【解答】解：当该边是腰时，底边是32﹣20＝12cm，则另外两边是10cm，12cm；当该边是底时，则腰的长为：（32﹣10）÷2＝11cm，则另外两边是11cm，11cm；经检验，两种情况都符合三角形的三边关系．故选：C．二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为40°或140°．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为100°．【解答】解：（1）①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．（2）如图，①顶角是钝角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，则顶角＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，符合；②顶角是锐角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，∠A＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，不符合．故答案为：40°或140°；100°．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是0＜底边＜6cm．【解答】解：∵3﹣3＝0，3+3＝6cm，∴底边的取值范围是0＜底边＜6cm．故答案为：0＜底边＜6cm．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB＝（180﹣∠A）＝40°∵AB∥CD∴∠BCD＝∠B＝40°．故填40．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为120°，30°，30°．【解答】解：设等腰三角形的各角为4x，x，x∵4x+x+x＝180°∴x＝30°∴三个内角分别是120°，30°，30°．故填120°，30°，30°．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝5．【解答】解：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180，∴x＝30，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝×10＝5．故答案为5．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为40°，40°．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是50°，65°．【解答】解：（1）∵等腰三角形的一个角为100°∴两底角的和＝180°﹣100°＝80°又∵等腰三角形的两底角相等∴两底角都为40°．（2）当50°的角是底角，则底角就为50°；当50°的角是顶角，则两底角的和等于130°，所以底角等于65°．故填40°，40°；50°，65°．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．【解答】解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，则有：①x+x+x＝28，得x＝8cm，所以三边为：8cm、8cm、12cm；②x+x+x＝28，得x＝7cm，所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．【解答】解：AD⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，D为BC边中点，∴AD⊥BC．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，即AD也是中线，∴∠BAD＝∠CAD，即AD又是高线，所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．【解答】解：△ABD、△BCD．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得：∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．【解答】解：当D是BC中点时DE＝DF，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD；∴△BDE≌△CDF；∴DE＝DF．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？【解答】解：AD∥BC．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵∠EAC是△ABC的一个外角，∴∠EAC＝∠B+∠C＝2∠B，∵AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，∴2∠DAC＝∠EAC，∴∠C＝∠DAC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．【解答】解：△AGF是等腰三角形；理由：∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GF A，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠G＝∠GF A，∴AG＝AF，∴△AGF是等腰三角形．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE＝DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB∥ED，∴∠B＝∠D，∴∠ACB＝∠D，又∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠D，∴ED＝EC．。

人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步训练1．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（）A．6B．C．D．2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤C．．①→②→④→③→⑤D．①→④→③→②→⑤3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°4．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．86．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠DC．∠AEF+∠D＝180°D．∠AFC＞∠FCD7．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A．9B．12C．9或12D．不确定8．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°9．若等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长为（）A．22cm B．17cm C．22cm或17cm D．22cm或19cm 10．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）cm．A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于1311．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.513．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数的取值范围是（）A．x＜60°B．x≤60°C．45°＜x＜60°D．45°≤x＜60°14．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36°B．∠ADB＝108°C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 15．等腰三角形的两边长为3和8，则这个等腰三角形的周长是（）A．14B．19C．14或19D．2016．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（）A．B．C．9D．19．如图，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝度．21．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为．23．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为．24．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝cm．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有个．28．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．29．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．30．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．31．如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．参考答案1．解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∵△BCD是等腰三角形，∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO＝4，∵AN＝CN，∴ON＝AB＝4，ON∥AB，∵AB∥DE，∴ON∥DE，∴OD＝AO，∴AO＝4，∴OD＝2，在Rt△BOD中，BD＝＝2．故选：B．2．解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，3．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．4．解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；5．解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．7．解：∵2+2＝4＜5，∴腰的长不能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，故选：B．8．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．9．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，故选：A．10．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故选：B．11．解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．故选：B．12．解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．13．解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．14．解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．15．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是8，8．3+8＞8，符合条件．成立．故周长为：3+8+8＝19．故选：B．16．解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．18．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝5+1＝6，在Rt△ACE中，CE＝＝，故选：A．19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案为：42°．20．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由题意可知，BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝70°，∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，由题意可知，BF平分∠DBC，∴∠EBC＝∠CBD＝20°．故答案为：20．21．解：连接DE，∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝，故EF＝＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故答案为：．22．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，当∠BAD＝90°时，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案为：20°或55°．23．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故答案为：35°．24．解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．25．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝16cm，故答案为：8．26．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），故答案为：4．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．故图中等腰三角形有3个．故答案为：3．28．解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．29．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝，，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AD⊥BC．30．解：（1）解得，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴，解得：a＞1；（2）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，∴2（a﹣1）+a+2＝12，解得：a＝4，∴x＝3，y＝6，故3，3，6不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1＝12，解得：a＝3，∴x＝2，y＝5，故2，5，5能组成等腰三角形，∴a的值是3．31．证明：∵∠1＝∠2，∴DB＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC．。

八年级数学上册 12.3.1《等腰三角形》习题精选新人教版第 2 页等腰三角形我预学2． 如图，已知线段AB ．(1)作图：请作出线段AB 的垂直平分线MN ；(2)发现：线段AB 沿直线MN对折，直线两侧的图 形能够完全重合．我们称 是 的对称轴， 是轴对称图形．3．画图并探究：作△ABC ，使∠BAC= ，AB=AC=3 cm ． D 是BC 上的点，且BD =3cm ，D 关于等腰三角形的对称轴的对称点是E,那么CE = .连结AD 、AE ，你发现的等腰三角形有 个．我梳理 我达标 1． 在△ABC 中，AB=AC ，则腰是 ，顶角是 ， 底角是 ．已知AD=DC=BC ，则 和 A D C B 三边关系：等腰三角形的对称轴是 ， B B AB第 3 页第 4 页8．已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 143132=+=+y x y x 的解， 这个三角形的周长是 ．9 ．七年级一班的张小明是体育委员，李聪是学习委员.这天，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先”竞赛，张小明与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花”项目竞赛.平时跑步比赛在班中数一数二的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷纷认真地研究起了这个问题.这个项目的比赛是这样规定的：参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜.同学们都说张小斌选择的路线不对.张小明觉得很冤枉.他说：我往河边跑时跑的是最近的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？聪明的同学，你知道李聪的取胜的路线吗？请你试着画一画.我登峰10．平面上能否找到4个点，使其中任意3个点连成的三角形都是等腰三角形？能否找到5个点，使其中任意3个点连成的三角形都是等腰三角形？等腰三角形1．AB AC ，∠A，∠B和∠ACB，△BCD，△ACD，△BCD，△ABC. 2． 22 , 20或22 , 20 3．B 4．B 5．5,15 ,15 6．略 7．6＜a＜12 8．13或11 9．利用等腰三角形的轴对称性解决 10．能找到正方形的4个顶点;能找到正五边形的5个顶点第 5 页。