2020届高三入学调研文科数学模拟试卷(2)有答案-(新课标人教版)(已审阅)

开卷教育联盟 2020届全国高三模拟考试（二）数学（文科）时量：120分钟 满分：150分注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知集合{}2|20A x x x =--<，B Z =，则A B =I （ ） A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1D. {}12.i 是虚数单位，复数202067z i i i =++，那么z =（ ） A.B. 3C. 1D.3.下列说法正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充要条件B. 若p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<C. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”4.已知点1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在椭圆C 上，线段1MF 的中点在y 轴上，若2160F MF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A.16B.13C.D.35.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ）A. 12πB. 4πC.823πD.163π6.若曲线xy e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A. 1-B. 1C. 2D. e7.已知AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，且AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AB =uu u r （ ）A. ()12a b -r rB. ()12a b +r rC. ()12b a -r rD. 12a b -r r8.已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A. cos x B. sin xC. cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83B.163C.203D. 810.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 11.若对于任意x ∈R 都有f （x ）＋2f （－x ）＝3cos x －sin x ，则函数f （2x ）图象对称中心为（ ）A. （kπ－4π，0）（k ∈Z ） B. （2k π－4π，0）（k ∈Z ）C. （kπ－8π，0）（k ∈Z ） D.（2k π－8π，0）（k ∈Z ） 12.已知函数()()222,12log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设函数()21,07,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩，若()7f m =，则m =______. 14.直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．15.设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y z -=的最大值为______.16.在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足274cos cos 2()22A B C -+=，2a =，则ABC ∆面积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n ≥时，()()1121n n n S nS n n --=+-.证明1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.18.由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示.（1）求a，b的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（3）在抽出的[)20,25岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？分组（岁）频数频率[) 20,25 5 0.050 [)25,30a0.200 [)30,3535 b[)35,4030 0.300 [)40,4510 0.100 合计100 1.00 19.如图，已知三棱锥P ABC-的平面展开图中，四边形为ABCD边长等于2的正方形，ABE∆和BCF∆均为正三角形，在三棱锥中P ABC-：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-的表面积和体积.20.设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21.已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．23.设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知集合{}2|20A x x x =--<，B Z =，则A B =I （ ） A. {}1,0,1,2- B. {}0,1,2C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 的范围，根据集合B 为整数集，即可求得A B ⋂．【详解】解不等式可得集合{}|12A x x =-<< 因为集合B Z = 所以{}0,1A B ⋂= 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题． 2.i 是虚数单位，复数202067z i i i =++，那么z =（ ）B. 3C. 1【答案】C 【解析】 【分析】 根据()*inn N ∈的取值即得.【详解】∵41i =,∴复数()45052020674243231z i i i i i i i i i i i =++=+⋅+⋅=++=-，那么1z =.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 3.下列说法正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充要条件B. 若p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<C. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”【答案】D 【解析】 【分析】对选项逐个验证，即得答案.【详解】对于A ，222a b c +>，则C 为锐角，但C 为锐角时ABC ∆不一定为锐角三角形，是必要不充分条件，故A 错误；对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --≤，∴B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，∴C 错误； 对于D ，“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”，∴D 正确.故选：D .【点睛】本题考查充分必要条件、命题的否定、命题的真假及否命题，属于基础题.4.已知点1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在椭圆C 上，线段1MF 的中点在y 轴上，若2160F MF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A.16B.13C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意，知点M 在椭圆C 上，线段1MF 的中点在y 轴上，求得2(,)bM c a，在直角21F MF ∆中，得到122F F =220e +=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，知点M 在椭圆C 上，线段1MF 的中点在y 轴上，可得点2MF x ⊥轴，且点2(,)b M c a，所以在直角21F MF ∆中，122F F c =，且2160F MF ∠=o，所以122F F =，即22222)b c ac a c a=⇒=-2220ac +=，两边同除2a 220e +=，解得3e =或e =，故选D. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．5.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ）A. 12πB. 4πD.163π【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r,则1224,2r ππ=⋅⋅所以r=2,再求圆锥的表面积. 【详解】设底面圆的半径为r,则1224,22r r ππ=⋅⋅∴=，所以圆锥的表面积为2212+4=122πππ⋅⋅⋅.故选A【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.若曲线xy e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A. 1- B. 1 C. 2D. e【答案】C 【解析】 【分析】求出xy e =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值．【详解】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线xy e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．7.已知AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，且AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AB =uu u r （ ）A. ()12a b -r rB. ()12a b +r rC. ()12b a -r rD. 12a b -r r【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算，列方程组即可求AB u u u r.【详解】根据条件AB AD aAD AB b⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v vu u uv u u u v v ，∴()12AB a b =-u u u r r r . 故选：A .【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 8.已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ）A. cos xB. sin xC. cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D. sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 分别代入化简.【详解】当()cos g x x =时，1()cos cos cos 24244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin g x x =时，12()cos sin 24244sin f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭时，11()cos cos sin 24422f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭时， 11()sin cos sin 2cos 244222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()f x 是偶函数，周期为π. 故选D.【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质.9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83B.163C.203D. 8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，证明BO ⊥平面PAC ，进而可得到BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果. 【详解】连接AC 交BD 于点O ，因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，BD PA ⊥，因此BD ⊥平面PAC ；故BO ⊥平面PAC ； 连接OP ，则BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角， 又因2PA AB ==，所以22PB =2BO =.所以1sin 2BO BPO PB ∠==，所以 6BPO π∠=. 故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.11.若对于任意x ∈R 都有f （x ）＋2f （－x ）＝3cos x －sin x ，则函数f （2x ）图象的对称中心为（ ）A. （kπ－4π，0）（k ∈Z ） B. （2k π－4π，0）（k ∈Z ） C. （kπ－8π，0）（k ∈Z ） D. （2k π－8π，0）（k ∈Z ） 【答案】D 【解析】 【分析】利用解方程组的方法求函数f （x ）解析式，可得f （2x ）的解析式，再根据正弦函数的对称性，可得f （2x ）图象的对称中心．【详解】∵对任意x ∈R ，都有f （x ）+2f （﹣x ）＝3cos x ﹣sin x ①， 用﹣x 代替x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝3cos （﹣x ）﹣sin （﹣x ）②， 即 f （﹣x ）+2f （x ）＝3cos x +sin x ②；由①②组成方程组，解得f （x ）＝sin x +cos x 2sin （x +4π）， ∴f （2x 2sin （2x +4π）． 令2x +4π＝k π，k ∈Z ，解得x ＝2k π﹣8π， 函数f （2x ）图象的对称中心为（2k π﹣8π，0），k ∈Z ，故选D ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，其中利用解方程组的思想求函数f （x ）的解析式是解题的关键．12.已知函数()()222,12log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣32=0， 分别作出y=f （x ）和直线y=2x+32，由图象可得有两个交点，横坐标设为t 1，t 2，则t 1=0，1＜t 2＜2，即有f （x ）=0有一根；1＜f （x ）＜2时，t 2=f （x ）有3个不等实根，综上可得F （x ）=0的实根个数为4，即函数F （x ）=f[f （x ）]﹣2f （x ）﹣32的零点个数是4． 点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设函数()21,07,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩，若()7f m =，则m =______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据解析式，讨论0m >和0m <两种情况，即求m 的值.【详解】函数()21,07,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩，若()7f m =，当0m >时，217m -=，解得3m =. 当0m <时，77m -+=，解得0m =，舍去. 故答案为：3.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14.直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为．【答案】2y x = 【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．15.设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y z -=的最大值为______.【答案】4 【解析】 【分析】作出可行域. 设2m x y =-，得2y x m =-.当m 取得最大值时，z 取最大值，数形结合即得. 【详解】设2m x y =-，得2y x m =-，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），平移直线2y x m =-，由平移可知当直线2y x m =-经过点C 时， 直线2y x m =-的截距最小，此时m 取得最大值，由121x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，即()1,0C .将C 的坐标代入2m x y =-，得2m =，此时22x y z -=的最大值224z ==， 即目标函数22x y z -=的最大值是4. 故答案为：4.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.16.在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足274cos cos 2()22A B C -+=，2a =，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】 ∵A+B+C=π， ∴2274coscos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A -+=+-=++=， ∴212cos 2cos 02A A -+=． ∴1cos 2A =，sin A =. ∵2a =，由余弦定理可得：2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）,∴4bc ≤．∴S△ABC 11sin 422bc A =≤⨯=．点睛：本题是解决解三角形问题，需用到二倍角公式，三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，特别是注意边角互化的应用．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n ≥时，()()1121n n n S nS n n --=+-.证明1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析，()1121n n a n -=+⋅-【解析】 【分析】由()()1121n n n S nS n n --=+-，得11211n n S S n n -⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，可得1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭等比数列.求出n S ，再求n a .【详解】证明：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n ≥时，()()1121n n n S nS n n --=+-. 所以1211n n S Sn n -=+-， 整理得112111n n S S n n -+=++-，即11211n n S S n n -⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭， 所以数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以1121S +=为首项，2为公比的等比数列.11222nn n S n-+=⋅=， 则2nn S n n =⋅-，当2n ≥时，()11121n n n n a S S n --=-=+⋅-，当1n =时，11a =（符合通项公式）， 故()1121n n a n -=+⋅-.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题.18.由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示.（1）求a ，b值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（3）在抽出的[)20,25岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？ 分组（岁）频数频率[)20,25 5 0.050[)25,30 a0.200[)30,35 35b[)35,40300.300[)40,4510 0.100 合计 1001.00【答案】（1）20,0.350a b ==，见解析；（2）33.5岁；（3）35. 【解析】 【分析】（1）由频率分布表可求a ，b 的值；（2）平均数等于频率分布直方图中所有小矩形的底边中点乘以其面积的和；（3）列举法求出五人中任选两人的所有基本事件数，一男一女所包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即得所求概率.【详解】（1）由频率分布表得1000.20020a =⨯=，350.350100b ==， ∴补全频率分布直方图如图所示.（2）507名画师年龄的平均数的估计值为22.50.0527.50.232.50.3537.50.342.50.133.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）.（3）三名男画师记为a ，b ，c ，两名女画师记为1，2， 五人中任选两人的所有基本事件如下：(),a b ，(),a c ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),1b ，(),2b ，(),1c ，(),2c ，()1,2，共10个基本事件，其中一男一女的是(),1a ，(),2a ，(),1b ，(),2b ，(),1c ，(),2c ，共6个基本事件， ∴选出的恰好是一男一女的概率63105p ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于基础题.19.如图，已知三棱锥P ABC -的平面展开图中，四边形为ABCD 边长等于2的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在三棱锥中P ABC -：（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的表面积和体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积23，体积13【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意知APC ∆和ABC ∆为等腰三角形，可取AC 中点O ，连接PO,OB ，可证明PO ⊥平面ABC ，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由PO ⊥平面ABC ，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===.因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥. 因在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.因为AC OB O ⋂=，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . （Ⅱ）三棱锥P ABC -的表面积()2322224S =⨯+⨯⨯23=+，由（Ⅰ）知，PO ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的体积为13ABC V S PO ∆=⨯ 111221323=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.20.设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值． 21.已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 【答案】（1）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为1，无极小值；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.求()'f x ，令()'0f x =，求出极值点，就()()',,x f x f x 的变化情况列表即得；（2）由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x +=≤==，即ln 11x x x≤-.令()2*,2x n n N n =∈≥，得222ln 11n n n <-.由裂项法得()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可证明结论.【详解】（1）∵函数()ln 1x f x x+=，∴0x >，则()2ln 'x f x x =-， 由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值. （2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x +=≤==， ∴ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x n n N n =∈≥， ∴222ln 11n n n <-，∴()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查不等式的证明，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．【答案】（1）24cos 120ρρθ--=（2）AB =【解析】试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 16ρρθ-=，可得20ρ--=１２，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12AB ρρ=-求解即可．试题解析：（1）将方程424x cosa y sina=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=， ∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ，ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=．（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 166ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程2160ρ--=的两根，∴121216ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-== 23.设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2020届高三二模考试试卷文科数学(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}12<=x x M ，{}0>=x x N ，则=N M ( ) A.φ B. {}0<x x C. {}1<x x D. {}10<<x x2、 已知复数z 满足()i z i =+31，则=z （ ）A.223i - B. 223i + C. 443i - D. 443i + 3、 命题“∈∃x R ，0122<+-x x ”的否定是（ ）A. ∈∃x R ，0122≥+-x xB. ∈∃x R ，0122>+-x xC. ∈∀x R ，0122≥+-x xD. ∈∀x R ，0122<+-x x4、若53sin =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα45cos （ ）A. 102-B. 102 C. 1027- D. 10275、若命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A. p 或q 为假B. q 假C. q 真D. 不能判断q 的真假 6、等差数列{}n a 中，21=a ，1332=+a a ，则=++654a a a （ ） A. 40 B. 42 C. 43 D.7、运行流程图，若输入3=x ，则输出的y 值为 A. 4 B. 9 C. 0 8、双曲线1222=-y ax 过点()1,22P ，则双曲 线的焦点坐标是（ ） A.()()0,3,0,3- B. ()()0,5,0,5- C. ()()3,0,3,0- D. ()()5,0,5,0-9、已知向量()1,2-=a ，8=⋅b a ，∣b a +∣=则∣b ∣=（ ）A. 10B. 52C. 6210、若函数13++=ax x y （∈a R ）在区间()2,3--上单调递减，则a 的取值范围是 （ ） A. [)+∞,1 B. [)0,2-B. C. (]3,-∞- D. (]27,-∞-11、甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击各射 击10发子弹，三人的射击成绩如表。

进贤县第一中学2021届高三数学入学调研考试试题 文〔二〕考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合{|33}M x N x =∈-<<，{4,2,0,2,4}N =--，那么M N =〔 〕A ．{2,0,2}-B ．{0,2}C ．{0}D ．{2}【答案】B【解析】依题意，{|33}{0,1,2}M x N x =∈-<<=，故{0,2}M N =，应选B ．2．假设复数z 满足(2i)i z -=，那么||z =〔 〕A ．15B C D【答案】B【解析】由(2i)i z -=，得22i i(2i)2i i 12i 2i (2i)(2i)4i 55z ++====-+--+-，所以5||5z =． 3．埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合〞．如胡夫金字塔的底部周长假如除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为准确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建立完成后，底座边长大约240米．因年久风化，顶端剥落15米，那么胡夫金字塔现高大约为〔 〕 A ．141.8米 B ．132.8米C ．137.8米D ．138.8米【答案】C【解析】设金字塔风化前的形状如图，∵240AB =，∴其底面周长为2404960⨯=， 由题意可得9603.141592PO=，∴152.788874PO ≈， ∴胡夫金字塔现高大约为152.78887415137.788874-=米， 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为137.8米，应选C ．4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，那么取到的3点一共线的概率为〔 〕 A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A【解析】五个点任取三个有(,,)O A B ，(,,)O A C ，(,,)O A D ，(,,)O B C ，(,,)O B D ，(,,)O C D ，(,,)A B C ，(,,)A B D ，(,,)A C D ，(,,)B C D 一共种情况，其中三点一共线的情况有(,,)O B D ，(,,)O A C 一共2种， 故3点一共线的概率为15，应选A ． 5．某种计算机病毒是通过电子邮件进展传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x 天1 2 3 4 5 被感染的计算机数量y 〔台〕12244995190那么以下函数模型中能较好地反映在第x 天被感染的数量y 与x 之间的关系的是 〔 〕 A ．12y x = B ．26612y x x =-+ C ．62x y =⋅D ．212log 12y x =+【答案】C【解析】由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍， 故增长速度符合指数型函数增长，应选C ．6．过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，那么a =〔 〕 A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】因为点(2,2)P 满足圆22(1)5x y -+=的方程，所以P 在圆上， 又过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直， 所以切点与圆心连线与直线10ax y -+=平行，所以直线10ax y -+=的斜率为20221a -==-． 7．函数ππ()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕ=+>-<<的局部图象如下图，那么ϕ的值是〔 〕A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π3【答案】D【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ2[()]π36T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．由π3x =为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=．8．偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，假设(ln 2.1)a f =， 1.1(1.1)b f =，(3)c f =-，那么a ，b ，c 的大小关系是〔 〕 A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】B【解析】∵()f x 是偶函数，所以(3)(3)c f f =-=， ∵0ln1ln 2.1ln 1e =<<=，0 1.121 1.1 1.1 1.1 1.21=<<=， ∴ 1.13 1.1ln 2.1>>，∵函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ 1.1(3)(1.1)(ln 2.1)f f f <<，即c b a <<．9．执行如下图的程序框图，那么输出S 的值等于〔 〕A ．201712 B ．201812 C ．201912 D ．202012【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得第1次运行，12S =，2a =；第2次运行，212S =，3a =； 第3次运行，312S =，4a =；；第2019次运行，201912S =，2020a =，刚好满足条件2019a >，那么退出循环，输出S 的值是201912．10．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，那么2020S 与2020a 的关系是〔 〕 A ．2020202021S a =- B ．2020202021S a =+ C ．2020202043S a =- D ．2020202041S a =+【答案】A【解析】设等比数列的公比为(0)q q >，由3a -，2a ，4a 成等差数列，得2342a a a =-+， 又11a =，所以232q q q =-+，即220q q --=，所以(2)(1)0q q -+=， 又0q >，所以2q =，所以201920202a =，02020202020122112S 2-==--，所以2020202021S a =-，应选A ．11．抛物线24y x =的准线与双曲线2221(0)x y a a-=>交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，假设FAB △为直角三角形，那么双曲线的离心率是〔 〕 A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，联立双曲线2221x y a -=，解得21||a y a-=．由题意得212a a-=，所以215a =，所以221156b e a =+=+=，应选D ．12．在体积为43的三棱锥S ABC -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，SA SC =，且平面SAC ⊥平面ABC ，假设该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，那么该球的体积是〔 〕A ．82π3B ．9π2C ．27π2D ．12π【答案】B【解析】如图，设球心为O ，半径为R ，取AC 中点为M ，连接SM ， 根据图形的对称性，点O 必在SM 上， 由题设可知11422323SM ⨯⨯⨯⨯=，解之得2SM =， 连接OC ，那么在OMC Rt △中，22(2)2R R =-+，解之得32R =， 那么2439π()π322V =⨯=，故应选B ．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．实数x ，y 满足3402030x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，那么z x y =-+的最大值为________．【答案】9【解析】作出不等式组所表示的平面区域如以下图阴影局部所示，观察可知， 当直线z x y =-+过点A 时，z 有最大值，联立2030x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得36x y =-⎧⎨=⎩，故z 的最大值为9．14．平面向量(2,3)=-m ，(6,)λ=n ，假设⊥m n ，那么||n __________． 【答案】213【解析】依题意，0⋅=m n ，那么1230λ-=，解得4λ=，那么(6,4)=n ， 故||3616213=+=n ．15．设函数32()(1)f x x ax a x =++-，假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】y x =-【解析】函数32()(1)f x x ax a x =++-，假设()f x 为奇函数，那么()()0f x f x +-=，可得0a =，所以3()f x x x =-，那么2()31f x x '=-，曲线()y f x =图象在点(0,0)处的切线斜率为(0)1f '=-， 所以切线方程为0(0)y x -=--，整理得y x =-．16．假设数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n+-=+++，且11a =，那么100a =__________．【答案】300【解析】由题意211(1)()lgn n n n a n a n n n++⋅=+++， 等式两边同时除以2n n +，得11lg 1n n a a n n n n++=++，设lg n n ab n n=-，那么有1n n b b +=，∴11n b b ==，(1lg )n a n n =+，100100(1lg100)300a =+=．三、解答题：本大题一一共6个大题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕某民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的局部按4元/立方米收费，超出w 立方米的局部按10元/立方米收费，从该随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：〔1〕假如w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该居民该月的人均水费．【答案】〔1〕3；〔2〕10.5元．【解析】〔1〕由用水量的频率分布直方图，知该居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%， 依题意，w 至少定为3．〔2〕由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25⨯+⨯+⨯+⨯120.15170.05220.0522270.0510.5+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=〔元〕．18．〔12分〕在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =sin 2C =〔1〕假设1a =，求sin A ； 〔2〕求ABC △的面积S 的最大值．【答案】〔1〕sin A =2〕4． 【解析】〔1〕∵23cos 12sin25C C =-=-，∴4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c == 〔2〕由〔1〕知，3cos 5=-，所以2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC △的面积S 有最大值4．19．〔12分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒．〔1〕求证：1BA AC ⊥； 〔2〕求三棱锥11A BB C -的体积． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕43． 【解析】〔1〕∵在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒， ∴1A A ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴1BA AA ⊥， 又∵90BAC ∠=︒，∴BA AC ⊥，1A A AC A =，∴BA ⊥平面11ACC A ，∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BA AC ⊥． 〔2〕∵AC AB ⊥，1AC AA ⊥，1ABAA A =，∴AC ⊥平面11ABB A ，∴1C 到平面11ABB A 的间隔 为2AC =，∵在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒， ∴112222ABB S =⨯⨯=△，∴三棱锥11A BB C -的体积1111111422333A BBC C ABB ABB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=△．20．〔12分〕函数()x f x e x =-． 〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设方程2()f x ax x =-有唯一的实数根，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x 在(,0)-∞单调递减；〔2〕2(0,)4e ．【解析】〔1〕函数()f x 定义域为R ，()1x f x e '=-， 令()0f x '>，得(0,)x ∈+∞，故()f x 在(0,)+∞单调递增；()f x 在(,0)-∞单调递减．〔2〕方程2()f x ax x =-，即为2x e ax =，显然0x =不为方程的解，故原方程等价于2xe a x=，设2()x e g x x =，那么24(2)()x e x x g x x-'=， 令()0g x '<，得02x <<；令()0g x '>，得0x <或者2x >， 故()g x 在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增，所以，当(0,)x ∈+∞，2min()(2)4e g x g ==，又因为2()0x e g x x =>恒成立，故假设方程2()f x ax x =-有唯一解时，204e a <<，即实数a 的取值范围为2(0,)4e．21．〔12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1)A ．〔1〕求C 的方程；〔2〕点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】〔1〕22163x y +=；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕由题可知:22222411a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得26a =，23b =，∴椭圆方程为22163x y +=．〔2〕①假设直线MN 斜率存在，设其方程为y kx b =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 那么有11y kx b =+，22y kx b =+，22163x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(12)4260k x kbx b +++-=， 由韦达定理可知122412kb x x k +=-+，21222612b x x k-=+， 由AM AN ⊥，得1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， ∴221212(1)(2)()250k x x kb k x x b b ++--++-+=，即22222264(1)(2)2501212b kbk kb k b b k k--+⋅+--⋅+-+=++， 即(21)(231)0k b k b +-++=，假设210k b +-=，即(2)1y k x =-+，即MN 过定点(2,1)，即为A 点，舍去；假设2310k b ++=，即21()33y k x =--，即MN 过定点21(,)33E -． ②假设MN 斜率不存在，同上述方法可得MN 过定点21(,)33E -，于是可得到AED △为直角三角形， ∴D 在以AE 为直径的圆上，∴存在定点41(,)33Q ，即Q 为圆心，使得||DQ ．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 22．〔10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕假设1C 与2C 相交于A 、B 两点，求OAB △的面积．【答案】〔1〕1:30C x y +-=，222:40C x y x +-=；〔2． 【解析】〔1〕消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=， 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．〔2〕2C HY 方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆，2C 到直线30x y +-=的间隔 2d =，故||AB ==原点O 到直线30x y +-=的间隔 d =，所以11||22OABS AB d===△，综上，OAB△23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】函数()|||21|f x x m x=-+-，m∈R．〔1〕当1m=时，解不等式()2f x<；〔2〕假设不等式()3f x x<-对任意[0,1]x∈恒成立，务实数m的取值范围．【答案】〔1〕4{|0}3x x<<；〔2〕02m<<．【解析】〔1〕当1m=时，()|1||21|f x x x=-+-，∴123,21(),1232,1x xf x x xx x⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，()2f x<即求不同区间对应解集，∴()2f x<的解集为4{|0}3x x<<．〔2〕由题意，()3f x x<-对任意的[0,1]x∈恒成立，即||3|21|x m x x-<---对任意的[0,1]x∈恒成立，令12,02()3|21|143,12x xg x x xx x⎧+≤<⎪⎪=---=⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴函数||y x m=-的图象应该恒在()g x的下方，数形结合可得02m<<．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n ，n ∈A}，则A ∩B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数a ，b 满足(a ＋bi)(2＋i )＝3－5i (其中i 为虚数单位)，则复数z ＝b+ai 的共轭复数为A ．－135＋15iB ．－135－15iC ．135＋15iD ．135－15i3．已知平面，直线m ，n ，若n，则“mn ”是“m”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n= A ．4 B ．5C ．2D ．35．若),(0,12)(xx g xx f x是奇函数,则))2((g f 的值为A ．87 B.87 C.7D.76．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”则以下推论可能正确的是A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了7．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a ，1016a ，66a b ，则11S A ．44B ．44C ．88D ．888．不等式组2100xyy x所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，100)，再数出其中满足2i i x y (i ＝1,2， (100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为A ．0.33B ．0.76C ．0.67D ．0.579．将函数)32sin(2)(xx f 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π1210．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为A.1010B.15C.35D.3101011．已知点P 为双曲线)0(12222b a by ax 右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有212131F IF IPF IPF SSS成立，则双曲线离心率的取值范围是A ．(1,2] B ．(1,2)C ．(0,3]D ．(1,3]12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x ，对于任意的实数都有2()()xf x e f x ，当0x时，()()0f x f x ，若2(ln 2)af ，(1)f be ，11(ln )44c f ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．bc a B ．c b a C ．abc D ．bac二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知)2,1(a，)0,1(b ，则|2|b a __________.14．若倾斜角为的直线l 与曲线3y x 相切于点（1，1），则24cossin 2的值为_____.15．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M xy相切，则p ______.16．已知数列n a 满足12nn a a （N n ），且21a ，n S 表示数列n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263···127n n nS S S S S S 成立的最大正整数n 的值是______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7cos cos 7a Bb Aac ，sin2sin A A .（1）求A 及a ；（2）若2b c ，求BC 边上的高.18．(12分)银川市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式.（2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.19．(12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD上(图2)．(1)证明：PCD ⊥平面PAB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求点Q 到平面EBC 的距离．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，210(2,)3A 为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 是定值．21．(12分)已知函数f (x)＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x)的单调区间；(2)证明：xf (x)＜2e 2·e x ＋x －ax 3.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线221:2C xy，曲线2C 的参数方程为22cos 2sinx y（为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB 的面积23．[选修4-5：不等式选讲]设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M. (1)证明：13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab|与2|a －b|的大小，请说明理由．银川一中2020届高三年级第二次模拟考试（文科）参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCADCACADDB二、填空题：13.17141515. 12 16 . 5三、解答题17.解析（1）77cos cos sin cos sin cos sin 77a Bb A ac A B B Aa C Q .....2分7sin sin 77C a C a...................................4分1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23AA A AAAAAQ Q ...........6分；（2）由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3abcbc A bcbc b c bc bc bc , (8)分设BC 边上的高为h .113331133321sin 3.7,222422414ABCABCS bc AS ahhhV V Q ...10分.即BC 边上的高为32114.....................................12分18.【解析】（1）当1014x 时401014=50140yxx x ..................................................2分当1420x 时40143014=30140yx x........................................4分所求函数表达式为：301401420501401014x x yx x．........................6分（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间10,12的频率是120.050.1f ；海鲜需求量在区间12,14的频率是220.10.2f海鲜需求量在区间14,16的频率是320.150.30f ；海鲜需求量在区间16,18的频率是420.120.24f ；海鲜需求量在区间18,20的频率是520.080.16f ；............................8分这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：1122334455xx f x f x f x f x f 110.1130.2150.30170.24190.1615.32（公斤）.........................10分②当14x 时，560y ，由此可令30140620x ，得16x所以估计日利润不少于620元的概率为0.120.0820.4.......................12分19解析(1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O.由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，....................2分∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，....................4分∴AB ⊥PD ，AB ⊥PA ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2，∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面P AB 又因为PD平面PCD所以平面PCD ⊥平面PAB.................................................................... 6分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，所以点Q 到平面EBC 的距离为d则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，..........8分∴h PO ＝23，∵PA ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3，∴PO ＝PA ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，...............................10分又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922，∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3=13EBCs d .所以点Q 到平面EBC 的距离为3d. .........................................12分20解析(1)由题意可知222211344019b aab得229,8a b故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y28＝1........................................4分(2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3，直线l 与直线l 1，l 2联立可得M(－3，－3k ＋m)，N(3,3k ＋m)，................6分所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m)，F 1N →＝(4,3k ＋m)．所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0....................................8分因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. ................ 10分所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0，所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2...........12分注：可以先通过k ＝0计算出此时∠MF 1N ＝π2，再验证一般性21．(1)f(x)＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)，f ′（x)＝1－2ax 2x，当a ≤０时，f ′（x)＞0，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞），无单调递减区间；....2分当a ＞0时，x ∈0，12a，f ′（x)＞0，x ∈12a，＋∞，f ′（x)＜0，∴函数f(x)的单调递增区间为0，12a，单调递减区间为12a，＋∞..............................................4分(2)证法一：xf(x)＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x)＝2e 2·e xx －ln x(x ＞0)，φ′（x)＝2x －1e x－e 2x e 2x2，令r(x)＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′（x)＝2xe x －e 2，.....................6分r ′（x)在(0，＋∞）上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′（x)＝0，.............................8分∴r(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞）上单调递增，∵r(0)＜0，r (2)＝0，∴当x ∈(0,2)时，r (x)＜0，当x ∈(2，＋∞）时，r(x)＞0；....................10分∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞）上单调递增，∴φ(x)≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证....................................12分证法二：要证xf(x)＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x，令φ(x)＝2e 2·exx 2(x ＞0)，φ′（x)＝2x －2e xe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′（x)＜0，当x ∈(2，＋∞）时，φ′（x)＞0. ∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞）上单调递增，∴φ(x)≥φ(2)＝12.令r(x)＝ln xx ，则r ′（x)＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，r ′（x)>0，当x ∈(e ，＋∞）时，r ′（x)＜0. ∴r(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞）上单调递减，∴r(x)≤r (e)＝1e，∴φ(x)≥12＞1e ≥r (x)，∴2e 2·e xx 2>ln xx ，得证.12分22．（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin2，………2分因为曲线2C 的普通方程为：2224x y，2240.xyx ………3分曲线2C 的极坐标方程为4cos ． (5)分（2）由（1）得：点A 的极坐标为2,6，点B 的极坐标为23,6223232AB ………6分3,0M 点到射线06的距离为33sin 62d ………8分MAB 的面积为1133332322222AB d.………10分23．解：(1)证明：记f(x)＝|x －1|－|x ＋2|＝3，x ≤－2，－2x －1，－2<x<1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x<12，………3分则M ＝－12，12. 所以13a ＋16b ≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝14. ………5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.………6分因为|1－4ab|2－4|a －b|2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. ………10分。

2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--<，B Z =，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1,2- B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】求出集合A 的范围，根据集合B 为整数集，即可求得A B ⋂。

【详解】解不等式可得集合{}|12A x x =-<< 因为集合B Z = 所以{}0,1A B ⋂= 所以选C 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。

2．i 是虚数单位，复数202067z i i i =++，那么z =（ ）A ．B ．3C ．1D【答案】C 【解析】根据()*i nn N ∈的取值即得.【详解】 ∵41i =,∴复数()45052020674243231z i i i i i i i i i i i =++=+⋅+⋅=++=-，那么1z =.故选：C . 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 3．下列说法正确的是（ ）A ．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充要条件B ．若p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”【答案】D【解析】对选项逐个验证，即得答案. 【详解】对于A ，222a b c +>，则C 为锐角，但C 为锐角时ABC ∆不一定为锐角三角形，是必要不充分条件，故A 错误；对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --≤，∴B错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，∴C 错误； 对于D ，“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”，∴D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查充分必要条件、命题的否定、命题的真假及否命题，属于基础题. 4．已知点，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆C 上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，知点在椭圆C 上，线段的中点在轴上，求得，在直角中，得到，整理得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，知点在椭圆C 上，线段的中点在轴上，可得点轴，且点，所以在直角中，，且，所以，即，整理得， 两边同除得，解得或（舍去），故选D.本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 5．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．12π B ．4π C ．23πD ．163π【答案】A【解析】设底面圆的半径为r,则1224,2r ππ=⋅⋅所以r=2,再求圆锥的表面积. 【详解】设底面圆的半径为r,则1224,22r r ππ=⋅⋅∴=， 所以圆锥的表面积为2212+4=122πππ⋅⋅⋅. 故选：A 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．若曲线x y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A ．1- B ．1 C ．2D ．e【答案】C【解析】求出xy e =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值． 【详解】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线x y e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选A ．本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．7．已知AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，且AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AB =uu u r （ ） A ．()12a b -r rB ．()12a b +r rC ．()12b a -r rD ．12a b -r r【答案】A【解析】根据向量的加减法运算，列方程组即可求AB u u u r. 【详解】根据条件AB AD aAD AB b ⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v vu u uv u u u v v ，∴()12AB a b =-u u u r r r . 故选：A . 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 8．已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A ．cos x B ．sin xC ．cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D【解析】分别代入化简. 【详解】当()cos g x x =时，1()cos cos cos 24244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin g x x =时，1()cos sin 24244sin f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π；当()cos 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，11()cos cos sin 24422f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时()f x 是非奇非偶函数，周期为π； 当()sin 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭时，11()sin cos sin 2cos 244222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()f x 是偶函数，周期为π. 故选D. 【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，证明BO ⊥平面PAC ，进而可得到BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果. 【详解】连接AC 交BD 于点O ，因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，BD PA ⊥，因此BD ⊥平面PAC ；故BO ⊥平面PAC ； 连接OP ，则BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角， 又因2PA AB ==，所以22PB =，2BO =.所以1sin 2BO BPO PB ∠==，所以 6BPO π∠=. 故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型. 11．若对于任意x ∈R 都有f （x ）＋2f （－x ）＝3cos x －sin x ，则函数f （2x ）图象的对称中心为（ ） A ．（kπ－4π，0）（k ∈Z ） B ．（2k π－4π，0）（k ∈Z ） C ．（kπ－8π，0）（k ∈Z ） D ．（2k π－8π，0）（k ∈Z ） 【答案】D【解析】利用解方程组的方法求函数f （x ）解析式，可得f （2x ）的解析式，再根据正弦函数的对称性，可得f （2x ）图象的对称中心．∵对任意x ∈R ，都有f （x ）+2f （﹣x ）＝3cos x ﹣sin x ①，用﹣x 代替x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝3cos （﹣x ）﹣sin （﹣x ）②， 即 f （﹣x ）+2f （x ）＝3cos x +sin x ②；由①②组成方程组，解得f （x ）＝sin x +cos x ＝2sin （x +4π）， ∴f （2x ）＝2sin （2x +4π）． 令2x +4π＝k π，k ∈Z ，解得x ＝2k π﹣8π，函数f （2x ）图象的对称中心为（2k π﹣8π，0），k ∈Z ，故选D ． 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，其中利用解方程组的思想求函数f （x ）的解析式是解题的关键．12．已知函数()()222,12log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣32=0， 分别作出y=f （x ）和直线y=2x+32，由图象可得有两个交点，横坐标设为t 1，t 2，则t 1=0，1＜t 2＜2，即有f （x ）=0有一根；1＜f （x ）＜2时，t 2=f （x ）有3个不等实根，综上可得F （x ）=0的实根个数为4，即函数F （x ）=f[f （x ）]﹣2f （x ）﹣32的零点个数是4．点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ．13．设函数()21,07,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩，若()7f m =，则m =______.【答案】3【解析】根据解析式，讨论0m >和0m <两种情况，即求m 的值. 【详解】函数()21,07,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩，若()7f m =，当0m >时，217m -=，解得3m =. 当0m <时，77m -+=，解得0m =，舍去. 故答案为：3. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ． 【答案】2y x =【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．15．设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y z -=的最大值为______.【答案】4【解析】作出可行域. 设2m x y =-，得2y x m =-.当m 取得最大值时，z 取最大值，数形结合即得. 【详解】设2m x y =-，得2y x m =-，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），平移直线2y x m =-，由平移可知当直线2y x m =-经过点C 时， 直线2y x m =-的截距最小，此时m 取得最大值，由121x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即()1,0C .将C 的坐标代入2m x y =-，得2m =，此时22x y z -=的最大值224z ==， 即目标函数22x y z -=的最大值是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.16．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足274cos cos 2()22A B C -+=，2a =，则ABC ∆面积的最大值为__________． 3【解析】∵A+B+C=π， ∴2274coscos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A -+=+-=++=， ∴212cos 2cos 02A A -+=． ∴1cos 2A =，3sin A =. ∵2a =，由余弦定理可得：2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）, ∴4bc ≤．∴S △ABC 113sin 4322bc A =≤⨯= 3点睛：本题是解决解三角形问题，需用到二倍角公式，三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，特别是注意边角互化的应用．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n ≥时，()()1121n n n S nS n n --=+-.证明1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析，()1121n n a n -=+⋅-【解析】由()()1121n n n S nS n n --=+-，得11211n n S S n n -⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，可得1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列.求出n S ，再求n a . 【详解】证明：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n ≥时，()()1121n n n S nS n n --=+-. 所以1211n n S Sn n -=+-， 整理得112111n n S S n n -+=++-，即11211n n S S n n -⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，所以数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以1121S +=为首项，2为公比的等比数列.11222nn n S n-+=⋅=， 则2nn S n n =⋅-，当2n ≥时，()11121n n n n a S S n --=-=+⋅-，当1n =时，11a =（符合通项公式）， 故()1121n n a n -=+⋅-.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题.18．由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示.（1）求a ，b 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（3）在抽出的[)20,25岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？ 分组（岁）频数 频率 [)20,25 50.050[)25,30 a0.200[)30,35 35b[)35,40300.300[)40,4510 0.100 合计 1001.00【答案】（1）20,0.350a b ==，见解析；（2）33.5岁；（3）35. 【解析】（1）由频率分布表可求a ，b 的值；（2）平均数等于频率分布直方图中所有小矩形的底边中点乘以其面积的和； （3）列举法求出五人中任选两人的所有基本事件数，一男一女所包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即得所求概率. 【详解】（1）由频率分布表得1000.20020a =⨯=，350.350100b ==， ∴补全频率分布直方图如图所示.（2）507名画师年龄的平均数的估计值为22.50.0527.50.232.50.3537.50.342.50.133.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）.（3）三名男画师记为a ，b ，c ，两名女画师记为1，2， 五人中任选两人的所有基本事件如下：(),a b ，(),a c ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),1b ，(),2b ，(),1c ，(),2c ，()1,2，共10个基本事件，其中一男一女的是(),1a ，(),2a ，(),1b ，(),2b ，(),1c ，(),2c ，共6个基本事件， ∴选出的恰好是一男一女的概率63105p ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于基础题.19．如图，已知三棱锥P ABC -的平面展开图中，四边形为ABCD 边长等于2的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在三棱锥中P ABC -：（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的表面积和体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积23，体积13【解析】（Ⅰ）由题意知APC ∆和ABC ∆为等腰三角形，可取AC 中点O ，连接PO,OB ，可证明PO ⊥平面ABC ，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由PO ⊥平面ABC ，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===.因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥. 因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.因为AC OB O ⋂=，AC ，OB ⊂平面ABC ， 所以PO ⊥平面ABC ，因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅱ）三棱锥P ABC -的表面积()232222S =⨯+⨯⨯23=+，由（Ⅰ）知，PO ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的体积为13ABC V S PO ∆=⨯ 111221323=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.20．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以()()21224411k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值． 21．已知函数()ln 1x f x x+=.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 【答案】（1）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为1，无极小值；（2）见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.求()'f x ，令()'0f x =，求出极值点，就()()',,x fx f x 的变化情况列表即得；（2）由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x +=≤==，即ln 11x x x≤-.令()2*,2x n n N n =∈≥，得222ln 11n n n<-.由裂项法得()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可证明结论. 【详解】（1）∵函数()ln 1x f x x+=，∴0x >，则()2ln 'xf x x =-，由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值. （2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x+=≤==， ∴ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x nn N n =∈≥，∴222ln 11n n n <-，∴()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查不等式的证明，属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．【答案】（1）24cos 120ρρθ--=（2）AB =【解析】试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 16ρρθ-=，可得20ρ--=１２，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12AB ρρ=-求解即可． 试题解析：（1）将方程424x cosa y sina=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ，ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=． （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 166ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=，根据题意可得12,ρρ是方程2160ρ--=的两根，∴121216ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-==．23．设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞． 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ） （A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3)（D ）[1,3]- 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}A B x x =<≤。

故选B 。

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ）（A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词 【难度】1 【答案】D 【解析】 因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假，则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）（A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图【难度】1【答案】A【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2；当n=3时，判断为是，直接输出s=1，所以s的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（）（A）（B）（C）（D）【考点】空间几何体的三视图【难度】1【答案】C【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系2464=+，若欲使此设备的年平均花费最低，则y x此设备的使用年限x为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】 设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥ （当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。

2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数22i 1i ⎛⎫ ⎪+⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -【答案】C【解析】()2222i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，故选C ．2．已知集合{|A x y ==，{}0,1,2,3,4B =，则A B =（ ）A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．(]{},34-∞【答案】C【解析】集合{{}||3A x y x x ==≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3AB =，故选C ．3．函数lncos 22y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π⎪⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以D 错误，故答案为B ．4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．1C ．12-D ．12【答案】D【解析】1cos602⋅=︒⋅=a b a b ，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()21cos 2ϕ-⋅-⋅-===a ab a b aa b aa． 故选D ．5．已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，可得2m =，则双曲线的标准方程是22128x y -=．故选D ．6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动， 包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，∴甲被选中的概率为3162=．故选C ． 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

高三10月调研考试 数学（文）试题一、选择题1．已知集合，，若，则=（ ）A. 0或B. 1或C. 0或3D. 1或3 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz的共轭复数是（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ 3．命题“x R ∀∈， x x 322=”的否定是（ ）A. x R ∀∉， 223x x ≠B. x R ∀∈， 223x x ≠C. x R ∃∉， 223x x ≠D. x R ∃∈， 223x x ≠4．函数2xx y e=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B.C. D.5．已知函数是奇函数，且在区间上满足任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（ ） A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7．设的内角的对边分为，.若是的中点，则( )A. B. C. D. 8．已知函数，则的极大值为（ ）A. 2B.C.D.9．已知数列2、6、10、14、322 ）项A ．23B ．24C ．19D ．2510．已知的边的垂直平分线交于，交于，若，，则的值为（ ）A. 3B.C.D.11．设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L ( )A. 2015B. 2016C. 2017D. 20112．设函数()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 13,32⎛⎤⎥⎝⎦ D. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．已知集合，则A 的子集有________个。