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2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．8 B．12 C．16 D．724．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A．1 B．±1 C．2 D．±26．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+49．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为______．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为______．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是______．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是______．三、解答题（共5小题，共70分）17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．18．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n+1是数列{b n}的前n项和（1）求S n；，都有成立，求正整数k的值．（2）若对任意n∈N+19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等2×2列联表，“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可的结论．【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），∴（∁R A）=[﹣1，3）B={x|log2x＜2}，∴，∴B=（0，4），∴（∁R A）∩B=（0，3）．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．8 B．12 C．16 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】{a n}为等差数列，设首项为a1和公差为d，则已知等式就为a1与d的关系等式，所求式子也可用a1和d来表示．【解答】解：∵{a n}为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120，∴a1+7d=24，∴=（a1+7d）=16．故选：C．4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．5．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A．1 B．±1 C．2 D．±2【考点】二项式定理．=C5r•（）5﹣r•（）【分析】根据题意，有2n=32，可得n=5，进而可得其展开式为T r+13•（a）3，r，分析可得其常数项为第4项，即C5依题意，可得C53•（a）3=80，解可得a的值．【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，=C5r•（）5﹣r•（）r，则二项式的展开式为T r+1其常数项为第4项，即C53•（a）3，根据题意，有C53•（a）3=80，解可得，a=2；故选C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，∵圆柱的底面直径为2，高为2，棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，于是该几何体的体积为．故选：C7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种【考点】计数原理的应用．【分析】依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31•C42•A22=36种，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31•C42=18种；因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．故选：B．8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．【解答】解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，f′（x）＜0，⇔＞0⇒[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，∴f′（x）＜0，又∵＞x，∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x＞0，f′（x）＜0，∴f（x）＜0．∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；1•f（2）＞2f（1），排除D；故选A．12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为﹣1．【考点】两条直线平行的判定．【分析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，故答案为﹣1．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是（，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），∴函数y=f（x）为偶函数，令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，即2f（2）=0，则f（2）=0，即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期数列，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，此时f（﹣x）=﹣x=f（x），∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，又∵k MA=0，k MB=，∴＜k＜0．故答案为：（，0）．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|•sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|•sin（﹣x）=﹣|cosx|•sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|•sin（π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|﹣cosx|•（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|•sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．三、解答题（共5小题，共70分）17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的最值可得；（2）解2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可得单调递增区间；（3）由（2）和f（B+C）=可得角A=，由余弦定理和基本不等式可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，当2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+，kπ+]，k∈Z；（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，∴cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，变形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为118．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n+1是数列{b n}的前n项和（1）求S n；，都有成立，求正整数k的值．（2）若对任意n∈N+【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质．【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{a n}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{b n}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得S n；（2）令，通过相邻两项的差比较可得{C n}的最大值，即可得到结论．【解答】解：（1）因为a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{a n}是递增数列，所以a3=4，a4=8，所以q=2，a1=1，所以；所以．所以．（2）令，则．所以当n=1时，c1＜c2；当n=2时，c3=c2；﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…．当n≥3时，c n+1所以数列{c n}中最大项为c2和c3．所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等1201202×2列联表，“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．【分析】（1）利用公式，求出K2，查表得相关的概率为99%，即可得出结论；（2）所有的基本事件有：6×6=36个，抽到9号或10号的基本事件有7个，即可求抽到9号或10号的概率．【解答】解：（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求．…（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，．所有的基本事件有：6×6=36个．…事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣O的正切值．【解答】证明：（1）因为平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO⊂平面APO，PO⊂平面APO，∴BD⊥平面APO，（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（，2，0），…设=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，则=（0，1，0），=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣3，0，），则，得，令x=1，则y=，z=3，则=（1，，3）…．cosθ==，∴tanθ=…..21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，得f′（x）=x（2﹣e x﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，∴f′（x）=x（2﹣e x﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴ke x﹣x﹣k＞0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，∴h′（x）=ke x﹣1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…综上，所求不等式的解集为．…（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；由斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．（II）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．l的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，解得，t1=，t2=．则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．2016年10月9日。
2016年山西省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x｜1＜x2≤5x｝，B={x|﹣2＜x＜2｝，则A∪B=()A．(1，2) B．(﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2,5）2．复数+的共轭复数为（）A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i3．如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40，50），[50，60),[60，70），[70，80）,[80，90)，［90，100]，则成绩在［70，90)内的频数为()A．27 B．30 C．32 D．364．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2｜PF｜,则（）A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y15．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．6．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）A． B．C．D．7．函数f（x）=e x﹣x在区间[﹣1，1］上的值域为（）A．[1,e﹣1］B．C．D．［0，e﹣1］8．已知S n为等差数列{a n}的前n项和,给出下列两个命题：命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11命题q:若S6不小于12，则S3,S9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是(）A．￢p B．（￢p）∧（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q)9．在矩形ABCD中，｜AB｜=3，|AC｜=5，=，=，若=x+y，则x+y的值为（）A．2 B．4 C．5 D．710．设a＞0，且x,y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（）A．B．C．D．11．某几何体是组合体，其三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π12．记min{a,b｝表示a，b中较小的数，比如min{3，﹣1}=﹣1．设函数f（x)=｜min｛x2,log x}｜(x＞0）,若f（x1）=f（x2）=f（x3)（x1，x2，x3互不相等），则x1x2x3的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)13．一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_______只蜜蜂．14．已知函数f（x）=为奇函数，则g(﹣2）=_______．15．若双曲线mx2+y2=1(m＜﹣1)的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则m=_______．16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分。
山西省晋城市2016年高考数学三模试卷（文科）（解析版）一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{1，2，3} D．{2，4}2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=05．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．66．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 9=3，a 6a 10=9，则a 7a 8=（ ）A ．B ．2C ．4D ．38．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π10．已知实数x ，y 满足不等式组，则z=的取值范围是（ ）A ．[﹣4，]B ．[﹣4，1]C ．[，]D ．[，1]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．2C ．D ．312．已知f （x ）=，若a ＜b ＜c ，f （a ）=f （b ）=f （c ），则实数a+3b+c 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣ln2] B ．（﹣∞，﹣ln2] C ．（﹣∞，﹣e ] D ．（﹣∞，﹣e ]二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取名学生．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m= ．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49= ．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c ﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．21．（12分）（2016晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明： =；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{1，2，3} D．{2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，∴A∩B={3，4}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z，得到z=﹣i，从而求出z的模．【解答】解：z=+=+=﹣2i=﹣i，则|z|==，故选：A．【点评】本题考查了复数的化简求值，考查复数求模问题，是一道基础题．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p ∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据的等边三角形的性质，建立方程关系得到a，b的关系即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，∴tan∠OFB1=tan30°=，即，则b2=c2=（a2+b2），即a2=2b2，则a=b，即双曲线的渐近线方程为y==±x，则x±y=0，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据正三角形的边长关系建立a，b的关系是解决本题的关键．5．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】抽象函数及其应用．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），∴f（x）为周期为4的周期函数，∴f（103）=f（26×4﹣1）=f（﹣1）=f（1）=f（1+4）=f（5），∵当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，∴f（5）=5+1=6，故选：D．【点评】本题考点是函数的值，本题考查利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A ．B ．2C ．4D ．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a 7，a 8的值，则a 7a 8可求．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 5a 9=3，a 6a 10=9，得，∴， 则a 7a 8=． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ． 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】依题意知T ，利用周期公式可求ω，利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象和性质可得到φ=k π﹣（k ∈Z ），结合范围|φ|≤，于是可求得φ的值．【解答】解：∵函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，∴T=，又ω＞0， ∴T==π， ∴ω=2；又∵g （x ）=f （x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin （2x++φ）的图象关于直线x=对称，∴2×++φ=k π+（k ∈Z ），∴φ=kπ﹣（k∈Z），又|φ|≤，∴φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12π C．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，] B．[﹣4，1] C．[，] D．[，1]【考点】简单线性规划．【分析】根据分式的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的公式进行求解即可．【解答】解：z===1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知，AD的斜率最大，此时AD的斜率为0，即k=0，BD的斜率最小，此时B（0，﹣2），此时k==﹣5，则﹣5≤k≤0，则﹣4≤z≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出直观图和对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的性质、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：∵平面PAC是正方体的对角面，∴中点B到平面PAC的距离是，由正方体的性质可得，几何体的体积V=V P﹣ACD+V P﹣ABC=V A﹣PCD+VB P﹣PAC==2，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，以及换底法求三棱锥的条件，由三视图和正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知f（x）=，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ln2] B．（﹣∞，﹣ln2] C．（﹣∞，﹣e] D．（﹣∞，﹣e] 【考点】分段函数的应用．【分析】设f（a）=f（b）=f（c）=t，作出函数的图象，结合图象判断0＜t＜1，分别用t 表示a，b，c，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可求a+3b+c 的取值范围．【解答】解：先作出函数f（x）的图象如图：∵a＜b＜c．f（a）=f（b）=f（c），设f（a）=f（b）=f（c）=t，则0＜t＜1，则由f（a）=e a=t，得a=lnt，由f（b）=1﹣b=t，得b=1﹣t，由f（c）==t，得c=t2+1，则a+3b+c=lnt+3（1﹣t）+t2+1=t2﹣3t+lnt+4设g（t）=t2﹣3t+lnt+4，0＜t＜1，函数的导数g′（t）=2t﹣3+==，由g′（t）=0得t=，当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数递增，当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数递减，即当t=时，函数g（t）取得极大值同时也是最大值g（）=﹣+ln+4=﹣ln2，∴g（t）≤﹣ln2，即a+3b+c的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，设f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取8 名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为4：5：6，∴从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为30的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m= ﹣2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49= 325 ．【考点】数列递推式．【分析】a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，可得a2n+a2n+1=n+1，于是S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）即可得出．【解答】解：∵a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，∴a2n+a2n+1=n+1，则S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）=1+（1+1）+（2+1）+…+（24+1）=1+2+…+25==325．故答案为：325．【点评】本题考查了递推关系、分组求和、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由++=可知F为△ABC的重心，根据抛物线的性质和重心坐标公式求出A，B，C的坐标，得出AC方程，从而求出B到AC的距离．【解答】解：抛物线方程为y2=4x．准线方程为x=﹣1．∵++=，∴F为△ABC的重心．∴x A+x B+x C=3，y A+y B+y C=0．∴|FA|+|FB|+|FC|=x A+1+x B+1+x C+1=6．∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．∵B在x轴的下方，∴B（1，﹣2）．∴x A+x C=2，y A+y C=2．∵，x c=，∴，解得y A=1+，y C=1﹣．∴x A=1+，x c=1﹣．∴直线AC的方程为：y=2x﹣1．即2x﹣y﹣1=0．∴B到直线AC的距离d==．故答案为：【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形重心的性质，点到直线的距离，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c ﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩，（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，列举法易得．【解答】解：（1）数学的平均成绩为55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105×0.2+115×0.04=88.6分；（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，从数学成绩在100分以上的学生中任选2人，共有（103，103），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（105，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112），（107，112）共有15种，其中有且只有一人成绩是105分的有（103，105），（103，105），（103，105），（103，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112）共有8种，故有且只有一人成绩是105分的概率【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，而CD∥EF，故EF⊥平面PAD，于是平面BEF⊥平面PAD；（2）取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．则可证BN∥平面PCD，NQ⊥平面PCD，于是V M﹣EFB=V B﹣EFM=V N﹣EFM=．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，BC⊥CD，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．（2）解：取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．∵△PAD是边长为4的正三角形，∴ND=，PN=2，PN⊥AD∴NQ==．∵BC ND，BC⊥CD，∴四边形BCDN是矩形，∴NB∥CD，即NB∥平面PCD．∴V M﹣EFB=V B﹣EFM=V N﹣EFM．由（1）知CD⊥平面PAD，NQ⊂平面PAD，∴NQ⊥CD，又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD=D，∴NQ⊥平面PCD．∵EF是△PCD的中位线，∴S△EFM===2．∴V M﹣EFB=V N﹣EFM===．【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得：， =，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．可得S△ABD．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．可得圆心O（0，0）到直线l1的距离d，于是|AB|=2．由l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．与椭圆方程联立解得x0，可得|PD|=|x0|．S△ABD=，即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：， =，又a2=b2+c2，联立解得b=c=1，a=．∴椭圆C的方程为+y2=1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．∴S△ABD==2．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．∴圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2．∵l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．联立，化为：（2+k2）x2﹣4kx=0．解得x0=，∴|PD|==．S△ABD==．设t=，可得：k2=，则S△ABD==≤=，当且仅当t=，即k=时取等号．又，∴直线l1的方程为：y=x+1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断出函数F（x）的大致图象，从而判断出函数的零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）F′（x）=f（x）=+﹣3，由（1）得：∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，使得f（x）在（0，x1）大于0，在（x1，x2）小于0，在（x2，+∞）大于0，即F（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，而F（1）=0，x→0时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞，画出函数F（x）的草图，如图示：，故F（x）的零点有3个．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明： =；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=；（Ⅱ）解：∵ADDE=BDCD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴ADAE=ABAC，∴AD（AD+DE）=ABAC，∴AD2=ABAC﹣ADDE=ABAC﹣BDDC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得： =，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得： ==．∴=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016届山西省太原市高三（下）第三次模拟数学（理）试题一、选择题1．已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<，2{|230}B x x x =+-≥，则R A C B =（ ）A ．(2,1)-B ．(1,4)C ．{2,3}D ．{1,0}- 【答案】D【解析】试题分析：因}13|{),,1[]3,(},3,2,1,0,1{<<-=+∞--∞=-=x x B C B A U ,故}0,1{-=B C A U ,选D. 【考点】交集补集运算. 2．如果复数212bii-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．-6 B ．23- C ．23D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因212bi i -+i b b i bi 545225)21)(2(--+-=--=,由题意054522=--+-b b ,解之得32-=b 故选B. 【考点】复数的概念及运算.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 【答案】D【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式． 4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题:p 00,10x R x ∃∈+≤，则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b 满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 【答案】D【解析】试题分析：因0a b ⋅<,故两向量的夹角为钝角或平角,其它命题不难验证都是正确的,故应选D.【考点】命题真假的判断． 【易错点晴】本题是一道命题真假的判定的问题.问题中提供了四个命题,其中命题A 的是正确的,考查的是将一个命题的原命题改成其逆否命题后是真还是假的问题.解答时将结论与条件对调,再将其全部否定即可看出是正确的；命题B 考查的是存在性命题与全称命题的关系,这里借助全称命题与存在性命题是互为否定的这一事实即可知道也是正确的；命题C 的判断最易出错,其实可借助正弦定理sin sin A B >等价于b a >,而b a >等价于A B >划这是显然的事实,所以是正确的. 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．34cm B ．36cm C ．3163cm D ．3203cm 【答案】C【解析】试题分析：从三视图中可以看出该三视图是一个三棱锥和一个三棱锥上下接合的组合体,其体积为316222213122221=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=V ,故应选C. 【考点】三视图的识读及几何体体积的计算．【易错点晴】本题是一道集三视图的识读和理解与几何体的体积面积计算的综合问题.求解这类问题的关键是借助题设中提供的三视图及有关信息, 搞清几何体的形状,明确求解的方向.本题在求解时运用三视图中的俯视图可以看出下部是三棱柱,上部为三棱锥,再从主视图和侧视图中获得其高和底边的长,为求该几何体的体积获得了有效的数据和信息.然后选择体积公式求出该几何体的体积. 6．若用下边的程序框图求数列1{}n n+的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）A ．1,100?i S S i i+=+≥B ．1,101?i S S i i +=+≥ C ．,100?1iS S i i =+≥- D ．,101?1iS S i i =+≥- 【答案】B【解析】试题分析：因1=i 有意义,故不能选C ，D ，又当100>i 时,流程图中的计算没有结束,故101>i ,应选B.【考点】算法流程图的识读和计算．7．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．[6,63],k k k Z +∈ B ．[63,6],k k k Z -∈ C ．[6,63],k k k Z ππ+∈ D ．[63,6],k k k Z ππ-∈ 【答案】A【解析】试题分析：由题设可知该函数的周期是628=-=T ,所以362ππω==且)3(f 取最值,即1)36sin(±=+⨯ϕπ,所以2ππϕ-=k ,所以)23sin()(πππ-+=k x A x f ,其增区间为ππππππk x k 222322+≤-≤-,即Z k k x k ∈+≤≤,636,故选答案A.【考点】三角函数的图象和性质．8．已知实数,x y 满足约束条件22410xy x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A．-．2 C．．1 【答案】A【解析】试题分析：平行移动动直线z x y +-=2,当该直线与圆相切时,在轴上得到截距最小,最小值为52-,故应选A.【考点】线性规划的知识及运用.9．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450O A O B O C ++=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．25 B ．35 C ．45 D ．65【答案】D【解析】试题分析：由3450OA OB OC ++=变形可得OB OA ⋅++=2416925,即0=⋅,所以0045,90=∠=∠ACB AOB ,由3450OA OB OC ++=变形可得COB ∠++=cos 4016259,故54cos -=∠COB ,所以5185811=++=BC ,同理可得:516=AC ,所以5645sin 516518210=⨯⨯=∆ABC S ,选D. 【考点】向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为1及3450OA OB OC ++=,不厌其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将ABC ∆三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.10．已知双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，公共弦AB 恰过它们的公共焦点F ，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（ ） A ．(,)32ππ B ．(,)64ππ C ．(,)43ππ D ．(0,)6π 【答案】A【解析】试题分析：因点的坐标为),2(p pA ,其斜率为32>=O A k ,故其倾斜角的取值范围最有可能的是(,)32ππ,故应选A. 【考点】圆锥曲线的位置关系及运用． 11．已知{}n a 满足11a =，*11()()4n n n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B【解析】试题分析：由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n个等式并两边相加得:n a a a a a a a n n n n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n nS a a a a -=++++,则na S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.【考点】数列及求和方法． 【易错点晴】本题是一道数列求和的综合问题,解答时充分借助题设条件,运用简单枚举和整体代换的数学思想和方法,灵魂运用题设条件进行巧妙变形继而使问题获解.解答本题的关键是如何利用*11()()4n n n a a n N ++=∈,将其变为1441=++n n n n a a 是关键的一个步骤,接着取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,将得到的等式两边相加再利用21123444n n n S a a a a -=++++，从而将问题进行有效地合理的转化,最后运用整体代换的方法求出了结果.12．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程'()()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C【解析】试题分析：令t x x f =-2log )(,则x t x f t f 2log )(,3)(+==,注意到x 的任意性,取0>=t x ,则t t t f 2log )(+=,由于3)(=t f ,因此t t -=3l o g 2,又t t y +-=3log 2是单调函数,因此2=t 是方程t t -=3lo g 2的唯一实数根,所以x x f 2lo g 2)(+=,则2ln 1)(/x x f =,故原方程22ln 1log 22=-+x x ,即2ln 1log 2x x =,令=)(x F 2ln 1log 2x x -,由于0)2(,0)1(><F F ,因此函数)(x F在(1,2)上有零点,即该方程的根所在的区间是(1,2),应选C.【考点】函数方程思想的运用．【易错点晴】本题是一道抽象函数为为背景的函数零点问题,重点考查函数的零点问题及换元转化的数学思想和分析问题解决问题的能力.解答本题的难点在于无法知道函数的解析式的形式,下面的导数式就无从下手.在这里先将函数的解析式求出成为解答本题的关键之所在.解答时将t x x f =-2log )(,进而令解析式中的t x =,借助题设中3)(=t f 得到t t -=3log 2,再运用观察法求出适合t t -=3log 2的2=t ,从而求出函数解析式x x f 2log 2)(+=,以下的问题就容易了.二、填空题 13．已知51()(2)a x x x x+-的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ．【答案】40【解析】试题分析：令1=x 可得2)12)(1(5=-+a ，即1=a ，则51()(2)a x x x x+-=55)12(1)12(x x x x x x -+-，分别求出5)12(x x -的展开式中的含x1和x 和的项的系数分别为80,40-，所以展开式中的常数项为40. 【考点】二项式展开式的通项公式及待定系数法．14．曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．【答案】21)21()21(22=-+-y x 【解析】试题分析：因x x f ln 1)(/+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)21,21(-,则圆的方程为21)21()21(22=-+-y x . 【考点】导数的几何意义和圆的方程．【易错点晴】本题是一道以曲线与直线相切为前提条件,重在考查圆的标准方程的求法的代数与解析几何相结合的综合问题.解答时要充分借助题设条件,先对()ln f x x x =求导,确定切线的斜率1=k ,求出曲线的切线方程1-=x y ,再求出其与坐标轴的交点坐标)0,1(),1,0(B A -,最后求出其圆心坐标)21,21(-和半径22=r ,依据圆的标准方程的形式写出其标准方程.15．已知,A B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有 ．【答案】48【解析】试题分析：先考虑甲乙捆绑成一个的情形:（甲乙）A 丙B ； B （甲乙） A 丙； （乙甲） A 丙B ；B （乙甲） A 丙； （甲乙）A B 丙； （甲乙）B A 丙；（乙甲） A B 丙B ；B （乙甲） B A 丙.共有8种可能；将三个大人全排列共633=A 种可能，所以共有4868=⨯种可能. 【考点】排列数组合数公式及运用．16．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D A E ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：建立如所示的坐标系,则)1,0,0(),1,1,1(),0,0,1(),1,1,0(),21,1,1(),0,0,0(111A C B D E A ,设),,1(s t F ,平面AE D 1的法向量为),,(z y x n =,则)1,1,0(),21,0,1(),1,,1(111==-=AD D s t A ,所以0,011=⋅=⋅n AD n E D ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0021z y z x ,令2=z ,则⎪⎩⎪⎨⎧=-==221z y x ,所以)2,2,1(-=n .又因为1//A F 平面1D AE ,所以01=⋅A ,即0)1(221=-+-s t ,也即211-=-t s ,所以)21,,1(1-=t t A .由于)0,0,1(1=n 是平面11BCC B 的一个法向量,且111=⋅n A ,所以4521,c o s211+->=<t t n A ,记A 1与平面11BCC B 所成角为α,则452412cos ,4521sin 222+-+-=+-=t t t t t t αα,所以])1,0[(4121tan 2∈+-=t t t α,因为]21,221[4122∈+-t t ,所以]22,2[tan ∈α.A z【考点】空间向量的数量积公式及运用．【易错点晴】本题考查是空间向量在立体几何中的运用和计算问题,求解时先依据题设条件构建出空间坐标系, 先设平面AE D 1的法向量为),,(z y x =,利用法向量与平面AE D 1垂直求出)2,2,1(-=.再借助1//A F 平面1D AE ,求出)21,,1(1-=t t A .最后借助数量积公式建立的线面角的正切])1,0[(4121tan 2∈+-=t tt α求出其范围是]22,2[tan ∈α.三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,AB C 的对边，2sin()3a C π+=.（1）求角A 的值；（2）若3AB =，AC 边上的中线BD ABC ∆的面积. 【答案】（1） 3A π=；（2）36.【解析】试题分析：（1）运用正弦定理和两角和差的正弦公式求解；（2）借助题设条件及余弦定理三角形的面积公式求解即可. 试题解析: （1）由2sin()3aC π+=，得2sin (sin coscos sin )33A C CB ππ+=， 所以sinsin cos )A C A C A C=+，sin sin cos A C A C ，因为sin 0C ≠，所以sin A A =，tan A = ∵(0,)A π∈，∴3A π=.（2）在ABC ∆中，3AB =，BD =3A π=，由余弦定理，2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅⋅=，解得4AD =，又D 是AC 的中点，∴8AC =，1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅= 【考点】正弦定理余弦定理三角形面积公式的运用．18．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取50名学生，得到下面的数据表：（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大； （2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大；（2）ξ的分布列见解析，数学期望为43. 【解析】试题分析：（1）运用卡方公式进行推算并作出判定；（2）借助题设条件数学期望公式求解即可. 试题解析:（1）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”， 230(41286)012182010k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，所以这两种选择与性别无关；选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”，因为232(16844) 6.969 6.63520122012k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以可以有99%以上的把握，认为“坐标系与参数方程”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关；选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”，因为238(161264)8.4647.87920182216k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以可以有99%以上的把握，认为“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种选择倾向与性别有关. 综上，“不等式选讲”和“平面几何选讲”这两种倾向与性别有关系的把握最大.（2）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:125:3=， 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.依题意，得3,1,1,3ξ=--，33381(3)56C P C ξ=-==，12533815(1)56C C P C ξ=-==， 21533830(1)56C C P C ξ===，353810(3)56C P C ξ===， 故ξ的分布列如下：所以115301033(1)135********E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯=. 【考点】卡方公式和数学期望公式的运用．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PA 的中点.（1）若4PA =，求点C 到平面BMD 的距离；（2）过直线BD 且垂直于直线PC 的平面交PC 于点N ，当三棱锥N BCD -的体积最大时，求二面角M ND B --的余弦值. 【答案】（1）332；（2）77. 【解析】试题分析：（1）运用等积法建立方程求解；（2）借助题设条件建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积求解即可. 试题解析:（1）设BD 与AC 相交于点O ，则BD AC ⊥，连接MO ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BMD ，∴平面BMD ⊥平面PAC ，过A 作AT MO ⊥于点T ，则AT ⊥平面BMD ，∴AT 为点A 到平面BMD 的距离，∵,C A 到平面BMD 的距离相等，在MAO ∆中，AO AM AT MO ⋅== （2）连接ON ，则ONC ∆为直角三角形，设OCN θ∠=(0)2πθ<<，过N 作NQ OC ⊥于点Q ，则NQ ⊥平面ABCD ， ∴11222323N BCD V NQ NQ -=⨯⨯⨯⨯= 22sin cos sin 33NC OC θθθ==223θ=≤， 当且仅当4πθ=时，V 最大，此时，AP AC ==以A 为原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则有M，33(,222N ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C，P，(0,2,MD =，31(,,)222ND =--， 设平面MND 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则有1100n MD n ND ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，20310222y x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 取1y =，则有11(3n =-，∵直线PC ⊥平面BND ，∴平面BND的一个法向量为(2,2,PC =-， 易知二面角M ND B --的平面角为锐角α，则11224cos ||||7||||1n PC n PC α-+-⋅===⋅.【考点】空间直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式的运用．【易错点晴】立体几何是高考是重要题型之一,也有效检测学生化归转化的数学思想的良好素材.本题是一道典型集计算和推证于一体的空间线面位置关系的计算题.解答时第一问的点到面问题时,巧妙借助体积相等,求出点C 到平面BMD 的距离.这是转化与化归的典范,也是数学思想的体现.第二问中三棱锥的体积最大时二面角的余弦值问题是借助建立空间直角坐标系,构建目标函数,通过求最值从而求出了二面角的余弦值.20．已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.（1）求线段ON 的长；（2）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，如果直线,,MA ME MB 的斜率依次成等差数列，判断直线2l 是否过定点，并说明理由.【答案】（1）2；（2）是，定点为(2,0).【解析】试题分析：（1）运用导数与相切的关系建立切线方程；（2）借助题设条件及抛物线与直线的位置关系联立方程组求解即可.试题解析:（1）由抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，得224p =，故1p =，C 的方程为22y x =，C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y ='y =，故C 在点M 处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2y x -=-，令0y =，得2x =-，所以点N 的坐标为(2,0)-，故线段ON 的长为2.（2）由题意可知1l 的方程为2x =-，因为2l 与1l 相交，故0m ≠，由2:l x my b =+，令2x =-， 得2b y m +=-，故2(2,)b E m+--，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22x my b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2220y my b --=，则122y y m +=，122y y b =-， 直线MA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线MB 的斜率为222y +， 直线ME 的斜率为224b m ++，因为直线,,MA ME MB 的斜率依次成等差数列， 所以1222222212242b b m y y m ++++=⨯=+++， 即1212121212122(4)42112()42()42y y y y b y y y y y y y y m++-+=+=+++++++， 整理得：22222b b m b m ++=-+，因为2l 不经过点N ，所以2b ≠-，所以222m b m -+=， 即2b =，故2l 的方程为2x my =+，即2l 恒过定点(2,0).【考点】直线与抛物线的位置关系及运用．21．已知函数()1tx x f x xe e =-+，其中t R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若方程()1f x =无实数根，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 在(0,)+∞内为减函数，求实数t 的取值范围.【答案】（1） 11t e <-；（2）12t ≤. 【解析】试题分析：（1）运用导数的知识求函数ln ()x g x x =的值域；（2）借助题设条件及导数与单调性的关系建立不等式分析求解即可.试题解析:（1）由()1f x =，得tx x xe e =，即(1)0x t x e -=>，∴()1f x =无负实根. 故有ln 1x t x =-，令ln ()x g x x =，则'21ln ()x g x x-=， 由'()0g x >，得0x e <<，由'()0g x <，得x e >，∴()g x 在(0,)e 上单调递增，()g x 在(,)e +∞上单调递减，∴max 1()()g x g e e ==，∴()g x 的值域为1(,]e-∞， 要使得方程()1f x =无实数根，则11t e ->，即11t e <-. （2）'(1)()[1]tx tx x tx t x f x e txe e e tx e-=+-=+-， 由题意知，对0x ∀>，'()0f x ≤恒成立，不妨设1x =，有1'(1)(1)0t t t e f e -+-=≤，而当1t ≥时，'(1)0f >，故1t <. ①当12t ≤，且0x >时，2(1)'(1)22()[1]x x x e tx t x f x e tx e e +--=+-≤. 而当0x >时，有1x e x >+，故2102x x e +-<，所以'()0f x <， 所以()f x 在(0,)+∞内单调递减，故当12t ≤时满足题意， ②当112t <<时，1012t <-<，且11t t >-，即1ln 011t t t >--. 令(1)()1t x h x tx e -=+-，则(0)0h =，'(1)(1)()(1)(1)[]1t x t x t h x t t e t e t --=--=---. 当10ln 11t x t t<<--时，'()0h x >，此时()(0)0h x h >=， 则当10ln 11t x t t <<--时，'()0f x >，故()f x 在1(0,ln )11t t t--单增， 与题设矛盾，不符合题意，舍去. 所以，当12t ≤时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数. 【考点】导数在研究函数最值和图像的性质中的综合运用．【易错点晴】本题是一道研究函数的零点和单调性的综合性问题,重点考查导数在研究函数的单调性和零点问题中的运用.解答第一问时充分借助转化与化归的数学思想和方法,将方程的形式进行了合理有效的转换和化归,再通过转化将方程问题转化为函数的问题,最后运用导数使得问题巧妙获解.第二问中灵活运用分类整合的数学思想和方法对单调递减函数的进行合理有效的转化,运用分析推证的方法进行求解使得问题获解.22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，BC 为圆O 的直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.【解析】试题分析：（1）运用相似三角形的性质推证；（2）借助题设条件及圆幂定理求解即可.试题解析:（1）∵PA 是圆O 的切线，∴PAB ACB ∠=∠，又P ∠是公共角，∴ABP ∆∽CAP ∆，∴2AC AP AB PB==，∴2AC AB =. （2）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，∴20PC =，又5PB =，∴15BC =，又∵AD 是BAC ∠的平分线，∴2AC CD AB DB==, ∴2CD DB =，∴10CD =，5DB =，又由相交弦定理得：50AD DE CD DB ⋅=⋅=. 【考点】圆中切割线定理、相交弦定理等圆幂定理的运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-= 距离的最小值.【答案】（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=；（2. 【解析】试题分析：（1）直接将参数方程化为直角坐标方程；（2）借助题设条件及圆的参数方程建立参数的目标函数求解即可.试题解析:（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=， 1C 的圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点的椭圆.（2）当2t π=时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，故3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3C 为直线270x y --=，M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--，从而当4cos 5θ=，3sin 5θ=-时，d 取得最小值5. 【考点】参数方程与直角坐标方程的互化及建立目标函数的思想．24．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>.【答案】（1） (,3][3,)-∞-+∞；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）运用分类整合思想进行转化求解；（2）借助题设条件，运用分析法推证.试题解析:（1）由题意，原不等式等价为|2||2|6x x -++≥， 令2,2()|2||2|4,222,2x x g x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩，所以不等式的解集是(,3][3,)-∞-+∞.（2）要证()||()b f ab a f a >，只需证|1|||ab b a ->-，只需证22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->，从而原不等式成立.【考点】绝对值不等式的解法及间接证明中的分析法的运用．。
2016届山西晋城市高三下学期模考（三）数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}2,3,4,6,2,4,5,7A B ==,则A B 的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【解析】试题分析：因为{2,4}A B = ，所以A B 的子集的个数为224=个，故选B ．【考点】1、集合的交集运算；2、集合的子集． 2．已知复数142(ii i z-=+为虚数单位), 则复数z 在复平面上的对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得1(1)(42)1342(4)(42)1010i i i z i i i i ---===-++-，所以131010z i =+，其在复平面对应的点为13(,)1010，位于第一象限，故选A ． 【考点】复数的几何意义及运算． 3．下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数” 的必要不充分条件B ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->,则2:,10p x R x x ⌝∀∈--<C ．命题“若210x -=,则1x =或1x =-” 的否命题是“若210x -≠,则1x ≠或1x ≠-”D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题 【答案】D【解析】试题分析：A 中，“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”既不充分条件又不必要条件；B 中，由特称命题的否定为全称命题，知2:,10p x x x ⌝∀∈--≤R ；C 中，命题的否命题为“若210x -≠,则1x ≠且1x ≠-”；D 中，命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，即p q ∧⌝或p q ⌝∧为真命题，则()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题，若()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题，则命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，所以D 正确，故选D ．【考点】1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件；3、命题的否命题． 4．执行如图所示的程序框图, 输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】试题分析：第一次循环，得20,1,2T S n ===；第二次循环，得10,3,3T S n ===；第三次循环，得5,6,4T S n ===；第四次循环，得5,10,52T S n ===，此时1522S T -=>，退出循环，输出5n =，故选C ． 【考点】程序框图．5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的一个端点为A ，若AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A 1B D 【答案】C【解析】试题分析：不妨设(0,)A b ，则00AF b bk c c-==--．又直线AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，所以1b bc a-⋅=-，即2b a c =，亦即22c a ac -=，两边除以2a ，得210e e --=，解得e =，故选C ． 【考点】1、双曲线的几何性质；2、直线与直线间的位置关系．6．已知4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ,且()1,1X N ,则()3P X a <<=（ ）(附：若随机变量()2,X N μσ ,则()()000068.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()003399.74P X μσμσ-<<+=)A ．0.043B ．0.0215C ．0.3413D ．0.4772 【答案】B【解析】试题分析：因为4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为468814421()()rr r r r r T C x C x x--+==．令880r -=，得1r =，所以144a C ==，所以()3P X a <<=()34P X <<=()1[332P X μσμσ-<<+－()22P X μσμσ-<<+＝0.0215，故选B ．【考点】1、二项式定理；2、正态分布．7母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π 【答案】D【解析】2，可求得其轴截面的顶角为32π．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，则11O O R =-，222221(1)R OO r R =+=-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R π=π，故选D ．【考点】1、圆锥的外接球；2、球的表面积．【技巧点睛】求解多面体（如长方体、棱柱与棱锥）与球的组合体问题时，首先要清楚它们的“切”或“接”关系，然后根据此关系确定出球的直径（或半径）与多面体的棱长、对角线等几何量的关系．此类问题解答的难点就是组合体的图形比较难作出，必须要发挥自己的空间想象力，借助生活中实物图进行想象．8．若函数()22,21log ,22a x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为R ,则(f 的取值范围是（ ） A ．5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：因为当2x ≤时，()1f x ≥-，所以要使函数()f x 的值域为R ，则需满足011log 212a a <<⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，即1l og 202a -≤<．又(1312o g 22o g 2222aa f ==-，所以(51,42f ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质及运算；3、函数的值域．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2n n n a a a +==,则20S =（ ） A ．3066 B ．3063 C ．3060 D ．3069 【答案】D【解析】试题分析：因为12n n n a a += ①，所以112(2)n n n a a n --=≥ ②．①÷②，得112n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项组成以11a =为首项，公比为2的等比数列，偶数项组成以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以101020122(12)30691212S --=+=--，故选D ．【考点】1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和公式． 10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭相邻两对称中心之间的距离为π,且()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立, 则ϕ的取值范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】试题分析：由题意，得22T ωπ==π，解得1ω=．由()2sin 1x ωϕ+>，即()1sin 2x ωϕ+>，得2266k x k ϕπ5π+π<+<+π，即(2,2)66x k k ϕϕπ5π∈+π-+π-()k Z ∈．因为()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，所以,(,)12366ππϕϕπ5π⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，即61263πϕπϕπ⎧-≤-⎪⎪⎨5π⎪-≥⎪⎩，解得42ϕππ≤≤，故选B ． 【考点】三角函数的图象与性质．11．已知直线():2l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点, 点()2,4M -满足0MA MB =,则AB =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．16 【答案】D【解析】试题分析：由题意，知抛物线的焦点为(2,0)，直线l 抛物线的焦点， 由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2222(48)40k x k x k -++=，显然0∆>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k ++=，124x x =，所以128y y k +=，1216y y =-．因为()2,4M -，所以1122(2,4),(2,4)MA x y MB x y =+-=+-，所以MA MB＝1122(2,4)(2,4)x y x y +-⋅+-＝121212122()44()16x x x x y y y y ++++-++＝224842416k k++⋅+-－84160k ⋅+=，即2210k k -+=，解得1k =，所以1212x x +=，所以由抛物线的定义，得AB ＝1212416x x p ++=+=，故选D ．【考点】 1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、向量的数量积运算．【一题多解】由题意，知抛物线的焦点为(2,0)，直线l 抛物线的焦点，点()2,4M -在抛物线的准线上，所以由抛物线的定义，知4A B AB x x =++．如图，取AB 的中点N ，连接MN ，因为,A B 的中点到抛物线的准线的距离42A B x x d ++=，所以以AB 为直径的圆与2x =-相切，又因为0MA MB =，则M N x 轴，(,4)N N N ，由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160y y k --=，所以88A By y k +==，所以1k =，所以A B x x +＝2212A B y y +++=，所以AB ＝1212416x x p ++=+=，故选D ．12．某三棱住被一个平面截去一部分后所得的几何的三视图如图所示, 其中府视图是边长为2的正三角形, 则截去部分与剩余部分的体积之比为 （ ）A ．1033 B ．1336 C ．1323 D ．2333【答案】C【解析】试题分析：由三视图知该几何体为正三棱柱的一部分，如图所示，其中,M N 分别为111,BB B C 的中点，F 在11AC 上，且11113FC AC =，则该截面为AMNF ．连接MN 并延长交1CC 的延长线于E ，交CB 的延长线于D ，三棱柱的体积为44⨯=设截去部分和剩余部分的体积分别为1V 和2V ，12EC =，1BD =，所以11332369E PNV -==，123M ABD V -==，193A DCE V -==，所以2939V =-=，199V ==，所以121323V V =，故选C ．【考点】1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积．【方法点睛】解答三视力的关键是将三视图 “翻译”成直观图，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体，来增加直观图的立体感．二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列, 满足55993,19a b a b +=+=,则100100a b += ．【答案】383【解析】试题分析：设数列{}n a 、{}n b 的公差分别为12,d d ，则11n n d a a +=-，21n n d b b +=-，所以11()n n a b +++－()n n a b +＝12d d +，所以数列{}n n a b +为等差数列，且公差99551[()()]44d a b a b =+-+=，所以100100a b +＝55()(1005)3954383a b d ++-=+⨯=．【考点】等差数列的通项公式及性质．14．已知平面向量,,a b c满足,,2,2c a m b a c b c c =+⊥=-=,则实数m = ．【答案】2-【解析】试题分析：因为a c ⊥ ，所以0a c ⋅=．又2||()24c c c c a m b a cm b c m =⋅=⋅+=⋅+⋅=-=，解得2m =-． 【考点】1、平面向量数量积运算；2、平面向量的模．15．已知实数,x y 满足不等式组204803260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则56z x y =+-的最大值为 ． 【答案】13【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设156z x y =+-，由图知，当目标函数156z x y =+-经过点(4,3)A 时，即得最大值，即1(max)453613z =+⨯-=，当目标函数156z x y =+-经过点(2,0)B 时，即得最小值，即1(min)25064z =+⨯-=-，所以1413z -≤≤，所以56z x y =+-的最大值为13．【考点】简单的线性规划问题． 【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．16．已知关于x 的方程3210x ax x --+=有且只有一个实根,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a <【解析】试题分析：由题意知0x ≠，方程211a x x x =-+只有一个实根，设函数211()f x x x x =-+，则3233112()1x x f x x x x+-'=+-=．设3()2g x x x =+-，则2()310g x x '=+>，所以()g x 为增函数，又(1)0g =，所以当0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；当01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 在1x =处取得极小值1，又当0x →时，()f x →+∞；当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 的图象大致如图所示，由图象可知实数a 的取值范围为(,1)-∞．【考点】1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数极值与导数的关系． 【一题多解】设32()1f x x ax x =--+，则2()321f x x a x '=--．令23210x a x --=，则24120a ∆=+>，所以()f x '有两个零点12,x x ，即23210(1,2)i i x ax i --==，且120x x <，2312i ix a x -=．不妨设120x x <<，所以()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以1()g x 为极大值，2()g x 为极小值．方程3210x ax x --+=有且只有一个实根等价于1()0g x >且2()0g x >或1()0g x <且2()0g x <．又2323311()111222i i ii i i i i i i x x f x x ax x x x x x x -=--+=-⋅-+=--+(i =．设311()122g x x x =--+，则231()022g x x '=--<，所以()g x 为减函数，又(1)0g =，所以1x <时，()0g x >；1x >时，()0g x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1．由120x x <<知(1,2)i x i =只能小于1，所以由二次函数2()321f x x ax '=--的性质可得(1)3210f a '=-->，所以1a <．三、解答题17．在ABC ∆中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos c a B b -=. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为,且22cos 4c ab C a ++=,求a .【答案】（1）3A π=；（2）2a =． 【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cos A 的值，从而求得角A 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到,,a b c 的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc 的值，从而求得a 的值．试题解析：（1）由22c o s c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B-=,()sin sin sin sin cos cos sin ,cos sin 2BC A B A B A B A B =+=+∴= ,1sin 0,cos 2B A ≠∴=,又因为0,3A A ππ<<∴=. （2）22cos 4c ab C a ++= ①,又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=,代入①式得22283b c a +=-,由余弦定理222222cos a b c b A b c bc =+-=+-．221sin 1,8312ABC S bc A bc a a ∆==∴=∴=-- ,得a =. 【考点】1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式． 18．已知A 、B 两个盒子中都放有4个大小相同的小球, 其中A 盒子中放有1个红球,3个黑球,B 盒子中放有2个红球, 2个黑球.（1）若甲从A 盒子中任取一球、乙从B 盒子中任取一球, 求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次；乙每次从B 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次, 在四次取球的结果中, 记两球颜色相同的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列见解析，53EX =． 【解析】试题分析：（1）首先求甲、乙两人所取球的颜色相同的概率，再根据互斥事件概率和为1求得所求概率．；（2）首先得出X 的可能取值，然后分别求出甲、乙每次所取的两球颜色相同的概率，由此列出分布列，求得数学期望． 试题解析：（1）设事件A 为“甲、乙两人所取的球颜色不同”, 则()123211442P A ⨯+⨯=-=⨯.（2）依题意,X 的可能取值为0,1,2,3,4,甲每次所取的两球颜色相同的概率为232412C C =,乙每次所取的两球颜色相同的概率为22222413C C C +=,()()11221122411222111120,12233362233332236P X P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112211112211112113222333322223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=,()112211211111632233332236P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=,()111114P X ==⨯⨯⨯=,X 的分布列为150123436363636363EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】1、等可能事件的概率；2、离散型随机变量及其分布列．19．已知三棱柱在111ABC A B C -中, 侧面11ABB A 为正方形, 延长AB 到D ,使得AB BD =,平面11AAC C ⊥平面111111111,,4ABB AAC A C A A π=∠=.（1）若,E F 分别为11,C B AC 的中点, 求证：EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）11． 【解析】试题分析：（1）取11AC 的中点G ,连接,FG EG ，然后由中位线定理可推出GE 平面11ABB A 与GF 平面11ABB A ，从而推出平面GEF 平面11ABB A ，进而使结论得证；（2）连接1AC ，分别以11,,AB A AC A 所在直线作为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标及相关向量，由此分别求出平面111A B C 与平面1CB D 法向量，从而利用空间夹角公式求解．试题解析：（1）取11AC 的中点G ,连接,F G E G ,在111A B C ∆中，EG 为中位线,11GE A B ∴ ．GE ⊄ 平面1111,ABB A A B ⊂平面11,ABB A GE ∴ 平面11ABB A ,同理可得GF 平面11ABB A ,又GF GE G = ,所以平面GEF 平面11ABB A ．EF ⊂ 平面,GEF EF ∴ 平面11ABB A .（2）连接1AC ,在11AAC ∆中,11111,4C AA AC π∠==， 所以由余弦定理得222211111111112cos AC AA AC AA AC AAC AA =+-⨯∠=，1111,AA AC A AC ∴=∆是等腰直角三角形，∴11AC AA ⊥ ,又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB AA A C A =∴⊥平面11ABB A ．AB ⊂ 平面11ABB A ,1AC AB ∴⊥,又因为侧面11ABB A 为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AB A AC A 所在直线作为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =, 则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D - ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,,0,1,0CB CD AC AB ∴=-=-=-=, 设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z=,则11110,0m AC m A B ==,即11100x z y -+=⎧⎨=⎩． 令11x =,则110,1y z ==，故()1,0,1m =为平面111A B C 的一个法向量．设平面1C B D 的一个法向量为()222,,n x y z =，则10,0n C B n C D == ，即2222222020x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩． 令21x =,则221,3y z ==,故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量,所以cos ,11m n m n m n <>===⨯, 所以平面111A B C 与平面1CB D.【考点】1、线面平行的判定定理；2、二面角；3、空间向量的应用．【知识点睛】①设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b，其夹角为θ，则||cos |cos |||||a b a b ϕθ== （其中ϕ为异面直线,a b 所成的角）；②设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为ϕ，两向量e 与n的夹角为θ，则有||sin |cos |||||n e n e ϕθ==；③12,n n 分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<> 或（12,n n πθ-=<>）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,圆()(2222Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点(P 到椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ,且1l 交椭圆C 于,A B 两点, 直线2l 交圆Q 于,C D 两点, 且M 为CD 的中点, 求MAB ∆的面积的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）4⎤⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先运用两点间的距离公式求得c 的值，然后根据圆Q 的圆心在椭圆上得到关于,a b 的方程，由此求得,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）首先由题意得1l 的斜率不为零，然后求得当1l 垂直x 轴MAB ∆的面积；当1l 不垂直x 轴时, 设出直线1l 的方程，并联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式化简整理，再利用换元法结合的单调性求得MAB ∆的面积的取值范围．试题解析：（1）因为椭圆C 的右焦点(),0,||2F c PF c =∴=．(在椭圆C 上,22421a b ∴+=． 由224a b -=得228,4,a b ==所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）由题意可得1l 的斜率不为零, 当1l 垂直x 轴时,MAB ∆的面积为14242⨯⨯=,当1l 不垂直x 轴时, 设直线1l 的方程为：y kx =则直线2l 的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k=-+．由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()221240k x++-=,所以1212224,1212x x x x k k--+==++,则12|||AB x x =-=又圆心(Q到2l的距离1d =<得21k >，又,MP AB QM CD ⊥⊥,所以M 点到AB 的距离Q 点到AB 的距离．设为2d ,即2d ==，所以MAB ∆面积212S AB d === 令()2213,t k =+∈+∞,则110,3t ⎛⎫∈⎪⎝⎭,S ⎫==⎪⎪⎝⎭,综上, MAB ∆的面积的取值范围为43⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，另外三角形面积公式的选用也是解答的关键． 21．已知函数()()01xf x a x a a =->≠且在()0,+∞上有两个零点12,x x 且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）当0λ>时, 若不等式121ln a x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ea e <<；（2）01λ<≤．【解析】试题分析：（1）首先将问题转化为ln ln xa x=在()0,+∞上有两个解，令()ln xF x x=，然后通过求导研究函数()F x 的单调性，由此作出函数()y F x =的大致图象，从而求得实数a 的取值范围；（2）首先将问题转化为()()1212121lnx x x x x x λλ+-<+恒成立，令()12,0,1x t t x =∈，由此令()()()11ln 1t h t t t λλ+-=-+，然后通过求导研究函数()h x 的单调性，从而求得λ的取值范围．试题解析：（1）由题意得x a x =在()0,+∞上有两个解，即ln ln ln ln xx a x a x=⇔=在()0,+∞上有两个解． 令()()2ln 1ln ,'x xF x F x x x -==，所以当()0,x e ∈时,()()'0,F x F x > 为增函数, 当(),x e ∈+∞时,()()'0,F x F x < 为减函数, 当0x >且0x →时，()1ln F x x x =→-∞, 当x →+∞时，()1l n , l n 0x x F x x x<=, 所以函数()y F x =的大致图象如图所示, 要使方程ln ln x a x =有两个解, 需满足10ln a e<<,解得11ea e <<．（2）由1122l n l n ,l n l n x x a x x a==作差得，()1122ln ln xx x a x =-, 即1212lnln x x a x x =-,所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+,因为120x x <<,所以()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令()12,0,1x t t x =∈,则不等式()()11ln 1t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令,又()()()()()()22221111'11t t h t t t t t λλλλ--+=-=++， 当01λ<≤时, 即210t λ-<时,()'0h t >, 所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增,又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立, 符合题意. 当1λ>时,210,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时,()21'0,,1h t t λ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时()'0h t <,所以 ()h t 在210,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增, 在21,1t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减, 又()10h =,所以 ()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0,不符合题意, 舍去.综上所述, 若不等式121ln a x x λλ+>+恒成立, 只需01λ<≤.【考点】1、函数零点；2、函数图象；3、不等式恒成立问题；4、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】（1）讨论函数的单调性时，主要是判断导函数()f x '的符号，而判断符号有时难于直接判断，此时可考虑构造新函数，再利用导数研究其单调性来判断其符号；（2）处理不等式恒成立，本题是通过构造新函数，通过求此新函数的最值来解决． 22．选修4-1：几何证明选讲如图,O 是ABC ∆的外接圆,BAC ∠ 的平分线AD 交BC 于D ,交O 于E ,连接CO 并延长, 交AE 于G ,交AB 于F .（1）证明：AF FG CDAB GC BD= ； （2）若3,2,1,AB AC BD ===求AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）AD =． 【解析】试题分析：（1）过D 作DM AB 交AC 于M ，连接BE ，然后根据平行线分线段成比例得BD AMDC MC=，再利用角平分线的性质可推出AM MD =，从而可使问题得证；（2）首先利用相交弦定理求得DC 的长，然后利用ADC ABE ∆∆ ，可得对应线段成给，即可建立关于AD 的方法，求解即可．试题解析：（1）如图, 过D 作DM AB 交AC 于M , 连接BE ， 所以,BD AMBAD ADM DC MC=∠=∠， 又因为,,BAD CAD CAD ADM AM MD ∠=∠∴∠=∠∴=,,,MD CM AB MD AM AB BDAB AC AC CM CM AC DC∴===∴=,同理可得,AF FG AF FG CDAC GC AB GC BD=∴= .（2）因为AD DE BD CD =，又2,3AB BD DC AC DC =∴=． 因为,A DAC AD CAB EA BAE∆∆∴=，即(),A D A E AB A C=∴+= ,221632133AD AB AC AD DE AB AC BD DC ∴=-=-=⨯-⨯= ,AD ∴=.【考点】1、圆的基本性质；2、相似三角形的判定与性质；3、相交弦定理． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数), 以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线:OM θα= (其中0)2πα<<与圆C 交于,O P 两点, 与直线l 交于点M ,射线:2ON πθα=+与圆C 交于,O Q 两点, 与直线l 交于点N ,求OP OQOM ON的最大值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=；（2）136． 【解析】试题分析：（1）首先化圆的参数方程为普通方程，然后根据22cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+可求得直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）首先写出点,P M 的极坐标，由此得到||,||OP OM ，从而求得||||||||OP OQ OM ON ⋅，进而利用三角函数的最值求解即可．试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6．圆C 的普通方程为()2211x y +-=,所以圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（2）依题意得, 点,P M 的极坐标分别为()2s i n ,αα和6,sin αα⎛⎫⎪⎝⎭,所以6||2s i n ,||s i n O P O M αα==,从而2||2sin sin 6||3sin OP OM ααα==．同理2222sin sin ||||||sin sin 222,||3||||3336OQ OP OQ ON OM ON ππαααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∴== , 故当4πα=时,OP OQ OM ON的值最大, 该最大值是136. 【考点】1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线与圆的位置关系；3、三角形函数的性质．24．选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x a x a=++-. （1）当1a =时, 解不等式()3f x x <+； （2）当0a >时, 证明：()f x ≥ 【答案】（1）33,42⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后再分段求得各段不等式的解集，最后取它们的并集即可；（2）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后分1x a >、2a x <-、12a x a-≤≤求得函数()f x 的最小值，从而使问题得证．试题解析：（1）当1a =时,()13,212112,123,1x x f x x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩, 由()3f x x <+,得1233x x x ⎧<-⎪⎨⎪-<+⎩或11223x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+<+⎩或133x x x >⎧⎨<+⎩,解得3142x -<<-或112x -≤≤或312x <<, 所以()3f x x <+的解集为33,42⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）()113,1112,213,2x a x a a a f x x a x x a x a a a a x a x a ⎧+->⎪⎪⎪=++-=++-≤≤⎨⎪⎪--+<-⎪⎩,当1x a >时,()2f x a a>+ ,当2ax <-时,()12a f x a>+, 当12a x a-≤≤时,()122a f x a a a +≤≤+,()min 12a f x a=+≥ 【考点】1、绝对值不等式的解法；2、不等式的证明．。
2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题一、选择题1．复数ii ++-31014的共轭复数为（ ） A ．i +5 B ．i -5 C ．i +-5 D ．i --5【答案】B【解析】试题分析：4104(1)10(3)13(1)(1)(3)(3)i i i i i i i i +-+=+-+-++-2(1)35i i i =++-=+，共轭复数为5i -．故选B ．【考点】复数的运算，复数的概念．2．若集合2{|15}A x x x =<<，},3|{A x x y y B ∈-==，则=B A Y （ ） A ．)2,1( B ．)2,2(- C ．)5,1(- D ．)5,2(- 【答案】D【解析】试题分析：{|15}A x x =<<，{|22}B y y =-<<，则{|25}A B x x =-<<U ．故选D ．【考点】集合的运算．3．),(11y x P 、),(22y x Q 分别为抛物线x y 42=上不同的两点，F 为焦点，若||2||PF QF =，则（ ）A ．1212+=x xB ．122x x =C ．1212+=y yD ．122y y = 【答案】A【解析】试题分析：在抛物线24y x =中焦参数为2p =，因此11PF x =+，21QF x =+，所以2112(1)x x +=+，即2121x x =+．故选A ．【考点】抛物线的定义．4．设D C B A ,,,四点都在同一个平面上，且BC DC AC 54=+，则（ ） A ．BD AB 4= B ．BD AB 5= C ．BD AC 4= D ．BD AC 5= 【答案】A【解析】试题分析：由BC DC AC 54=+得4()AC BC BC DC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，即4AB BD =u u u r u u u r．故选A ．【考点】向量的线性运算． 5．将函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后得cos[3()]183y ππ=++cos(3)2x π=+ sin3x =-，图象为D 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2,3,4,6,2,4,5,7A B ==,则A B 的子集的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62. 已知复数142(i i i z-=+为虚数单位), 则复数z 在复平面上的对应点所在的象限是（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3。
下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f ="是“函数()f x 是奇函数" 的必要不充分条件B ．若200:,10p xR x x ∃∈-->,则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若210x -=,则1x =或1x =-" 的否命题是“若210x-≠,则1x ≠或1x ≠-”D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题4. 执行如图所示的程序框图， 输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5。
已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F，虚轴的一个端点为A ,若AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直, 则双曲线的离心率为（ ）A1 BCD6。
已知4621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为a ，且()1,1XN ,则()3P X a <<=（ )（附:若随机变量()2,XN μσ,则()()000068.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()003399.74P X μσμσ-<<+=)A ．0.043B ．0.0215C ．0.3413D ．0.47727。
2的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π 8。
山西省太原市2016年高三年级模拟试题（一）理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集，集合，集合，则为A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，则复数的共扼复数是A. B. C. D.3. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为A. B. C. D.4. 等比数列中，若，公比，前项和为，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件可以是A. B. C. D.6. 设函数，．若实数，满足，，则A. B.C. D.7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则A. B. C. D.8. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同的取法种数是A. B. C. D.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.10. 已知变量，满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.11. 在三棱锥中，底面为边长为的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.12. 若函数有唯一的零点，且（，为相邻整数），则的值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为，则展开式中的系数为．14. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为．15. 在锐角中，已知，，则的取值范围是．16. 若数列满足，是的前项和，则．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知，，分别为锐角内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求的值．18. 在某娱乐节目的一期比赛中，有位歌手（号至号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体须彼此独立地在投票器上选出位候选人．其中媒体甲是号歌手的歌迷，必选号，另在号至号歌手中随机选名；媒体乙不欣赏号歌手，必不选号，在其他位歌手中随机选出名；媒体丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在号至号歌手中随机选出名．（1）求媒体甲选中号且媒体乙未选中号歌手的概率；（2）表示号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求的分布列及数学期望．19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的一点．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线被圆所截得的弦长为，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．21. 已知函数．（1）若，且对任意恒成立，求的最大值；（2）证明：对于中的任意一个常数，存在正数，使得成立．22. 如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．（1）求证：；（2）当，时，求的长．23. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（1）写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）过点且平行于直线的直线与曲线交于，两点，若，求点轨迹的直角坐标方程．24. 已知函数，．（1）解不等式：；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】由题意得，，所以．2. A 【解析】，故其共轭复数为．3. C 【解析】由题意得，，即，又，即，解得，所以，所以双曲线方程为．4. C 【解析】由题意可得，，则，，所以，所以A错；，，构造函数，易知是增函数，若，则，所以，不能保证在上恒成立，所以B错；因为，所以对恒成立，显然C正确；，，显然不成立，所以D错．5. D【解析】模拟执行程序框图，可得：，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，，由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：．6. A 【解析】因为，所以，则在上为增函数，又，，且，所以．因为，所以．当时，，所以在上为增函数，又，，且，所以，所以，所以7. D 【解析】由已知，的图象关于直线对称，，，，所以，又，得．因为，所以，所以．8. C 【解析】根据题意，不考虑限制条件，从张卡片中任取张有种情况，其中如果取出的张为同一种颜色，有种情况，如果取出的张有张红色的卡片，有种情况，则满足条件的取法有种．9. B 【解析】该几何体可看作为正方体中去掉两个三棱柱和一个三棱锥后得到的四棱锥，则．10. C【解析】由题意，易知，画出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为表示区域内的点与定点连线的斜率，由图知，，，由且，得．又，所以．11. D【解析】因为定点在底面上的射影为三角形的中心，而且底面是正三角形，所以三棱锥是正三棱锥，所以，令底面三角形的重心（即中心）为，因为底面为边长为的正三角形，是边上的高，所以，所以，．因为直线与底面所成角的正切值为，即，所以，因为（勾股定理），所以，于是，所以三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为所以正方体的对角线长为，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积．12. C 【解析】令，，则，．因为函数有唯一零点，所以函数，的图象有唯一一个交点，即，有唯一公切点，即由得．令，则，，，所以，所以，，所以．第二部分13.【解析】二项式的展开式的通项公式为，所以原式展开式中的的奇数次幂项的系数之和为，解得，所以展开式中含的项为，所以展开式中含的系数为．14.【解析】提示：设圆心坐标为，则圆心到直线的距离，利用均值不等式求其最小值即可．15.【解析】因为，是锐角三角形，所以，所以，因为，所以，因为，所以，，所以因为，所以．16.【解析】当时，当时，当时，得，，得，，所以第三部分17. （1）由及正弦定理得，因为，所以，因为是锐角三角形，所以．（2）因为，的面积为，所以，即因为，由余弦定理得，即将代入得，故．18. （1）设表示事件“媒体甲选中号歌手”，表示事件“媒体乙选中号歌手”，表示事件“媒体丙选中号歌手”，则，，所以（2），因为可能的取值为，，，，所以的分布列为：所以的数学期望19. （1）因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，取中点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，，显然为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即取，有，，则，所以，则，于是，．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20. （1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为，由已知得，所以，即可得又联立，解得，，所以所求椭圆的方程为．（2）由题意，圆心到直线的距离，即，故有由消去，得．因为，所以．设，，则，，所以将代入，得，故，，故的面积．令，则．所以当，即时，．21. （1）由得，令，则，因为，所以，当时，恒成立，即在上单调递增，由，即，解得，所以，又因为，所以的最大值为．当时，由，解得，由，解得．即在上单调递减，在上单调递增．所以在上有最小值，于是转化为成立，求的最大值．令，于是．因为当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以在处取得最大值．因为，所以，因为，，，，所以．所以的最大取值为．综上所述，的最大值为．（2）设存在正数，使得成立，即证成立．只需证当时，函数的最小值满足即可．因为，令，得，则，取，在时，，在时，，所以，下面只需证明：在时，成立即可．又令，，则，从而在上为增函数．所以，因此符合条件，即存在正数满足条件．22. （1）连接，因为是圆内接四边形，所以，又，所以，即有．又因为，可得．因为是的平分线，所以，从而．（2）由条件知，设，则，，根据割线定理得，即，即，解得或（舍去），则．23. （1）直线：，曲线：．（2）设点，过点的直线为：（为参数），由直线与曲线相交可得：，由，得，即，表示一椭圆，设直线为，将代入得，，由得，故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段椭圆弧．24. （1）由，得，所以，解不等式得，所以原不等式的解集是．（2）因为对任意的，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围是或．。
山西省晋城市2016年高考数学三模试卷（文科）（解析版）一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{1，2，3}D．{2，4}2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=05．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．66．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A．B．2C．4D．38．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（）A．﹣B．﹣C．D．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，]B．[﹣4，1] C．[，]D．[，1]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．312．已知f（x）=，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ln2] B．（﹣∞，﹣ln2]C．（﹣∞，﹣e]D．（﹣∞，﹣e]二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取名学生．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49=．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．21．（12分）（2016晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2016年山西省晋城市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{1，2，3}D．{2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，∴A∩B={3，4}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z，得到z=﹣i，从而求出z的模．【解答】解：z=+=+=﹣2i=﹣i，则|z|==，故选：A．【点评】本题考查了复数的化简求值，考查复数求模问题，是一道基础题．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据的等边三角形的性质，建立方程关系得到a，b的关系即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，∴tan∠OFB1=tan30°=，即，则b2=c2=（a2+b2），即a2=2b2，则a=b，即双曲线的渐近线方程为y==±x，则x±y=0，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据正三角形的边长关系建立a，b的关系是解决本题的关键．5．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】抽象函数及其应用．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），∴f（x）为周期为4的周期函数，∴f（103）=f（26×4﹣1）=f（﹣1）=f（1）=f（1+4）=f（5），∵当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，∴f（5）=5+1=6，故选：D．【点评】本题考点是函数的值，本题考查利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 9=3，a 6a 10=9，则a 7a 8=（ ）A ．B ．2C ．4D ．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a 7，a 8的值，则a 7a 8可求．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 5a 9=3，a 6a 10=9，得，∴，则a 7a 8=． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8．已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】依题意知T ，利用周期公式可求ω，利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换，三角函数的图象和性质可得到φ=k π﹣（k ∈Z ），结合范围|φ|≤，于是可求得φ的值．【解答】解：∵函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，∴T=，又ω＞0，∴T==π， ∴ω=2；又∵g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+φ]=2sin （2x ++φ）的图象关于直线x=对称，∴2×++φ=k π+（k ∈Z ），∴φ=kπ﹣（k∈Z），又|φ|≤，∴φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，]B．[﹣4，1] C．[，]D．[，1]【考点】简单线性规划．【分析】根据分式的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的公式进行求解即可．【解答】解：z===1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知，AD的斜率最大，此时AD的斜率为0，即k=0，BD的斜率最小，此时B（0，﹣2），此时k==﹣5，则﹣5≤k≤0，则﹣4≤z≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出直观图和对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的性质、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P ﹣ABCD ，是棱长为2的正方体一部分， 直观图如图所示：∵平面PAC 是正方体的对角面，∴中点B 到平面PAC 的距离是，由正方体的性质可得，几何体的体积V=V P ﹣ACD +V P ﹣ABC =V A ﹣PCD +VB P ﹣PAC==2，故选：B ．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，以及换底法求三棱锥的条件，由三视图和正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知f （x ）=，若a ＜b ＜c ，f （a ）=f （b ）=f （c ），则实数a +3b +c的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣ln2] B ．（﹣∞，﹣ln2] C ．（﹣∞，﹣e] D ．（﹣∞，﹣e]【考点】分段函数的应用．【分析】设f （a ）=f （b ）=f （c ）=t ，作出函数的图象，结合图象判断0＜t ＜1，分别用t 表示a ，b ，c ，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可求a +3b +c 的取值范围．【解答】解：先作出函数f （x ）的图象如图： ∵a ＜b ＜c ．f （a ）=f （b ）=f （c ）， 设f （a ）=f （b ）=f （c ）=t ， 则0＜t ＜1，则由f （a ）=e a =t ，得a=lnt ，由f（b）=1﹣b=t，得b=1﹣t，由f（c）==t，得c=t2+1，则a+3b+c=lnt+3（1﹣t）+t2+1=t2﹣3t+lnt+4设g（t）=t2﹣3t+lnt+4，0＜t＜1，函数的导数g′（t）=2t﹣3+==，由g′（t）=0得t=，当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数递增，当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数递减，即当t=时，函数g（t）取得极大值同时也是最大值g（）=﹣+ln+4=﹣ln2，∴g（t）≤﹣ln2，即a+3b+c的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，设f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取8名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为4：5：6，∴从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为30的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49=325．【考点】数列递推式．【分析】a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，可得a2n+a2n+1=n+1，于是S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）即可得出．【解答】解：∵a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，∴a2n+a2n+1=n+1，则S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）=1+（1+1）+（2+1）+…+（24+1）=1+2+…+25==325．故答案为：325．【点评】本题考查了递推关系、分组求和、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|， ++=，则点B到直线AC的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由++=可知F为△ABC的重心，根据抛物线的性质和重心坐标公式求出A，B，C的坐标，得出AC方程，从而求出B到AC的距离．【解答】解：抛物线方程为y2=4x．准线方程为x=﹣1．∵++=，∴F为△ABC的重心．∴x A+x B+x C=3，y A+y B+y C=0．∴|FA|+|FB|+|FC|=x A+1+x B+1+x C+1=6．∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．∵B在x轴的下方，∴B（1，﹣2）．∴x A+x C=2，y A+y C=2．∵，x c=，∴，解得y A=1+，y C=1﹣．∴x A=1+，x c=1﹣．∴直线AC的方程为：y=2x﹣1．即2x﹣y﹣1=0．∴B到直线AC的距离d==．故答案为：【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形重心的性质，点到直线的距离，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩，（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，列举法易得．【解答】解：（1）数学的平均成绩为55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105×0.2+115×0.04=88.6分；（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，从数学成绩在100分以上的学生中任选2人，共有（103，103），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（105，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112），（107，112）共有15种，其中有且只有一人成绩是105分的有（103，105），（103，105），（103，105），（103，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112）共有8种，故有且只有一人成绩是105分的概率【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．19．（12分）（2016晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥M ﹣EFB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，而CD ∥EF ，故EF ⊥平面PAD ，于是平面BEF ⊥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，连结PN ，BN ，过N 作NQ ⊥PD ．则可证BN ∥平面PCD ，NQ ⊥平面PCD ，于是V M ﹣EFB =V B ﹣EFM =V N ﹣EFM =．【解答】（1）证明：∵BC ∥AD ，BC ⊥CD ，∴CD ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD ．∵E ，F 分别是PD ，PC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ．（2）解：取AD 中点N ，连结PN ，BN ，过N 作NQ ⊥PD ． ∵△PAD 是边长为4的正三角形，∴ND=，PN=2，PN ⊥AD∴NQ==．∵BCND ，BC ⊥CD ，∴四边形BCDN 是矩形， ∴NB ∥CD ，即NB ∥平面PCD ． ∴V M ﹣EFB =V B ﹣EFM =V N ﹣EFM ．由（1）知CD ⊥平面PAD ，NQ ⊂平面PAD ，∴NQ ⊥CD ，又PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD=D ， ∴NQ ⊥平面PCD ．∵EF 是△PCD 的中位线，∴S △EFM ===2．∴V M ﹣EFB =V N ﹣EFM ===．【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016晋城三模）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 1经过椭圆C 的上顶点P 且与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，过点P 作l 1的垂线l 2交椭圆C 于另一点D ，当△ABD 的面积取得最大值时，求直线l 1的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）由题意可得：，=，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0）．由题意可知直线l 1的斜率垂直，当k=0时，直线l 1的方程为y=1，|AB |=2，直线l 2的方程为x=0，D （0，﹣1）．可得S △ABD ．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．可得圆心O（0，0）到直线l1的距离d，于是|AB|=2．由l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．与椭圆方程联立解得x0，可得|PD|=|x0|．S△ABD=，即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：，=，又a2=b2+c2，联立解得b=c=1，a=．∴椭圆C的方程为+y2=1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．∴S△ABD==2．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．∴圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2．∵l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．联立，化为：（2+k2）x2﹣4kx=0．解得x0=，∴|PD|==．S△ABD==．设t=，可得：k2=，则S△ABD==≤=，当且仅当t=，即k=时取等号．又，∴直线l1的方程为：y=x+1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断出函数F（x）的大致图象，从而判断出函数的零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）F′（x）=f（x）=+﹣3，由（1）得：∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，使得f（x）在（0，x1）大于0，在（x1，x2）小于0，在（x2，+∞）大于0，即F（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，而F（1）=0，x→0时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞，画出函数F（x）的草图，如图示：，故F（x）的零点有3个．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=；（Ⅱ）解：∵ADDE=BDCD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴ADAE=ABAC，∴AD（AD+DE）=ABAC，∴AD2=ABAC﹣ADDE=ABAC﹣BDDC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
数学试题(文史类)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1。
已知集合1{1,2,}2A =，集合2{|,}B y y x x A ==∈,则AB =（ ）A ．1{}2B ．{2}C ．{1}D ．φ2．已知复数531i z i+=-,则下列说法正确的是（ )A ．z 的虚部为4iB ．z 的共轭复数为14i -C ．||5z =D ．z 在复平面内对应的点在第二象限 3.已知数列{}na 中，13a=，130n n a a +-=，3log n n b a =，则数列{}n b 的通项公式n b =（ )A ．13n + B ．3nC ．nD ．1n -4.已知5件产品中有2件次品,现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0。
8D ．1 5.下列命题错误的是（ ） A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220xy +≠”B ．若命题:p 00,10xR x ∃∈+≤，则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中,sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b 满足0a b •<,则a 与b 的夹角为钝角6.若用下边的程序框图求数列1{}n n+的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ) A ．1,100?i S S i i+=+≥B ．1,101?i S S i i+=+≥C ．,100?1i S S i i =+≥-D ．,101?1i S S i i =+≥-7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ )A ．38cm B ．312cm C ．3323cm D ．3403cm8.设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩,则322x y+的最大值是( ）A ．64B ．32C ．22D ．19。
