2021年高考数学二轮复习 专题四《三角函数》综合练习题

2021年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质训练题 理1．(xx·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．(xx·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(xx·福建质检)函数f(x)＝x 2cos x 的图像大致是( )4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．45．(xx·济南模拟)若函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x<10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则(＋)·＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．326．(xx·济南模拟)如图是函数y ＝Asin(ωx＋φ) 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像．为了得到这个函数的图像，只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，则α＝________.8．(xx·荆州市质检)函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 9.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f(x)的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.10．(xx·安徽高考)设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 11．(xx·长春市调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f(x)的取值范围．12．(xx·辽宁省五校模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－ta n α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．1．选A 由f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．选B 若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)，且当φ＝π2时，f(x)为奇函数．3．选B 因为f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x 2cos x ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32cos π3＝π218>0，所以排除A.4．选 B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sin A>sin(90°－B)＝cos B ，sin A －cos B>0，同理cos A －sin C<0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．选D 由f(x)＝0解得x ＝4，即A(4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，如图，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32.6．选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．7．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.答案：π128．解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝kπ(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π49．解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝Atan2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A＝1.综上可知，f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f(x)的图像．11．解：(1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3.因此函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6，－2π3≤x＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.12．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1. 故函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－2,1]．35673 8B59 譙<24064 5E00 帀tBd40222 9D1E 鴞< H b33525 82F5 苵。

2021年高考数学二轮复习 三角函数解答题专题训练（含解析）一、选择题1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x 的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )， 在[0，π]上列表如下：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12图象为：2．已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos2x .(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (θ)＝15，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，求sin2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos2x ＋3sin2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x )的值域为[－3,1]．(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1，由题设2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1＝15，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， ∴2θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－45， ∴sin2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6sin π6＝35×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33＋410. 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4. 又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2，∴π4＋φ＝π2.解得φ＝π4， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4＝－1，∴M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． ∴|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.∵∠MNP ∈(0，π)， ∴sin ∠MNP ＝45.4．已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由m ⊥n ，得m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3.即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∴A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<A <π， ∴A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ， ∴4＝(b ＋c )2－3bc ， 又b ＋c ＝4， ∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.5．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2cosωx ＋φ2＋sin2ωx ＋φ2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，0<φ<π2.其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ()ωx ＋φ＋12[1－cos(ωx ＋φ)] ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12. ∵两个相邻对称中心的距离为π2，则T ＝π， ∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2. 又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12，∴cos φ＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23，又∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25，∴b ＝6，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝5＋36－25×6×53＝21， ∴c ＝21.623073 5A21 娡29239 7237 爷31834 7C5A 籚fP27984 6D50 浐37192 9148 酈 39340 99AC 馬_21649 5491 咑R"d。

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必修4三角函数综合测试题及答案详解一、选择题1．下列说法中，正确的是( ）A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′,264°40′是终边相同的角2．若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan 错误!的值为（ )A ．0 B.错误! C ．1 D.错误!3．若|cos θ|＝cos θ，｜tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在（ ） A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数f (x )＝sin （πx ＋θ）（0〈θ〈2π)的最小正周期是T ,且当x ＝2时取得最大值，那么（ )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2,θ＝π D．T ＝1，θ＝错误!5．若sin 错误!＝－错误!，且π<x <2π，则x 等于（ ）A.错误!πB.错误!πC.错误!π D 。

错误!π 6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是（ )7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π）个单位长度后，得到y ＝sin 错误!的图象，则φ＝( )A 。

2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 cos α＝－4－42＋32＝－45.答案 D2．(xx·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．答案 A3．(xx·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.答案 C4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.答案 D5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数图象的对称轴．故选B.答案 B6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由已知得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案 C 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －798．(xx·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 解析 利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案π69．(xx·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥23π，从而712π－π3＝T4，故T ＝π.答案 π 三、解答题10．(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 11．(xx·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象， 所以g (x )＝2sin2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.B 级——能力提高组1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．答案 B2．(xx·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.答案 (－∞，2]3．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温． 36014 8CAE 貮33058 8122 脢39755 9B4B 魋21980 55DC 嗜34759 87C7 蟇 30825 7869 硩f33504 82E0 苠 ?" y。

2021年辽宁省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解
三角形（含答案解析）
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2021年辽宁省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解三
角形
1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C +cos 2B
﹣1．
（1）求A ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2C ﹣sin A sin C ＝sin 2B ．
（1）求角B 的大小；
（2）若△ABC 为锐角三角形，其外接圆的半径为
5√33，求△ABC 的周长的取值范围．。

2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题检测（含解析）1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (0<φ<π2)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________．答案 y ＝2sin(4x ＋π6)＋2解析 由题意得⎩⎨⎧A ＋k ＝4，－A ＋k ＝0，解得⎩⎨⎧A ＝2，k ＝2.又函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期为π2， 所以ω＝2ππ2＝4，所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. 又直线x ＝π3是函数图象的一条对称轴，所以4 ×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－5π6(k ∈Z )，又∵0<φ<π2，故φ＝π6.故得y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.2．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．答案 13解析 f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12，又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4可知T ＝3π，于是ω＝13.3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x的图象，则只要将f (x )的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)答案 右 π12解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．4.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝________. 答案3解析 由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 由题意知f (x )的一条对称轴为直线x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32.6．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为________．答案 38π解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )．故φ的最小正值为3π8.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin(2x －π6)．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，∴f (x )∈[－32，3]．8．(xx·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 9．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.10．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.11．(xx·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.20577 5061 偡29060 7184 熄27359 6ADF 櫟X40754 9F32 鼲_39861 9BB5 鮵+24680 6068 恨=,25127 6227 戧29507 7343 獃31378 7A92 窒。

2018-2020年高考全国卷数学之三角函数专题训练一．选择题（共25小题）1．（2018•全国）要得到y＝cos x，则要将y＝sin x（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且tanα＝﹣，则sinα+cosα＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．3．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．5．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0 6．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．27．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．8．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A．B．2C．4D．8 9．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．10．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B ＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3 11．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+ 12．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x| 13．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．14．（2019•新课标Ⅱ）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．15．（2019•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④16．（2019•全国）已知tan A＝2，则＝（）A．B．C．3D．5 17．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π18．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π19．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π20．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2 21．（2018•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．22．（2018•新课标Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣23．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1 24．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为425．（2017•全国）cos20°cos25°﹣sin20°sin25°＝（）A．B．C．0D．二．填空题（共7小题）26．（2020•新课标Ⅱ）若sin x＝﹣，则cos2x＝．27．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x的最小值为．28．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为．29．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B＝0，则B＝．30．（2018•新课标Ⅱ）已知tan（α﹣）＝，则tanα＝．31．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．32．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．三．解答题（共8小题）33．（2020•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A+sin C＝，求C．34．（2020•新课标Ⅱ）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．35．（2020•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cos A＝．（1）求A；（2）若b﹣c＝a，证明：△ABC是直角三角形．36．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．37．（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．38．（2019•全国）已知函数f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设g（x）＝f（），求g（x）在区间[0，]的最大值与最小值．39．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．40．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2021年02月06日步步高的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．【解答】解：要将y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）＝cos x的图象，故选：C．2．【解答】解：tanα＝＝﹣，①，sin2α+cos2α＝1，②，又α为第二象限的角，∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得，，则sinα+cosα＝．故选：C．3．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．4．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．5．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．6．【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．7．【解答】解：在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C＝42+32﹣2×4×3×＝9；故AB＝3；∴cos B＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：∵cos C＝，AC＝4，BC＝3，∴tan C＝＝，∴AB＝＝＝3，可得A＝C，∴B＝π﹣2C，则tan B＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝＝＝4．故选：C．9．【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，即sinθ+cosθ＝1，得（cosθ+sinθ）＝1，即sin（）＝1，得sin（）＝故选：B．10．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．11．【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．故选：D．12．【解答】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A．13．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．14．【解答】解：∵x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴T＝2（）＝＝∴ω＝2，故选：A．15．【解答】解：当x∈[0，2π]时，ωx+∈[，2πω+]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴5π≤2πω+，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，ωx+∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．16．【解答】解：tan A＝2，则＝＝＝．故选：B．17．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．18．【解答】解：函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，故选：C．19．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝，由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．20．【解答】解：在△ABC中，cos＝，cos C＝2×＝﹣，BC＝1，AC＝5，则AB＝＝＝＝4．故选：A．21．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC＝＝，∴sin C＝＝cos C，∵0＜C＜π，∴C＝．故选：C．22．【解答】解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：B．23．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，解得cos2α＝，∴|cosα|＝，∴|sinα|＝＝，|tanα|＝||＝|a﹣b|＝＝＝．故选：B．24．【解答】解：函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2＝2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x＝4cos2x+sin2x＝3cos2x+1＝＝，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．25．【解答】解：因为cos20°cos25°﹣sin20°sin25°＝cos（20°+25°）＝．故选：A．二．填空题（共7小题）26．【解答】解：∵sin x＝﹣，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：．27．【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x，＝﹣cos2x﹣3cos x＝﹣2cos2x﹣3cos x+1，令t＝cos x，则﹣1≤t≤1，令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cos x＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣428．【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos，∴c2＝12，∴S△ABC＝，故答案为：6．29．【解答】解：∵b sin A+a cos B＝0，∴由正弦定理可得：sin A sin B+sin A cos B＝0，∵A∈（0，π），sin A＞0，∴可得：sin B+cos B＝0，可得：tan B＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝．故答案为：．30．【解答】解：∵tan（α﹣）＝，∴tan（α）＝，则tanα＝tan（α+）＝＝＝＝＝，故答案为：．31．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）＝．故答案为：．32．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．三．解答题（共8小题）33．【解答】解：（1）△ABC中，B＝150°，a＝c，b＝2，cos B＝＝＝，∴c＝2（负值舍去），a＝2，∴＝．（2）sin A+sin C＝，即sin（180°﹣150°﹣C）+＝，化简得＝，sin（C+30°）＝，∵0°＜C＜30°，∴30°＜C+30°＜60°，∴C+30°＝45°，∴C＝15°．34．【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C，由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即为b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cos A＝＝﹣＝﹣，由0＜A＜π，可得A＝；（2）由题意可得a＝3，又B+C＝，可设B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，由正弦定理可得＝＝＝2，可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cos d﹣sin d+cos d+sin d），＝3+2cos d，当d＝0，即B＝C＝时，△ABC的周长取得最大值3+2．另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，由b+c＞3，则b+c≤2（当且仅当b＝c时，“＝”成立），则△ABC周长的最大值为3+2．35．【解答】解：（1）∵cos2（+A）+cos A＝sin2A+cos A＝1﹣cos2A+cos A═，∴cos2A﹣cos A+＝0，解得cos A＝，∵A∈（0，π），∴A＝；（2）证明：∵b﹣c＝a，A＝，∴由正弦定理可得sin B﹣sin C＝sin A＝，∴sin B﹣sin（﹣B）＝sin B﹣cos B﹣sin B＝sin B﹣cos B＝sin（B﹣）＝，∵B，B﹣∈（﹣，），∴B﹣＝，可得B＝，可得△ABC是直角三角形，得证．36．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝．（2）∵a+b＝2c，A＝，∴由正弦定理得，∴解得sin（C﹣）＝，∴C﹣＝，C＝，∴sin C＝sin（）＝sin cos+cos sin＝+＝．37．【解答】解：（1）a sin＝b sin A，即为a sin＝a cos＝b sin A，可得sin A cos＝sin B sin A＝2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos＝2sin cos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．38．【解答】解：f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1＝1﹣cos2x﹣2（1+cos2x）+1＝﹣3cos2x．（1）f（x）的最小正周期T＝；（2）g（x）＝f（）＝，∵x∈[0，]，∴﹣3cos x∈[﹣3，]．即g（x）在区间[0，]的最大值为﹣，最小值为﹣3．39．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．40．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．。