高一数学子集全集补集3

高一数学《子集、全集、补集》教案模板教学目标：1. 理解子集、全集和补集的概念；2. 掌握如何求解子集、全集和补集；3. 能够运用子集、全集和补集的概念解决实际问题。

教学重点：1. 子集、全集和补集的概念与求解方法；2. 运用子集、全集和补集解决实际问题的能力。

教学难点：运用子集、全集和补集解决复杂问题的能力。

教学准备：教师：PPT、教学实例、练习题；学生：课本、笔记工具。

教学过程：Step 1: 引入知识（5分钟）教师通过给出一个集合和两个子集的实例引出子集、全集和补集的概念，并与学生一起讨论。

Step 2: 学习概念（10分钟）教师通过PPT呈现子集、全集和补集的定义，并通过实例解释求解方法。

然后教师与学生一起进行讨论，梳理求解子集、全集和补集的步骤。

Step 3: 巩固练习（15分钟）教师出示几道练习题，由学生分组完成，并互相讨论答案。

教师点名几组学生上台解答，并给予评价和指导。

Step 4: 拓展运用（15分钟）教师提供一些实际问题，让学生应用所学的子集、全集和补集的概念解决问题。

学生在小组内讨论，然后进行答题和讨论。

Step 5: 总结归纳（5分钟）教师总结子集、全集和补集的概念和求解方法，并强调运用子集、全集和补集解决实际问题的重要性。

Step 6: 练习巩固（10分钟）教师提供一些小题目，供学生课后复习和巩固所学的知识。

教学资源：PPT、教学实例、练习题。

教学评价：通过学生的参与讨论、解答问题的过程，教师进行及时的评价和指导，及时纠正学生的错误，并给予鼓励和肯定；通过课后的小测验和作业的评价，检测学生对知识的掌握情况，并对学生的学习情况进行评估。

高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N某2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对某∈A 都有某∈B，则AB（或AB）；2）真子集：AB且存在某0∈B但某0A；记为AB（或，且）3）交集：A∩B={某|某∈A且某∈B}4）并集：A∪B={某|某∈A或某∈B}5）补集：CUA={某|某A但某∈U}注意：①A，若A≠，则A；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={某|某=m+,m∈Z},N={某|某=,n∈Z},P={某|某=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。

高一数学全集与补集知识点在高一数学中，全集与补集是重要的概念。

全集指的是特定问题所涉及的全部元素的集合，而补集则是全集中不属于某个子集合的元素的集合。

接下来，我们将详细介绍高一数学中的全集和补集的相关知识点。

1. 全集（Universal Set）全集是指一个问题所涉及的全部元素的集合，通常用大写字母U表示。

全集可以是有穷集合，也可以是无穷集合。

在解决问题时，我们需要明确全集，以确保所有的元素都能被考虑到。

2. 子集（Subset）子集是指全集中的一部分元素构成的集合。

如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，用A⊆B 表示。

特别地，由于任何集合的元素都是它本身的子集，所以对于任意集合A而言，A⊆A恒成立。

3. 补集（Complement）补集是指在全集中不属于某个集合的元素构成的集合。

假设全集为U，集合A是U的子集，那么A在U中的补集，也称为相对补集，用A'表示。

可以将补集理解为“除了集合A中的元素，全集中的其他元素”。

4. 补集的性质- A∪A' = U，即集合A与其补集的并集等于全集U。

由于补集包含了全集中不属于A的元素，所以并集结果就是全集。

- A∩A' = φ，即集合A与其补集的交集等于空集φ。

由于补集包含了全集中不属于A的元素，所以交集结果为空集。

- (A')' = A，即A的补集的补集等于A本身。

即补集两次取反即可恢复为原集合。

- A⊆B当且仅当B'⊆A'，即集合A是集合B的子集，当且仅当集合B的补集是集合A的补集。

这个性质可以通过对两个集合同时取补集来证明。

5. 补集的运算规律- De Morgan律是指关于补集的两个重要运算规律：- (A∪B)' = A'∩B'，即集合A和B的并集的补集等于集合A的补集和集合B的补集的交集。

- (A∩B)' = A'∪B'，即集合A和B的交集的补集等于集合A的补集和集合B的补集的并集。

高一数学集合、子集、全集、补集人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：集合、子集、全集、补集二. 重点、难点：1. 重点：（1）集合的概念，用描述法表示集合。

（2）子集、补集的定义。

2. 难点：（1）用描述法表示集合时，对代表元素内涵的理解。

（2）元素与子集，属于与包含之间的区别。

【典型例题】[例1] 用适当的符号填空：（1）2Q （2）21*N （3）3.14Q （4）（1-，1）}|{2x y y = （5）}6|{≥x x }4|{>x x（6）φ}{φ解：（1）∉ （2）∉ （3）∈ （4）∉ （5）⊆ （6）∈或⊆或≠⊂[例2] 由直线12-=x y 上的点的坐标组成的集合可表示为？解：}12|),{(-=x y y x需注意的几种错误的表示方法}12|{-=x y y ，}12|{-=x y x ，}12{-=x y[例3] 设},36|{*N x xx A ∈Z ∈-=用列举法写出集合A 。

解：∵6|)3(x -∴13±=-x ，2±，3±，6±∴=x 2，4，1，5，0，6，3-，9 又 ∵*N x ∈ ∴=x 2，4，1，5，6，9 ∴ A={1，2，4，5，6，9}[例4] 设a ，b 是整数，集合}63)(|),{(2y b a x y x E ≤+-=点（2，1）∈E ，但点（1，0）∉E ，E ∉)2,3(，求a 、b 的值。

解：∵E ∈)1,2(∴63)2(2≤+-b a ①∵E ∉)0,1(，E ∉)2,3(∴03)1(2>+-b a ②123)3(2>+-b a ③由①、②得22)1()2(6a a -->-- 展开整理032>+a ∴23->a 类似由①、③得21-<a ∴2123-<<-a 又 ∵a 、b 为整数 ∴1-=a把1-=a 代入①、②得334-≤<-b ∴1-=b综上所述1-=a ，1-=b [例5] 数集},1,0{2x x -中实数x 的取值X 围是什么？解：∵ 集合中的元素是互异的 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠-1022x x x x 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+≠-≠≠≠25125110x x x x 且且 ∴x 的取值X 围是}251,1,0|{±≠≠≠x x x x [例6] 写出},,{c b a 的所有子集。

子集、全集、补集： ：【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集；了解空集和全集的含义；2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合间的“包含”关系1.子集集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 2.真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、全集、补集1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．【典型例题】类型一、集合间的“包含”关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义. 举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．【答案】 (1)= (2) (3) (4)【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n 个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】（2014 广西桂林开学测）满足{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数为（）A ． 4B ．6C ． 8D ． 16【答案】D【解析】∵{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，∴ 2，3，4，5共4个元素可以选择，即满足{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数可化为{2，3，4，5}的子集个数；故其有16个子集，故选D ．【总结升华】本题考查了集合间的包含关系及集合的子集个数，若一个集合中有n 个元素，则它有2n个子集，有(21)n -个真子集．【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【答案】 a=-1， a=3±或a=0【解析】∵， ∴a 2∈A ， 则有：（1）a 2=1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1； （2）a 2=3⇒a=3± （3）a 2=a ⇒a=0， a=1，舍去a=1，则a=0 综上：a=-1， a=3±或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.【集合的概念、表示及关系377430 例2】例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由0∈{0，|x|，y}可知0∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1 ∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征： b 1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又， ∴当b=1时，a=-1，b {0,b}={0,-1,1}a∴， 当b =1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二、全集、补集【集合的运算 377474 例6】例5. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.例6.已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S C A ＝{a ＋3}，求a 的值．【思路点拨】求a 的值，需要充分挖掘补集的含义， ,S A S C A S ⊆⊆.S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．【总结升华】含参数问题要分类讨论，分类时要做到不重不漏．类型三、子集、全集、补集综合应用例7．（2014 福建南安期中）已知集合{}{}{}48,210,A x x B x x C x x a =≤<=<<=<． （Ⅰ）求A B ；()R C A B ； （Ⅱ）若A C ≠∅，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．【答案】（Ⅰ）{}210x x <<，（Ⅱ）()4,+∞【解析】（Ⅰ）∵ {}{}48,210,A x x B x x =≤<=<<∴ 如图，{}210A B x x =<<；{4R C A x x =<或}8x ≥∴ ()R C A B {24x x =<<或}810x ≤<（Ⅱ）画数轴同理可得：()4,a ∈+∞．【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举一反三：【变式】集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5 ，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ⊆A(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.②若B ＝∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4。

1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例： {1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断. 解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A . 4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ． 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}． 评点 评点(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A的个数为2n－m.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -1.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -2.要点二补集、全集[重点]1．补集设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 S A(读作“A在S中的补集”)，即S A={ x | x∈S，且x A}.C S A可用图1-2-22．全集.(1)定义：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U= a，b，c，d，e，f ，A= b，f ，求C U A.该题中显然A U，从U中除去子集A的元素b、f ，乘下的a、c、d、e组成的集合即为 U A= a，c，d，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A .在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 1212评点若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a的取值范围：(1)B A ；(2)AB .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系.解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P .解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 20+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P .而1<1+ a 20+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P .10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B .求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用V enn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助V een 图，如图1-2-7.评点 (2)(1)由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用V een 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B .教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A 、B ，如果A B ，同时B A ，那么A=B .这是因为由A B 可知，集合A 的元素都是集合B 的元素，又由B A 知，集合B 的元素也都是集合A 的元素，这就是说，集合A 和集合B 的元素是完全相同的，因而说集合A 与集合B 是相等的.当A=B 时，集合A 中的每一个元素都在集合B 中，集合B 中的元素也都在集合A 中，即A B 与B A 同时成立.综上所述，A B 与B A 同时成立的等价条件是A=B . 例 判断下列两个集合的关系： (1)A={x |(x -1)(x +1)= 0}，B={x | x 2=1}；(2)C={x | x =2n ，n ∈Z }，D={x | x =2(n -1)，n ∈Z }. 解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B .(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a 1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集. 一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n-1)个(去掉集合本身)，评点非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4}写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.-2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.评点首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.例4 已知集合A={x | - 2 ≤ x ≤ 5}，B={x |m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5， 解的2 ≤ m ≤ 3.(2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}. 求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B x x x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a ⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩(3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.ax x x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B .综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2. 根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.评点 评点例6已知全集S={1，3，x3+3 x2+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果C S A={0}，那么这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.由C S A={0}可知0∈S，但0 A，所以x3+3 x2+2x=0，且|2x-1|=3，从中求出x即可.解法一：∵S={1，3，x3+3 x2+2x}，A={1，|2x-1|}，C S A={0}，∴0∈S，但0 A，∴323201. 213x x xxx++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的，综上知，实数x存在，且x=-1.由C S A={0}可知0∈S，但0 A，由0∈S可求x，然后结合0 A来验证是否有A S及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A={0}，∴0∈S，但0 A，∴x3+3 x2+2x=0，即x(x+1)(x+3)=0，∴x=0或x=-1或x=-2.当x=0时，|2x-1|=1，A中已有元素1，故不符合互异性，舍去；当x=-1时，|2x-1|=3，而3∈S，符合题意；当x=-2时，|2x-1|=5，而5 S，舍去.例7已知A={x|x<-1或x>5}，B={x∈R|a<x<a+4}，若AB，求实数a的取值范围.注意到B≠ ，将A在数轴上保释出来，再将B在数轴上表示出来，使得A B，即可得a的取值范围.解：如图-2-6，∵A B，∴a+4≤-1或a≥5，∴a≤-5或a≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一数形结合思想1-4a+a4a+51-评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15.当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2U U =0123.A=U 0A=12x x m x ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 m x =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð 例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围. 解：{}3(1)0P =13.1x x x x -<-<<+由得方法二 分类讨论思想 评点{}{}(2)Q =11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N 8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A =y y =26RB =475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A =y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A .3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C =Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B =Z C =Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅ ，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34.(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。

江苏省淮安中学高一数学《子集、全集、补集》教案教学目的：⒈了解集合间包含关系的意义；⒉理解子集、真子集的概念和意义；⒊了解全集的意义理解补集的概念和意义。

教学重点：了解子集、全集、补集的概念；会判断一个集合是否为另一个集合的子集；会求一个简单集合的补集。

教学过程：一、问题情境：针对2020年雅典奥运会分析下列集合间的关系：1、A={中国体育代表团成员} B={参加奥运会的中国运动员} C={获得金牌的中国运动员}2、D={奥运会的比赛项目} E={中国运动员参加的比赛项目} F={中国运动员获得奖牌的比赛项目}3、G={奥运会奖牌}H={奥运会金牌} I={奥运会银牌} M={奥运会铜牌}二、学生活动：用韦恩图把上面集合之间的关系反映出来 三、建构数学：如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素（若x∈A 则x∈B），则称集合A 为集合B 的子集。

记为： A B ，或 B A ，读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A”由子集的定义可知，任何集合是它本身的子集，即 A A 规定：空集是任何集合的子集，即Φ A中国体育代表参加奥运会的中获得金牌的中ABC中国运动员获得奖牌的比赛项目奥运会的中国运动员参加的比赛项目DE F奥运会奥运会金牌奥运会银牌奥运会铜牌MHIG如果 A B 且 B A ，那么我们就说集合A 与B 相等，记作A ＝B 如果 A B 且A≠B，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为：A B 或 BA ，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A”设 A S ，由S 中不属于A 的元素组成的集合称为S 的子集A 的补集。

记为：S A （读作“A 在S 中的补集”），即 S A ＝{x | x∈S 且x A}容易由补集的定义得到：U U ＝Φ，U Φ＝U ，U （U A ）＝A 四、教学运用：1、说出上面集合之间的包含关系； C B ， C A ，B A F E ， F D ， E D H G ，I G ，M G2、A ＝{我校高一年级学生} ， M ＝{我校高一年级的男生}，W ＝{我校高一年级的女生}，A 1＝{我班的学生}，M 1＝{我班的男生}，W 1＝{我班的女生}用韦恩图把上面五个集合的关系表示出来并用A M ＝ N ＝ N3、写出集合{1，2}的所有子集。

1.2 子集.全集.补集1.子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A B特别的： 2.真子集的定义：如果A B 并且，则称集合A 为集合B 的真子集.解读:(1)空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集.(2)元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用符号""""∉∈表示;集合与集合之间的关系是包含，真包含，相等的关系.3.补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：＝{x ∣x ∈S 且x A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集.[例1]．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析:空集合不含任何元素,与{0}不同,故(1)错;空集市本身的子集;(3)(4)是正确的.故选C.[例2] 已知集合且B A ，求a 的值. 解析：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若BA ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}.若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0. 若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ .若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ .综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝，或a ＝ .⊆B A ⊇或A AA ⊆∅⊆⊆B A ≠AC S ∉},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 3121-3121-。

高一数学《子集、全集、补集》教案模板一、教学目标1.了解集合、子集、全集、真子集、空集、补集等概念，并能够应用到实际问题中；2.掌握求解集合的并、交、差、对称差等操作及其运算规律；3.能够用Venn图表示集合关系，读懂文本或图示中的集合关系，并能够进行简单的逻辑推理。

二、教学重点1.子集、全集、真子集、空集等集合概念的区分与应用；2.集合并、交、差、对称差的概念及运算规律。

三、教学难点1.子集、真子集的抽象概念的理解与应用；2.布尔代数与集合运算的关系的理解。

四、教学程序1.集合概念引入（5分钟）–通过生活中的例子引入集合的概念，并解释集合的形式化定义；–引入子集、全集、真子集和空集等概念。

2.集合的运算及其规律（20分钟）–引导学生理解集合的运算，如集合的并、交、差、对称差，并详细解释每种运算；–利用生活实例和平面图形进行集合运算练习；–讨论每种集合运算的交换律、结合律、分配律等运算规律。

3.集合概念实例演示与分组活动（25分钟）–引导学生参与实例分析，通过文本或图示分析集合关系，并进行简单的逻辑推理；–利用分组活动引导学生自主运用所学知识，进行集合的分类识别，并进行交、并、补集等运算。

4.Venn图表示集合关系（20分钟）–引导学生了解Venn图的原理及其应用；–利用Venn图分析实际问题，探究Venn图的意义，并讨论如何利用Venn图进行简单逻辑推理；–利用Venn图的组合表示运用集合关系的复合逻辑推理。

5.练习巩固（20分钟）–针对所学知识设计综合练习题目；–让学生独立完成作业，并评估学生的掌握情况。

五、教学反思1.本课以集合、子集、全集、补集等概念为主线，通过讲解运算法则、举例分析、Venn图实践等方式让学生从多个角度理解和应用知识，有利于培养学生的逻辑思考能力和综合运用能力。

2.本课采用分组活动和Venn图演示等形式，将抽象的数学概念和实际问题进行关联，提高了学生的学习兴趣和参与度。

子集、全集、补集(一)教学目标：使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点. 教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的表示方法列举法、描述法2.集合的分类有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.Ⅱ.讲授新课［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.A B［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A B（或B A）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则A B.［师］依规定，空集∅是任何集合子集.请填空：∅_____A(A为任何集合).［生］∅⊆A［师］由A ＝{正三角形}，B ＝{等腰三角形}，C ＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？ ［生］由题可知应有A ⊆B ，B ⊆C.这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故A ⊆C.［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.(1)任何一个集合是它本身的子集［师］如A ＝{9，11，13}，B ＝{20，30，40}，那么有A ⊆A ，B ⊆B.师进一步指出：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集.这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集.A 是B 的真子集，记作A B (或B A )真子集关系也具有传递性若A B ，BC ，则A C.那么_______是任何非空集合的真子集.［生］应填∅2.例题解析［例1］写出{a 、b }的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a ，b }的所有子集是∅、{a }、{b }、{a ，b }，其中真子集有∅、{a }、{b }. 注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个. ［例2］解不等式x －3＞2，并把结果用集合表示.解：由不等式x －3＞2知x ＞5所以原不等式解集是{x ｜x ＞5}［例3］（1）说出0，｛0｝和∅的区别；（2）｛∅｝的含义Ⅲ.课堂练习1．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围.分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来要使A ⊇B ，则B 中的元素必须都是A 中元素即B 中元素必须都位于阴影部分内那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－m 4 知 －m 4 ＜－2即m ＞8故实数m 取值范围是m ＞82．填空：｛a ｝ ｛a ｝，a ｛a ｝，∅ ｛a ｝，｛a ，b ｝ ｛a ｝，0 ∅，｛0｝ ∅，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝，∅ ｛∅｝Ⅳ.课时小结1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 1，2补充：1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若B⊆A，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x∉A时也必有x∉B.2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}真子集：∅、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个3.(1)下列命题正确的是（）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于∅只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.①应是{1}⊆{0，1，2}，④应是∅⊆{0，1，2}，⑤应是∅⊆{0}故错误的有①④⑤，选C.(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π因3＜a＜4，故a是M的一个元素.{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，又 x ＝4n ＝2·2n在x ＝2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在x ＝4n 中，2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成，则有B A .评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.5.已知集合P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}满足Q P ，求a 所取的一切值. 解：因P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}当a ＝0时，Q={x ｜ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立.又当a ≠0时，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}＝{－1a }，要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12 或a ＝13 .综上所述，a ＝0或a ＝－12 或a ＝13评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集情况.而当Q ＝∅时，满足Q P .6.已知集合A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4＝0}，要使A P ⊆B ，求满足条件的集合P .解：由题A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}＝∅B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4）＝0}＝{－1，1，－4}由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即有满足条件的集合P 为：{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素.而做到这点，必须化简A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.7.已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A 共有多少个？解：因A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，由此，满足A ⊆B ，有∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.又满足A ⊆C 的集合A 有∅，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.其中同时满足A ⊆B ，A ⊆C 的有8个∅，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.有如下思路：题目只要A 的个数，而未让说明A 的具体元素，故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)8.设A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ⊆A }，则A 与B 应具有何种关系？解：因A ＝{0，1}，B ＝{x ｜x ⊆A }故x 为∅，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B 中一元素.故A ∈B.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ⊆A(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.②若B ＝∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4评述：此问题解决：（1）不应忽略∅；（2）找A 中的元素；（3）分类讨论思想的运用.（二）1.预习内容：课本P 92.预习提纲：(1)求一个集合补集应具备的条件.(2)能正确表示一个集合的补集.子集、全集、补集(一)1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若B⊆A，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.3.(1)下列命题正确的是（）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值.6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0），要使A P⊆B，求满足条件的集合P.7.已知A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？8.设A＝{0，1}，B＝{x｜x⊆A}，则A与B应具有何种关系？9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，(1)若B⊆A，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.子集、全集、补集(二)教学目标：使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?2.两个集合相等应满足的条件是什么?Ⅱ.讲授新课［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.请同学们由下面的例子回答问题：即为如图阴影部分由此借助上图总结规律如下：S2.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集C U Q 就是全体无理数的集合.举例如下：请同学们思考其结果.例(1)解：C S A＝{2}评述：主要是比较A及S的区别.例(2)解：C S B＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类.例(3)解：C S A＝3评述：空集的定义运用.例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 5评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A及C U A先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}故满足题条件：C U A＝{1，4}，m＝4；C U B＝{2，3}，m＝6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.Ⅲ.课堂练习课本P10练习1，2，3，4Ⅳ.课时小结1.能熟练求解一个给定集合的补集.2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 3，43.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么C S A＝{x｜x是梯形}.补充：1.(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）(4)若U＝{1，2，3}，A＝∅，则C U A＝A （）(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅（）(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）(7)若U是全集且A⊆B，则C U A⊆C U B （）解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{3}.(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得C S A＝{锐角或钝角三角形}.(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.(4)因U＝{1，2，3}，A＝∅，故C U A＝U.(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅.(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1}.(7)若U是全集且A＝B，则C U A⊇C U B.评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(C U A)＝U.2.填空题(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.(3)已知U中有6个元素，C U A＝∅，那么A中有_______个元素.(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________ 解：由全集、补集意义解答如下：(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知C U A＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知C U A＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A 的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集C U A ＝{x ｜x ＞9或x ＜3}，则A ＝3，B ＝9.3.已知U ＝{x ∈N ｜x ≤10}，A ＝{小于10的正奇数}，B ＝{小于11的质数}，求C U A 、C U B . 解：因x ∈N ，x ≤10时，x ＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10A ＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B ＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么C U A ＝{0，2，4，6，8，10}，C U B ＝{0，1，4，6，8，9，10}.4.已知A ＝{0，2，4，6}，C U A ＝{－1，－3，1，3}，C U B ＝{－1，0，2}，用列举法写出B . 解：因A ＝{0，2，4，6}，C U A ＝{－1，－3，1，3}，故U ＝A ∪（C U A ）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}而C U B ＝{－1，0，2}，故B ＝{－3，1，3，4，6}.5.已知全集U ＝{2，3，a 2－2a －3}，A ＝{2，｜a －7｜}，C U A ＝{5}，求a 的值.解：由补集的定义及已知有：a 2－2a －3＝5且｜a －7｜＝3，由a 2－2a －3＝5有a ＝4或a ＝－2，当a ＝4时，有｜a －7｜＝3，当a ＝－2时｜a －7｜＝9(舍)所以符合题条件的a ＝4评述：此题和第4题都用C U A ＝{x ｜x ∈5，且x ∉A }，有U 中元素或者属于A ，或者属于C U A .二者必居其一，也说明集合A 与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.6.定义A －B ＝{x ｜x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，8}，求N －M 的表达式.分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.解：由题所给定义：N －M ＝{x ｜x ∈N ，且x ∉M }＝{8}评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A －B 与C A B 中元素的特征相同，后者要求B ⊆A .而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.7.已知集合M ＝{x 2＋x －2＝0}，N ＝{x ｜x ＜a }，使M C R N 的所有实数a 的集合记为A ，又知集合B ＝{y ｜y ＝－x 2－4x －6}，试判断A 与B 的关系.分析：先找M 中元素，后求B 中元素取值范围.解：因x 2＋x －2＝0的解为－2、1，即M ＝{－2，1}，N ＝{x ｜x ＜a }，故C R N ＝{x ｜x ≥a }，使M C R N 的实数a 的集合A ＝{a ｜a ≤－2}，又y ＝－x 2－4x －6＝－（x ＋2）2－2≤－2那么B ＝{y ｜y ≤－2}，故A ＝B8.已知I ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}，集合B 与C R A 的所有元素组成全集R ，集合B 与C R A 的元素公共部分组成集合{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .解：因a ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}＝{x ｜1≤x ≤2}，所以C R A ＝{x ｜x ＜1或x ＞2}B 与C R A 的所有元素组成全集R,则A ⊆B .B 与C R A 的公共元素构成{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，则{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B在数轴上表示集合B 为A 及{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}的元素组成，即B ＝{x ｜0＜x ＜3}.评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B ∪C R A ＝R B A ⊆⇒，B ∩C R A ＝{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}.9.设U ＝{（x ，y ）｜x ,y ∈R },A ＝{(x ，y )｜y －3x －2＝1}，B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}，求C U A 与B的公共元素.解：a ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ≠2}，它表示直线y ＝x ＋1去掉(2，3)的全体，从而C U A ＝{（2，3）}，而B ＝{（x ，y ）｜y＝x ＋1}表示直线y ＝x ＋1上的全体点的集合.如图所示，C U A 与B 的公共元素就是(2，3).评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.（二）1.预习内容：课本P 10～P 112.预习提纲：(1)交集与并集的含义是什么?能否说明?(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.子集、全集、补集(二)1.(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）(4)若U＝{1，2，3}，A＝∅，则C U A＝A （）(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A＝∅（）(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）(7)若U是全集且A⊆B，则C U A⊆C U B （）2.填空题：(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.(3)已知U中有6个元素，C U A＝∅，那么A中有_______个元素.(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3}，则a＝_______，b＝_________ 3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求C U A、C U B.4.已知A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，C U B＝{－1，0，2}，用列举法写出B.5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，C U A＝{5}，求a的值.6.定义A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使M C R N的所有实数a的集合记为A，又知集合B ＝{y ｜y ＝－x 2－4x －6}，试判断A 与B 的关系.8.已知I ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2≤0}，集合B 与C R A 的所有元素组成全集R ，集合B 与C R A 的元素公共部分组成集合{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .9.设U ＝{（x ，y ）｜x ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )｜y －3x －2 ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}，求C U A 与B 的公共元素.。

1.2子集、全集、补集教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:第一课时一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二“包含”关系—子集1. 实例: a={1,2,3}b={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合a和b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,则说:集合a包含于集合b,或集合b包含集合a,记作aíb (或bêa)也说: 集合a是集合b的子集.2. 反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a?b (或b?a) 注意: í也可写成ì；ê也可写成é；í也可写成ì；ê也可写成é。

3. 规定: 空集是任何集合的子集. φía 三“相等”关系1. 实例：设a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合a与b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b的元素，同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b2. ①任何一个集合是它本身的子集。

aía②真子集：如果aíb ,且a1 b那就说集合a是集合b的真子集，记作③空集是任何非空集合的真子集。

④如果 aíb, bíc ,那么 aíc 证明：设x是a的任一元素，则 x?a aíb, x?b 又 bíc x?c 从而 aíc 同样；如果 aíb, bíc ,那么 aíc⑤如果aíb 同时 bía 那么a=b 四例题：例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 p9 例三已知，问集合m与集合p之间的关系是怎样的？例四已知集合m满足五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： aíaaíb, bíc taícaíb bíat a=b 作业：p10 习题1.2 1,2,3。

执笔人：姚东盐审核人：*** 2011年9月*日第一章集合 1.2 子集、全集和补集第 3 课时【教师活动】【教学目标】1使学生了解集合的包含、相等关系的意义；2 是学生理解真子集、子集、全集和补集的概念。

【教学重难点】掌握真子集、子集、全集和补集的概念。

【教学准备】多媒体【教学活动】1 问题情境2 师生互动3 建构数学4 数学应用5 课堂练习【教学反思】【学生活动】【学习目标】1使学生熟悉集合的表示方法；2 培养学生运用集合观点观察、分析和解决问题的意识。

【课时安排】1课时【课前预习】掌握子集、真子集、全集和补集的概念【课堂探究】一、问题情境观察下列两组集合，说出集合A和集合B的关系：（1）A={}1,2,3,B={}1,2,3,4（2）A=N ,B=Q（3）A={}2,4- , B={}2/280x x x--=二、师生互动三、建构数学1、子集：2、真子集：3、全集和补集：4、集合相等的定义：5、集合之间的关系的有关性质四、数学应用例1．写出集合{},a b的所有子集。

引申：写出集合{}1,2,3,4的所有子集。

写出集合{},,,,a b c d e所有三元素的子集。

例2 以下各组中的集合是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（2）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0，x∈R }；（3）S={x|x为地球人}，A={x|x为中国人}，B={x|x为外国人}。

苏版高中数学第一册上第一章知识点之子集、全集、补集高一数学中的集合指的是某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

以下是人教版高中数学第一册上第一章知识点之子集、全集、补集，请同学们查看。

子集假如集合A的任意一个元素差不多上集合B的元素(任意aA则aB)，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作集合A包含于集合B或集合B包含集合A。

即：aA有aB，则AB。

延伸依照子集的定义，我们明白AA。

也确实是说，任何一个集合是它本身的子集。

关于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集。

真子集假如集合A是B的子集，且AB，即B中至少有一个元素不属于A，那么A确实是B的真子集，可记作：AB。

如上面的文氏图中，集合A确实是集合B的真子集。

全集任意集合都可能是全集。

当研究一个特定集合的时候，那个集合确实是全集。

若研究实数，则所有实数的集合实数线R确实是全集。

这是康托尔在1870年代和1880年代运用实分析第一次进展现代朴素集合论和集合的势的时候默认的全集。

康托尔一开始只关怀R的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。

在文氏图中，操作传统上发生在一个表示全集U的大长方形中。

集合通常表示为圆形，但这些集合只能是U的子集。

集合A的补集则为长方形中表示A的圆形的别处的部分。

严格地说，这是A对U的相对补集UA;但在U是全集的场合下，这能够被当成是A的绝对补集A。

同样的，有空交集的概念，即零个集合的交集(指没有集合，而不是空集)。

没有全集，空交集将是所有东西组成的集合，这一样被认为是不可能的;但有了全集，空交集能够被当成是有条件(即U)下的所有东西组成的集合。

这种惯例在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时专门有用。

但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，那个地点所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。

相反，U的幂集，即U的所有子集组成的集合，是一个布尔格。

上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集U则作为布尔格中的最大元(或空交)。

BA第二讲子集、全集、补集子集的定义：如果集合A中的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA⊆,读作A包含于B;或者记作AB⊇,读作B包含A.子集的性质：（1）A⊆∅, AA⊆（2）若一个集合中含有n个元素，则它的子集个数有n2个真子集的定义：如果A是B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称A是B的真子集，记作A⊂≠B,读作A真包含于B.真子集的性质：（1）∅⊂≠A(其中A是任意的非空集),（2）若一个集合中含有n个元素，则它的真子集个数有12-n个子集、真子集（BA⊆, A⊂≠B）关系用韦恩图表示为：全集的概念：如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。

补集的概念：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A U⊆），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。

记作：∁U A；读作：A在U中的补集；符号语言表达式为：∁U A{},x x U x A=∈∉且；韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：补集性质：（1）UCU=φ(2) φ=UCU(3) AACCUU=)(（4）BA⊆，则BCACUU⊇例1.（1）{}aA,3,1=，{}1,12+-=aaB，BA⊇，求a。

（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。

（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。

经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。

（1） 若{}5=A C U ，求实数a 的值（2） 若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。