前4章习题课

第四章复习思考题1.说明汽油机燃烧过程各阶段的主要特点。

答：燃烧过程：（1）着火落后期：它对每一循环都可能有变动，有时最大值是最小值的数倍。

要求：为了提高效率，希望尽量缩短着火落后期，为了发动机稳定运行，希望着火落后期保持稳定（2）明显燃烧期：压力升高很快，压力升高率在0.2-0.4MPa/(°)。

希望压力升高率合适（3）后燃期：湍流火焰前锋后面没有完全燃烧掉的燃料，以及附在气缸壁面上的混合气层继续燃烧。

希望后燃期尽可能的短。

2.爆燃燃烧产生的原因是什么?它会带来什么不良后果?答：燃烧室边缘区域混合气也就是末端混合气燃烧前化学反应过于迅速，以至在火焰锋面到达之前即以低温多阶段方式开始自然，引发爆燃爆燃会给柴油机带来很多危害，发生爆燃时，最高燃烧压力和压力升高率都急剧增大，因而相关零部件所受应力大幅增加，机械负荷增大；爆燃时压力冲击波冲击缸壁破坏了油膜层，导致活塞、气缸、活塞环磨损加剧，爆燃时剧烈无序的放热还使气缸内温度明显升高，热负荷及散热损失增加，这种不正常燃烧还使动力性和经济性恶化。

3.爆燃和早燃有什么区别?答：早燃是指在火花塞点火之前，炽热表面点燃混合气的现象。

爆燃是指末端混合气在火焰锋面到达之前即以低温多阶段方式开始自然的现象。

早燃会诱发爆燃，爆燃又会让更多的炽热表面温度升高，促使更加剧烈的表面点火。

两者相互促进，危害更大。

另外，与爆燃不同的时，表面点火即早燃一般是在正常火焰烧到之前由炽热物点燃混合气所致，没有压力冲击波，敲缸声比较沉闷，主要是由活塞、连杆、曲轴等运动件受到冲击负荷产生震动而造成。

4.爆燃的机理是什么?如何避免发动机出现爆燃?答：爆燃着火方式类似于柴油机，同时在较大面积上多点着火，所以放热速率极快，局部区域的温度压力急剧增加，这种类似阶越的压力变化，形成燃烧室内往复传播的激波，猛烈撞击燃烧室壁面，使壁面产生振动，发出高频振音（即敲缸声）。

避免方法：适当提高燃料的辛烷值；适当降低压缩比，控制末端混合气的压力和温度；调整燃烧室形状，缩短火焰前锋传播到末端混合气的时间，如提高火焰传播速度、缩短火焰传播距离。

习题课 等差数列前n 项和性质的综合问题学习目标 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n 项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n 项和的求法．一、等差数列中奇、偶项的和问题1 我们知道等差数列前n 项和公式中的n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示S 2n ，S 2n －1吗？提示 S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝n (a 1＋a 2n )，S 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2，由等差数列的性质m ＋n ＝p＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 可知，a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，a 1＋a 2n －1＝2a n ，即S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示．问题2 当总项数为2n 项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示 S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1)2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，则有S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝na n ＋1na n＝a n ＋1a n .问题3 当总项数为2n －1项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示 S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1)2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2＝(n －1)(a 2＋a 2n －2)2＝(n －1)a n ，则有S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.知识梳理1．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .2．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案 2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S奇S偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65， 所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，①又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9. 故A 9B 9＝a 5×9b 5×9. 故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋b a ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ， b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k . 所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项．跟踪训练1 (1)等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案 C解析 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝132，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝120， ∴S 奇－S 偶＝a 2n ＋1－nd ＝a n ＋1＝12， ∴S 2n ＋1＝S 奇＋S 偶＝252＝()2n ＋1()a 1＋a 2n ＋12＝()2n ＋1an ＋1＝12()2n ＋1，解得n ＝10.(2)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 答案 －4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ， ∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，① ∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，② 由①②得d ＝－4.(3)若等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝n ＋1n ，则S 9T 9＝________.答案 65解析 由等差数列前奇数项和性质，得S 9T 9＝9a 59b 5＝a 5b 5＝5＋15＝65.二、含绝对值的等差数列的前n 项和问题4 已知等差数列a n ＝2n －9，求{|a n |}的前n 项和． 提示 设{a n }的前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和为T n . 则当n ≤4时，T n ＝－S n ＝－n 2＋8n ，当n ≥5时，T n ＝(－a 1)＋(－a 2)＋(－a 3)＋(－a 4)＋a 5＋a 6＋…＋a n ＝－S 4＋(S n －S 4)＝S n －2S 4＝n 2－8n ＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋8n ，n ≤4，n 2－8n ＋32，n ≥5.知识梳理1．若一个等差数列a 1<0，d >0，且a k ≤0，a k ＋1>0，则其绝对值的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－S n ，1≤n ≤k ，S n －2S k ，n >k ，n ∈N *. 2．若一个等差数列a 1>0，d <0，且a k ≥0，a k ＋1<0，则其绝对值的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，1≤n ≤k ，－S n ＋2S k ，n >k ，n ∈N *. 注意点：(1)要先去掉绝对值才能求和；(2)找准分界点是解决此类问题的关键．例2 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴a n ＝101－2n (n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5， ∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ， 由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n ) ＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和T n ＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *.延伸探究 本例中若a n ＝2n －101，求数列{b n }的前n 项和． 解 由本例可知，当1≤n ≤50时，a n <0，此时b n ＝－a n ， 数列{}b n 的前n 项和T n ＝－n 2＋100n ，当n ≥51时，a n >0，b 51＋b 52＋…＋b n ＝a 51＋a 52＋…＋a n . 数列{}b n 的前n 项和T n ＝－S 50＋S n －S 50＝n 2－100n ＋5 000，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋100n ，1≤n ≤50，n 2－100n ＋5 000，n ≥51，n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17时，a n >0；当n ≥18时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.1．知识清单：(1)等差数列中奇、偶项的和． (2)含绝对值的等差数列的前n 项和．2．方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( ) A ．0.5,0.5 B ．0.5,1 C ．0.5,2 D ．1,0.5答案 A解析 由于项数为10，故S 偶－S 奇＝15－12.5＝5d ， ∴d ＝0.5，由15＋12.5＝10a 1＋10×92×0.5，得a 1＝0.5.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12答案 A解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ， 则S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第12项 D ．第13项 答案 B解析 由题意得，S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小．4．记S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，已知a 1＝－9，S 5＝－25，b n ＝||a n ，{}b n 的前n 项和为T n ，则T 10＝________. 答案 50解析 设等差数列{}a n 的公差为d ，∵a 1＝－9，S 5＝－25.∴－9×5＋5×42×d ＝－25，解得d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11. ∵b n ＝||a n ，所以b n ＝||2n －11，∴T 10＝||－9＋||－7＋||－5＋||－3＋||－1＋1＋3＋5＋7＋9＝2()1＋3＋5＋7＋9＝50.课时对点练1．在等差数列{}a n 中，a 2＋a 4＋a 6＝－3，a 3＋a 5＋a 7＝6，则{}a n 的前8项的和为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由等差中项的性质可知a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝－3，所以a 4＝－1，同理a 5＝2，所以a 4＋a 5＝1，S 8＝4(a 4＋a 5)＝4.2．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ,2()a 1＋a 3＋a 5＋3()a 8＋a 10＝60，则S 11的值为( ) A ．33 B ．44 C ．55 D ．66 答案 C解析 ∵S n 是等差数列{}a n 的前n 项和， 2()a 1＋a 3＋a 5＋3()a 8＋a 10＝60，∴2()a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＋3()a 1＋7d ＋a 1＋9d ＝60，解得a 1＋5d ＝5，∴a 6＝5，∴S 11＝112()a 1＋a 11＝112×2a 6＝11a 6＝55. 3．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( )A.1315B.2335C.1117D.49 答案 C解析 S 21T 21＝21(a 1＋a 21)2÷21(b 1＋b 21)2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117.4．已知等差数列{}a n 的通项公式为a n ＝5－n ，则||a 1＋||a 2＋…＋||a 10等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 B解析 因为a n ＝5－n ，所以当n ≤5时，a n ≥0，当n ≥6时，a n <0； 因此||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝()a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－()a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10 ＝()4＋3＋2＋1＋0＋()1＋2＋3＋4＋5＝10＋15＝25.5．设等差数列{}a n 和{}b n 的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n －t 5n ＋3，若a 7b 3＋b 11＝14，则t 等于( )A ．5B ．6C ．22 D.512答案 A解析 由题意可得a 7＝S 1313，b 3＋b 11＝2b 7＝2T 1313，则a 7b 3＋b 11＝S 132T 13＝3×13－t 2×()5×13＋3＝14，解得t ＝5.6．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 1＋a 8＋a 15是定值，则下列各项中为定值的是( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．S 15 D ．S 16 答案 BC解析 由于a 1＋a 15＝2a 8，故a 1＋a 8＋a 15是定值可得a 8是定值，S 15＝12×15×(a 1＋a 15)＝15a 8，故S 15为定值．7．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．8．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________． 答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148， S 偶－S 奇＝50d ＝50， 解得S 偶＝99.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d . ∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6＞0， 又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于() A ．15 B ．35 C ．66 D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{}a n 和{}b n 的前n 项和分别为S n 和T n ，且满足S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 6b 4等于( ) A.32 B.23 C.1314D ．1 答案 D解析 由题意，令S n ＝kn (2n ＋1)，T n ＝kn (3n ＋2)，∴a 6b 4＝S 6－S 5T 4－T 3＝78k －55k 56k －33k＝1. 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178 解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案 65解析 由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S 奇＝6(a 1＋a 11)2＝6a 6，其偶数项的和为S 偶＝5(a 2＋a 10)2＝5a 6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为65.15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 1＋a 3＋…＋a 29a 2＋a 4＋…＋a 30的值为( ) A.1415 B.1617 C.2324 D.23答案 C解析 由题意，得数列{}a n 为等差数列，a 1＝6，S 30＝11×40＋3×10＝470，设数列{}a n 的公差为d ，由等差数列前n 项和公式，得S 30＝30×6＋30×()30－12d ＝470，解得d ＝23， 所以a n ＝6＋()n －1×23＝23n ＋163， a 1＋a 3＋…＋a 29＝()a 1＋a 29×152＝15a 15，a 2＋a 4＋…＋a 30＝()a 2＋a 30×152＝15a 16，所以a 1＋a 3＋…＋a 29a 2＋a 4＋…＋a 30＝a 15a 16＝23×15＋16323×16＋163＝2324. 16．已知数列{}a n 的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .解 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列，且S 11＝a 1＝1，所以S n n ＝1＋()n －1×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n ，又因为a n ＝S n －S n －1()n ≥2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3， 又因为a 1＝1符合n ≥2的情况，所以a n ＝4n －3.(2)因为b n ＝()－1n a n ＝()－1n()4n －3， 当n 为偶数时，T n ＝()－1＋5＋()－9＋13＋…＋[－()4n －7]＋()4n －3，所以T n ＝[()－1＋5]＋[()－9＋13]＋…＋{[－(4n －7)]＋(4n －3)}＝4×n 2＝2n ， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝2()n －1＋[－(4n －3)]＝1－2n ， 综上可知，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ，n 为偶数，1－2n ，n 为奇数.。

《课程与教学论》练习题第一章绪言一、填空1. 课程与教学论的研究对象是课程问题与教学问题，其宗旨或任务是（揭示规律）、（确立价值）和（优化技术）2.人类早期的课程与教学思想，主要是基于（教育者自身的经验）提炼出来的3.《学记》是我国和世界上最早的教育学专著。

4.西方教育史上第一部系统的教学法专著是《雄辩术原理》。

5.教学论学科的形成，大概在（17——19）世纪。

1632年，捷克人夸美纽斯的《大教学论》，是教学论学科诞生的重要标志。

6.1806年赫尔巴特的《普通教育学》的发表，作为教育学和教学论发展成熟的标志。

7.“传统教学论”是指19世纪中期以来流行于世界各地的（赫尔巴特）教学理论；而“现代教学论”则以（杜威）教学理论为代表。

8.人们常把杜威教学理论的特点概括为（儿童中心）、（经验中心）和（活动中心）。

与此相对，赫尔巴特教学理论的特点是（教师中心）、（书本中心）和（课堂中心）。

9.20世纪50、60年代以来，教学论学科进人了一个多元化发展的时代，其中，有代表性的教学论流派有：美国斯金纳的（程序教学理论）、布鲁纳的（结构主义教学理论）、布卢姆的（掌握学习理论）、罗杰斯的（非指导性教学理论）以及新近流行的建构主义教学理论；苏联赞科夫的（发展性教学理论）、巴班斯基的（教学最优化理论）、阿莫纳什维利等人的合作教育学；德国瓦根舍因的（范例教学理论），等等。

10.（20）世纪初期，课程成为一个独立研究领域，课程论应运而生。

一般认为，美国学者（博比特）1918年出版（课程）一书，是课程论作为独立学科诞生的标志。

11. 泰勒总结了“八年研究”的成果，于1949年出版（课程与教学的基本原理），提出了课程编制的四个基本问题，即（如何确定目标）、（如何选择经验）、（如何组织经验）和（如何评价成果），建立起了著名的课程编制的泰勒原理，即课程编制的“目标模式”。

12.被誉为“现代课程理论之父”的是（泰勒）。

二、简答题1.什么是课程与教学论？2.简述课程论与教学论的关系。