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15.3.1平方差公式课件

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《平方差公式》PPT课件 (共18张PPT)

《平方差公式》PPT课件 (共18张PPT)

•
1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
•
2、世界会向那些有目标和远见的人让路。
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3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。
•
5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。
•
6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。
2、利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
3、判断下列式子是否可用平方差公式。
（1)（-a+b)(a+b)
随堂练习
1、a 3ba 3b
2、3 2a 3 2a
3、51 49
4、3x 43x 4 2x 33x 2
拓展应用
1、 利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
•
4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德
•
激励自己的座右铭
•
1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。
•
2、 要有梦想，即使遥远。
•

平方差公式课件

平方差公式课件

02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。

平方差公式 (课件)

平方差公式 (课件)
对于不符合平方差公式标准形式者， 或提取两“−”号中的“−”号，要利用加 法交换律，变成公式标准形式后，再用公 式．
Bye bye
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是 代数式．
例2 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
某中学计划将边长m米的正方形花坛改造成 长为 （m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛，你会 计算改造后的花坛面积么？花坛的面积有什么变化？
（m＋1)(m－1) 解原式： =m2−m+m-1
=m2-1
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2．
两数和与这两数差的积，等于它们 的平方差．
平方差公式
[来源:学科网ZXXK]
(a+b)(a-b)=?
学习目标
1．理解平方差公式的意义； 2．掌握平方差公式的结构特征； 3．正确地运用平方差公式进行计算；
探索发现
1. (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 =x22. (m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m122-4 =m2-22 3. (2x+1)(2x-1)=4x2-2x+2x-1 =4x2-1 =(2x)2-12
图2 的阴影部分的面积是—(a— b—)(a—b)
b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b b
互为相反数
(a+b)(a−b)=a2−b2

15.3.1平方差公式课件

15.3.1平方差公式课件

两个数的和与这两个数的差的积， 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。 数的平方差。
(a + b)(a − b) = a − b 2 2 (a + b)(a − b) = a − ab + ba − b 2 2 = a −b
2 2

归纳发现： 归纳发现：
平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积， 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差 平方差。 等于这两个数的平方差。

[活动1] 创设情境 激趣引入 活动1]
(1) (x+1)(x-1) = x − 1 2 (2) (m+2)(m-2) = m − 4 2 (3) (2x+1)(2x-1) = 4 x − 1 (4) (a+b)(a-b) = a 2 − b 2 用自己的语言叙述
2
算一算：看谁做的又快又准确！ 算一算：看谁做的又快又准确！

知识复习
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘的法则:多项式 与多项式相乘, 与多项式相乘,先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式的每一项, 一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积相加. 所得的积相加.
(a +b)(m+ n) = am + an + bm + bn
注意： 注意：必须符合平方差公 式特征的代数式才能用平 方差公式. 方差公式.
（2）试一试： 试一试：
判断下列式子是否可以用平方差公式。 判断下列式子是否可以用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) (2)(-2a+b)(-2a-b) (3)(-a+b)(a-b) (4)(a+b)(a-c) (5)(-m-n)(m-n) 是 是 否 否 是

平方差公式 (课件)

平方差公式 (课件)


2
y)(2x

y)
2
4x2

y2
（4）不能忘记写公式中 的“平方”．
【课堂总结】
这节课你有哪些收获？
平方差公式：（a+b）（a-b）=a 2 -b2
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差．
注意：（1）看是否具备公式的结构特征；
（2）要找准哪个数或式相当于公式中的a，b。 且a的符号相同 ，b 的符号相反。 （3）a ,b 可以是具体的数、单项式、多项式等； （4）不能忘记写公式中 的“平方”．
（2）102×98．；
(3)( x 1)( x 1)( x2 1)
【自检诊学】 【独立完成，举手板演】 练习3 运用平方差公式计算： （1） 51×49； （2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（2x-3）
第2题做完上台板演，格式规范准确无误可得一个音符
【达标检测】 【独立思考，举手回答】
(5)(2a b)(2b a) 4a2 b2 当于公式中的a，b。且a的
(6)(3x y)(3x y) 9x2 y2
(7)(1 x 1)(1 x 1) 1 x2 1
符号相同 ，b 的符号相反。
（3）a ,b 可以是具体的数、 单项式、多项式等
2
(8)(2x
【一、激趣导入 】
【独立作业，举手回答】
1、复习
(a b)(m n)
2、计算：
（1）（x+1）（x-1） = x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2） = m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1） = 4x2 -1 ．
二、合作互助

平方差公式课件

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07
CATALOGUE
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
平方差公式的推导过 程
平方差公式与实际生 活的联系
平方差公式的形式和 应用
需要进一步理解的问题
如何根据题目选择合适的公式进行解答
对于一些变形公式，如何正确理解和使用
下节课预告
将介绍新的数学概念和公式， 如完全平方公式和平方差公式 的扩展形式
习题与解答
习题一
总结词：简单基础
详细描述：本题主要考察平方差公式 的简单应用，适合基础薄弱的同学练 习。
习题二
总结词：中等难度
详细描述：本题涉及平方差公式的变形和组合，需要学生 具备一定的思维能力和计算能力。
习题三
总结词：较难
VS
详细描述：本题综合考察了学生的数 学能力和思维深度，需要学生灵活运 用平方差公式和其他数学知识。
平方差公式课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用 • 平方差公式的扩展与推广 • 习题与解答 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
课程背景
平方差公式是数学中基础且重要的公式之一，它描述了两个 数的平方差与这两个数之间的关系。在代数、几何和三角学 中，平方差公式都有广泛的应用。
在几何中的应用
证明勾股定理 求几何图形的面积和体积
通过平方差公式，我们可以证明勾股定理，了解三角形 三边的关系。
利用平方差公式，我们可以计算一些几何图形的面积和 体积，例如矩形、梯形、圆等。
在三角函数中的应用
01 02 03 04
三角恒等式的证明
通过平方差公式，我们可以证明一些三角恒等式，例如两角和与差的 余弦、正弦公式等。

平方差公式PPT经典教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件


= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
阅读
p59例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母乘积时, 要用括号把这个数整 个括起来，再平方;
最终结果又 要去掉括号。
第7页
随堂练习
随堂练习
(a+b+c)(a—b—c)。
第13页
本题是公式变式训练，以加 深对公式本质特征了解．
(4a−1)(4a−1)
利用加法交换律， =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a )
法一 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中“−”号 法二，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) =−(4a+1)(4a−1) = [ (4a)2 −1]
这两个数平方差．
第5页
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数和与差相乘； 且左边两括号内第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数平方差； 即右边是左边括号内第一项平方 减去第二项平方.
(3) 公式中 a和b 能够代表数， 也能够是代数式．
假如 (x+a)(x+b)中a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习内容．
第2页
a
试一试
a
a-b 将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
b
a-b b

平方差公式ppt课件

解：(4)
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
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2

2
[活动3] 解释运用
（１）议一议
解决问题
你能否从图形的角度对它验证？ 如图，边长为a 的正方形，请用剪 a 刀从边长为a的正方 形纸板上，剪下一 b 个边长为b的小正方 a 形，然后拼成长方 形。

b b
你能用平方差公式直接计算下列各式吗？ （2）试一试：
公式中的字母可以表示具 体的数,也可以表示单项 式或多项式等式子.
（1）等式左边是两个数 (字母)的和乘以这两个 数(字母)的差. （2）等式右边是这两个 数(字母)的平方差.
注意：必须符合平方差公 式特征的代数式才能用平 方差公式.
思考：计算 （-2b-5)(2b-5)
观察：上面算式能用平方差公式进行计算吗？如果
b (2)分析：(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x24y2
2 2
a ba b a
a ba b a
2
b
2
归纳发现：
平方差公式
平方差公式的特征：
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两 个数的差的积，等于这 两个数的平方差．
激趣引入
2
(1) (x+1)(x-1) x 1 2 (2) (m+2)(m-2) m 4 2 (3) (2x+1)(2x-1) 4 x 1 2 (4) (a+b)(a-b) a 2 b用自己的语言叙述
提出问题：
你的发现．
算一算：看谁做的又快又准确！
观察以上算式及其运算结果，你能发现什 么规律？
（a+b)(a-b) （y+3)(y-3)
(a+3b)(a-3b)
a
b
a b
2
2
2
2
2
2
最后结果
y
3
3b
y 3
y 9
2
a
1
a (3b) a 2 9b2
2 2
(1-5b)(1+5b)
(ab+2)(ab-2)
5b 1 (5b) 1 25b
2
ab
2
(ab) 2 a b 4
2 2
[活动2] 自主探究 归纳发现 观察思考： ①等式左边相乘的两个多项式有什么特点？
②等式右边的多项式有什么规律？
③你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？ （分组讨论，引导学生分析等式结构特征.）
归纳发现：
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
(a b)(a b) a b
2 2
（3）学一学： 例1
(3) (3x+2)(3x-2)
运用平方差公式计算：
(1) (b+2a)(2a-b) (2) (-x+2y)(-x-2y) (1)分析： (b+2a)(2a-b)
你还有其 他的计算 方法吗？
上面各式可以看作 是哪两项（或数） 的和与差的积？
=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2
能，可以看作是哪两项（或数）的和与差的积？
分析：（1）变形为（-5-2b)(-5+2b)可看作-5与2b的和与差的积 ； （2）变形为-（2b+5)(2b-5)可看作2b与5的 和与差的积.
例2
计算:
只有符合公式特征的 乘法，才能运用公式 简化运算，其余的运 算仍按乘法法则进行.
(1) 102×98（解决情景问题）
项式等式子.
布置作业：
. 必做题：P156页 习题15.2 第1题
2. 选做题： (1) 计算 (x+y)(x-y)(x2+y2)
(2) 在式子(-3a+ 2b )( )的括号内填 入怎样的式子才能用平方差公式计 算？

(a b)(a b) a b
2
2

知识复习
多项式与多项式相乘的法则:多项式与
多项式相乘,先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项,再把所得的 积相加.
(a b)(m n) am an bm bn

[活动1] 创设情境
( ) ( ) ( )
2、教科书P153页练习2（看谁做得最快最准!）[活动5] 来自思小结 布置作业说一说：
(1) 给（a+b）乘上一个什么样的多项式能 构成一个平方差公式的形式？
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2
（2）通过本节课学习，你有何收获？你还有 什么疑惑?
分析：原式=(100+2)(100-2)
(2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
[活动4] 反馈练习 拓展应用
练一练：
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样 改正？
( 1 ) (x+2)(x-2)=x2-2 ( 2 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( 3 ) (3a-2)(-3a-2)=9a2-4
强调：
1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
2．两个二项式相乘，若有如下的特点可用平方差
公式计算：
有一项完全相同，而另一项互为相反数.
3. 使用平方差公式应注意的几个问题: （1）它适用于两个项数相同的多项式相乘，注意识 别相当于公式中的a的项和相当于公式中的b的项. （2）公式中的a、b可以代表具体的数，单项式或多