高中数学人教版必修5解三角形应用举例(高度测量问题)教学设计

《正余弦定理的应用(一)——距离测量问题》教学设计摘要：文章以人教A版高中数学教科书必修五为出发点，结合课程标准，通过对三维目标的设置和学生学情及教学重难点的分析，采用了小组讨论法、引导探究法、讲练结合法，按照复习回顾、讲授新课、随堂练习、小结、作业、教后反思等六个环节，就正余弦定理在距离测量问题方面的应用做了比较全面的教学设计，最后总结出解应用题的基本思路.设计在复习回顾部分特别加入了回顾小测，在例题讲解过程进行了点评和引申，在练习部分链接了相关的高考试题，这是该设计的三处亮点，旨在激发学生的学习热情和探究精神，也为高中数学一线教师的备课方式提供了一种案例参考.关键词：数学模型；正余弦定理；距离测量教学目标：知识目标：能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形知识，解决不可到达点的距离测量问题.能力目标：能够将实际问题，尤其是距离测量问题转化成解三角形的问题进行解决.情感目标：（1）通过本节课所学知识解决一些生活中的实际问题，让学生体会数学的实用性；（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识.学情分析：正余弦定理是高中数学中很重要的内容之一，在学生已经具备一些数学基本功的基础上，以正余弦定理本身为出发点，以其在实际生活中的应用为主线系统学习和掌握正余弦定理在诸如距离测量等的实际问题中的应用. 数学建模的过程是一个长期学习的过程，学生对数学必修内容的学习即将结束的时候，数学建模意识已经建立起来并达到成熟，教科书在必修5安排正余弦定理的应用是恰到好处，对教师的教和学都是有积极意义的.教学重点：分析测量问题的实际背景，从而找到测量距离的方法. 教学难点：从实际问题中抽象出正确的数学模型，同时做到操作的可行性.教学方法：小组讨论法、引导探究法、讲练结合法教学过程：一、 复习回顾1、正弦定理注：正弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的任意两边和其中一边的对角；（2）已知三角形的任意两角和一边.2、余弦定理注：余弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的三边；（2）已知三角形的任意两边和一角. R Cc B b A a 2sin sin sin ===　Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、回顾小测（1）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，则ABC ∆的形状是______三角形.（2）在ABC ∆中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于______.二、讲授新课一些实际问题：1、如何测量地球和月亮之间的距离；2、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；3、怎样测量不可到达的两点之间的距离.这将是我们今天要解决的问题.例1、设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ， 51=∠BAC ， 75=∠ACB ，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.解：根据正弦定理，得B AC C AB sin sin ＝)(7.6554sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin 000000m ABCACB ABC ACB AC AB ≈=--=∠∠=∠∠=答：A 、B 两点间的距离为65.7m .点评：1、AC 是根据测量的需要适当确定的线段，称其为基线.2、这是测量不能直接度量的两点的一种方案，可引申如下： 测量两点都不能到达的两点间距离，如下例.例2、A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出BCA ∠的大小，借助于余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得α=∠BCA ,β=∠ACD ,γ=∠CDB ，δ=∠BDA . 在BDC ADC ∆∆和中，应用正弦定理得：[])sin()sin()(180sin )sin(δγβδγδγβδγ+++=++-+=a a AC计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离请同学们想一想，还有没有别的测量方法？三、 随堂练习练习1、为了测量河宽，在岸的一边选定两点B A 、，望对岸的标记物C ，测得 45=∠CAB ， 75=∠CBA ，120=AB 米，则河宽为 米.练习2、（2009年宁夏高考）为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤.四、 小结解应用题的基本思路：[])sin(sin )(180sin sin γβαγγβαγ++=++-=a a BC αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=五、作业P习题1.2A组1、2.19六、教后反思本节课是继正弦定理和余弦定理之后的应用型的章节，是基于正余弦定理基础之上的知识应用层次，正余弦定理的应用是高中重要且实用的章节，是知识层次的最高要求.能将实际问题转化为解三角形的问题，通过解三角形来求解实际问题是本节课的重点，也是知识能力的最高要求，通过学情分析，结合教材难易程度设计了本课，通过教学过程可以发现，学生对知识的应用已经上了一个台阶，需要在练习的过程中再加要求.基于以上分析，以后备课授课的过程中教师应该注意以下几点：首先，将课前测试科学合理的重视起来，做到新课前的小测巩固.这比单独的知识点的复习回顾效果明显，而且学生也有挑战感，让他们觉得自己是“跳起来吃到了桃子”，学生有成就感，教师也觉得开场有了激情，有了新课开演的前奏.其次，例题的教学分层次展开是本节课的一大亮点，这样做既降低了例题本身的难度，使得学生一节课后有一种自我整理为精华的感觉，更重要的是让学生在探究的过程中学会了化归思想，学会了如何将同类问题划归为基本问题.再次，课前准备这一环节也是必不可少的，比如本节课中要用到的距离测量的钢卷尺或者皮尺，角度测量的测角仪等，有的学生平时很少接触，可能不是很熟悉，这样的图片给学生做一课前演示准备是很有必要的，这样做无疑会让学生对新解决的问题产生“熟悉感”，会对新课的讲授起到一定的辅助作用.最后，练习的设计符合递进式原则，从易到难，也符合学生的认知规律，学生从做练习的过程中既能体会到成就感，也能感受到挑战性.在练习中加入一定难度的高考题链接，是遵循了新课改的基本理念的，以能力为基本要求，以知识点为基本依托，做到知识和考题的前呼后应.参考文献：[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004.10.[2] 傅佳.实施数学课堂教学有效性之我见[J]. 教育观察,2012, (06):71-72.[3] 张春莉，王小明.数学学习与教学设计[M].上海：上海教育出版社，2004.[4] 课程教材研究所.数学必修5[M].北京:人民教育出版社,2012.5.[5] 任志鸿.志鸿优化十年高考分类解析与应试策略（数学）[M] .海南:南方出版社,2013.1.。

2019-2020年高中数学5.1.2解三角形应用举例教案2文新人教版必修5●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。

已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.Ⅲ.课堂练习课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

1.1.3解三角形的进一步讨论（一）教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

（二）教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（三）学法与教学用具学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学用具：教学多媒体设备（四）教学设想[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

解三角形的实际应用举例（二）—测量高度、角度一教学目标:学生看，了解学习目标（1分钟）1 知识与技能能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题；2 过程与方法通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的能力；3 情感、态度与价值观体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价值，提高学习兴趣。

4. 重点：画出示意图，分析已知与所求，解三角形。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

二教学过程（-）知识回顾:师问生答-- 为本节课的知识内容作铺垫(3分钟)1.正弦定理：可解下列两类三角形：(1)已知两角及一边；(2)已知两边与一边的对角。

2.余弦定理：可解下列三类三角形：(1)已知三边长；(2)已知两边及夹角；(3)已知两边与一边所对角。

3.仰(俯)角:在同一铅垂平面内，视线与水图平线的夹角，如所示.4.方向角：从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向线的水平角,如图所示。

（二）情境引入:从生活入手，引入本节内容。

（1分钟）南偏西60°问:1.生活中,人们是怎样测量底部不可到达的物体的高度呢？2.在航海中,人们在海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？我们可以建立数学模型，化为解三角形的问题来解决。

（三）合作探究探究点1 测量高度问题(题目设置从平面图形到立体图形，引导学生体会观测点选取位置的不同，导致图形的差异)例1 如图AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.（明确需要两个观测点，即选择一条基线。

3分钟）师：思考：1.怎样作高？ 2.只选一个观测点行吗？ 生：1.作地面的垂线表示高；2.一个观测点只能测角度，无法直接测长度，所以需要至少2个观测点。

（用PPT 动态展示，引出下面题目）如图某同学选择H 、G 两点，使H 、G 、B 三点在同一条水平线上，在H,G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α,β,CD=a ，且测角仪器的高是h ，则AB=？（5分钟） 分析：AB= ，应求 . （1）在哪个三角形中求？（2）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？（学生讨论2分钟，起来回答,引导学生不同解题思路，边用PPT 展示两种方案具体解题过程--5分钟）解法一：在△ACD 中，∠ADC=β，CD=a ，∠DAC=α-β，根据正弦定理可得 AC a a sin ,ACsinsinsin,AE Rt ACE ,sin ,AE sin AC AC中a sin sinAB AE hh sin解法二:在△ACD 中，∠ADC=β，CD=a ，∠ACD=180°-α，根据正弦定理可得sin(180)sinsin(180)sin()sin()sin()AD a a a AD =sin sin sinsinsin()AEa Rt ADE 中，AB=AE h=AD h=h AD（引导生总结--2分钟）感悟：解决高度问题步骤：（1）作高：作与地平面垂直的线段表示高度；（2）画图：分清仰角、俯角，画示意图（必含直角三角形）； （3）求解：分析已知与所求，解三角形得实际问题的解.练习1.如图某人选择水平面上的两点C 、D ，AB ⊥面BCD ，CD=800m ，在C 点测得A 的仰角∠ACB=45°，∠BCD ＝120°，又在D 点测得∠BDC ＝45°，求AB.（学生到黑板做--5分钟）解:在△BCD 中,DC=800, ∠BDC=45°, ∠DCB=120°, ∠DBC=180-120°=15°,∵AB ⊥平面BCD ，∠ACB=45°， ∴Rt △ABC 中，AB=BC. 探究点2 测量角度问题（题目设置从有图到无图，引导学生画示意图，解三角形）3-1n mile B,B 1520 n mile C.A 例2 如图一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的方向航行10后到达海岛然后从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（引导学生结合图形，将文字语言转换为符号语言，明确已知与所求。

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。

解三角形应用举例教学目标一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)解：根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ， ︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′. 又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h.【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB .在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A . 解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα.【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理,,sin sin ABC ACCAB BC ∠=∠,15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°， ∠ACB =180°-45°=135°, ∴A =15°.由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC. ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险． 答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则A P=4t,B Q=4t, 当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7． （3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）. （1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°; （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin ==, BAC b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7,227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？ 解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2,27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2． 【例9】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）. 证明：（1）根据正弦定理，可设k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边. [知识拓展]如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°， 所以∠ACD =30°. 又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3. 在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD .在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+.所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:p c p b p a p a p A ))()((12tan----=, p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A＞0,所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21(a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bca p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+所以p c p b p a p a p a p p c p b p bca p p bc c pb p A A A ))()((1)())(()())((2cos2sin2tan----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan----=. 同理,可得pc p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin-=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sinabc p p Cac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--= 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=;)(2b p acp c a t b -+=;)(2c p abp ba t c -+=.证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,① 根据三角形内角平分线的性质，得yxb c =, 所以yyx b b c +=+. 因为x+y=a , 所以yab bc =+. 所以cb aby +=.② 将②代入①,得C cb abb c b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=,所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a-+•+-++++==))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++=),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp ba tb p acpc a t c b -+=-+=.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式. 3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abcR ---=.证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==,11 所以bc S A 2sin =. 所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

最新高中数学必修5《应用举例》教案高中数学必修5《应用举例》教案【一】教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一. 基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。

一. 小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。

利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80 闯关训练高中数学必修5《应用举例》教案【二】教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：.com测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。

解三角形的应用教学设计教学课题运用正弦定理、余弦定理解决测量距离的实际问题所用教材教材名称：普通高中课程标准试验教科书数学必修第5册，第1章2节出版社：人民教育出版社教学目标1、知识与技能初步运用正弦定理、余弦定理解决测量距离、物体高度等有关的实际问题；2、过程与方法通过解三角形在实际中的一些应用,开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点结合实际，利用测量工具,解决生活中的测量问题教学难点能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键课时安排1课时教学用具多媒体教学方法探索、讲解、讨论教学环节教学过程师生活动设计意图复习引入正弦定理可以解决的问题：①已知三角形的两角和一边，求另外的两边和一角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另外的两角和一边.余弦定理可以解决的问题：①已知三角形的两边和一角，求另外的两角和一边.教师提问学生思考作答应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．为本节课重点知识的学习做一些知识准备.②已知三角形的三边，求任意一角.问题一：如何测量距离1.两点间相互不可到达，但测量者可以到达①四川省道303线映秀到卧龙段在5·12特大地震中损毁严重，尤其是从烧火坪到耿达的隧道需要重建，请你计算一下这段隧道的长度？AB2=a2+b2-2abcosC 学生分组讨论解决方案，由最先解答出来的小组派代表作答.抛砖引玉，使学生渐入情境。

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解联系时事，激发学生学习热情。

2.两点中有一点不可到达②如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．学生分组讨论解决方案，由最先解答出来的小组派代表作答.第二类测距问题，使学生体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。

新编人教版精品教学资料1.2 应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题•过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图.教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识. 对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题•例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题•对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决•对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。

他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。

《解三角形的实际应用举例—高度、角度问题》教学设计第一课时 测量高度问题一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题二、讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得：AC =)sin(sin βαβ-aAB = AE + h= AC αsin + h= )sin(sin sin βαβα-a + h变式训练：在地面A 处测得树梢的仰角为60︒，A 与树底部B 相距为5cm ，问：树高？例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。

解三角形应用举例教学设计●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

《解三角形应用举例》教案（1）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.2．通过解决“测量平面上两个不能到达的地方的之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.4．激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.教学重点难点1．重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2．难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.教法与学法1．教法选择：“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”；2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣启发提问1 ∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2 运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA ∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得)sin(δγ+a sin(γa三、思维拓展，课堂交流②两点能相互看到，但不能到达③两点都不能到达课堂检测：四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析解三角形应用举例是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用.教材首先通过例1提出了如何测量从一个可到达点和一个不之间的距离，进一步通过例2解决了两个不可到达点之间的距离问题.本节课是解三角形应用举例形第一阶段.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理适用条件缺乏清晰的概念.因此，本节课遵循学生由具体到抽象，由感性到理性的认知规律，从学生已有的经验出发，设计一系列有意义的数学活动，让学生去探索、去实验、去发现，进一步认识正弦定理和余弦定理，体验三角形在生活中的作用.。

1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力.（二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，常常需要建构多个三角形，用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要通过对工具的使用熟悉仰角、俯角的意义，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.在研究中学生无法构建数学模型，或者是没有从所给的背景资料中正确的提取出数学信息也将成为本节课学习的障碍，在完成测量任务的过程中依靠实际生活背景，指导学生应用简单的测量工具，帮助学生理解数学概念，借助课本例题引导学生应用于实际问题.坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．教学难点：从不同设计方案中概括数学建模的一般方法.四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识. 五、教学过程：（一）课前准备，体验数学建模过程：课本例题3的学习引发学生的探究热情，教师从学生的兴趣出发布置测量任务，即让学生利用自制测角仪和卷尺等工具测量天津市地标建筑——天塔的高度，天塔周围被水环绕，属于典型的底部不可到达的建筑物.采用分组合作的方式，将学生分为三组，分别设计方案，进行实地测量，并完成实验报告.教师在测量过程中指导学生使用工具，并纠正操作中的错误，引导学生对遇到的实际问题进行思考，主动寻找解决方案，帮助学生完善实验报告（见附件）.【设计意图】1.亲自实践体验测量的过程，思考如何设计测量方法，在探索中体会数学抽象和数学建模；2.动手操作工具，直观感知，增强对数学概念的理解，如仰角、基线、张角；3.小组合作完成任务，提高学生的合作意识和合作能力，在完成任务的过程中依据学生的能力分配任务，使学生更乐于参与数学研究学习，有利于激发学生的学习兴趣；4.选择学生熟悉的生活场景展开问题，课堂中使用的很多数据都来源于学生的亲自采集，使数学学习更贴近生活.（二）情境引入，感受生活中的数学：【创设情境】播放视频介绍测量目标“天塔”的基本情况，明确建筑物的显著特征——底部不可到达，其次介绍测量前期的准备工作，包括使用的基本工具，任务完成时间和实验报告表格.【设计意图】从学生熟悉的生活背景引入，激发学生的探究兴趣，体会数学学习的应用价值.（三）学生任务展示：【学生活动】三个小组分别选择一种方案进行交流，介绍方案设计、测量的过程、计算的结果和对结果的反思，展示实验报告（见附件）和设计图.【学生活动】第一组方案介绍.设计思路源自课本例题，即在地面选择与塔底在一条基线上的两点M 、E ，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，用卷尺测量EM ＝a该设计方案提供两种解法，解法一，解两个直角三角形.BM AB =αtan ，BE AB =βtan ，a AB AB BM BE =-=-αβtan tan ，代入数值可得出天塔AB 的高度.解法二，解直角三角形和斜三角形.∠MAE ＝α－β，由正弦定理可得ββαsin )sin(AM ME =-，解得ββαsin )sin(⋅-=aAM ，αsin ⋅=AM AB ，代入数据可得出天塔AB 的高度.同理由正弦定理计算AE 也可以计算出结果.进行误差分析：1.无法精准定位E 、M 点与塔底在一条基线上；2.卷尺量程过短，需要分段测量.【教师活动】概括测量过程，引导学生体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”这样的建模过程.【学生活动】第二组方案介绍.选择地面两个点M 、E ，但与塔底B 不在一条基线上，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，测量EM ＝a ，但需增加测量点M 、E 与塔底的张角∠MBE ，学生提供测张角的APP 软件可以实现测量，设∠MBE ＝θ. 计算，βtan AB EB =，αtan AB MB =，由余弦定理可得 θcos 2222BM EB MB EB EM ⋅-+=，代入数值可解出塔的高度AB .误差分析：1.地势高低不平；2.无法精准定位塔底B 点，张角的测量会产生误差.【教师活动】总结测量过程，引导学生再次体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”的建模过程.【学生活动】第三组方案介绍.选择一处较低的建筑物，用测角仪从上方M 点处和下方E 点处分别测量到塔顶的仰角，设M 处仰角为β，E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a.计算 ∠AME ＝90°＋β，∠EAM ＝α－β，由正弦定理可得AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即)90sin()sin(ββα+=- AE a ， 解得 )90sin()sin(ββα+⋅-=a AE ，αsin ⋅=AE AB ，代入数值可解出塔的高度AB .分析误差：塔高不能用卷尺一次性测量，需分层测量再相加.【教师活动】对每组讲解中出现的问题随时纠正，在一旁协助学生完成交流活动，结合测量过程引导学生进一步体会数学建模的思想，逐步形成数学建模的一般过程.【设计意图】1. 通过让学生讲述操作过程，增强学生对知识的理解；2. 提高学生的数学表达能力；3. 通过小组合作和交流，促进学生的数学学习.（四）讨论交流：【教师活动】结合三个方案引导学生归纳1.如何选点建构三角形；2.应用哪些知识解三角形；3.造成误差的原因和减小误差的方式.【学生活动】归纳1.选择塔顶与地面两个可到达点建构三角形；归纳2.解直角三角形和应用正弦定理、余弦定理解斜三角形；归纳3.减小误差方法有使用精准的仪器、多次测量取平均值等.【设计意图】反思方案，体会建模思想，提升建模方法.【教师活动】布置讨论任务1.听完三组的方案，谈谈自己的想法；2.总结数学建模的过程.【学生活动】充分讨论后发言1.小组互评：各小组成员自由发言，对其他组的方案进行评价；2.学生现场产生更多的方案，预设如图在第三组方案的基础上，用测角仪从M点处分别测量到塔顶的仰角β和到塔底的俯角α，测量EM＝a，应用解三角形的知识可解出塔的高度AB.3.结合测量过程学生总结数学建模过程：（五）多元评价，实现自我提升：1.小组自评：经历整个测量任务和现场的展示之后，由各组组长对本组的表现进行自我评价；2.教师评价：结合整个建模活动，从小组合作、方案设计、参与程度、数据分析等方面进行总结和点评.【设计意图】采用多元评价方式，通过自我评价引导学生反思和总结；通过小组互评引导学生善于发现别人的优秀之处，进一步完善自我；教师的点评更要充分肯定每一位积极参与的同学，从方案的创新性、合理性和有效性进行评价，关注数据的真实和整理过程的认真、细心，同时也要提出改进和完善的方法，帮助学生进一步提升.（六）课后作业：整理实验报告，总结经验与不足.附件测量天塔高度实验报告E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a. ＋β，∠EAM ＝α－β， AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即sin(βα-a。

课题: §2.2解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。