北京市第八十中2020届数学考前练习试卷及答案解析

北京市第八十中学2019-2020年九年级下学期数学模拟测试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如图，四边形ABCD内接于O，若80ADC︒∠=，则ABC∠的度数是（）A. 40°B. 80°C. 100°D. 120°2.在平面直角坐标系中，将抛物线2y x向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）A.22()1y x=-+B. 2(2)1y x=--C. 2(2)1y x=+-D. 2(2)1y x=++3.圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（）A. 5π B. 10π C. 20π D. 25π4.如图，在ABC∆中，以C为中心，将ABC∆顺时针旋转35°得到DEC∆，边ED，AC相交于点F，若30A︒∠=，则EFC∠的度数为（）A. 60° B. 65° C. 72.5° D. 115°5.如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于E，若30ABC︒∠=，3OE=，则OD长为（）A. 36 C. 23 D. 26.下列关于抛物线22y x bx =+-的说法正确的是（ ）A. 抛物线的开口方向向下B. 抛物线与y 轴交点的坐标为(0,2)C. 当0b >时，抛物线的对称轴在y 轴右侧D. 对于任意的实数b ，抛物线与x 轴总有两个公共点 7.A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数2=(2)y x k --+的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 8.如图，5AB =，O 是AB的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM AB ⊥于点M ．设AP x =，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.函数2(03)y ax bx c x =++的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．10.如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加一个条件使得ADE ACB ∆∆∽，添加的一个条件是_________．11.如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （-2， 4），B （-4，0），O （0，0），以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为12，则点A 的对应点坐标为____________________ ．12.如图，A ，B 两点的坐标分别为(3,0)A ，(0,3)B ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转得到线段BC ．若点C 恰好落在x 轴的负半轴上，则旋转角为______°．13.在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示。

2020年北京第八十中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （2009福建卷理）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。

经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15参考答案：B解析由随机数可估算出每次投篮命中的概率则三次投篮命中两次为0.25故选B2. 某程序框图如右图所示，若输出的S= 57，则判断框内填A．k>4 B．k>5 C．k>6 D．k>7参考答案：A3. 已知定义域为R的奇函数f(x)满足，且当时，，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.【详解】由满足，所以函数的周期，又因为函数为奇函数，且当时，，所以.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.4. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（）A. B. C. D. 12π参考答案：C【分析】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得。

【详解】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球是以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为，半径为，所以三棱锥的外接球体积为，故选C。

高三期初考试数学试卷2020.2一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. 设全集U R =，集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，则集合()U C A B ⋃=（ ） A. (],2-∞ B. (],1-∞ C. ()2,+∞ D. [)2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：∵集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，∴(,2]A B ⋃=-∞，∴ ()(2,)U C A B ⋃=+∞. 考点：集合的并集补集运算. 2. 若312z i=+（i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则，先将312z i=+化为z a bi =+形式，再按照复数的几何意义，即可求解. 【详解】()()()31233636121212555i i z i i i i --====-++- ∴复数z 对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题. 3. 点(2,0)-关于直线10x y -+=对称点的坐标为（ ）A (2,0)B. (0,2)C. (1,1)D. (1,1)--【答案】D 【解析】 【分析】点(2,0)-关于直线10x y -+=对称的点设为(,)m n ，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-,解方程即可得到所求对称点坐标..【详解】设点(2,0)-关于直线10x y -+=对称的点坐标为(,)m n ，可得01221022n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩11m n =-⎧⇒⎨=-⎩故选：D【点睛】本题考查点关于直线的对称点问题，考查中点坐标公式和两直线垂直的条件,考查运算能力,属于基础题.4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A. 27B. 30C. 32D. 36【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD 是边长为3的正方形，DA ⊥平面PAB AP ⊥，平面4ABCD AP CD =∴⊥，，平面5PAD PB PD ==，，∴11115662222ADP ABPCDPSAD AP S AB AP S CD PD =⋅==⋅==⋅=，，，11522CBPSBC BP =⋅=．∴四棱锥的侧面积1515662722S =+++=．考点：由三视图求面积、体积．5. 已知向量a 与b 的夹角为30°，且||3a =，||2b =，则||a b -等于（ ）A. 1B.C. 13D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模与其数量积的关系，结合已知由22||2a b a b a b -=+-⋅，即可求解.【详解】由题意：22||2a b a b a b -=+-⋅=1= 故选：A【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积的知识，考查求解运算能力，属于基础题. 6. 设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ） A. a b c >> B. b a c >> C. a c b >> D. b c a >>【答案】C 【解析】 试题分析：0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C ．考点：（1）指数函数；（2）对数函数；（3）比较大小．7. “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.【详解】若方程221108x y m m -=--表示双曲线，则(10)(8)08m m m -->⇒<或10m >，所以“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.8. 《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D 【解析】 【分析】由三角形OAD ，利用勾股定理可得半径，进而得AOD ∠，再利用OAB ACB OACB S S S ∆=-弓形扇形，乘以高即可得体积.【详解】连接,,OA OB OD ，设⊙O 的半径为R ，则()22215R R -+=，所以13R =. 由于5sin 13AD AOD R ∠==， 所以22.5AOD ∠=︒，即45AOB ∠=︒. 所以OAB ACBOACB S S S ∆=-弓形扇形 2451311012 6.333602π⨯=-⨯⨯≈平方寸． ，该木材镶嵌在墙中的体积为100633ACB V S =⨯≈弓形立方寸， 故选D，【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题9. 已知函数220()20x x f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩则不等式(())3f f x ≤的解集为（ ）A. (,1]-∞B. (-∞C. (-∞D. (,2]-∞【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数和分段函数分类讨论，可化不等式为几个不等式组，解不等式组及可求解. 【详解】220()20x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩①当0x >时，2()0f x x =-<，22242(())()2()2f f x x x x x ∴=-+-=-，∴不等式42(())3023x f f x x x x >⎧≤⇔⇒<≤⎨-≤⎩②当0x =时，()0f x =，(())0f f x ∴=，∴不等式(())3030f f x x ≤⇔≤⇒= ③当20x -<<时，2(0)2f x x x =+<，222(())(2)2(2)f f x x x x x ∴=+++，∴不等式22220(())320(2)2(2)3x f f x x x x x x -<<⎧≤⇔⇒-<<⎨+++≤⎩④当2x -≤时，2(0)2f x x x =+≥，22(())(2)f f x x x ∴=-+，∴不等式222(())32(2)3x f f x x x x ≤-⎧≤⇔⇒≤-⎨-+≤⎩综上，不等式(())3f f x ≤的解集为(-∞. 故选：C【点睛】本题考查分段函数和复合函数不等式，分类讨论是解决问题的关键，属中档题. 10. 已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足. ①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A ⋃⋃3A M =集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为（ ） A. 37 B. 39C. 48D. 57【答案】A 【解析】分析：求出集合M={x，N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A 1，A 2，A 3，排除选项B 、C 、D ，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x，N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A 1={1，4，5，6，7}，A 2={3，12，13，14，15}，A 3={2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3=8+18+13=39，故排除B 选项；当A 1={1，4，5，6，15}，A 2={2，7，8，9，14}，A 3={3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+16+16=48，故排除C 选项；当A 1={1，2，3，4，15}，A 2={5，6，7，8，14}，A 3={9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+19+22=57，故排除D 选项． ，X 1+X 2+X 3值不可能为37．故选A，点睛：本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集、排除法等基础知识，考查学生的知识迁移能力和运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上11. 若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则3a =__________(用数字作答)．【答案】-80 【解析】分析：由题意可得，3a 是展开式的第四项的系数，即为3x 的系数，由此求得结果. 解析，()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则()3335280a C =⋅-=-.故答案为，-80.点睛，解题时注意二项式系数中n 和r 的隐含条件．使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ，1项，而不是第r 项，②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒． 12. 若数列{}n a 满足：()*1111,2n n a a a n N +==∈，则n S =___________. 【答案】21n - 【解析】 【分析】 由112n n a a +=得{}n a 是一个等比数列，结合已知及等比的前n 项和公式，即可求解. 【详解】1*12,12n n n na a a a n N ++⇒=∈=， {}n a ∴是一个公比为2q，首项11a =的等比数列.1(1)1(12)21112n n n n a q S q -⨯-==-∴=--【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前n 项和，属于基础题. 13. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2,0)F ，则p =________，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则EF =_____. 【答案】4； 52【解析】试题分析：由抛物线焦点为,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭可得22p =，所以4p =．所以抛物线方程为28y x =，分析可知点()3,2A 在抛物线的内部，由点()3,2A 向抛物线的准线2x =-作垂线，此垂线方程为2y =，将2y =代入抛物线方程28y x =可得12x =，即1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52EF ==．考点：抛物线的方程．14. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】； 【解析】f(x)＝sin x －2cos x sin55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭－φ)，其中sin φ，cos φ，当x －φ＝2kπ＋2π (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sin φ.15. 数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题： ，若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ，存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；，若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；，存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④． 【解析】试题分析：对①；因为21a a >，所以210a a ->，由已知11n n n n a a a a +-->-， 所以11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->，即1n n a a ->，正确对②； 假设存在在常数c ，使得n a c >，则有12n n n a a c a ++<<，所以11n n a a -++应有最大值，错， 对③，因为p q m n +>+，22p q m n ++>，所以假设p q m n a a a a +>+，则应有22p qm n a a ++>，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设11a =，1n n n a a +-=，则(1)12n n n a -=+，若存在常数d ，使得1(1)n a a n d >+-，应有112n a a nd n -<=-，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．考点：数列综合应用．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （1）求角C 的大小； （2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．【答案】（1）4C π；（2）最大值为2，此时5,.312A B ππ==【解析】 【分析】【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==17. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.学科网设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【答案】（1）1331(200),(10),(20),(100)8888P P P P ξξξξ=-=======；（2）511512p =； （3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少. 【解析】试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用()(1)k k n kn n P k C p p -=-即可求得X 的分布列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为018p =.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3） 试题解答：（1）1331(200),(10),(20),(100)P X P X P X P X =-=======.所以X 的分布列为（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为08p =，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为315111()8512p =-=.（3）由（1）得：133110(200)102010088888E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=-，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.18. 如图，在菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =，AM =.⊥；（1）求证：AC BNAN平面MEC；（2）求证：//--的大小.（3）求二面角M EC D【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）60°【解析】【分析】⊥；(1)连接BD，再证明AC⊥平面NDB，利用线面垂直的性质，即可证得AC BN∆的中(2)设CM与BN交于F，连结EF，由已知可得四边形BCNM是平行四边形，则可证EF是ABN位线，由线面平行的判定定理，即可证得；(3)由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE AB⊥，故可以D为原点建立空间直角坐标系，由几何关系，可写出相应点的坐标，用向量法即可求解.⊥.【详解】解：（1）连结BD，则AC BD由已知DN⊥平面ABCD，⋂=，因为DN DB D所以AC⊥平面NDB.又因为BN⊂平面NDB，⊥.所以AC BN（2）设CM 与BN 交于F ，连结EF ，由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点.因为E 是AB 的中点，所以//AN EF .又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以//AN 平面MEC .（3）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥.所以由几何关系可建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，E ，(0,2,0)C，1,7M ⎫-⎪⎪⎭.所以(3, 2.0),0,1,7CE EM ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面MEC 的法向量为(,,)n x y z =.则0,0.CE n EM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以320,370.7x y yz -=⎪⎨-=⎪⎩令2x=，则z y ==所以2,3,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 又因平面ADE 的法向量(0,0,1)m =， 所以1cos ,214m nm n m n ⋅===⨯. 所以由上及图可知二面角M EC D --的大小是60°.【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力.19. 已知函数()()2ln ,f x x ax b x a b =++∈R ， (1)若1b =,求函数的单调区间;(2)若()1,0b f x =-≥对0x >恒成立,求a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)[)1,a ∞∈-+ 【解析】 试题分析：(1)求导()221x ax f x x++'=,考虑22210,8x ax a ++=∆=-.分类讨论()f x '的符号,即可得函数的单调性;(2)()221(0)x ax f x x x+-=>',令()22l(0)g x x ax x =+->, 由()00g <,可知()g x 在()0,∞+有且仅有一个零点,设为0x ,利用()22l(0)g x x ax x =+->讨论函数()f x 的单调性并求出最小值,即可得出结论.试题解析：(1)函数的定义域为()0,∞+. 若1b =,则()()2221ln ,x ax f x x ax x f x x '++=++=, 考虑22210,8x ax a ++=∆=-.当a -≤≤,280a ∆=-≤,即2210x ax ++≥,故()0f x '≥恒成立,此时()f x 在()0,∞+单调递增.当a >,280a ∆=-> ,即方程2210x ax ++=有2个根12,x x , 由根与系数之间的关系可得121210,022a x x x x +=-⋅=, 即120,0x x <<,故()0,∞+时()2210x ax f x x++'=>, 此时()f x 在()0,∞+单调递增.当a <-时,280a ∆=-> ,即方程2210x ax ++=有2个根1244a a x x ---+==, 由根与系数之间的关系可得121210,022a x x x x +=->⋅=>, 即210x x >>,当0x <<或x >,()()0,f x f x '>单调递增,当44a a x ---+<<时,()()0,f x f x '<单调递减. 此时()f x 在()0,∞+单调递增.综上a ≥-,()f x 的单调增区间为()0,∞+.当a <-时,()f x的单调增区间为,∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()f x的单调减区间为,44a a ⎛-- ⎪⎝⎭. (2) 若1b =-,则()()2221ln ,(0)x ax f x x ax x f x x x+-=+->'=, 则令()22l(0)g x x ax x =+->, 由()00g <,可知()g x 在()0,∞+有且仅有一个零点,设为0x , 当()00,x x ∈时,()0g x <,即()0f x '<,故()f x 在()00,x 单调递减,,当()0,x x ∞∈+时,()0g x >,即()0f x '>,故()f x 在()0,x ∞+单调递增,所以()()20000min ln ,f x f x x ax x ==+- 又()20002l 0g x x ax =+-=即()200min 1ln ,f x x x =-- 依题意2001ln 0x x --≥,即200ln 10x x +-≤,易知()2ln 1h x x x =+-在()0,∞+单调递增, 且()10h =,故001x <≤, 又2002l 0x ax +-=,即0012a x x =-, 易知0012a x x =-在()0,1上单调递减,所以[)1,a ∞∈-+. 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率2e =， （1）求椭圆C 方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点,A B ，与圆2223x y +=相切于点M ， ①证明：OA OB ⊥（其中O 为坐标原点）； ②设||||AM BM λ=，求实数λ的取值范围.. 【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析②1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)由题意可列出三个关于,,a b c的方程：22222,2c b a b c a ===+，解方程后即可得椭圆方程； (2)①根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k 与m 的等量关系，要证明OA OB ⊥，只需证明0OA OB ⋅=即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于,k m 的代数式，再利用前面k 与m 的等量关系即可达到目的；②直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点,A B ，将代入椭圆的方程得222212121,122x x y y +=+=，再由圆的垂径定理可得||||AM BM λ====，结合12120x x y y +=得到21234x λ+==，由1x 的范围可求得实数λ的取值范围. 【详解】解（1）∵22b =∴1b =又2222c e a b c a ===+ ∴22a =∴椭圆C 方程为2212x y += ①∵直线:l y kx m =+与2223x y +=相切 ∴d ==()22213m k =+ 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222124220k x kmx m +++-= 设()()1122,,,A x y B x y 则2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++ ∵()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()2222222411212m km k km m k k -⎛⎫=++-+ ⎪++⎝⎭ ()222222212232201212k k m k k k+----===++ ∴OA OB ⊥.的②∵直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点,A B ， ∴222212121,122x x y y +=+=∴||||AM BM λ==== 由(2)①知12120x x y y += ∴2222221212121122x x x x y y ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即2212214223x x x -=+∴21234x λ+== 又2102x ≤≤∴λ的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查直线与椭圆、圆的综合应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 21. 各项均为非负整数的数列{a n }同时满足下列条件：①a 1=m (m ∈N *)；②a n ⩽n -1(n ≥2)；③n 是a 1+a 2+‥+a n 的因数（n ≥1）．（Ⅰ）当m =5时，写出数列{a n }的前五项；（Ⅱ）若数列{a n }的前三项互不相等，且n ≥3时，a n 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n ≥M 时，a n 为常数．【答案】（Ⅰ）123455,1,0,2,2a a a a a =====；（Ⅱ）2,3,4；（Ⅲ）证明见详解.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，即可由题意求得结果；（Ⅱ）对23,a a 的取值进行分类讨论，即可容易求得结果； （Ⅲ）根据已知条件，结合题意，利用,n n a S 之间的关系，即可进行证明.【详解】（Ⅰ）当5m =时，15a =，21a ≤，且2是25a +的因数，故可得21a =； 32a ≤，且3是36a +的因数，故可得30a =； 43a ≤，且4是46a +的因数，故可得42a =； 53a ≤，且5是58a +的因数，故可得52a =； 综上可得：123455,1,0,2,2a a a a a =====. （Ⅱ）（1）当20a =时，若31a =，则3451a a a ====， 且对3n ≥，()0221m n m n n++--=+都为整数，故2m =； 若32a =，则342a a ===， 且对3n ≥，()02242m n m n n++--=+都为整数，故4m =； （2）当21a =时，若30a =，则3450a a a ====， 且对3n ≥，()10?21m n m n n++⨯-+=都为整数，故1m =-，不符合题意； 若32a =，则3452a a a ====， 且对3n ≥，()12?232m n m n n++⨯--=+都为整数，故3m =； 综上所述：m 的值为2,3,4.（Ⅲ）证明：对于2n ≥，令12n n S a a a =++⋯+则1111n n n n n n S S S a S n S n n n n n+++++<==+1+ 又对每一个n S n n，都是正整数， 故11,11n n S S S m n n +∴⋯=+其中“”<至多出现1m -个. 故存在正整数M m >，当n M >时，必有 11n n S S n n+=+ 当11n n S S n n+=+时，则 11(1)n n n n n n n S S a S S S n n +++=-=-= 故22122n n n n S a a S n n +++++=++ 11(1)n n n n n n n S S a S S S n n +++=-=-= 则22122n n n n S a a S n n +++++=++ 21(1)2n n a n a n ++++=+ 2112n n n a a a n +++-=++ 有题设可知211122n n a a n n n ++-+<++， 又22n S n ++以及1n a +均为整数， 21121n n n n S S S a n n n +++∴===++ 1212n n n S S S n n n ++===⋯++都为常数. 故可得11(1)n n n n n n n S S a S S S n n+++=-=-=为常数. 故对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n ≥M 时，a n 为常数．【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及前n 项和n S 与n a 之间的关系，属压轴题.。

北京市第八十中学居家学习测试数学试题（考试时间：120分，总分100）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图所示，在△ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是 （A ） （B ） （C ） （D ）2．下列各式计算正确的是（A ） 235x x x ⋅= （B ）22434x x x += （C ）824x x x ÷= （D ）2242(3)6x y x y =（C ） （D ）5．如图，在Y ABCD 中，AC =8，BD=6 ，AD=5，则Y ABCD 的面积为（A ）6（B ）12（C ）24（D ）486．如图，AB 是⊙O 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若AE =EB =3，∠C =15°，则OE 的长为（A （B ）4 （C ） 6（D ）HC BA ABC HHCBAO DCBA7.如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离约为A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米 D ． 1000sin α米 8. 如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→C→D 以1cm/s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为x(s),△PAB 的面积为y(cm 2).表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为图1 图2AB ．52C ． 2D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式21x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 10．因式分解：3269a a a -+= ．11．圆心角为80º，半径为3的扇形的面积为 ．12. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，则∠BAC+∠ACD=________°．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y 1=－x+a 与直线y 2=bx －4相交于点P （1,－3），则关于x 的不等式－x+a ＜bx －4的解集是 .14．如图，正方形ABCD ，E 是边AD 上一点，AE =13AD =1，CF ⊥BE 于F ，则BF 的长为 ． 15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m. 16．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期； 注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票.某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买F EDCBA优惠票的有 人．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB ．求作：∠APC ，使得∠APC =2∠AOB ． 作法：如图，①在射线OB 上任取一点C ； ②作线段OC 的垂直平分线， 交OA 于点P ，交OB 于点D ； ③连接PC ；所以∠APC 即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵DP 是线段OC 的垂直平分线，∴OP = （ ）．∴∠O=∠PCO ．∵∠APC=∠O +∠PCO （ ）． ∴∠APC =2∠AOB ．18()2602-︒-+19．已知2210y xy --=，求代数式22(2)()()3x y x y x y y ---+-的值．20.解不等式215+1132x x --≥，并把解集在数轴上表示出来.21．已知关于x 的一元二次方程()22310m x x -+-=有两个不相等的实数根．ABO（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m ，并求出此方程的根．22．如图，AB 平分∠CAD ，∠ACB +∠ADB =180º， （1）求证：BC =BD ； （2）若BD =10，cos ∠ADB =25，求AD -AC 的值.23．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，点O 在边AC 上，⊙O 与边AC 相交于点D 、与 边AB 相切于点E ，过点D 作DP ∥BC 交AB 于点P ． （1）求证：PD=PE ；（2）连接CP ，若点E 是AP 的中点，OD : DC =2:1，CP =13，求⊙O 的半径．24．在平面直角坐标系xOy 中，A （-3，2），B （0，1），将线段AB 沿x 轴的正方向平移n （n >0）个单位，得到线段A B ''，且点A B ''，恰好都落在反比例函数()0my m x=≠的图象上.（1）用含n 的代数式表示点A B ''，的坐标； （2）求n 的值和反比例函数()0my m x=≠的表达式； BA（3）点C 为反比例函数()0my m x=≠图象上的一个动点，直线CA '与x 轴交于点 D ，若2CD A D '=,请直接写出点C 的坐标.25．如图，P 是矩形ABCD 内部的一定点，M 是AB 边上一动点，连接MP 并延长与矩形ABCD 的一边交于点N ，连接AN ．已知6AB =cm ，设A ，M 两点间的距离为 x cm ，M ，N 两点间的距离为1y cm ，A ，N 两点间的距离为2y cm ．小欣根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组x /cm0 1 2 3 4 5 6 1y /cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 2y /cm6.306.346.436.695.754.813.98（2xOy ()1,x y y2yPND C B 234567y/cm（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN 为等腰三角形时，AM 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m =-+-．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子去表示）；（2）若点（m -2, y 1），（m , y 2），（m +3,y 3）都在抛物线2221y x mx m =-+-上，则y 1， y 2 ，y 3的大小关系为 ； （3）直线y x b =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点,在抛物线对称轴右侧的 点记为P ，当△OAP 为钝角三角形时,求m 的取值范围.27．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G .（1）求证：AF =BE ；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h=PQ ，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”. （1）已知点A (4,0)，C①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三 角形的腰长；②若Rt △ABC 是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线 25y x =-上，则点B 的坐标为_________________________________；（2）⊙ T 的圆心为点T )0,2(，半径为2，点M 的坐标为)6,2(，N 为直线4+=x y 上一点，若存在Rt △MND ，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与⊙ T 有公共 点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．。

北京市第八十中学2019~2020学年度第二学期期中练习高二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法. A. 120 B. 16 C. 64 D. 39【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，即可得出结论． 【详解】解：由于书架上有35816++=本书， 则从中任取一本书，共有16种不同的取法． 故选：B ．【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题． 2.曲线e 21x y x x =+-在点()0,1-处的切线方程为（ ） A. 31y x =- B. 31y x =-- C. 31y x =+ D. 31y x =-+【答案】A 【解析】由21x y xe x =+-，得2x xy e xe =++'.所以0|23x xx y e xe =++'==，所以切线斜率为3又0x =时，1y =-， 所以在点()0,1-切线方程为13y x +=，即31y x =-.故选A. 3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为（ ）A.23 B.25C. 35D.910【答案】D 【解析】试题分析：甲乙都未被录用的概率为3335110C C =,所以甲或乙被录用的概率为1911010-= 考点：古典概型概率4.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）A. 2465A A ⨯种 B. 246A 5⨯种 C. 2465C A ⨯种D. 246C 5⨯种【答案】D 【解析】先确定选择日月湖景区两名同学，有26C 种选法；其他4名学生游览我市不包括日月湖在内的5个景区，共有45种选法，故方案有2465C ⨯种，选D.5.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. 38B. 27C.28D.37【答案】B 【解析】 【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率． 【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球， 所以第二次取到红球的概率是：27P =． 故选：B ．【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题． 6.某物体做自由落体运动的位移s(t)=12gt 2, g=9.8 m/s 2,若Δ0(1)(1)lim t s t s t→+∆-∆=9.8 m/s,则9.8 m/s 是该物体A. 从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B. 从1 s 到(1+Δt)s 这段时间的平均速度C. 在t=1 s 这一时刻的瞬时速度D. 在t=Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】C 【解析】根据如果当0x →V 时，yxV V 有极限，我们就说函数()y f x =在点0x 处可导，这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）可知()()Δ011limt s t s t→+∆-∆表示在1t s=这一时刻的瞬时速度，故选C.7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为 ( )． A. 0.9 B. 0.8C. 1.2D. 1.1【答案】A 【解析】依题意得，得分之和X 的可能取值分别是0、1、2，且P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴得分之和X 的分布列为∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 8.函数()3121f x x x =++的导数是（ ）A.()23121xx ++ B.()2233221x xx --++ C.()2233221x xx +++ D.()223321x x x -++【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数求导公式和导数运算法则直接求导即可. 【详解】解：()3121f x x x =++Q ，则3210x x ++≠， ()()()()()332223312121322121x x x x x f x xx xx ''⋅++-++--'∴==++++.故选：B.【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，属于基础题．9.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 A. 6种B. 8种C. 10种D. 12种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，②，该同学参观两个画展，求出每种情况的参加方案的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有122C = 种选法，可以在“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”中任选1个，有122C = 种选法，将选出2的2个展览安排在五一的上、下午，有22A 种情况， 则只参观一共画展的方案有2228⨯⨯= 种，②，该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有22A 种情况， 即参观两个画展有2种方案，则不同的参观方案共有8210+= 个； 故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．10.某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m /h v .那么瞬时融化速度等于()3m /h v 的时刻是图中的（ ）.A. 1tB. 2tC. 3tD. 4t【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】解：平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致， 故选：C ．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中橫线上）11.已知曲线()212f x x x =+的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数()13f x x '=+=，解得x 的值，即为得出结果． 【详解】解：由于()212f x x x =+，则()1f x x '=+， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线21()2f x x x =+的一条切线斜率是3， 令导数()13f x x '=+=，可得2x =， 所以切点的横坐标为2. 故答案为：2．【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题．12.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 【答案】60 【解析】 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60．【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．13.已知抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，且在点()2,1-处与直线3y x =-相切，则a =__________，b =____________，c =_________________.【答案】 (1). 3 (2). -11 (3). 9 【解析】 【分析】先求函数2y ax bx c =++的导函数'()f x ，再由题意知，函数过点(1,1)，(2,1)-，且在点(2,1)-处的切线的斜率为1，即()'21f =，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可.【详解】解：由于抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，则()11f =，1a b c ∴++=， 又'()2f x ax b =+Q ，因为2y ax bx c =++点()2,1-处与直线3y x =-相切，即切线的斜率为1，即()21f '=， 41a b ∴+=．又因为切点为(2,1)-，421a b c ∴++=-．把①②③联立得方程组14142 1.a b c a b a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩，解得：3119a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即3a =，11b =-，9c =． 故答案为：3，-11，9.【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力. 14.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为_____________，___________. 【答案】 (1). 20 (2). 2003【解析】 【分析】记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则~(3B η，23)，10ξη=，根据()10()E E ξη=和()100()D D ξη=求出结果．【详解】解：根据题意，记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则~(3B η，23)，10ξη=， 2()10()103203EE ξη∴==⨯⨯=， 21200()100()1003333D D ξη==⨯⨯⨯=．故答案为：20，2003. 【点睛】本题考查独立重复实验的实际应用，以及二项分布的期望与方差，考查计算能力．15.已知2⎛⎝nx 展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含3x 项的系数是____. 【答案】-560 【解析】2⎛⎝nx 展开式的二项式系数之和为128，2128n ∴=，解得7n =； ∴72x ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()477731772(12rr r r r r rr T C x C x ---+=⋅⋅=-⋅⋅⋅，令4733r -=，解得3r =；∴展开式中含3x 项的系数是()343712560.C -⋅⋅=-点睛：二项式定理揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r ＋1＝rn C a n －r b r 是展开式的第r ＋1项，不是第r 项．16.5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法有______种. 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析，1、先把5位大学毕业生分配到3组，2、将分好的3组全排列，对应3家单位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可． 【详解】根据题意，分2步进行先把5位大学毕业生分配到3组，若分成221-- 的三组，有2215312215C C C A =种， 若分成311--的三组，有3115212210C C C A =种，即一共有25种分法， 将分好的3组全排列，对应3家单位，有336A =种情况，则不同的分配方法有256150⨯=种【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于简单题． 17.函数()1ln(12)2xf x x x-=+-的导函数是()f x '，则()f x '=______________. 【答案】23242142x x x x -+--+ 【解析】 【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值． 详解】解：因为()1ln(12)2xf x x x-=+-， 由于20x ≠且120x ->，解得：12x <且0x ≠，即()f x 的定义域为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， ()()11()ln 12()ln 1222x x f x x x x x '--⎡⎤''∴=+-='+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦2223222(1)14214122122242x x x x x x x x x x -----+-=-+=+=-+---，即：()23242142x x f x x x -+-'=-+. 故答案为：23242142x x x x -+--+．【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力． 18.口袋中有个()*n n N∈白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ，若()7230P X ==，则n 的值为______ . 【答案】7 【解析】 【分析】首先确定第一次取出红球，第二次取出白球的取法种数；再确定取2次的所有取球方法数；根据古典概型概率公式可构造出关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】2X =说明第一次取出的是红球，第二次取出的白球，取球方法数为113n A A ⋅ 取2次的所有取球方法数23n A +利用()()()113233723230n n A A n P X A n n +⋅∴====++，即()()7670n n --= *n N ∈Q 7n ∴=本题正确结果：7【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用问题，关键是能够确定符合题意的取法种数，属于基础题.19.某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.【答案】42 【解析】 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42．【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．三、解答题：本大题有4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起； （4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600. 【解析】 【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解．【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题，男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法，由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法；（5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法，所以共有16563600A A =种方法．【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．21.随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）0.65；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】试题分析：(1)先根据频率等于对应区间小长方形面积得“爱好”中华诗词的频率，再根据频数等于总数乘以频数，最后根据古典概率公式求概率(2)先确定“痴迷”的学生人数，确定随机变量取法，再分别根据组合数求对应概率，列表可得对应分布列，最后根据数学期望公式求期望（3）根据频率分布直方图可得甲平均值在区间[20,30],乙平均值在区间[30,40],甲数据比乙数据分散，所以可得均值与方差大小试题解析：(Ⅰ) 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为()0.0300.0200.015100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. (Ⅱ) 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人， 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0,1,2ξ=.所以，()0P ξ== 0226281528C C C =，()1P ξ== 112628123287C C C ==， ()2P ξ== 202628128C C C =. 所以ξ的分布列为0 1 2 Pξ的数学期望为 ()15311012287282E ξ=⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) X <甲 X 乙;2S >甲 2S 乙22.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【答案】（1）1331(200),(10),(20),(100)8888P P P P ξξξξ=-=======；（2）511512p =； （3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少. 【解析】试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用()(1)k k n kn n P k C p p -=-即可求得X 的分布列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为018p =.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3）试题解答：（1）1331(200),(10),(20),(100)8888P X P X P X P X =-=======.所以X 的分布列为 X -20010 20 10018 383818（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为018p =，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为315111()8512p =-=. （3）由（1）得：133110(200)102010088888E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=-，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.23.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2]∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. 解析：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2，＋∞)。

2019-2020学年北京八十中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（2分）（2018•相山区四模）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转100︒，得到ADE ∆．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为()A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（2分）（2019•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过()A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．（2分）（2008•资阳）已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++5．（2分）（2015秋•石景山区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列关系式中正确的是()A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac ->D ．0a b c -+<6．（2分）（2019•蓝田县一模）如图，点A 、B 、C 、D 在O 上， CBCD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则(ADB ∠=)A ．30︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒7．（2分）（2017秋•怀柔区期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1)，测量出4AB =分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2)；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3)；④计算出橡胶棒CD 的长度．小明计算橡胶棒CD 的长度为()A ．22B ．23分米C ．32分米D ．33分米8．（2分）（2017•封开县二模）如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每空2分）9．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为．10．（2分）（2015秋•房山区期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)A ，(2,3)B 两点．请你写出一组满足条件的a ，b 的对应值．a =，b =．11．（2分）（2019•合肥二模）如图，AB 是O 的直径，点C 是半圆AB 上一点，过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D ，若25A ∠=︒，则D ∠的度数是．12．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，当x时，y 随x 的增大而减小．13．（2分）已知ABC ∆内接于O ，若100BOC ∠=︒，则BAC ∠=︒．14．（2分）（2016秋•顺义区校级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为．15．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知一次函数1(0)y kx m k =+≠和二次函数22(0)y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：x ⋯1-0245⋯1y ⋯01356⋯2y ⋯01-059⋯当21y y >时，自变量x 的取值范围是．16．（2分）（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC 中，D 是边BC 上一点，过点C 作AD 的垂线段，垂足为点E ，连接BE ，若2AB =，则BE 的最小值是．三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27题7分，第28题8分）17．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△11AB C （2）求点B 的移动路径长．18．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）ABC ∆在单位长度为1的正方形网格中的位置如图所示．若O 能盖住ABC ∆，则O 的半径最小值为，并作出O ．19．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，顶点坐标是(2,1)-，求它的解析式．20．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知：如图，在O 中，AB 是直径，3AC =，4BC =，C 为O 上的一个点，ACB ∠的平分线交O 于点D ，求BD 的长．21．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x⋯4-3-2-1-01⋯y⋯503-4-3-m⋯（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当5y 时，x的取值范围是；（4）当41x-<<时，y的取值范围是．22．（2010•房山区一模）已知：如图，在ABC∆中，AB BC=，D是AC中点，BE平分ABD∠交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与O相切；（2）当2BD=，1sin2C=时，求O的半径．23．（5分）（2015秋•西城区期末）如图，AB 是O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在O 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．24．（6分）（2017•金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．25．（2015秋•西城区期末）已知抛物线211:24C y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线222:2(1)4C y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线222:2(1)4C y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．26．（6分）（2019•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点(0,5)平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-．①如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；②如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．27．（7分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为BC 边上的一点．（1）以点C 为旋转中心，将ACD ∆逆时针旋转90︒，得到BCE ∆，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF BE ⊥；（3）若AC =，1BF =，连接CF ，则CF 的长度为．28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ，，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．2019-2020学年北京八十中九年级（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．2．（2分）（2018•相山区四模）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转100︒，得到ADE ∆．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为()A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB AD =，100BAD ∠=︒，1(180100)402B ADB ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒．故选：B ．3．（2分）（2019•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过()A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【解答】解：由图形可得：22345OA =+=，22345OM =+=，22345ON =+=，2242255OP =+=≠，5OQ =，所以点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不经过P 点，故选：C ．4．（2分）（2008•资阳）已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【解答】解：先将x 轴、y 轴的平移转化为抛物线的平移，即可看做把抛物线沿x 轴方向向左平移2个单位长度，沿y 轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为(2,2)--．可设新抛物线的解析式为22()y x h k =-+，代入得：22(2)2y x =+-．故选：B ．5．（2分）（2015秋•石景山区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列关系式中正确的是()A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac ->D ．0a b c -+<【解答】解：A 、由函数图象可知二次函数2y ax bx c =++的开口向上，即0a >，交于y 轴的负半轴0c <，0ac <，故本选项错误；B 、由函数图象可知对称轴12bx a=-<，所以2b a -<，即20a b +>，故本选项错误；C 、由函数图象可知二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，则240b ac ->．故本选项正确；D 、由函数图象可知当1x =-时，0y >，0a b c -+>，故本选项错误．故选：C ．6．（2分）（2019•蓝田县一模）如图，点A 、B 、C 、D 在O 上， CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则(ADB ∠=)A ．30︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒【解答】解： CB CD =，30CAD ∠=︒，30CAD CAB ∴∠=∠=︒，30DBC DAC ∴∠=∠=︒，50ACD ∠=︒ ，50ABD ∴∠=︒，18018050303070ACB ADB CAB ABC ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．故选：C ．7．（2分）（2017秋•怀柔区期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1)，测量出4AB =分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2)；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3)；④计算出橡胶棒CD 的长度．小明计算橡胶棒CD 的长度为()A ．22分米B ．23分米C ．32分米D ．33分米【解答】解：连接OC ，作OE CD ⊥，如图3，4AB = 分米，2OC ∴=分米，将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，112OE OC ∴==分米，在Rt OCE ∆中，223CE OC OE =-=分米，23CD ∴=分米；故选：B ．8．（2分）（2017•封开县二模）如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4AB =．设弦AC 的长为x ，ABC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：4AB = ，AC x =，BC ∴==，1122ABC S BC AC ∆∴== 此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A 、C ，AB 为定值，当OC AB ⊥时，ABC ∆面积最大，此时AC =，即x =y 最大，故排除D ，选B ．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每空2分）9．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为22(2)3y x =--．【解答】解：提出二次项系数得，22(4)5y x x =-+，配方得，22(44)58y x x =-++-，即22(2)3y x =--．故答案为：22(2)3y x =--．10．（2分）（2015秋•房山区期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)A ，(2,3)B 两点．请你写出一组满足条件的a ，b 的对应值．a =1，b =．【解答】解：把(0,3)A ，(2,3)B 两点代入2y ax bx c =++中，得3c =，423a b c ++=，所以2b a =-，由此可设1a =，2b =-，故答案为1，2-．11．（2分）（2019•合肥二模）如图，AB 是O 的直径，点C 是半圆AB 上一点，过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D ，若25A ∠=︒，则D ∠的度数是40︒【解答】解：连接OC ，OA OC = ，25A OCA ∴∠=∠=︒．50DOC A ACO ∴∠=∠+∠=︒．CD 是 的切线，90OCD ∴∠=︒．180905040D ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：40︒．12．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，当x 1<-时，y 随x 的增大而减小．【解答】解： 抛物线2(1)(0)y a x k a =++>，∴对称轴为直线1x =-，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小；1x <- 时，y 随x 的增大而减小；故答案为1<-．13．（2分）（2015•泗洪县校级模拟）已知ABC ∆内接于O ，若100BOC ∠=︒，则BAC ∠=50或130︒．【解答】解： 如图，若A 在优弧BC 上时，111005022BAC BOC ∠=∠=⨯︒=︒；若点A 在劣弧BC 上时，180130BA C BAC ∠'=︒-∠=︒．50BAC ∴∠=︒或130︒．故答案为：50或130．14．（2分）（2016秋•顺义区校级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为11x =，23x =-．【解答】解： 抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)，且对称轴为直线1x =-，则抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)-，∴方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．15．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知一次函数1(0)y kx m k =+≠和二次函数22(0)y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：x⋯1-0245⋯1y ⋯01356⋯2y ⋯1-059⋯当21y y >时，自变量x 的取值范围是1x <-或4x >．【解答】解： 当0x =时，120y y ==；当4x =时，125y y ==；∴直线与抛物线的交点为(1,0)-和(4,5)，而14x -<<时，12y y >，∴当21y y >时，自变量x 的取值范围是：1x <-或4x >．故答案为：1x <-或4x >．16．（2分）（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC 中，D 是边BC 上一点，过点C作AD 的垂线段，垂足为点E ，连接BE ，若2AB =，则BE 1-．【解答】解：如图，取AC 中点F ，连接EF ，BF ，ABC ∆ 是等边三角形，点F 是AC 中点，2AB BC AC ∴===，1AF CF ==，BF AC⊥BF ∴==90AEC ∠=︒∴点E 在以AC 为直径的圆上，1EF AF ∴==在BEF ∆中，1BE BF EF -=-∴当点E 在BF 上时，BE 1-1-三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27题7分，第28题8分）17．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△11AB C （2）求点B 的移动路径长．【解答】解：（1）如图，△11AB C 为所作；（2）5AB ==，所以点B 的移动路径长90551802ππ== ．18．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）ABC ∆在单位长度为1的正方形网格中的位置如图所示．若O 能盖住ABC ∆，则O 的半径最小值为5，并作出O ．【解答】解：如图，O 即为所求，O 的半径为22125+=故答案为5．19．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，顶点坐标是(2,1)-，求它的解析式．【解答】解：根据题意，设抛物线的解析式2(2)1y a x =--， 抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1)，21(02)1a ∴=--，解得12a =，∴抛物线的解析式为21(2)12y x =--．20．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知：如图，在O 中，AB 是直径，3AC =，4BC =，C 为O 上的一个点，ACB ∠的平分线交O 于点D ，求BD 的长．【解答】解：AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，5AB ∴==，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，∴ AD BD =．AD BD ∴=，在等腰直角三角形ADB 中，设AD BD x ==，则2225x x +=，解得：2x =，故2BD =．21．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x⋯4-3-2-1-01⋯y⋯503-4-3-m⋯（1）写出m 的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当5y 时，x 的取值范围是；（4）当41x -<<时，y 的取值范围是．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为(1,4)--，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，(3,0)- 关于直线1x =-的对称点是(1,0)，0m ∴=，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）(4,5)- 关于直线1x =-的对称点是(2,5)，由图象可知当5y 时，x 的取值范围是4x - 或2x ，故答案为4x - 或2x ；（4）由图象可知当41x -<<时，y 的取值范围是45y -< ，故答案为45y -< ．22．（5分）（2010•房山区一模）已知：如图，在ABC ∆中，AB BC =，D 是AC 中点，BE 平分ABD ∠交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与O 相切；（2）当2BD =，1sin 2C =时，求O 的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OE ．AB BC = 且D 是BC 中点BD AC∴⊥BE 平分ABD∠ABE DBE∴∠=∠OB OE= OBE OEB∴∠=∠OEB DBE∴∠=∠//OE BD∴OE AC∴⊥AC ∴与O 相切．（2）解：2BD = ，1sin 2C =，BD AC ⊥4BC ∴=4AB ∴=设O 的半径为r ，则4AO r=-AB BC= C A∴∠=∠1sin sin 2A C ∴==．AC 与O 相切于点E ，OE AC∴⊥1sin 42r A r ∴==-43r ∴=．23．（5分）（2015秋•西城区期末）如图，AB 是O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在O 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．【解答】解：（1）OC AB ⊥ ，AB =，AD DB ∴==，30E ∠=︒ ，60AOD ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，4sin 60AD OA ∴==︒；（2）如图，作OH AF ⊥于H ，4OA = ，OH =45OAF ∴∠=︒，75BAF OAF OAB ∴∠=∠+∠=︒，则15BAF OAF OAB ∠'=∠'-∠=︒，BAF ∴∠的度数是75︒或15︒．24．（6分）（2017•金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a的值．【解答】解：（1）①当124a =-时，21(4)24y x h =--+，将点(0,1)P 代入，得：116124h -⨯+=，解得：53h =；②把5x =代入215(4)243y x =--+，得：215(54) 1.625243y =-⨯-+=，1.625 1.55> ，∴此球能过网；（2）把(0,1)、12(7,)5代入2(4)y a x h =-+，得：1611295a h a h +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：15215a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，15a ∴=-．25．（2015秋•西城区期末）已知抛物线211:24C y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线222:2(1)4C y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线222:2(1)4C y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：△1680k =-=，解得：2k =；（2）1C 是：2212422(1)y x x x =-+=-，抛物线2C 是：222(1)8y x =+-．则平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C 的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当1x =时，222(1)80y x =+-=，即0t =．在222(1)8y x =+-中，令0y =，解得：1x =或3-．则当n t <时，即22(1)80x +-<时，m 的范围是31m -<<．26．（6分）（2019•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与过点(0,5)平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-．①如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；②如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1） 直线4y x =+与x 轴交于点A ，∴点A 坐标为(4,0)-．直线4y x =+与与过点(0,5)且平行于x 轴的直线l 交于点B ，∴点B 坐标为(1,5)．点A 关于直线l 的对称点为点C ，∴点C 坐标为(4,10)-．（2）① 抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-，∴顶点坐标为(,)m m -．抛物线顶点在直线4y x =+上，4m m ∴-=+，2m ∴=-．②将点(1,5)B 代入解析式可得11m =-，24m =将点(4,10)C -代入解析式可得11m =-，26m =-∴抛物线与线段BC 有公共点时，64m - 27．（7分）（2019秋•朝阳区校级月考）已知，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为BC 边上的一点．（1）以点C 为旋转中心，将ACD ∆逆时针旋转90︒，得到BCE ∆，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF BE ⊥；（3）若AC =，1BF =，连接CF ，则CF【解答】（1）解：如图，BCE ∆为所作；（2）证明：ACD ∆ 逆时针旋转90︒，得到BCE ∆，90BCE ACD ∴∠=∠=︒，CBE CAD ∠=∠，而BDF ADC ∠=∠，90DFB ACD ∴∠=∠=︒，AF BE ∴⊥；（3）解：90ACB AFB ∠=∠=︒ ，∴点C 、F 在以AB 为直径的圆上，45ABC AFC ∴∠=∠=︒135BFC ∴∠=︒，作CH BE ⊥于H ，如图，则CFH ∆为等腰直角三角形，设CH x =，则HF x =，CF =，在Rt BCH ∆中，222(1)x x ++=，解得11x =，22x =-（舍去）CF ∴==．故答案为28．（8分）（2017秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点，观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ．故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP ．直线OP 交以P 为圆心半径为1的圆于A 、B ．(4,3)P ，5OP ∴=，满足条件的O 必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA =时，得到r 的最小值为4，当6OB =时，得到r 的最大值为6，46r ∴ ．（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-．当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 5-，∴53A x - 时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 1-，∴11A x - 时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 53A x - 11A x - ．。

2020年中考模拟试卷中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝4a C．D．2．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（）A．一定在点A的左侧B．一定与线段AB的中点重合C．可能在点B的右侧D．一定与点A或点B重合3．已知，那么a，b，c的大小顺序是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b 4．关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，则a的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．15．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体6．如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．37．如图，设k＝（a＞b＞0），则有（）A．k＞2B．1＜k＜2C．D．8．小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象．如左下图所示．小明选择的物体可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，每小题3分，其中15题1+2分）9．函数y＝﹣1中，自变量x的取值范围是．10．分解因式：mx2﹣6mx+9m＝．11．如图，tan∠1＝．12．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的最大整数值为．13．一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是．14．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为．15．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：科目思想品德历史地理参考人数（人）191318其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有人；该班至少有学生人．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．三、解答题（本题共52分，17-20题每题6分，21-24题每题7分）17．计算：（）﹣1+|﹣3|﹣（π﹣）0+4sin30°．18．解不等式组：19．解方程：+＝320．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．21．如图，点O为∠ABC的边BC上的一点，过点O作OM⊥AB于点M，到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W．图形W与射线BC交于E，F两点（点E在点F的左侧）．（1）过点M作MH⊥BC于点H，如果BE＝2，sin∠ABC＝，求MH的长；（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠CBD+∠MOB＝90°，判断射线BD与图形W公共点的个数，并证明．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B．直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A与点D关于x轴对称，①求点B的坐标；②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF＝CE；（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．24．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作L Q．如Q（﹣1，2）的“理想值”L Q＝＝﹣2．（1）①若点Q（1，a）在直线y＝x﹣4上，则点Q的“理想值”L Q等于；②如图，，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”L Q的取值范围是．（2）点D在直线y＝﹣x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤L Q ≤，求点D的横坐标x D的取值范围；（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q≤2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝4a C．D．【分析】A、合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变；B、系数和字母都乘方；C、D利用根式的乘除法计算．解：A、a2+a2＝2a2，故A选项错误；B、（2a）2＝4a2，故B选项错误；C、，此C选项正确；D、÷3＝，故D选项错误．故选：C．2．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（）A．一定在点A的左侧B．一定与线段AB的中点重合C．可能在点B的右侧D．一定与点A或点B重合【分析】根据倒数的定义可知A，B两点所表示的数符号相同，依此求解即可．解：∵数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，∴A，B两点所表示的数符号相同，如果A，B两点所表示的数都是正数，那么原点在点A的左侧；如果A，B两点所表示的数都是负数，那么原点在点B的右侧．∴原点可能在点A的左侧或点B的右侧．故选：C．3．已知，那么a，b，c的大小顺序是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】先估算出的值，再分别求出a、b、c的值比较其大小．解：∵≈2.236，∴a＝2﹣≈2﹣2.236＝﹣0.236；b＝﹣2≈2.236﹣2＝0.236；c＝5﹣2≈5﹣4.472＝0.528，∵0.528＞0.236＞﹣0.236，∴5﹣2＞﹣2＞2﹣，即a＜b＜c．故选：A．4．关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，则a的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】解方程就可以求出方程的解，这个解也是方程3x＝2x+a的解，根据方程的解的定义，把这个解代入就可以求出a的值．解：解方程，得x＝2．∵关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，∴把x＝2代入3x＝2x+a，得3×2＝2×2+a，解得a＝2．故选：B．5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案．解：根据俯视图是三角形，长方体和正方体以及三棱锥不符合要求，B、C、D错误；根据几何体的三视图，三棱柱符合要求．故选：A．6．如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式＝m2+2m，然后利用m2+2m﹣2＝0进行整体代入计算．解：原式＝•＝•＝m（m+2）＝m2+2m，∵m2+2m﹣2＝0，∴m2+2m＝2，∴原式＝2．7．如图，设k＝（a＞b＞0），则有（）A．k＞2B．1＜k＜2C．D．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k＝＝＝＝1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选：B．8．小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象．如左下图所示．小明选择的物体可能是（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，可以确定问题的形状．解：由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，由开始和结尾可知A、C错误，由中间不变可知，D错误，故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分，其中15题1+2分）9．函数y＝﹣1中，自变量x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．解：根据题意，得x≥0．故答案为：x≥0．10．分解因式：mx2﹣6mx+9m＝m（x﹣3）2．【分析】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．解：mx2﹣6mx+9m＝m（x2﹣6x+9）＝m（x﹣3）2．故答案为：m（x﹣3）2．11．如图，tan∠1＝．【分析】由圆周角定理可知∠1＝∠2，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．解：∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，∴tan∠1＝＝．故答案为：．12．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的最大整数值为4．【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a≠0，且△≥0，即△＝42﹣4a＝16﹣4a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，∴a≠0，且△≥0，即△＝42﹣4a＝16﹣4a≥0，解得a≤4，∴a的取值范围为a≤4且a≠0，所以a的最大整数值为4．故答案为4．13．一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是5．【分析】先求出不等式组的整数解，再根据中位数是x，求出x的值，最后根据平均数的计算公式即可求出答案．解：解不等式组得：3≤x＜5，∵x是整数，∴x＝3或4，当x＝3时，3，4，6，8，x的中位数是4（不合题意舍去），当x＝4时，3，4，6，8，x的中位数是4，符合题意，则这组数据的平均数可能是（3+4+6+8+4）÷5＝5；故答案为：5．14．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为n＜2且n≠．【分析】求出分式方程的解x＝n﹣2，得出n﹣2＜0，求出n的范围，根据分式方程得出n﹣2≠﹣，求出n，即可得出答案．解：，解方程得：x＝n﹣2，∵关于x的方程的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2，又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣，∴n﹣2≠﹣，即n≠．故答案为：n＜2且n≠．15．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：科目思想品德历史地理参考人数（人）191318其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有16人；该班至少有学生29人．【分析】选了思想品德而没有选历史的有19﹣3＝16人，设三门课都选的有x人，同时选择地理和政治的有y人，总人数为19+18+13﹣3﹣4﹣2x﹣y＝43﹣2x﹣y，根据各自选课情况可知x＜3，11﹣y≥0，该班至少有学生43﹣4﹣10＝29．解：思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19﹣3＝16人，设三门课都选的有x人，同时选择地理和政治的有y人，则有总人数为19+18+13﹣3﹣4﹣2x﹣y＝43﹣2x﹣y，∵选择历史没有选择政治的有6人，∴2x＜6，∴x＜3，∴x＝1，2，∵只选政治的现在有19﹣3﹣4﹣1﹣y＝11﹣y，∴y最大是10，该班至少有学生43﹣4﹣10＝29，故答案为16；29；16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为②③④．【分析】用待定系数法确定四条抛物线的表达式，用函数图象的性质即可求解．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；y3＝﹣x2+x+3；y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，错误，不符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而减小，故正确，符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方，正确，符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：②③④．三、解答题（本题共52分，17-20题每题6分，21-24题每题7分）17．计算：（）﹣1+|﹣3|﹣（π﹣）0+4sin30°．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝2+3﹣﹣1+4×＝6﹣．18．解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：，由①，得：3x﹣3≤5x+1，﹣2x≤4．x≥﹣2，由②，得：8x＜9﹣x，9x＜9．x＜1，所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．19．解方程：+＝3【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+2）（x﹣2）．方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得3x（x﹣2）+2（x+2）＝3（x+2）（x﹣2），整理得﹣6x+2x+4＝﹣12，解得x＝4．检验：将x＝4代入（x+2）（x﹣2）≠0．∴x＝4是原方程的解．20．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CDD 长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．21．如图，点O为∠ABC的边BC上的一点，过点O作OM⊥AB于点M，到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W．图形W与射线BC交于E，F两点（点E在点F的左侧）．（1）过点M作MH⊥BC于点H，如果BE＝2，sin∠ABC＝，求MH的长；（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠CBD+∠MOB＝90°，判断射线BD与图形W公共点的个数，并证明．【分析】（1）求出BO的长，MB的长，根据三角形BOM的面积可求出MH；（2）过点O作ON⊥BD于点N，证得OM＝ON．则结论得证．【解答】（1）解：∵到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：∵OM⊥AB于点M，∴∠BMO＝90°．在△BMO中，，∴BO＝．∵BE＝2，∴，解得：OM＝OE＝4．∴BO＝6．在Rt△△BOM中，BM2+OM2＝BO2，∴．∵∴，解得：．（2）解：1个．证明：过点O作ON⊥BD于点N，∵∠CBD+∠MOB＝90°，且∠ABC+∠MOB＝90°，∴∠CBD＝∠ABC．∴OM＝ON．∴BD为⊙O的切线．∴射线BD与图形W的公共点个数为1个．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B．直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A与点D关于x轴对称，①求点B的坐标；②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，则抛物线的对称轴是直线x＝2；（2）①直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C、D，点C的坐标为（5，0），点D 的坐标为（0，﹣3），即可求解；②分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴是直线x＝2；（2）①∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C、D，∴点C的坐标为（5，0），点D的坐标为（0，﹣3）．∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，∴点A的坐标为（0，3）．∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（2，3）．②抛物线顶点为P（2，3﹣4a）．（ⅰ）当a＞0时，如图1．令x＝5，得y＝25a﹣20a+3＝5a+3＞0，即点C（5，0）总在抛物线上的点E（5，5a+3）的下方．∵y P＜y B，∴点B（2，3）总在抛物线顶点P的上方，结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．（ⅱ）当a＜0时，如图2．当抛物线过点C（5，0）时，25a﹣20a+3＝0，解得a＝﹣．结合函数图象，可得a≤﹣．综上所述，a的取值范围是：a≤﹣或a＞0．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF＝CE；（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．【分析】（1）连接DC，由等腰直角△ABC的中线得CD＝BD；等腰直角△ABC顶角平分线和底角，∠ABC与∠ABF互为邻补角，由∠BCE＝90°，∠DCB＝45°，计算出∠DBF＝∠DCB＝135°；∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF等量代换得∠F＝∠E，从而证明△DBF≌△DCE，最后根据全等三角形的性质求BF＝CE．（2）连接BE，在△DCE中，点D和C分别是AB和AE的中点，得到DC∥BE，在（1）基础上易证∠ABE＝90°，AB＝BE．计算出线段DE的长度与线段AB的关系，即求出线段DF与线段AB的关系．解：（1）如图1所示：连接CD，DE与CF相交于点H，∵在Rt△ABC中，D为AB中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠ABC+∠ABF＝180°，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠DBF＝180°﹣45°＝135°，∠DCE＝90°+45°＝135°，∴∠DBF＝∠DCE，∵DF⊥DE，∴∠DHF+∠F＝90°，又∵∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF，∴∠F＝∠E，在△DBF和△DCE中，∴△DBF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE．（2）如图2所示线段DF与AB的数量关系：DF＝AB．连接BE，设AD＝BD＝a，则AB＝2a．∵△DBF≌△DCE，∴DF＝DE．∵CE＝AC，DA＝DB，∴DC∥BE，又∵∠ADC＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠A＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AB＝BE＝2a，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2＝DB2+BE2，∴DE＝，∴DF＝a，∴＝．即DF＝AB．24．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作L Q．如Q（﹣1，2）的“理想值”L Q＝＝﹣2．（1）①若点Q（1，a）在直线y＝x﹣4上，则点Q的“理想值”L Q等于﹣3；②如图，，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”L Q的取值范围是0≤L Q≤．（2）点D在直线y＝﹣x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤L Q ≤，求点D的横坐标x D的取值范围；（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q≤2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）【分析】（1）理想值越大，点与原点连线与x轴夹角越大；（2）根据题意，讨论⊙D与x轴及直线相切时的D点横坐标（3）根据题意将点M转化为直线x＝2，Q点理想值最大时点Q在y＝2上，分析图形即可．解：（1）①x＝1时，a＝1﹣4＝﹣3∴点Q的“理想值”L Q＝﹣3故答案为：﹣3②当点Q在⊙D与x轴切点时，点Q的“理想值”最小为0当点Q纵坐标与横坐标比值最大时，Q的“理想值”最大，此时直线OQ与⊙D且于点Q点Q的“理想值”为故答案为：②0≤L Q≤（2）设直线与x轴、y轴的交点分别为点A，点B，可得，B（0，3）．∴，OB＝3，∠OAB＝30°．由0≤L Q≤，作直线．①如图，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1⊥x轴于点E1，可得D1E1∥OB，．∵⊙D的半径为1，∴D1E1＝1．∴，．∴．②如图当⊙D与直线相切时，相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到最小值．作D2E2⊥x轴于点E2，则D2E2⊥OA．设直线与直线的交点为F．可得∠AOF＝60°，OF⊥AB．则．∵⊙D的半径为1，∴D2F＝1．∴．∴AE2＝AD2•cos∠OAF＝，．∴．由①②可得，x D的取值范围是≤x D≤．（3）根据题意作图得，由△NQM∽△NEO，可得半径为。

2019-2020学年度第二学期4月初二年级数学调研测试一、选择题1.以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（）A. 6，7，8B. 7，8，9C. 3，1，2D. 8，9，10【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A、∵62+72≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵72+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵（3）2+12=22，∴能构成直角三角形，故本选项正确；D、∵82+92=102，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．2.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C 之间的距离是（）A. 0.8kmB. 1.6kmC. 2.0kmD. 3.2km【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．3.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为()A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边都相等解答．【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．4.如图，在ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AE=3，ED=1，则ABCD的周长为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【分析】由角平分线的定义和平行四边形的性质可求得AB=AE ，再结合平行四边形的性质，即可解答．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，AB=CD ，∴∠AEB=∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AB=AE=3，∵AB= 3，AD=4,∴四边形ABCD 的周长=2（AD+AB ）=2×7=14， 故选C.【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得AB=AE 是解题的关键． 5.用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（ ）A. 2(3)9x +=B. 2(3)13x +=C. 2(3)5x +=D. 2(3)4x += 【答案】C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．详解】解：方程配方得：x 2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C ．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6.如图，矩形ABCD 中，AB =4，对角线AC ，BD 交于点O ，若∠AOB =60º，则矩形ABCD 的面积为（ ）A. 16B. 163C. 3D. 3【分析】根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，得出AC，由勾股定理求出BC，即可求出矩形ABCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AC=2AO=8，∴BC=2243-=，AC AB∴矩形ABCD的面积=AB•BC=4×43=163．故选：B．【点睛】此题考查等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．二、填空题7.一元二次方程x2＝2x的解为________．【答案】x1＝0，x2＝2【解析】试题分析：移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2．考点：解一元二次方程8.如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AC=4cm，BD=6cm，则菱形ABCD的面积是___.【答案】12【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】∵AC=4cm，BD=6cm，∴菱形ABCD的面积为12×AC×BD=12（cm2）．故答案为：12．【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．9.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点（点P与点A、C不重合），则在点P的移动过程中，△PBE周长的最小值为_______.【答案】25+2【解析】【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值，进而得出答案．【详解】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2，在Rt△CDE中，DE=2222+=+=，CD CE4225∴△PBE周长的最小值是：25+2．故答案为：25+2．【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．10.如图,折叠矩形ABCD一边AD，点D落在BC边的点F处，若AB=8，BC=10，则EC的长____________.【答案】3【解析】【分析】根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8cm；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=10，设EF=DE=xcm，EC=8-x；由勾股定理得：BF2=102-82，∴BF=6，∴CF=10-6=4；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8-x）2，解得：x=5，EC=8-5=3．故答案为：3．【点睛】此题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键解题的关键．11.一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．【答案】434【解析】【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4或34．12.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中正确的结论是___________________（填序号）【答案】①②④【解析】【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=2EC．【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP，同理，得PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，①∴AP=EF；∠PFE=∠GAP∴④∠PFE=∠BAP，②延长AP到EF上于一点H，∴∠PAG=∠PFH，∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴⑤DP=2EC．∴其中正确结论的序号是①②④．【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．解题关键在于熟练掌握各性质定理.13.如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=12∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．【详解】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BDA=12∠ADC=12×120°=60°，∵AB=AD（菱形的邻边相等），∴△ABD是等边三角形，连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，∵菱形ABCD周长为16，∴AD=16÷4=4，∴3423=．故答案为：3【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．14.阅读下面材料已知：如图，四边形ABCD是平行四边形；求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．小凯的作法如下：（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F．（3）连接AE，CF所以四边形AECF是菱形．老师说：“小凯的作法正确”．回答问题：已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上______________________________________________．（补全已知条件）【答案】EF垂直平分AC【解析】【分析】利用作法可得到EF垂直平分AC，再证明四边形AECF是菱形即可解答；【详解】已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EF垂直平分AC；证明：∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，AC⊥EF，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ECA ，∵EA=EC ，∴∠ECA=∠EAC ，∴∠EAC=∠DAC ，∴AC 平分EF ，即AC 与EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：EF 垂直平分AC.【点睛】此题考查作图-复杂变换，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于掌握作图法则．三、解答题15.解方程（1） 2(2)360x +-=； （2）22760x x -+=【答案】（1）x 1=4，x 2=-8；（2）x 1=32，x 2=2； 【解析】【分析】 （1）利用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）用十字相乘法解答；【详解】解：（1）（x+2）2-36=0（x+2）2=36x+2=±6解得x 1=4，x 2=-8；（2）因式分解得，（2x-3）（x-2）=0，解得，x 1=32，x 2=2； 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．16.已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211axax+=--⋅=.解得132{12xa=-=.∴a的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.17.已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．【答案】15+【解析】【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可【详解】解：连接AC．∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝225AB BC +=，在△ACD 中，AC 2+CD 2＝5+4＝9＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴S 四边形ABCD ＝12AB •BC +12AC •CD ， ＝12×1×2+12×5×2， ＝1+5．故四边形ABCD 的面积为1+5．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握运算法则是解题关键18.如图，在ABCD Y 中，812AC BD ==，，点E F ，在对角线BD 上，点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度向点D 运动，同时点F 从点D 出发以相同速度向点B 运动，到端点时运动停止，运动时间为t 秒．（1）求证；四边形AECF 为平行四边形；（2）求t 为何值时，四边形AECF 为矩形．【答案】（1）见解收析；（2）当2t =或10t =时，四边形AECF 为矩形【解析】【分析】(1)由题意证明BEC DFA V V ≌,BEA DFC V V ≌,得出CE=AF,AE=CF,即可证明.(2)根据矩形的判定只需要让一个角是直角的平行四边形即可得出矩形,由此思路计算即可.【详解】（1）在ABCD Y 中，∵AD BC AD BC =，∥，∴EBC FDA ∠=∠． 由题意知，BE DF =．在BEC △与DFA V 中，BE DF EBC FDA BC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC DFA SAS V V ≌，∴CE AF =，同理可得BEA DFC V V ≌,∴AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形．（2）当2t =或10t =时，四边形AECF 为矩形．理由如下：由平行四边形的性质知4OE OF O OC ==，，要使EAF ∠是直角， 只需142OE OF OA AC ====， 则1234∠=∠∠=∠，．∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，∴2223180∠+∠=︒，∴2390∠+∠=︒，即90EAF ∠=︒． 此时()()11128222BE DF BD EF ==-=-=或212210BE DF ==-=． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和矩形的判定,关键在于灵活运用条件.19.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【答案】（1） 2x 50－x（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.【解析】【详解】（1） 2x 50－x ．(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100解之得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．20.如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．【答案】（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）2BE2AD＋CN，证明见解析；（3）3 4 .【解析】分析：（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）BE=22AD+12CN．根据正方形的性质可得出BF=22AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=12CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．详解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=12 AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE=22AD+12CN．证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=12 CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=22BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=2 AD．∵BE=BF+FE，∴BE=22AD+12CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=12BD=22，22，∴S梯形DFCN=12（DF+CN）•CF=1222）×2=34．点睛：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的长度；（3）找出EN所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．。