20182019高中数学第3章三角恒等变换章末复习学案苏教版必修4

- 让每一个人同等地提高自我第三章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数， 所以三角恒等变换离不开角之间的变换 . 察看条件及目标式中角之间的联系，除去角之间存在的差别，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有益于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例 1设 α、β 为锐角，且知足 cos4 1α＝ ， tan( α－ β) ＝－ ，求 cos β 的值 .5 3 分析 利用变换 β ＝ α－ ( α－ β) 找寻条件与所求之间的关系 .1解 ∵α 、 β 为锐角，且 tan(α－ β) ＝－ 3<0，∴－ π<α－ β <0. 2∴sin( α － β) ＝－tan 2 α－β＝－101＋tan2α－β10，cos( α－ β) ＝ 1－ sin2α－ β ＝3 1010 ，23sin α＝ 1－ cos α＝ 5.∴cos β ＝ cos[ α－ ( α－ β)] ＝cos αcos( α － β) ＋ sin αsin( α－ β) 43 10 3 10 9 10＝ 5× 10 ＋5×(－ 10 )＝ 50 . 二、利用目标中的角表示条件中的角sin 3α 13例 2 设 α 为第四象限的角，若 sinα ＝ 5 ，则 tan 2 α＝_______________________.分析 要求 tan 2α 的值，注意到sin 3α＝ sin(2 α＋α ) ＝ sin 2αcos α＋cos 2αsin α，sin 3 α 13，第一求出 cos 2α 的值后， 再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.代入到 sin α ＝5sin 3 α sin 2α＋ αsin 2 αcos α＋cos 2 αsin α 2分析 由sinα＝sin α ＝sin α ＝ 2cos α ＋ cos 2 α13 ＝ 5 .2α ＋ cos 2 α ＝ 1＋2cos 2 α13α4 ∵2cos ＝5 . ∴cos 2＝5.∵ α 为第四象限的角，3π∴2k π＋ 2 <α<2k π＋ 2π(k ∈Z) ， ∴4 π＋ 3π<2 α<4 π＋ 4π( ∈Z) ，kkk∴2α 可能在第三、四象限，又∵ cos 2α＝4，533∴2α 在第四象限，∴ sin 2α＝－ 5， tan 2 α＝－ 4.3答案－4三、注意发现互余角、互补角，利用引诱公式转变角π 5 π cos 2 x例 3已知 sin 4 － x ＝ 13 ， 0<x < 4 ，求π 的值 .cos4 ＋ x分析转变成已知一个角 π－ x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题 . 这样可4π以将所求式子化简，使其出现 4 － x 这个角的三角函数 .π ππsin 2 ＋ 2x 2sin 4 ＋x ·co s 4 ＋ x ππ 解 原式＝π ＝π＝2sin 4 ＋x ＝ 2cos4 － x ，cos 4 ＋ xcos4 ＋ xπ 5πππ∵sin－x ＝ 13 ，且 0<x < 4 ，∴ 4 － x ∈ 0，44.∴ cos π － x ＝1－ sin 2 π － x ＝ 12，441312 24∴原式＝ 2× 13＝ 13.四、察看式子结构特点，灵巧凑出特别角例 4 求函数 f ( x ) ＝ 1－ 3s in( x －20°) － cos( x ＋40°) 的最大值 . 2 分析察看角 ( x ＋40°) － ( x －20°) ＝60°， 能够把 x ＋40°当作 ( x －20°) ＋60°后运用公式睁开，再归并化简函数 f ( x ).1－ 3解 f ( x ) ＝sin( x －20°) － cos[( x －20°) ＋60°] 21 3＝2sin( x －20°) － 2 sin( x －20°) － cos( x －20°)cos 60 °＋ sin( x －20°)sin 60 ° 1 x －20°) － cos( x －20°)] ＝2 ＝ [sin(sin( x －65°) ，222 当 x－65°＝ k·360°＋90°，即 x＝ k·360°＋155°(k∈Z)时， f ( x)有最大值2 .2三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招单角化复角例 1 已知 sin1tan( α＋β) ＝－3，则 tanα＝2，α 是第二象限的角，且β 的值为________.因为 sin 1分析α ＝2，α 为第二象限的角，3 3 所以 cos α＝－2，所以 tan α＝－3.－ 3－3 2 3－3 － 3 3所以 tan β＝tan[(α＋β )－α]＝ 3 ＝ 2 ＝－3.1＋－3 × －33答案－3评论将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适合的组合、拆分，常有的拆分组合形式，1如：α ＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝2[(α＋β)1＋( α－β)] ，α＝ [( β＋α) － ( β－α)] 等 . 2第二招复角化单角例 2sin 2α＋β化简：α－ 2cos( α＋β).sin解原式＝sin 2α＋β－ 2cos α＋β sinαsin α＝sin[ α＋α＋β] － 2cos α＋βsin αsin αsin α＋β cosα－cos α＋βsin α sin α＋β －αsin β＝sin α＝sin α＝sin α.评论因为该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最后结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式睁开即可.第三招复角化复角π3π π π3 3π 5例 3 已知 4 <α< 4 ， 0<β< 4 ，cos( 4 ＋α) ＝－ 5， sin(4 ＋ β) ＝ 13，求 sin( α＋ β)的值 .π 3π π π解 因为 4 <α < 4 ， 2 < 4 ＋ α<π，π2π 4 所以 sin(4 ＋ α) ＝1－ cos 4 ＋ α＝ 5.π 3π 3π又因为 0<β< 4 ， 4 < 4 ＋ β<π，所以 cos(3π ＋ β) ＝－ 1－ sin 2 3π ＋β ＝－ 12， 4 4 13π 3π所以 sin( α＋β) ＝－ sin( π＋ α＋ β) ＝－ sin[( 4 ＋ α) ＋ ( 4 ＋ β)]π 3π π 3π＝－ [sin( 4 ＋α)cos( 4 ＋ β ) ＋ cos( 4 ＋α)sin( 4 ＋ β)]4 12 35 63 ＝－ [ 5×( － 13)＋( －5) ×13] ＝65.sinα 或 cos α 过程较烦杂，故需要找到π3π 评论 由已知条件求出 α＋ β 与 4 ＋α 和 4＋β 的关系，即是将所求复角化为已知复角， 再联合题目中等式关系和角的范围限制详细求解.3 三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热门，素以“小而活”著称 . 除了掌握基础知识以外， 还要注意灵巧运用几个常用的技巧 . 下边经过例题进行分析，希望对同学们有所帮助.一、灵巧降幂3－sin 70 °例 12－ cos 210° ＝ ________.3－sin 70 °3－sin 70 °3－cos 20 °分析2－ cos 210°＝1＋cos 20 ° ＝3－cos 20 ° ＝2.2－22答案 2评论 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋ cos 2θ＝1 进行降幂：如 442222 212cos θ＋ sin θ ＝ (cos θ＋ sin θ) － 2cos θsin θ ＝ 1－ 2sin 2θ，等等 .二、化平方式1 11 13π例 2 化简求值：2－ 22＋2cos 2 α( α ∈( 2 ，2π)).3πα3π解因为 α∈( 2 ，2π) ，所以 2 ∈( 4 ，π ) ，所以 cos α>0，α1 1 1＋ cos2 α1 12ααsin 2 >0，故原式＝ 2－ 22 ＝ 2－ 2cos α＝ sin 2 ＝sin 2 .评论 一般地，在化简求值时，碰到 1＋ cos 2α、 1－ cos 2α、 1＋ sin 2α、 1－ sin2α 常常化为平方式： 2cos 2α、2sin 2α、 (sin α＋cos α) 2、(sin α －cos α) 2.三、灵巧变角π12π例 3 已知 sin( 6 － α ) ＝3，则 cos( 3 ＋ 2α) ＝ ________.分析 2π ＋ 2α) ＝2cos 2 π＋ α) － 1＝2sin 2 π 1 27cos( ( ( － α) － 1＝2×( ) － 1＝－ .3 3 6 39答案 7－9π2π＋2α”，善评论 正确迅速求解此题的重点是灵巧运用已知角“6 － α”表示待求角“3 于发现前者和后者的一半互余 . 四、结构齐次弦式比，由切求弦1 cos2 θ例 4 已知 tanθ＝－ 2，则1＋ sin 2 θ的值是 ________. cos 2 θ cos 2θ－ sin 2θ分析 1＋ sin 2 θ＝cos 2θ ＋sin 2θ＋ 2sin θcos θ131－ tan 2θθ＝1－ 44＝1＋ tan 2θ＋ 2tan1 ＋2× 1＝1＝ 3.1＋ － 442答案 3cos 2 θ评论 解此题的重点是先由二倍角公式和平方关系把“1＋ sin 2θ”化为对于 sinθ 和 cosθ 的二次齐次弦式比 .五、分子、分母同乘以2n sin α 求 cos αcos 2 αcos 4 α·cos 8 α cos 2 n －1α 的值例 5 求值： sin 10 °sin 30 °sin 50 °sin 70 °.解 原式＝1 °cos 80 °cos 20 °cos 402＝4sin 20 °cos 20 °cos 40 °cos 80 ° ＝2sin 40 °cos 40 °cos 80 °8sin 20 ° 8sin 20 °sin 80 °cos 80 ° 1 sin 160 ° 1 ＝8sin 20 °＝16 · sin 20 ° ＝ 16.评论 这种问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可 .4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为 y ＝ A sin( ωx ＋φ ) ＋ B 的形式求解例 1 求函数 f ( x ) ＝ sin 4x ＋ cos 4x ＋ sin 2x cos 2x 的最值 . 2－sin 2 x解原函数变形得： f ( x ) ＝sin 2x ＋cos 2x2－ sin 2x cos 2x2－ sin 2 x121 11－4sin2x 1＋ 2sin 2 x 1－ 2sin 2 x＝2－ sin 2 x＝12 1－ 2sin 2 x1 13 1＝ sin 2 x ＋ . ∴ f ( x ) max ＝ ， f ( x ) min ＝ .4 2 4 4例 2 求函数 y ＝ sin 2x ＋ 2sin x cos x ＋ 3cos 2x 的最小值，并写出 y 取最小值时 x 的会合 . 解 原函数化简得： y ＝ sin 2 x ＋cos 2 x ＋2＝ π ＋ 2. 2sin 2x ＋4当 2 π ＝ 2 3π5π ， k ∈Z 时， y min ＝ 2－ 2.x ＋ k π＋ ，k ∈ Z ，即 x ＝ k π＋8 4 25π此时 x 的会合为 { x | x ＝ k π＋8 ， k ∈ Z}.评论 形如 y ＝ a sin 2ωx ＋ b sin ωx cos ωx ＋ c cos 2ωx ＋ d ( a ， b ， c ， d 为常数 ) 的式子，都能转变成 y ＝ A sin( ωx ＋φ ) ＋ B 的形式求最值 .二、利用正弦、余弦函数的有界性求解2sin x ＋ 1例 3求函数 y ＝ 2sin x － 1的值域.y ＋ 1解原函数整理得： sin x ＝ 2y －1.∵|sinx | ≤1，∴y ＋11 y －1≤1，解出 y ≤ 或 y ≥3.2 3sin ＋ 3求函数 y ＝ cos x例 4 x － 4的值域 .解 原函数整理得： sin x － y cos x ＝－ 4y － 3，∴ y 2＋1sin( x ＋ φ) ＝－ 4y － 3，－ 4y － 3∴sin(x ＋φ)＝1＋ y 2.∵|sin( x ＋ φ)| ≤1，解不等式－4y － 3≤1得：－12－ 2 6－12＋ 2 61＋ y 2≤ y ≤.1515a sin x ＋b a sin x ＋ b评论 对于形如 y ＝ c sin x ＋ d 或 y ＝ c cos x ＋ d 的这种函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值 .三、转变成一元二次函数在某确立区间上求最值例 5 设对于 x 的函数 y ＝ cos 2 x － 2a cos x － 2a 的最小值为 f ( a ) ，写出 f ( a ) 的表达式 . 解y ＝ cos 2 － 2a cos x － 2a ＝ 2cos 2 x －2a cos x － ＋ ＝ 2 cos x － a2－ a 2 ＋ 2a ＋ 1 .x (2 a 1) 2 2a当 2<－1，即 a <－ 2 时， f ( a ) ＝ y min ＝ 1，此时 cos x ＝－ 1.aa 2a当－ 1≤ 2≤1，即－ 2≤ a ≤2时， f ( a ) ＝ ymin ＝－ 2 － 2a － 1，此时 cosx ＝2.当 a>1，即 a >2 时， f ( a ) ＝y min ＝ 1－ 4a ，此时 cos x ＝ 1. 21 a <－ 2综上所述， f ( a ) ＝ － 1a 2－ 2a － 1 －2≤ a ≤2.2 1－ 4a a >2评论 形如 y ＝a sin 2x ＋ b sin x ＋ c 的三角函数可转变成二次函数 y ＝at 2＋ bt ＋ c 在区间 [ －1，1] 上的最值问题解决 . 例 6试求函数 y ＝ sin x ＋ cos x ＋2sin x cos x ＋ 2 的最值 .解 设 sin x ＋ cos x ＝ t ， t ∈[ － 2， 2 ] ，则 2sin x cos x ＝ t 2－ 1，原函数变成 y ＝ t 2＋t＋ 1， t ∈[ － 2，132 ] ，当 t ＝－ 时， y min ＝ ；当 t ＝ 2时， y max ＝3＋ 2.2 4评论 一般地，既含 sin x ＋ cos x ( 或 sin x － cos x ) 又含 sin x cos x 的三角函数采纳换元法能够转变成 t 的二次函数解最值. 注意以下结论的运用，设sin x ＋ cos x ＝ t ，则 sinx cos12－ 1) ； sin x － cos x ＝ t ，则 sin 1 2x ＝( tx cos x ＝ (1－ t ).22四、利用函数的单一性求解例 7求函数 y ＝ 1＋ sin x 3＋ sin x的最值 .2＋ sin x解sin 2x ＋4sin x ＋ 3sin x ＋ 22－ 1x ＋ 2) －1y ＝ ＝＝ (sinsin ，sin x ＋ 2sin x ＋ 2x ＋ 21令 t ＝sinx ＋ 2，则 t ∈[1 ， 3] ，y ＝ t － t .1利用函数单一性的定义易证函数y ＝t － t 在 [1 ， 3] 上为增函数 .故当 t ＝ 1 即 sin x ＝－ 1 时， y min ＝ 0；8当 t ＝3 即 sin x ＝ 1 时， y max ＝ 3.例 8 在 Rt △ ABC 内有一内接正方形， 它的一条边在斜边 BC 上，设 AB ＝ a ，∠ ABC ＝θ，△ABCP的面积为 P ，正方形面积为 Q . 求Q 的最小值 .112解 AC ＝ a tan θ，P ＝ 2AB · AC ＝ 2a tan θ. 设正方形边长为 x ，AG ＝ x cos θ ， ＝ a . 边上的高 h ＝ sin θ ， BC cos θ BC aAG h － x∵＝，ABh即x cosθa sin θ－ xa sin θ，a ＝a sin θ ，∴ x ＝ θcos θ1＋ sin22∴ Q ＝ x 2＝a sin θ θ 2.1＋ sin θcosPsin θ1＋ sin θ cos θ 22＋ sin 2 θ 2sin 2 θ1进而 Q ＝ 2cosθ·sin 2θ ＝ 4sin 2 θ＝ 1＋4＋ sin 2 θ.1 t易知函数 y ＝ t ＋ 4在区间 (0 ， 1] 上是单一减函数，进而，当 sin 2 θ＝ 1 时，P 9 Qmin＝ .4评论 一些复杂的三角函数最值问题，经过适合换元转变成简单的代数函数后，可利用函数单一性奇妙解决 .5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题清点一、求角时选择三角函数种类不妥而致错510例 1已知 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ， α 和 β 都是锐角，求α＋ β 的值 .5102 5[ 错解 ]因为 α 和 β 都是锐角，且sin α＝ 5 ，sin β ＝ 10 ，所以 cos α ＝ 5，cos β3 10＝10 ，5 3 10 2 510 2sin(α＋ β) ＝ sin αcosβ＋ cosαsinβ＝ 5 ×10＋5×10＝2.ππ3π因为 α， β∈ 0， 2 ，则 α＋ β∈(0 ，π ). 所以 α＋ β＝ 4 或 4 .[分析]由 sin α ＝5， sin β＝10， α 和 β 都是锐角，能够知道α 和 β 都是定值，510所以 α＋ β 也是定值，所以上述解法出现两个答案，此中就有一个是错误的 . 这是因为 sin( α ＋ β) 在第一、第二象限没有划分度，应选择计算cos( α＋ β) 的值 .5102 5[正解] 因为 α 和 β 都是锐角，且 sinα＝ 5 ，sin β ＝ 10，所以 cos α ＝ 5 ，cos β310＝ 10，2 5 310 5 10 2cos( α ＋ β) ＝ cos αcosβ － sinαsin β ＝ 5×10－5×10 ＝ 2 . 因为 α ，πβ∈ 0， 2 ，则 α＋ β∈(0 ，π ) ，π所以 α＋ β＝ 4 .温馨评论依据条件求角，主要有两步： 1 求角的某种三角函数值； 2 确立角的范围，进而确立所求角的值 . 达成第一步一般要选择相对角的范围划分度比较大的三角函数，且确立范围要尽量减小 .二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例 2 已知 tan 2α＋ 6tan α＋ 7＝ 0，tan 2β ＋ 6tan β＋ 7＝0，α、β∈(0 ，π ) ，且 α≠ β，求 α＋ β 的值 .[ 错解 ] 由题意知 tan α、 tan β 是方程 x 2＋ 6x ＋7＝ 0 的两根，由根与系数的关系得：tan α＋ tan β ＝－ 6 ① tan αtan β＝ 7②tan α＋ tan β＝ － 6∴tan( α ＋ β) ＝αtanβ ＝ 1.1－ tan 1－ 7∵ 0<α<π， 0<β <π，∴ 0< α＋β<2π，π5π∴ α＋β ＝ 4 或 α ＋ β＝ 4 .[ 分析 ]由①②知 tan α<0， tan β<0. 角 α、 β 都是钝角 . 上述解法忽视了这一隐含条件 .tan α＋ tan β＝－ 6， [正解]由tan αtanβ＝ 7，易知 tan α<0， tan β<0. ∵ α、β∈(0 ，π ) ，ππ∴ 2 <α<π， 2 <β<π. ∴π<α＋ β<2π.5又∵ tan( α＋ β) ＝ 1，∴ α＋ β＝4π.温馨评论在给值求角或给式求角时，因为三角函数知识间及与其余知识间都有较为亲密的联系，一些隐含的限制条件不易被发现，简单致使角的范围扩大 . 解答此类问题时必定要认真发掘题目中的隐含条件才能有效地防止失误.三、忽视三角形内角间的关系而致错例 3 在△ ABC 中，已知 sin3 5，求 cos C .A ＝ ， cosB ＝51334[错解] 由 sin A ＝ 5，得 cos A ＝± 5，由 cos＝5，得 sin ＝ 12 ，当 cos ＝ 4 时， B13 B 13 A 516cos C ＝－ cos( A ＋ B ) ＝ sin A sin B － cos A cos B ＝65. 当 cos A ＝－4时，556cos C ＝－ cos( A ＋ B ) ＝ sin A sin B － cos A cos B ＝65.[分析] 在△ 中，三个内角 、 、 的和为 π，解题时要充足利用这必定理 . 此题获得ABCA B C44cos A ＝± 后，没有对 cos A ＝－这一结果能否合理进行查验，进而致使结论不正确.55[正解]由 cos＝ 5 >0，∴ ∈ 0，π，且 sin ＝ 12 .B 13B 2 B 1334由 sin A ＝ ，得 cos A ＝± ，5541 2π当 cos A ＝－ 5时， cos A <－ 2. ∴ A > 3 .∵sin ＝123π π>2，∈0，2，∴> .B13 B B 34故当 cos A ＝－ 5时， A ＋ B >π，与 A 、 B 是△ ABC 的内角矛盾 .∴cos A ＝ 54，16cos C ＝－ cos( A ＋ B ) ＝ sin A sin B － cos A cos B ＝65.温馨评论波及三角形中的内角问题时， 必定要注意内角和 A ＋ B ＋ C ＝180°这一隐含条件 .特别是由内角正弦值确立角的大小时，要防备增解出现.四、忽视三角函数的定义域而致错1＋ sin x －cos x例 4 判断函数 f ( x ) ＝1＋ sin x ＋cos x 的奇偶性 .x x 1－ 2sin 2x1＋ sin x － cos x 1＋ 2sin 2cos 2－2 [错解]f ( x ) ＝1＋ sin x ＋ cos x ＝x x 2cos2x1＋ 2sin2cos 2＋－ 12x x x2sin 2 cos 2＋ sin 2x＝ x x ＋ cos x ＝ tan2，2cos 2 sin 22x xf ( x ) ，由此得 f ( － x ) ＝ tan － ＝－ tan＝－22所以函数 f ( x ) 为奇函数 .[ 分析]运用公式后所得函数f ( x ) ＝tan x的定义域为 { x | x ∈ R ， x ≠2k π＋π， k ∈ Z 两函2} .数的定义域不一样，变形后的函数定义域扩大概错.[正解]事实上，由 1＋sinx ＋cos x ≠0可得 sinx ＋ cos x ≠－ 1，ππ 2即 2sin x ＋ 4 ≠－ 1，进而 sin x ＋ 4 ≠－2，π 5π π 7π所以 x ＋ 4 ≠2k π＋ 4 且 x ＋ 4 ≠2k π＋ 4 ( k ∈ Z) ，故函数 f ( x ) 的定义域是3πx | x ≠2k π＋π且 x ≠2k π＋ 2 ， k ∈ Z ，明显该定义域不对于原点对称.所以，函数 f ( x ) 为非奇非偶函数 .温馨评论判断函数的奇偶性，第一要看定义域，若定义域不对于原点对称，则函数必定是非奇非偶函数 . 上述解法正是因为忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.五、误用公式a sin x ＋ b cos x ＝ a 2＋ b 2sin( x ＋ φ) 而致错例5 若函数 f ( x ) ＝ sin( x ＋θ ) ＋ cos( x － θ) ， x ∈R 是偶函数，求 θ 的值 . [错解]∵ ( x ) ＝ sin( ＋ ) ＋ cos( x － θ ) ，fx θ∴ f (0) ＝ sinπθ＋ cos θ＝ 2sin θ＋ 4 . ∵ f ( x ) ＝ sin( x ＋ θ) ＋ cos( x － θ) 是偶函数 .∴| (0)| ＝ ( x ) max ＝ 2. ∴ (0) ＝ 2sinπ＝± 2，θ ＋fff4πππ∴sin θ ＋ 4 ＝± 1，∴ θ ＋ 4 ＝ k π＋ 2 ，k ∈ Z.π即 θ＝ k π＋ 4 ， k ∈ Z.[ 分析 ]∵ x ＋θ 与 x －θ 是不一样的角 .∴函数 f ( x ) 的最大值不是2，上述解答把 f ( x ) 的最大值误看作 2来办理 .[ 正解 ]∵ f ( x ) ＝ sin( x ＋ θ) ＋ cos( x － θ) 是偶函数 .∴ f ( x ) ＝ f ( － x ) 对全部 x ∈ R 恒成立 .即 sin( x ＋ θ ) ＋ cos( x －θ ) ＝ sin( － x ＋ θ ) ＋ cos( － x － θ ) 恒成立 .∴ [sin( x ＋ θ) ＋ sin( x －θ)] ＋ [cos( x － θ) － cos( x ＋ θ)] ＝ 0.∴2sin x cos θ＋ 2sin x sin θ＝ 0 恒成立 .即 2sin x (cos θ＋ sin θ ) ＝ 0 恒成立 .π∴cos θ ＋ sin θ＝0. ∵cos θ＋ sin θ＝ 2sin θ＋ 4 ＝ 0.ππ∴ θ＋ 4 ＝ k π，即 θ＝ k π－ 4 ， k ∈ Z.温馨评论注意公式 a sin x ＋ b cos x ＝ a 2＋b 2·sinx ＋ φ 的左端是同角 x . 当三角函数式不切合这一特点时，不可以使用该公式.比如：函数 fx ＝ sin x ＋θ ＋ \r(3)cos x － θ x ∈ R 的最大值不是 2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是现在高考命题的一个热门，这是因为此类试题既新奇而精良，又切合在知识的“交汇处”构题的命题思想. 这种试题解答的重点是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数目积公式将问题转变成三角问题，而后联想有关的三角函数知识求解.一、平面向量平行与三角函数交汇例 1 已知 a ＝ (2cos x ＋ 23sin x ， 1) ，b ＝ ( y ，cos x ) ，且 a ∥b . 若 f ( x ) 是 y 对于 x 的函数，则 f ( x ) 的最小正周期为 ________.分析 由 a ∥ b 得 2cos 2x ＋2 3sin x cos x － y ＝ 0，即 y ＝2cos 2x ＋ 2π3sin x cos x ＝ cos 2 x ＋ 3sin 2 x ＋ 1＝ 2sin(2 x ＋ 6 ) ＋ 1，π 所以 f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋ 6 ) ＋ 1，2π 所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ 2 ＝π. 答案 π评论 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求波及到三角 函数的分析式或某角的函数值，而后再利用三角知识求解 .二、平面向量垂直与三角函数交汇π例 2 已知向量 a ＝ (4 ， 5cos α ) ，b ＝ (3 ，－ 4tan α) ， α∈(0 ， 2 ) ，若 a ⊥ b ，则 cos(2απ＋) ＝____.4分析因为 a ⊥b ，所以 4×3＋ 5cos α ×( － 4tanα) ＝ 0，3解得 sinα＝5.π 4 又因为 α∈(0 ， ) ，所以 cos α＝ .25cos 2 α＝ 1－ 2sin27 24α＝ 25， sin 2 α＝ 2sin αcos α＝ 25，πππ17 2于是 cos(2 α ＋ 4 ) ＝ cos 2 αcos 4 － sin 2 αsin 4 ＝－ 50 .17 2答案－50评论 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题往常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转变成三角函数问题，再利用三角函数的知识进行办理.三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量 m ＝ (sin θ， 1－ cos θ)(0< θ <π) 与向量 n ＝ (2 ， 0) 的夹角为 πθ＝3 ，则 ______.分析 由条件得 | m | ＝ sin 2θ＋ 1－ cos θ2＝ 2－ 2cos θ，π· n 2sin θ | n | ＝ 2， m · n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos m3 ＝ | m || n | ＝ 2 2－ 2cos θ＝ 1212，整理得 2cosθ－ cos θ－ 1＝ 0，解得 cos θ＝－ 2或 cos θ＝ 1( 舍去 ).2π因为 0<θ<π，所以θ ＝ 3 .2π 答案3评论 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式成立某角的三角函数的方程或不等式，而后由三角函数的知识求解.四、平面向量的模与三角函数交汇例 4 若向量 a ＝(cosθ，sin θ) ， b ＝ ( 3，－ 1) ，则 |2 a －b | 的最大值为 ________.分析由条件可得 | a | ＝ 1， | b | ＝ 2， a · b ＝ 3cos θ－ sin θ，则 |2 a － b |＝ |2 a － b | 2 ＝ 4a 2＋ b 2－ 4a · b ＝ 8－ 4 3cos θ－ sin θ＝8－ 8cos θ＋π≤4，6所以 |2 a － b | 的最大值为 4.答案4评论解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质| a | 2＝ a 2. 假如是求模的大小，则一般可直接求解；假如是求模的最值，则经常先成立模对于某角的三角函数，而后利用三角函数的有界性求解.五、平面向量数目积与三角函数交汇ππ例 5 若函数 f ( x ) ＝ 2sin(6 x ＋ 3 )( － 2<x <10) 的图象与 x 轴交于点 A ，过点 A 的直线 l与函数的图象交于→ → →B 、C 两点，则 ( OB ＋ OC )· OA ＝________.分析 由 f ( x ) ＝ 0，解得 x ＝ 4，即 (4 ， 0) ，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于、 C 两点，AB依据对称性可知，A 是的中点，所以 →＋→＝2→ ，所以 (→＋→)·→ ＝2→ · →＝2| →| 2BCOB OC OAOB OCOA OA OA OA2＝2×4＝ 32，答案 32评论 平面向量数目积与三角函数的综合主要表现为两类： (1) 利用三角函数给出向量的坐标 形式，而后求数目积， 解答时利用数目积公式可直接解决；(2) 给出三角函数图象， 求图象上有关点组成的向量之间的数目积，解答时重点是求波及到的向量的模、以及它们的夹角.。

高中数学学习材料唐玲出品第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。

第三章三角恒等变换本章复习整体设计知识网络教学分析三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识巩固让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βα＋β， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等． 还需熟练掌握一些常见的式子： 如：sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx ＝2sin(x±π3)等． 对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．应用示例思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝－＋－1－－－，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]． ∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋t an(30°－A)tan(60°－A) ＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos αcos α－sin α2sin αcos αcos2α＝sin α2cos 2α－12sin αcos αcos2α＝cos2α2cos αcos2α＝12cos α.∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α，又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25.∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2.∴cos (α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1，即得2tan α＝1. 代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例题 已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2.〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕 ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ、cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路. 变式训练 已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x ，x∈R ，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋＋2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． 方法二：∵f(x)＝(sin 2x ＋cos 2x)＋sin2x ＋2cos 2x＝1＋sin2x ＋1＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． (2)f(x)＝2＋2sin(2x ＋π4)， 由题意，得2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，即k π－3π8≤x≤k π＋π8(k∈Z )． 因此，f(x)的单调增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k∈Z ). 知能训练课本复习题1～4.作业课本复习题5、6、7.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．备课资料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．函数y ＝12＋sinx ＋cosx的最大值是( ) A.22－1 B.22＋1 C ．1－22 D ．－1－22 3．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A.34 B ．－34C ．－154 D.1544．函数y ＝2sinx(sinx ＋cosx)的单调递减区间是( )A ．[2k π－π8，2k π＋7π8]，k∈ZB ．[2k π＋7π8，2k π＋15π8]，k∈ZC ．[k π－π8，k π＋5π8]，k∈ZD ．[k π＋3π8，k π＋7π8]，k∈Z5．求函数y ＝sin2xcosx 1－sinx的值域． 6．化简：f(x)＝cos 2x ＋cos 2(60°＋x)＋cos 2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y ＝sin2xcosx 1－sinx ＝2sinxcos 2x 1－sinx ＝－sin 21－sinx ＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin 2x ＋2sinx ＝2(sinx ＋12)2－12. 令t ＝sinx ，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t ＋12)2－12. ∴当t∈[－1,1)时，y∈[－12，4)． 6．解：f(x)＝1＋cos2x2＋1＋＋2＋1＋＋2 ＝32＋12[cos2x －cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)] ＝32＋12[cos2x －12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋32sin2x] ＝32. (设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值．(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课． 推进新课 知识巩固教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π42．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( )A ．－2 007B ．－12 007C ．2 007 D.12 0073．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－74．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决． 4．－12 先确定角的范围，－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，可得α－β2＝π6，α2－β＝－π6，∴α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)＝π3，α＋β＝2π3，cos(α＋β)＝－12. 5．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得π4＋θπ4＋θ＋π4－θπ4－θ＝π4＋θ＋π4－θπ4＋θπ4－θ＝1π4cos θ2－π4sin θ2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2×32×12－34＝－1＋32. 应用示例思路1例1若cos(π4－x)＝－45，5π4<x<7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tanx.活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tanx＝－cosx ＋sinx＝－cosx ＋sinx＝sin2x·1－tanx 1＋tanx ＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)．∵5π4<x<7π4，∴－3π2<π4－x<－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.变式训练已知cos α－sin α＝325，(1)求m ＝15sin2αα＋π4的值；(2)若函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cos α－sin α＝325，得cos(α＋π4)＝35.又因为sin2α＝－cos(π2＋2α)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725，所以m ＝15sin2αα＋π4＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x ＝3对称， 因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝2α(2sin 2α＋sin α－1)＝2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标. 变式训练已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈(π2，π)，a ·b ＝25，求52sin2α－α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos 2α－1＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45.∴cos(α＋π4)＝－7210.∴52sin2α－α＋π42cos2α2＝52×2×35－45＋28210－45＋1＝－10 2.例3已知函数f(x)＝2asin 2x －23asinxcosx ＋a ＋b(a≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝asinx ＋bcosx 型的函数，再应用y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a ，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－a(cos2x ＋3sin2x)＋2a ＋b ＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－－12＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2α－π4的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2α－π4＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3，∴cos α＝－1010，即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.变式训练已知α为第二象限角，且sin α＝1213，求π4－αα＋5π2的值．解：∵sin(2α＋5π2)＝sin[π2＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝π4－αα＋5π2＝cos π4cos α＋sin π4sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝2α－sin α.∵α为第二象限角，且sin α＝1213，∴cos α＝－1－sin 2α＝－513.∴原式＝－13234.例2设向量a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2，cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)．∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sin α－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可。

章末复习提升课1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β， tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.1．掌握相关公式本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．2．关注角的取值范围由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．三角函数式的求值(1)sin 15°＋cos 15°sin 15°－cos 15°的值为________．(2)已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.【解】 (1)原式＝tan 15°＋1tan 15°－1＝－1＋tan 15°1－tan 15°＝－tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝－tan(45°＋15°)＝－tan 60°＝－ 3.故填－ 3. (2)因为0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝17，sin α＝437.因为cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°， 所以sin(α＋β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又0°<β<90°，所以β＝60°.三角恒等式的证明已知tan 2θ＝2tan 2φ＋1，求证：cos 2φ＝2cos 2θ＋1. 【证明】 法一：因为tan 2θ＝2tan 2φ＋1， 所以tan 2θ＋1＝2(tan 2φ＋1)， sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝2·sin 2φ＋cos 2φcos 2φ，即11＋cos 2θ2＝21＋cos 2φ2，所以cos 2φ＝2cos 2θ＋1.法二：cos 2φ＝2cos 2θ＋1⇔2cos 2φ－1＝2(2cos 2θ－1)＋1 ⇔cos 2φ＝2cos 2θ⇔1cos 2θ＝2cos 2φ⇔sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝2（sin 2φ＋cos 2φ）cos 2φ⇔tan 2θ＋1＝2(tan 2φ＋1)⇔tan 2θ＝2tan 2φ＋1. 而由已知，tan 2θ＝2tan 2φ＋1成立， 所以cos 2φ＝2cos 2θ＋1.三角恒等变换与三角函数的性质已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解】 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．已知sin α＝25，则cos (π＋2α)＝( )A ．725B ．－725C ．1725D ．－1725解析：选D ．法一：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－825＝1725，所以cos (π＋2α)＝ －cos 2α＝－1725，故选D ．法二：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－sin 2α＝2125，所以cos (π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－1725，故选D ．2.3cos 15°－4sin 215°·cos 15°＝( ) A ．12 B ．22C ．1D ． 2解析：选D ．3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D ．3．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋134π的值是________． 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋134π＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝－43＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×1＝－17.答案：－174．已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x . (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值； (2)若f (θ)＝35，求cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2.(2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得：sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－4θ＝sin 4θ＝1625. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．解：(1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α. 因为cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝85cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.又α是第二象限角，则得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0或cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58.①由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0，得α＋π4＝2k π＋π⇒α＝2k π＋34π(k ∈Z )，所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－ 2.②由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522， 所以cos α－sin α＝－52. 综上可知cos α－sin α＝－ 2 或cos α－sin α＝－52.。

第3章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α，β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．分析 利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系． 解 ∵α，β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－tan 2(α－β)1＋tan 2(α－β)＝－1010， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45³31010＋35³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝_________________________.分析 要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α，代入到sin3αsin α＝135，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析 由sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos2α＝135.∵2cos 2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin2α＝－35，tan2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2³1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值．分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x )．解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos60°＋sin(x －20°)sin60°＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ²360°＋90°，即x ＝k ²360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________．解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331＋(－3)³⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．第二招 复角化单角例2化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可． 第三招 复角化复角例3已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 因为π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35³513＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂例13－sin70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝3－cos20°3－cos20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．二、化平方式 例2化简求值：12－1212＋12cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝sin2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α，2sin 2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4已知tan θ＝－12，则cos2θ1＋sin2θ的值是________．解析 cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos2αcos4α²cos8α…cos2n －1α的值例5求值：sin10°sin30°sin50°sin70°.解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116²sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin2x 的最值．解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin2x＝1－14sin 22x 2－sin2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2x ＝14sin2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合． 解 原函数化简得：y ＝sin2x ＋2cos 2x ＋1＝sin2x ＋1＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π8，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5π8，k ∈Z }． 点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值． 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．解 y ＝cos2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a >2.点评 形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值．解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2)．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值．解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义可证函数y ＝t －1t在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值．解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ²AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ²(1＋sin θcos θ)2sin 2θ ＝(2＋sin2θ)24sin2θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2θ4＋1sin2θ. 设t ＝sin2θ(0<t <1)．∴y ＝1＋t 4＋1t.∵函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上是单调减函数，∴当sin2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决．5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值． [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55³31010＋255³1010＝22. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值． [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255³31010－55³1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．[错解] 由题意知tan α，tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α，β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，可知tan α<0，tan β<0.∵α，β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝5π4.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确． [正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45， 当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3. ∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A ，B 是△ABC 的内角矛盾． ∴cos A ＝45， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性． [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x21＋2sin x 2cos x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2， 由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ， 显然该定义域不关于原点对称．因此，函数f (x )为非奇非偶函数．温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数．上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．[错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z . [剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角．∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数．∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立．∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0.∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立．∴cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

第3章 三角恒等变换章末复习课 苏教版必修4课时目标1．灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．知识结构一、填空题1．tan 15°＋1tan 15°＝________.2．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．3．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．4．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为________．6．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是________．7．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ＝________8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．9．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________. 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为________． 二、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是________．14．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．本章所学内容是三角恒等变换的重要工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．章末复习课作业设计 1．4解析 原式＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4.2．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x .∴T ＝π. 3．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－ 2. 4.4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136. ∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780.5.103解析 ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝－132＋11＋2×－13＝103. 6.π2解析 f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78，∴T ＝2π4＝π2.7.223解析 ∵sin 4 θ＋cos 4θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，∴sin 22θ＝89.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝223.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z 解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．－17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π.∴sin 2α＞0.∴sin 2α＝1－cos 22α＝45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17. 10.2π3解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)， ∴C ＝23π.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－ cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310，f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为 5.13．－32解析 y ＝2cos x －3sin x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫213cos x －313sin x＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.14．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π42－x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.。

第三章三角恒等变换本章复习整体设计知识网络教学分析三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识巩固让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βα＋β， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等． 还需熟练掌握一些常见的式子： 如：sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx ＝2sin(x±π3)等． 对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．应用示例思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝－＋－1－－－，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]． ∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋t an(30°－A)tan(60°－A) ＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos αcos α－sin α2sin αcos αcos2α＝sin α2cos 2α－12sin αcos αcos2α＝cos2α2cos αcos2α＝12cos α.∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α，又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25.∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2.∴cos (α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1，即得2tan α＝1. 代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例题 已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2.〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕 ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ、cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路. 变式训练 已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x ，x∈R ，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋＋2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． 方法二：∵f(x)＝(sin 2x ＋cos 2x)＋sin2x ＋2cos 2x＝1＋sin2x ＋1＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． (2)f(x)＝2＋2sin(2x ＋π4)， 由题意，得2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，即k π－3π8≤x≤k π＋π8(k∈Z )． 因此，f(x)的单调增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k∈Z ). 知能训练课本复习题1～4.作业课本复习题5、6、7.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．备课资料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．函数y ＝12＋sinx ＋cosx的最大值是( ) A.22－1 B.22＋1 C ．1－22 D ．－1－22 3．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A.34 B ．－34C ．－154 D.1544．函数y ＝2sinx(sinx ＋cosx)的单调递减区间是( )A ．[2k π－π8，2k π＋7π8]，k∈ZB ．[2k π＋7π8，2k π＋15π8]，k∈ZC ．[k π－π8，k π＋5π8]，k∈ZD ．[k π＋3π8，k π＋7π8]，k∈Z5．求函数y ＝sin2xcosx 1－sinx的值域． 6．化简：f(x)＝cos 2x ＋cos 2(60°＋x)＋cos 2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y ＝sin2xcosx 1－sinx ＝2sinxcos 2x 1－sinx ＝－sin 21－sinx ＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin 2x ＋2sinx ＝2(sinx ＋12)2－12. 令t ＝sinx ，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t ＋12)2－12. ∴当t∈[－1,1)时，y∈[－12，4)． 6．解：f(x)＝1＋cos2x2＋1＋＋2＋1＋＋2 ＝32＋12[cos2x －cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)] ＝32＋12[cos2x －12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋32sin2x] ＝32. (设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值．(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课． 推进新课 知识巩固教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π42．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( )A ．－2 007B ．－12 007C ．2 007 D.12 0073．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－74．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决． 4．－12 先确定角的范围，－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，可得α－β2＝π6，α2－β＝－π6，∴α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)＝π3，α＋β＝2π3，cos(α＋β)＝－12. 5．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得π4＋θπ4＋θ＋π4－θπ4－θ＝π4＋θ＋π4－θπ4＋θπ4－θ＝1π4cos θ2－π4sin θ2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2×32×12－34＝－1＋32. 应用示例思路1例1若cos(π4－x)＝－45，5π4<x<7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tanx.活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tanx＝－cosx ＋sinx＝－cosx ＋sinx＝sin2x·1－tanx 1＋tanx ＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)．∵5π4<x<7π4，∴－3π2<π4－x<－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.变式训练已知cos α－sin α＝325，(1)求m ＝15sin2αα＋π4的值；(2)若函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cos α－sin α＝325，得cos(α＋π4)＝35.又因为sin2α＝－cos(π2＋2α)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725，所以m ＝15sin2αα＋π4＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x ＝3对称， 因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝2α(2sin 2α＋sin α－1)＝2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标. 变式训练已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈(π2，π)，a ·b ＝25，求52sin2α－α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos 2α－1＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45.∴cos(α＋π4)＝－7210.∴52sin2α－α＋π42cos2α2＝52×2×35－45＋28210－45＋1＝－10 2.例3已知函数f(x)＝2asin 2x －23asinxcosx ＋a ＋b(a≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝asinx ＋bcosx 型的函数，再应用y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a ，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－a(cos2x ＋3sin2x)＋2a ＋b ＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－－12＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2α－π4的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2α－π4＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3，∴cos α＝－1010，即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.变式训练已知α为第二象限角，且sin α＝1213，求π4－αα＋5π2的值．解：∵sin(2α＋5π2)＝sin[π2＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝π4－αα＋5π2＝cos π4cos α＋sin π4sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝2α－sin α.∵α为第二象限角，且sin α＝1213，∴cos α＝－1－sin 2α＝－513.∴原式＝－13234.例2设向量a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2，cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)．∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sin α－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可。

第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导【教学过程】一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==．二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,P M P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+222121x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=--∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。