下载文档原格式
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
导数定义求极限一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心1. 利用导数定义求极限导数的两种定义1.f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f′(x0) = lim x → x 0f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} limx→x0x−x0f(x)−f(x0)2.f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f′(x0) = lim Δ x → 0\lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0+Δx)−f(x0)解题基本用到的是凑上面两种形式的思想。
例题1求 A = lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x − Δ x ) − f ( x ) Δ x \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x} Δxf(x−Δx)−f(x) 的极限这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号f ( x + Δ x ) f(x + \Delta x) f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义解：A = lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x\frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0−Δx)−f(x0)= lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x 0 + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x \frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x} −Δxf(x0+(−Δx))−f(x0) *(-1)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) * (-1)= - f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)例题2如果 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 ，且 f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)存在，求A = lim x → 0 f ( x ) x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} limx→0xf(x)解：由题意得A = lim x → 0 f ( x ) − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0} limx→0x−0f(x)−0= lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx→0x−0f(x)−f(0)= f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)例题3求A = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 −h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0−h)解：原式= lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0)+f(x0)−f(x0−h)= lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0) - lim h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}limh→0hf(x0−h)−f(x0)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) - lim h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh→0hf(x0−h)−f(x0)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) - (- f ′ ( x 0 )f'(x_0) f′(x0))=2 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)2.判断连续与可导的关系可导一定连续，连续不一定可导一般有两种题型：1.f ( x ) = { . . . ( x ! = x 0 ) . . . ( x = x 0 )f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0)\\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right.f(x)={......(x!=x0)(x=x0)例题4讨论 f ( x ) = { 0 x=0 x 2 s i n 1 x x!=0f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases} f(x)={0x2sinx1x=0x!=0 的连续性与可导性解：依题意得该函数的断点为 x = 0则： lim x → 0 x 2 sin 1 x \lim_{x \to 0} x^2\sin \frac{1}{x} limx→0x2sinx1 = 0(DAY 1.中的一个重要结论无穷小量*有界函数 = 0)由此可知该函数连续。
