线性函数、对数函数和指数函数模型

十个常用数学函数公式数学函数是数学领域中常用的工具，用于描述和分析数学中的关系和规律。

下面是十个常用的数学函数及其公式：1.线性函数线性函数是最简单和最常见的函数形式之一、它的一般形式为y =mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。

线性函数表示了两个变量之间的直接比例关系。

2.二次函数二次函数是指一元二次方程y = ax² + bx + c所表示的函数。

其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

二次函数通常表示一个开口向上或者向下的抛物线。

3.指数函数指数函数是以一个固定底数为底的函数形式，表示为y=a^x。

其中a是底数，x是指数。

指数函数常用于描述指数增长和指数衰减。

4.对数函数对数函数是指数函数的反函数。

对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，表示找到a的多少次幂等于x。

对数函数常用于解决指数问题，如计算复利和对数衰减。

5.三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是最基本的周期性函数。

正弦函数的一般形式为y = Asin(Bx + C) + D，其中A是振幅，B是频率，C是相移，D是垂直位移。

三角函数在几何、物理、工程和计算机图形等领域中得到广泛应用。

6.反三角函数反三角函数是三角函数的反函数。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

它们的函数形式和三角函数相反，可表示为y = sin⁻¹(x)、y = cos⁻¹(x)和y = tan⁻¹(x)。

7.指数增长和指数衰减函数指数增长和指数衰减函数描述了随着时间的推移，变量值按照指数规律增加或减少。

指数增长函数的一般形式为y = abˣ，其中a是初始值，b是增长因子。

指数衰减函数的一般形式为y = abˣ，其中a是初始值，b是衰减因子。

8.正态分布函数正态分布函数描述了连续随机变量的分布情况。

它的一般形式为y=e^(-(x-μ)²/2σ²)/(σ√(2π))，其中μ是均值，σ是标准差。

常用函数的象和性质函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域中。

在数学中，我们常常需要通过函数的象来研究函数的性质。

本文将介绍几种常用函数的象和性质，帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，形式为f(x) = ax + b，其中a、b为常数，且a不等于0。

线性函数的象是全部实数集R，即f(x)的取值范围是全体实数。

线性函数的性质如下：1. 斜率：线性函数的斜率为常数a，表示函数图像的倾斜程度。

斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜。

2. 截距：线性函数的截距为常数b，表示函数图像与y轴的交点。

截距为正时，函数图像在y轴上方；截距为负时，函数图像在y轴下方。

3. 单调性：线性函数的单调性与斜率的正负有关。

当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。

二、二次函数二次函数是一类常见的函数，形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的象取决于a的取值。

1. 当a>0时，函数图像开口向上，象是一条抛物线的上半部分。

函数的最小值为c，即f(x) >= c，c为二次函数的顶点坐标。

2. 当a<0时，函数图像开口向下，象是一条抛物线的下半部分。

函数的最大值为c，即f(x) <= c，c为二次函数的顶点坐标。

3. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

即若点(x,y)在图像上，则点(2a-x,y)也在图像上。

三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a>0且a≠1。

指数函数的象和性质取决于底数a的取值。

1. 当0<a<1时，函数图像递减，趋近于x轴上的正半轴。

函数的象是(0,正无穷)，即正数的全体。

2. 当a>1时，函数图像递增，趋近于x轴上的负半轴。

函数的象是(负无穷,正无穷)，即实数集R。

3. 性质：指数函数有如下重要性质：- a^0 = 1，即任何数的0次幂等于1。

函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。

线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。

二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。

指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。

4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。

对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。

5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。

三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。

二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。

如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。

2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。

对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。

3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。

平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。

4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。

复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。

常见的八种函数模型函数模型是数学中非常重要的概念，它描述了数学中一种常见的关系形式。

在数学中，有很多种不同的函数模型，每种模型都有其独特的特点和应用。

下面将介绍常见的八种函数模型。

第一种函数模型是线性函数模型。

线性函数是一种最简单、也是最容易理解的函数模型。

它的特点是函数图像是一条直线。

线性函数的形式为y=ax+b，其中a和b是常数。

线性函数模型常见于经济学中的供求关系、物理学中的速度和位移关系等等。

第二种函数模型是二次函数模型。

二次函数的图像是一条抛物线。

二次函数的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c 是常数。

二次函数模型常见于物理学中的抛体运动、植物生长的规律等等。

第三种函数模型是指数函数模型。

指数函数的图像呈现出一种逐渐递增或递减的趋势。

指数函数的形式为y=a^x，其中a是常数。

指数函数模型广泛应用于经济学中的复利计算、生物学中的细胞增殖等等。

第四种函数模型是对数函数模型。

对数函数模型与指数函数模型是相互关联的。

对数函数的特点是函数图像呈现出一种逐渐平缓的趋势。

对数函数的形式为y=loga(x)，其中a是常数。

对数函数模型常见于物理学中的声音强度、经济学中的价格弹性等等。

第五种函数模型是三角函数模型。

三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数等等。

三角函数的特点是周期性波动。

三角函数模型常见于物理学中的波动现象、天文学中的周期性运动等等。

第六种函数模型是多项式函数模型。

多项式函数是由一个常数和一系列项相加或相乘得到的函数。

多项式函数的形式为y=a₀+a₁x+a₂x²+...+anxn，其中a₀、a₁、a₂等都是常数。

多项式函数模型常见于经济学中的市场需求曲线、物理学中的力和位移关系等等。

第七种函数模型是有理函数模型。

有理函数是由一个多项式函数除以另一个多项式函数得到的函数。

有理函数的形式为y=(a₀+a₁x+a₂x²+...+anxn)/(b₀+b₁x+b₂x²+...+bmxm)，其中a₀、a₁、a₂等和b₀、b₁、b₂等都是常数。

常见的八种函数模型在计算机科学和数学领域中，函数模型是解决问题和进行分析的重要工具。

函数模型描述了一种输入与输出之间的关系，通过将输入映射到输出来实现某种目标。

在现实生活中，我们经常会遇到各种不同的函数模型。

下面将介绍常见的八种函数模型，并探讨它们在实际应用中的指导意义。

第一种函数模型是线性函数模型。

线性函数模型是最简单也是最常见的函数模型之一。

它的表达式可以写成y = ax + b的形式，其中a和b是常数，x是输入变量，y是输出变量。

线性函数模型描述了一个直线的关系，它经常用于分析两个变量之间的线性关系，比如身高和体重之间的关系。

线性函数模型的指导意义是帮助我们理解和预测变量之间的线性关系，并为实际问题提供解决方案。

第二种函数模型是多项式函数模型。

多项式函数模型是一种常见的非线性函数模型。

它的表达式可以写成y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n的形式，其中a0, a1, a2, ..., an是常数，x是输入变量，y是输出变量。

多项式函数模型可以描述各种曲线的形状，它在多个领域有着广泛的应用，比如拟合实验数据、逼近复杂函数等。

多项式函数模型的指导意义是帮助我们理解和建模复杂的非线性关系，并通过对曲线的研究来解决实际问题。

第三种函数模型是指数函数模型。

指数函数模型描述了一种指数增长或指数衰减的关系。

它的表达式可以写成y = a * e^(b * x)的形式，其中a和b是常数，e是自然对数的底，x是输入变量，y是输出变量。

指数函数模型经常用于分析物种的生长、人口的增长等现象。

指数函数模型的指导意义是帮助我们理解和预测呈指数形式增长或衰减的现象，并为相关问题提供解决方案。

第四种函数模型是对数函数模型。

对数函数模型描述了一种对数增长或对数衰减的关系。

它的表达式可以写成y = a * log(b * x)的形式，其中a和b是常数，log表示以b为底的对数，x是输入变量，y是输出变量。

拟合函数模型在数据分析和机器学习中，拟合函数模型是一种常见的方法，用于描述数据集中的趋势和关系。

通过拟合函数模型，我们可以根据已有的数据点预测未知数据的值，或者对数据的变化趋势进行分析。

拟合函数模型的基本思想是找到一个函数，使其能够最好地拟合已有的数据。

常见的拟合函数模型包括线性回归、多项式回归、指数函数、对数函数等。

在选择拟合函数模型时，需要根据数据的特点和问题的要求来确定，常常需要根据实际情况进行试验和比较。

线性回归是最简单和常用的拟合函数模型之一。

它的基本形式是y = ax + b，其中a和b是待求的参数。

通过最小化拟合函数与实际数据之间的误差，可以得到最佳的参数估计。

线性回归适用于数据呈现线性关系的情况，可以用来预测一个变量与另一个变量之间的关系。

多项式回归是线性回归的一种扩展形式。

它的基本形式是y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, a2, ..., an是待求的参数。

多项式回归可以用来拟合非线性关系的数据，通过增加多项式的阶数，可以更好地适应数据的变化趋势。

指数函数和对数函数是常用的非线性拟合函数模型。

指数函数的基本形式是y = ae^(bx)，其中a和b是待求的参数。

指数函数适用于数据呈现指数增长或衰减的情况，可以用来分析增长速度或衰减速度。

对数函数的基本形式是y = a + b ln(x)，其中a和b是待求的参数。

对数函数适用于数据呈现对数关系的情况，可以用来分析变化趋势和幅度。

除了上述常见的拟合函数模型，还有很多其他的模型可以用来拟合数据。

例如，高斯函数、幂函数、三角函数等。

在选择拟合函数模型时，需要考虑数据的特点、问题的要求和模型的复杂度，综合评估并选择最合适的模型。

拟合函数模型的优势在于可以通过已有的数据对未知的数据进行预测和分析。

通过拟合函数模型，我们可以利用数据的规律和趋势来进行决策和预测，从而提高工作效率和决策准确性。

初中到高中函数归纳总结函数是数学中的一种基本概念，对于初中生而言，函数的学习主要集中在探索线性函数、二次函数以及简单的初等函数。

然而，随着升入高中，学生将会接触到更多种类的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。

本文将对初中到高中函数的学习内容进行归纳总结，旨在帮助读者全面了解和掌握这些知识点。

一、线性函数线性函数是初中阶段最常见的一类函数。

其一般形式可以表示为：y = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

线性函数的图像是一条直线，斜率决定了线的倾斜方向和陡峭程度，截距则决定了线与y轴的交点位置。

在初中的学习中，除了研究线性函数的图像特征外，学生还需要掌握线性函数的性质和应用。

例如，线性函数的值随着自变量的增大而增大或减小，这就反映了数量之间的比例关系。

在实际问题中，线性函数常用于描述直线运动、价格与数量的关系等。

二、二次函数二次函数是初中数学中另一个重要的函数类型。

其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

初中阶段，学生主要学习了一些简单的二次函数，例如y = x^2和y = -x^2。

但是，在高中阶段，学生将进一步研究二次函数的图像、性质和应用。

他们会学习到二次函数的平移、翻折、缩放等变换方式，以及二次函数在物理、几何等方面的实际应用。

三、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中阶段的重点内容，与初中的线性函数和二次函数相比，它们更有挑战性。

指数函数具有以下一般形式：y =a^x，其中a为底数，x为指数。

对数函数则是指数函数的逆运算，其一般形式为：y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。

在初中阶段，学生会接触到简单的指数函数和对数函数，例如y =2^x和y = log2(x)。

但是，在高中阶段，学生将学习更多复杂的指数函数和对数函数，如常用的以e为底数的自然指数函数和自然对数函数。

3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。

高中函数种类函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在高中数学中，函数是一个重要的研究内容，也是学生们需要掌握的知识点之一。

高中函数种类主要包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

下面将逐一介绍这些函数种类的特点和应用。

一、线性函数线性函数是最简单的函数之一，其函数表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的特点是图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。

线性函数在实际应用中十分常见，比如直线运动、电路中的欧姆定律和直线增长模型等。

直线运动中，速度与时间的关系可以表示为线性函数；欧姆定律中，电流与电压的关系也可以表示为线性函数；在经济学中，线性函数可以用来建立一些简单的增长模型。

二、二次函数二次函数是一个抛物线，其函数表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。

二次函数的图像可以是开口向上或者开口向下的抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, -Δ/4a），其中Δ为b^2-4ac，称为判别式。

二次函数也有很多实际应用，比如物体自由落体的运动轨迹、抛物线天线的形状和椭圆轨道的描述等。

自由落体运动中，物体的高度与时间的关系可以用二次函数来表示；在物理学中，二次函数可以用来描述光学系统中的成像原理。

三、指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其函数表达式为y = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。

指数函数的图像在坐标平面上是一个递增或递减的曲线，具有特定的增长率。

指数函数在各个领域都有广泛的应用，比如生物学中的人口增长模型、经济学中的复利计算和物理学中的放射性衰变等。

人口增长模型中，指数函数可以用来描述人口数量随时间的变化；复利计算中，指数函数可以用来计算利息的增长；放射性衰变中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。

四、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，其函数表达式为y = loga(x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。

高中数学学习中的数学模型构建方法在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节。

数学模型是将实际问题转化为数学语言的一种工具，通过建立模型，可以更好地理解和解决实际问题。

本文将介绍一些常用的数学模型构建方法，以帮助高中生在数学学习中更好地运用模型。

一、函数模型构建方法函数模型是数学模型中最常见也是最基础的一种形式。

构建函数模型时，可以根据实际问题中所涉及的变量关系，选择合适的数学函数来表达。

以下是一些常见的函数模型构建方法：1. 线性函数模型：当实际问题中的变量之间呈现线性关系时，可以使用线性函数模型来描述。

线性函数的形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示直线的斜率和截距。

2. 指数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现指数增长或递减的特点时，可以使用指数函数模型来描述。

指数函数的形式为 y = a^x，其中 a 是常数，x 表示自变量。

3. 对数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现对数关系时，可以使用对数函数模型来描述。

对数函数的形式为 y = loga(x)，其中 a 是底数，x 表示自变量。

二、统计模型构建方法统计模型是一种通过数据分析来建立的模型。

在高中数学学习中，常常需要根据给定的数据，建立统计模型来进行预测或者推断。

以下是一些常见的统计模型构建方法：1. 线性回归模型：线性回归是一种常用的统计方法，通过分析自变量和因变量的线性关系，建立一个拟合程度较高的线性模型。

线性回归模型的表达形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示回归系数和截距。

2. logistic 回归模型：logistic 回归模型是一种常用的分类模型，在二分类问题中应用较为广泛。

logistic 回归模型通过分析自变量和因变量之间的关系，给出了一个概率值，用于判断样本属于哪一类。

三、几何模型构建方法几何模型是一种通过几何图形来表示实际问题的数学模型。

在高中几何学中，常常需要根据给定的条件，建立相应的几何模型来求解问题。

五个基本函数五个基本函数是数学中的重要概念，在不同的数学领域都有广泛的应用。

本文将分别介绍线性函数、指数函数、对数函数、三角函数和多项式函数这五个基本函数，并讨论它们的特点和应用。

一、线性函数线性函数是最简单的函数之一，它的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

线性函数具有以下特点：1. 线性函数的图像是一条直线，直线的斜率决定了函数的增减趋势；2. 斜率为正时，函数呈现递增趋势；斜率为负时，函数呈现递减趋势；3. 线性函数的零点是-x = b/a，即函数与x轴的交点；4. 线性函数的图像关于y轴对称。

线性函数在实际应用中有很多用途，例如在经济学中用于描述成本、收益和价格之间的关系，在物理学中用于描述速度、加速度和力之间的关系等。

二、指数函数指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数，它的表达式为f(x) = a^x，其中a是正实数。

指数函数具有以下特点：1. 指数函数的图像是一个递增的曲线，且经过点(0,1)；2. a > 1时，指数函数递增，曲线向上凸；0 < a < 1时，指数函数递减，曲线向下凹；3. 指数函数的特殊情况是以e为底的指数函数，即f(x) = e^x，它具有特殊的性质和广泛的应用。

指数函数在科学计算、金融领域、生物学和物理学等领域中有广泛的应用，例如在自然增长和衰减、放射性衰变、复利计算和布朗运动等方面。

三、对数函数对数函数是指数函数的反函数，它的表达式为f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1，x是正实数。

对数函数具有以下特点：1. 对数函数的图像是一条递增的曲线，且经过点(a,1)；2. 对数函数的底数决定了函数的增长速度，底数越大，函数增长越快；3. 对数函数的特殊情况是以10为底的对数函数，即f(x) = log10(x)，它称为常用对数函数；4. 对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

导数--几个经典函数模型_1229导数--几个经典函数模型_1229导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。

求导的过程可以应用于各个领域，从物理学到经济学，都能帮助我们更好地理解事物的变化规律。

本文将介绍几个经典的函数模型及其导数求解方法。

1.线性函数模型线性函数模型是一种简单但常见的函数形式，任何一条直线都可以用线性函数表示。

线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。

对线性函数模型求导很简单，由于线性函数的导数是常数，所以导数等于斜率k。

这意味着线性函数的斜率恒定，不受x的值的影响。

2.幂函数模型幂函数是一类形如y = ax^n的函数，其中a是常数，n是指数。

对幂函数模型求导需要使用幂函数的求导法则，即对于y = ax^n，导数等于nax^(n-1)。

该法则表明，幂函数的导数与指数n和系数a有关。

指数较大时，幂函数的导数会增大；系数较大时，幂函数的导数也会增大。

3.指数函数模型指数函数模型是一类形如y=a^x的函数，其中a是常数。

对指数函数模型求导需要使用指数函数的求导法则，即对于y = a^x，导数等于ln(a)*a^x。

这意味着指数函数的导数与底数a有关。

底数较大时，指数函数的导数也会增大。

4.对数函数模型对数函数模型是一类形如y = log_a(x)的函数，其中a是常数。

对对数函数模型求导需要应用对数函数的求导法则，即对于y =log_a(x)，导数等于1/(x*ln(a))。

这意味着对数函数的导数会随着自变量x的增大而减小，且与底数a有关。

底数较大时，对数函数的导数会减小。

5.三角函数模型三角函数模型包括正弦函数和余弦函数，分别用y = sin(x)和y = cos(x)表示。

对三角函数模型求导需要使用三角函数的求导法则。

对于正弦函数，导数为cos(x)；对于余弦函数，导数为-sin(x)。

这意味着正弦函数的导数是余弦函数，而余弦函数的导数是负的正弦函数。

经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。

函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。

经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。

本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。

一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。

线性函数的表达式为：y = ax + b。

（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。

例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。

二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。

二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。

在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。

例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。

三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。

指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。

指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。

例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。

四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。

对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。

对数函数在经济学中也是常用的函数之一。

例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。

五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。

多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。

例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。

七个典型的有界函数在数学中，有界函数是指定义域内的函数值都具有上界或下界的函数。

这些函数在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍七个典型的有界函数，并对其特点和应用进行详细阐述。

一、常数函数常数函数是指函数的值在定义域内始终保持不变的函数。

常数函数是一种典型的有界函数，因为它的值具有上界和下界。

例如，函数f(x) = 3是一个常数函数，其定义域为实数集，函数值始终为3。

常数函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学中，常数函数可以描述一些固定不变的物理量。

二、线性函数线性函数是指函数的图像为一条直线的函数。

线性函数在定义域内的函数值也是有界的。

例如，函数f(x) = 2x + 1是一个线性函数，其定义域为实数集，函数值的上界为正无穷，下界为负无穷。

线性函数在经济学中有着广泛的应用，可以用来描述一些线性的经济关系。

三、指数函数指数函数是指以常数e为底的幂函数。

指数函数在定义域内的函数值也具有上界和下界。

例如，函数f(x) = e^x是一个指数函数，其定义域为实数集，函数值的上界为正无穷，下界为0。

指数函数在概率统计学中有着重要的应用，可以用来描述一些随机变量的概率分布。

四、对数函数对数函数是指以常数e为底的对数函数。

对数函数在定义域内的函数值也是有界的。

例如，函数f(x) = ln(x)是一个对数函数，其定义域为正实数集，函数值的上界为正无穷，下界为负无穷。

对数函数在计算机科学中有着广泛的应用，可以用来描述一些算法的时间复杂度。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数等以角度为自变量的函数。

三角函数在定义域内的函数值也具有上界和下界。

例如，正弦函数f(x) = sin(x)的定义域为实数集，函数值的上界为1，下界为-1。

三角函数在物理学和工程学中有着重要的应用，可以用来描述一些周期性的物理现象。

六、多项式函数多项式函数是指以自变量的幂为基的函数。

多项式函数在定义域内的函数值也是有界的。

f x函数f(x)函数是数学中常见的函数形式之一。

它是一个通用的表示方式，其中x是自变量，f(x)是对应的函数值。

通过给定的自变量x，我们可以计算出相应的函数值f(x)。

f(x)函数可以表示各种形式的函数。

根据具体的问题或数学模型，f(x)可以是线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。

下面将分别介绍常见的几种f(x)函数形式。

首先是线性函数，它的一般形式可以写作f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

线性函数在解决一些简单的实际问题时非常有用，比如描述两个量之间的线性关系。

接下来是多项式函数，它可以写作f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中n是正整数，a₀, a₁, ..., aₙ是系数。

多项式函数是一系列按幂次递减排列的项的和，每一项都包含一个系数和一个自变量的幂。

多项式函数的图像可以是曲线或折线，具体形状取决于幂次和系数的值。

指数函数是另一种常见的f(x)函数形式，它可以写作f(x) = aᵏ，其中a是正数且不等于1，k是实数。

指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，斜率随着x的增大而变化。

指数函数在描述一些指数增长或指数衰减的现象时非常有用，比如利息的复利计算、人口增长等。

对数函数是指数函数的反函数，它可以写作f(x) = logₐ(x)，其中a 是正数且不等于1。

对数函数的图像通常是上升的曲线，斜率随着x 的增大而逐渐减小。

对数函数在解决某些指数关系中的未知量时非常有用，比如求解指数方程、计算复杂度等。

此外，三角函数也是一种常见的f(x)函数形式。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们分别表示了角度和三角比值之间的关系。

三角函数的图像是周期性的波形，可以用来描述周期性的现象，比如振动、波动等。

综上所述，f(x)函数是数学中常见的函数表示方式之一，可以表示各种形式的函数。