第三章--图形的平移与旋转培优训练(北师大版)

第三章图形的平移与旋转第1节生活中的平移问题导读1．一个图形沿着一定的方向平行移动，一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的_____和______所决定．2．如图11-1-1中的四个图案，哪些是由一个基本图形平移得到的？观察它们的线段和角有什么关系？图11-1-1重点研读平移是现实世界运动变化的最简捷形式之一．平称是本章的重点，也是难点．突破的关键是认真，理解平移的基本性质，注意形成技能；增强审美意识．（1）平移的概念．如果平面内每个点都沿某射线OV的方向移动相同的距离d，这种平面内全体点的移动叫做平行移动，简称平移．射线ＯＶ所指的方向叫做平移方向，距离d叫做平移距离．（2）对应点、对应角、对应线段．（这是重点）如图11-1-2△A´B´C´是△ABC经过平移后得到的图形，则A的对应点是A´，∠B 的对应角是∠B´,线段AB的对角线段是A´B´．（3）平移是由平移的方向和距离所决定的．图11-1-2探究拓展【例1】观察下列图形，体会它们是如何由某一基本图形沿着一定的方向移动而产生的．图11-1-3【例2】请你拿一张纸对折后,剪成两个相同的三角形，将两个三角形重合．试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，得到下列图形，并体会哪些图形可通过平移得到．E B C A D B AF E B CA D EBC AD (1) (2) (3) (4)F E BCA DB C A D B CA D EB C A D(5) (6) (7) (8)图11-1-4【思路点拨】本题可以动手做一做，你就会找到正确答案．解：可以通过平移得到的图形有：（1）（3）【解题反思】①用动手操作的方法解题，对本题来说是一个好方法．②平移的整体理解．③本题中（5）是旋转其中一个三角形得到的（7）是翻折其中一个三角形得到的不可误认为是平移变换.【例3】如图11-1-5所示，△ABC经过平移后成为△A´B´C´；试指出图中的对应点，对应角以及对应线段．11-1-5【思路点拨】本题考查同学对图形平移概念的理解，知道平移后的图形与平移前的图形其形状，大小都是相同的；因此，找出对应关系的量，只要通过我相等的量就可以了．解：点Ａ的对应点是A´；点B的对应点是B´；点C的对应点是C´；∠A的对应角是∠A´；∠B的对应角是∠B´；∠C的对应角是∠C´；线段AB的对应线段是线段A´B´;线段AC的对应线段是线段A´C´;线段BC的对应线段是线段B´C´;【解题反思】找出平移前与平移的对应元素，是本节的重点，关键是正确理解平移的概念．【例4】如图11-1-6，△ABE沿着BC的方向平移到△FCD的位置，若有AB=4cm，AE=3cm，BE=2cm，BE=5cm，则CF、CD、DF、EF的长分别是多少？图11-1-6【思路点拨】解这道题应抓住平移的基本特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；平移后对应点所连的线段平行且相等.解：因为△FCD是由△ABE沿着BC方向平移所得到的，所以有：CF=AB=4cm，CD=BE=2cm，DF=AB=3cm，AF=BC=5cm，所以EF=AF-AE=2cm.【解题反思】①特别应该注意的是EF不是平移距离的全部.②在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上.（如AE与FD）基础演练一、填空题：1、请你把图11-1-8中的小旗升到旗杆顶部说一说，小旗的_______和_______没有改变．2、如图11-1-9所示，△ABC经过平移到△A´B´C´的位置，量得A、A´间的距离为2.1cm，则B、B´间的距离是_______．图11-1-8 图11-1-9 图11-1-103、如图11-1-10,把△ABC平移到△A´B´C´,请回答：（1）点A的对应点是_______，点B的对应点是_______，点C的对应点是_______．（2）图中平行的线段是AB∥______，BC∥______，AC∥______，AA´∥______∥______. （3）图中相等的线段是AB=______，BC=______，AC=______，AA´=______=______.二、选择题4、如图11-1-11所示，将图（1）中的△ACD，沿AC方向平移，得到图（2），连结AD´，BC´的关系为（）.图11-1-11A.相交B.平行C.平行且相等D.相等5．关于平移，下列说法正确的是（）A.平移由移动的方向所决定;B.平移由移动的距离所决定.C.图形只要移动就是平移;D.平移由移动的方向和距离所决定.探究升级一、选择题：在下面的五幅图案中，图书馆11-1-12是由A、B、C、D中的哪个图案可以通过平移得到（）图11-1-12二、解答题：如图11-1-13，△ABC经过平移后得△DEF，已知∠A=50°，∠E=60°，求∠C的度数.图11-1-13第2节简单的平移作图问题导读1、平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段____，对应角___，图形的___与____都没有发生变化，且对应点所连的线段____．2、线段CD是线段AB平移后的图形，C是A的对应点，作出线段AB．重点解读：1.图形在平移过程中，只是位置发生了变化，而形状和大小都未发生变化，这体现了变与不变的辩证思想.2、图形平移的方向就是这个图形上的某一点到它对应点的方向，平移的距离就是连结一对对应点线段的长度.3、画平移图形，关键是画各关键点的对应点，其方法是一画平行线（过该点作平行于平移方向的一条射线），二截线段.（在射线上找到一点，使它到已知点的距离等于平移距离）探究拓展【例1】如图11-1-4，△DEF是△ABC经过平移得到的，（1）请你指出平移的方向，量出平移的距离．（2）如果点M、N分别是边AB、DE的中点，那么点M与点N间的距离是多少？线段CM与FN相等吗？为什么？图11-1-4 图11-1-5【思路点拨】通过观察可知，点A与点D，点B与点F是三对对应点，因此，点C到点F的方向就是平移的方向，连结C、F两点的线段CF的长度就是平移的距离．显然点M 与点N也是一对对应点；线段CM与FN也是一对对应线段．解：（1）因为点C与点F是一对对应点，连结CF，所以点C到点F的方向就是平移的方向；平移的距离就是线段CF的长度，约4cm.（2）因为线段AB与线段DE是一对对应线段，所以它们的中点M与N就是一对对应点，线段CM与线段FN是一对对应线段，因此，点M与点N的距离就是平移的距离，约4cm，线段CM与线段FN相等.【解题反思】（1）认真观察图形的位置，找出特殊点的对应点，根据对应点的位置来确定平移的方向和平移的距离.（2）画图形平移的方向时，只需要连结一对特殊的对应点，并标明方向即可.（3）说明点M与点N的距离就是平移的距离时，一定要先说明它们是图形过程中的一对对应点.【例2】如图11-1-5，△DEF是等边三角形ABC沿线段BC方向平移得到的．请你想一想，图中共有多少个等边三角形？多少个平行四边形？【思路点拨】△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置,其中点A与点D、点B与点E，点C与点F是三对对应点，根据平移的特征，有DE=AB，EF=BC，DF=AC；AD∥BE，AD∥CF，AB∥DE，AC∥DF；且点B、E、C、F四个点在同一条直线上．由于△ABC是等边三角形，所以△DEF也是等边三角形，又由平行线的性质，通过角与角的关系的转化，易知△AGD 与△GEC 也是等边三角形．同理四边形ABED 与ACFD 是平行四边形．解：图中一共有4个等边三角形，它们分别是△ABC 、△DEF 、△AGD 和△GEC.图中一共有两个平行四边形，它们分别是四边形ABED 和四边形ACFD.【解题反思】（1）学会观察图形平移前后的位置变化，确定有关对应点.（2）要善于根据平移的特征来识别有关线段、角的大小关系和位置关系.（3）充分认识平移的思想在几何问题中的作用.【例3】如图11-1-6，在长方形ABCD 中，AB=10cm ，BC=6cm ，试问将长方形ABCD 沿着AB 方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为24c m 2？图11-1-6【思路点拨】不妨设平移后的长方形为EFGH(如图11-1-6)，根据平移的特征，四点D 、H 、C 、G 在同一条直线上，四点A 、E 、B 、F 在另一条直线上,则长方形EBCH 即为重叠部分．由S 长方形EBCH =EB ×BC=24，可得EB=624=4，从而AE=4，从而AE=AB-EB=6. 解：设长方形EFGH 为平移后的长方形位置，由平移的特征可知，点E 、F 、G 、H 分别是点A 、B 、C 、D 平移后的对应点，且点D|H 、C 、G 在同一条直线上，点A 、E 、B 、F 在另一条直线上，从而长方形EBCH 即是重叠部分，由EB ×BC=24，可得EB=4cm ，则AE=AB-EB=6cm.又因为点A 与点E 是对应点，所以线段AE 的长度就是长方形ABCD 平移到长方形EFGH 位置的距离.答：将长方形ABCD 沿着AB 方向平移6cm 才能使平移的长方形与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为24cm 2.【解题反思】通过对本题解答，同学们的思维应该有所拓展：①抓住图形在平移过程中的不变量.②注意知识的综合运用，本题也可以用方程的知识来解决；设平移的距离为xcm，由题意有6（10-x）=24，解得x=6cm，在解平移的问题时，同样要灵活运用有关代数知识或其他几何知识.【例4】如图11-1-7，平移方格纸中的图形，使点A平移到点A′处,请画出平移后的图形．【思路点拨】由题意可知,点A与点A′是一对对应点,因此,平移的方向就是点A到点A′的方向,平移的距离就是线段AA′的长度(在方格纸中就是先向上移动2格,再向右移动3格).按照平移的方向和距离,确定图中的特殊点A、B、C、D、E、F、G、H的对应点的位置，于是，图中有关对应线段、对应角的位置也就随之确定了.图中的圆的对应位置是以A′为圆心，1格的长度为半径的圆.解：见11-1-7中虚线部分，步骤如下：①先以点A′为圆心，1格的长度为半径画圆.②分别把点B、C、D、E、F、G、H先向上移动2格，再向右移动3格，画出它们的对应点 B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′，然后顺次连结B′、C′、E′、G′、H′、F′、D′、B′八个点，得到的图形即是所要求作的图形.【解题反思】把图形从一个位置平移到另一个位置时，画法一般是：①先确定平移的方向和距离；②按照平移的方向和距离把图形中的特殊点的对应点的位置确定出来，特殊点指的是多边形的顶点、圆或弧的圆心等等；③连结有关线段，画有关圆或弧线.基础演练一、填空：1、如图11.2.1，△ABC经过平移到△A′B′C′的位置，则平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如图11.2.2，线段AB是线段CD经过平移得到的，则线段AC与BC的关系为（）A.相交B.平行C.相等D.平行且相等图11.2.1 图11.2.2 图11.2.33、如图11.2.3，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.（在两个三角形的内角中找）4、如图11.2.4，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，则：①画出平移方向，平移距离是_______；（精确到0.1cm）②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______;③DH=_________=_______A=_______.图11.2.4 图11.2.55、如图11.2.5，△ABC平移后得到了△DEF，（1）若∠A=28º，∠E=72º，BC=2，则∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；（2）在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行.6、如图11.2.6，请画出△ABC向左平移4格后的△A1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，若把△A2B2C2看成是△ABC经过一次平移而得到的，那么平移的方向是___________，距离是__________的长度.图11.2.6 图11.3.3 图11.3.4二、选择题：7、如图11.3.3，△ABC经过平移到△DEF的位置，则下列说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有（）A.个B.2个C.3个D.4个8、如图11.3.4，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，则△AFE经过平移可以得到（）A.△DEFB.△FBDC.△EDCD.△FBD和△EDC三、探究升级：1、如图11.2.7，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1.图11.2.7 图11.2.82、如图11.2.8，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相垂直，画出线段AC平移后的线段，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长，平移后所得到的线段与BC的处长线相交于E，则下列说法中错误是（）A.AC=DEB.BE=AD+BCC.∠BDE=90ºD.BE=2CE3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特片，并与同伴交流.4、（1）求图11.3.7中，阴影部分的面积是___.（2）如图11.3.8中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是______.图11.3.7 图11.3.8 图11.3.95、利用如图11.3.9的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.第3节生活中的旋转问题导读：1、旋转过程中，_______保持不动，图形的旋转由_______和_______所决定．2、图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到______的距离相等，对应_____，_____相等，图形的_____和______都没有发生变化．3、一个图形绕着某一点旋转一定的角度后能与_______重合，这种图形就称为旋转对称图形，其旋转中心，一定在图形的_______部．4、在平面内，将一个图形绕着______旋转了______；转动一个______，这样的图形运动称为旋转．______称为旋转中心，转动的角的度数称为______．重点解读：1、旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度，在旋转过程中，旋转中心保持不动，而其他点都做弧线运动．2、旋转中心就是旋转过程中的不动点，而旋转的角度就是任意一对对应线段夹角的度数．3、旋转，旋转中心：一个图形绕着某一点从一个位置转移到另一位置，像这样的运动，就叫旋转，这一点就叫做图形旋转的旋转中心．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动．旋转的决定因素：①旋转中心②旋转角度③旋转方向旋转的特片：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.旋转对称图形：一个图形绕着某一定点，旋转一定的角度后能与自身重合，这种图形就称为旋转对称图形，这一定点称为旋转中心．旋转对称图形的特片：旋转中心应在旋转对称图形上．4、①旋转中心的寻找:在旋转过程中保持不动点．②旋转角的寻找：两对应点，以旋转中心为顶点的角．③旋转角与旋转角度的区别：旋转角度即旋转角的度数．旋转角是一个图形，旋转角是一个数量．④旋转角度的范围：若旋转角为a，则0º＜a＜360º．5、图形的旋转．（1）图形旋转的定义：一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动，叫做旋转，其中这个点叫做旋转中心．注意：①本章主要研究基本的平面图形的旋转．②旋转中心在旋转过程中保持不动．③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定．④旋转角度一般小于360º．（2）有关对应量的确定．如果旋转中心和旋转角度确定后，一个图形由一个位置旋转到另一个位置，那么图形旋转后的有关对应点、对应线段和对应角也是确定的．例如，在图11-2-2中，△OAB绕点O顺时针旋转45º到△OA′B′的位置，那么点A的对应点是A′，点B的对应点是点B′；线段OA 的对应线段是线段OA′,线段OB的对应线段是线段OB′,线段AB的对应线段是线段A′B′；∠A的对应角是∠A′, ∠B的对应角是∠B′,∠AOB的对应角是∠A′OB′,其中∠AOA′=∠BOB′=45º.图11-2-26、旋转的特征．（1）旋转后的图形上的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度．（2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等．（3）旋转后的图形与原来的图形的对应角相等．（4）旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的．注意：①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度是关键．②认真理解旋转过程中的不变量．③图形在旋转过程中只改变位置而不改变形状和大小．7、旋转对称图形．（1）旋转对称图形的定义：如果一个图形围绕某一点旋转一定角度(小于360º)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）旋转对称图形的识别．识别一个图形是否为旋转对称图形，就是看是否存在着一点，使图形围绕它旋转一定角度后能与原图形重合．8、将图形旋转时，关键是按照旋转的方向、旋转中心和旋转角度，先画出图形中的特殊点的对应点，然后连结有关线段或画出有关圆和弧线．探究拓展【例1】如图11-30，△ABC是等腰直角三角形,D是AB上一点,△CBD经旋转后到达△ACE的位置.旋转中心是：____________________；旋转角度是：____________________；点B对应点是：____________________；点D对应点是：____________________.线段CB的对应线段是_______，线段CD的对应线段是_____，∠B的对应角是_______.如果点M是CB的三分之一点，那么经过上述旋转后，点M转到了__________.如果连结ED，则△ECD是______三角形.图11-30【思路点拨】旋转角度等于对应线段之间的夹角.解：旋转中心是点C；旋转角度是90º；点B的对应点是点A；点D的对应点是点E；线段CB的对应线段是CA；线段CD的对应线段是CE；∠B的对应角是∠EAC；点M旋转到了如图点N处；△ECD是等腰直角三角形.【解题反思】本题的旋转角学生易写成∠ACD的度数，我们应抓住其中某一对对应线段来观察，可避免错误.【例2】如图11-2-4，线段AD和线段BC相交于点O，且AO=OD，BO=OC，请问图中的两个三角形（即△AOB和△COD）能通过旋转使它们重合吗？如果能，指出旋转中心和旋转角度，如果不能，请说明理由.图11-2-4 图11-2-6【思路点拨】因为AO=OD，BO=OC，∠AOB=∠COD，所以△AOB和△COD的形状和大小一样，具备图形旋转后能重合的必要条件，根据逆向思维，如果△AOB和COD能够重合，则点A与点D，点B与点C必是两对对应点.显然，通过观察，△AOB和△COD能通过旋转使它们重合.解：△AOB和△COD能通过旋转使它们重合，旋转中心是点O，旋转角度为180°.【解题反思】①结合题中给出的条件，先应说明两个三角形形状和大小一样.②只有形状和大小一样还不能盲目下结论，关键要看两个三角形的位置，它们的有关对应点是否是绕某一点旋转了同样大的有度，只有同时具备上述两个条件，才能下结论，本题中的条件“AO=OD，BO=OC”若改为“AO=OC，BO=OD”，虽然△AOB和△COD的形状和大小还是一样，但是它们不能通过旋转重合，请注意两者的区别.【例3】如图11-2-6，点O是长方形ABCD对角线的交点，请画出长方形ABCD绕点O逆时针旋转90°后的图形.【思路点拨】先分别画出点A、B、C、D逆时针旋转90度后的对应点A′、B′、C′、D′，然后顺次连结A′、B′、C′、D′四点即可.解：画法如下：1、画点A绕点O逆时针旋转90度后的对应点A′.（具体画法是过O画OA的垂线（注意旋转的方向），然后在垂线上截取OA′=OA）2、按同样的方法依次画出点B、C、D绕点O逆时针旋转90度后的对应点B′、C′、D′.3、顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到四边形A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是长方形ABCD绕点O逆时针90度后得到的图形.【解题反思】要画一个图形绕某一点旋转一定角度后的图形，一般是先确定出这个图形中的一些特殊点绕旋转中心一定角度后的对应点的位置，然后再确定其他对应线段、线应角的位置.如画三角形、四边形等多边形的旋转图时一般应先确定各顶点旋转后的位置,画弧线或圆的旋转图时，一般应先确定它们的圆心旋转后的位置.当旋转中心在图形的外部时，画旋转图的方法不变.【例4】你能设计一个旋转60°后能与原图形重合的图案吗？【思路点拨】这是一道开放性的试题，图形可设计成多种多样，但关键是抓住旋转对称图形的特片和题目要求的旋转60°这一条件.解：此题答案多样化，略.【解题反思】圆是一个重要的旋转对称图形，它绕圆心无论旋转多少角度始终与原图形重合，在设计有关旋转对称图形时，应结合圆和正多边形考虑，可根据旋转角度的要求先将圆周进行等分，再根据设计要求配以其他图形，就可得到优美和谐的图案.基础演练一、填空题1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如图11.4.1，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.图11.4.13、如图11.4.2，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（）图11.4.24、请你先观察图11.4.3，然后确定第四张图为( )图11.4.35.如图11.4.4，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是________，线段AB的对应线段是______，_______的对应角是∠F.图11.4.4 图11.4.5 图11.4.66、如图11.4.5，△ABC与△BDE都是等腰三角形，若△ABC经旋转后能与△BDE重合，则旋转中心是________，旋转了______°.7、如图11.4.6，C是AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角是什么？（3）如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？图11.4.7探究升级1、如图11.4.8，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？图11.4.82、如图11.4.9，△ABC外侧有正方形ABDE和正方形ACFG，其中∠BAE=∠GAC=90°，AB=DB=DE=EA，AC=CF=FG=GA，请你设计一个方案，使图中的一个三角形旋转后得到另一个三角形.图11.4.9第4节简单的旋转作图问题导读：1、做旋转运动需要确定三个条件，一是_____，二是_______，三是______.2、在旋转过程中，每一点都绕着_______旋转了_______大小的角度，对应点到旋转中心的______相等，______相等，______相等，图形的______与______都没有发生变化.重点解读1、画一个图形绕某一点旋转一定角度后的图形，关键是按照旋转中心和角度，先画出原图形中各关键点的对应点.2、画已知点的对应点的步骤是一连（连结已知点与旋转中心）、二定（定旋转方向）三量（量旋转角度）、四截（到旋转中心的距离等于已知点到旋转中心的距离的点就是对应点）.3、旋转，旋转中心：一个图形绕着某一点从一个位置转移到另一位置，像这样的运动，就叫旋转，这一点就叫做图形的旋转中心．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动．4、旋转的决定因素：①旋转中心②旋转角度③旋转方向．5、旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．6、旋转对称图形：一个图形绕着某一定点，旋转一定的角度后能与自身重合，这种图形就称为旋转对称图形．这一定点称为旋转中心．7、旋转对称图形的特征：旋转中心应在旋转对称图形上．探究拓展【例1】如图11-2-8五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC=∠AED=180°，连结AD，求证：AD平边∠CDE. 图11-2-8【思路点拨】由AB=AE，∠ABC+∠AED=180°可想到，若把△ABC旋转到如图11-2-8所示的△AEC′的位置，就可以把已知条件中的BC+DE=CD联系在一起，从而通过轴对称或垂直平分线证出AD平分∠CDE.解：把△ABC绕A点逆时针旋转∠BAE的度数，由AB=AE，可知B与E重合，C点落在C′点，所以AC=AC′，∠ABC=∠AEC′，BC=EC′，由∠ABC＋∠AED=180度，可得∠AEC′＋∠AED=180度，所以D、E、C′在同一直线上.所以CD=BC＋DE=EC′＋DE＝C′D.由AC=AC′，CD=C′D，可知A、D两点都在CC′的垂直平分线上，即C、C′关于AD所在的直线对称，所以AD平分∠CDE.【解题反思】在许多题目中，常常利用旋转把一些已知的条件联系在一起，从而使问题得到解决.【例2】如图11-2-2，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位.（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？图11-2-2 图11-2-3【思路点拨】抓住图形旋转的基本含义，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度决定，其中旋转中心在旋转过程中保持不动．如图可知：当△ABD旋转到△ACE时，点B与点C 对应，点D与点E对应，点A不动，从而易确定旋转中心为点A，旋转的角度为∠BAC的度数.解：（1）旋转中心为点A. （2）旋转的角度为∠BAC=60度（3）线段AC的中点. 【解题反思】正确理解旋转中心、旋转角、旋转方向等概念，是解题的观念，尤其要区分开旋转角与旋转角度.【例3】如图11-2-3，已知△ABC，画出△ABC绕点C逆时针旋转90º后的图形.【思路点拨】易知C点是旋转中心，并且对应点就是它本身。

专题1旋转构造等腰（边）及等腰直角三角形类型1旋转构成等腰（等边）三角形1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°第1题图第2题图2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt △AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（）A．1 cm B．2 cmC. 3 cm D．2 3 cm3．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC 边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE.若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.若AB＝6，BC＝8，则BD＝．6．如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝1，求∠OCM的度数．类型2旋转后构成直角（等腰直角）三角形7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．3B．23C．22D．48．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝4，BD＝3，CD＝5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC 重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（）A．12 B．12＋4 3 C．6＋4 3 D．6＋83第8题图变式图【变式】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点P是△ABC内的一点．如果AP＝3，BP＝1，CP＝2，那么∠BPC的度数是．9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点．若∠CAE＝90°，BD＝2，则AB 的长为．专题2利用旋转理解几何模型模型1特殊三角形中的“手拉手”模型错误!1．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB 的度数为_ ．2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE，延长BD交CE于点F.连接AF.若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，则DF＝．3．两块等腰直角三角尺AOB与COD（不全等）如图1放置，则有结论：①AC＝BD；②AC⊥BD.若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后，如图2所示，判断结论：①AC＝BD；②AC⊥BD是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．模型2“对角互补”模型4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点．若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE＝CF；②EC＋CF＝2AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的有．5．如图，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM－ON的值不变；③△OMN的周长不变；④四边形PMON的面积不变．其中正确的序号为．模型3“半角”模型6．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE 之间的等量关系式是；图1 图2（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．模型4“倍长中线”（旋转180°）模型7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD 绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．参考答案：专题1旋转构造等腰（边）及等腰直角三角形1．D2．B3．C4．2．5．10．6．如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝1，求∠OCM的度数．解：（1）依题意补全图形，如图所示．（2）连接OM.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵△BAO旋转得到△BCM，OA＝2，OB＝3，∴MC＝OA＝2，MB＝OB＝3，∠OBM＝∠ABC＝60°.∴△OBM为等边三角形．∴OM＝OB＝ 3.∵在△OMC中，OC＝1，MC＝2，OM＝ 3.∴OC2＋MC2＝OM2.∴∠OCM＝90°.7．A8．C【变式】135°．9．专题2利用旋转理解几何模型1．_120°_．2．23．解：①②都还成立．证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB＋∠DOA＝∠COD＋∠DOA.∴∠COA ＝∠DOB. 在△ACO 和△BDO 中，⎩⎨⎧CO ＝DO ，∠COA ＝∠DOB ，OA ＝OB ，∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AC ＝BD ，∠OBD ＝∠OAC.设AO 与BD 交于点E ，AC 与BD 交于点N ，则∠BEO ＝∠AED. ∴∠AOB ＝∠ANE ＝90°. ∴AC ⊥BD.综上所述：①AC ＝BD ，②AC ⊥BD 都还成立． 4．①②③④． 5．①④．6．（1）BD 2＋CE 2＝DE 2；图1 图2（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．解：仿照（1）将△AEC 绕点A 顺时针旋转120°后为△AFB ，连接DF ，则△AEC ≌△AFB. ∴BF ＝CE ，AE ＝AF ，∠EAC ＝∠FAB. ∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠EAC ＝60°，即∠FAD ＝∠DAE ＝∠FAB ＋∠BAD ＝60°. ∴△AFD ≌△AED （SAS ）． ∴∠ADF ＝∠ADE ，FD ＝DE.∵∠ADE ＝45°，∴∠ADF ＝45°.∴∠BDF ＝90°. 在Rt △BDF 中，由勾股定理，得BF 2＝BD 2＋DF 2. ∴CE 2＝BD 2＋DE 2.7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使得DE ＝AD ，再连接BE （或将△ACD 绕点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4.[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．解：①延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，EG.（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG.∵DE⊥DF，∴EF＝EG.在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF.②BE2＋CF2＝EF2.证明：若∠A＝90°，则∠EBC＋∠FCB＝90°，由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，∴BE2＋CF2＝EF2.。

北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元综合培优训练题2（附答案）1．在平面直角坐标系中，将点A(-2，3)向右平移5个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是()A．(-2，-3) B．(0，-3) C．(3，3) D．(5，3)2．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．25°D．20°4．如图，平行四边形OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，若平行四边形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，顶点B的坐标为( )A．(2，－2) B．(－2，－2) C．(2,0) D．(0，－2) 5．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（）A．对应线段与对应角不变B．图形的大小不变C．图形的形状不变D．对应线段平行7．点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）8．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠B的度数是()A ．40°B ．35°C ．30°D ．15°9．如图图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．下列图形中是旋转对称图形有（ ）①正三角形 ②正方形 ③三角形 ④圆 ⑤线段A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个11．已知点A 的坐标是()a b,a b +-，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为________，点A 关于y 轴对称的点的坐标为________，点A 关于原点对称的点为________． 12．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．13．如图所示，该五角星可以看作是由一个四边形经过________次旋转，每次至少旋转________得到的，所以它是________对称图形．14．如图，∠A ＝70°，O 是AB 上一点，直线OD 与AB 的夹角∠BOD ＝85°，要使OD ∥AC ，直线OD 绕点O 逆时针方向至少旋转________度．15．若点P 的坐标为()1,1x y +-，其关于原点对称的点'P 的坐标为()3,5--，则(),x y 为________．16．平面直角坐标系内点()P m,2与()A 1,n -关于原点对称，则m =________和n =________．17．如图，ABC V 和BED V 是等边三角形，则图中三角形ABE 绕B 点旋转________度能够与三角形________重合．18．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若OB ＝6cm ，则B 点运动的轨迹长度是_______cm ．19．如图，将8×6网格中的图形F 先向下平移4个单位，再向左平移2个单位．若这两次平移所得的图形可以经过一次平移得到，则平移的距离为_____．20．如图，直角ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，则内部五个小直角三角形的周长为_____.21．如图，已知90BAC ∠=o ，ABC V 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，恰好D 在BC 上，连接CE ．(1）BAE ∠与DAC ∠有何关系？并说明理由；()2线段BC 与CE 在位置上有何关系？为什么？22．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°后得到△DBE （点A 对应点D ），线段AC 交线段DE 于点F ，求∠EFC 的度数23．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点E ，以点E 为顶点作正方形EFGH ．（1）如图1，点A 、D 分别在EH 和EF 上，连接BH 、AF ，直接写出BH 和AF 的数量关系；（2）将正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转．①如图2，判断BH 和AF 的数量关系，并说明理由；②如果四边形ABDH 是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD 的边长为2，求正方形EFGH 的边长．24．（操作发现）如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE =30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF ，连接 AF 、EF . 请直接 写出下列结果：① ∠EAF 的度数为__________；② DE 与EF 之间的数量关系为__________；（类比探究）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D 为AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF.①则∠EAF的度数为__________；②线段AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；（实际应用）如图3，△ABC 是一个三角形的余料.小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC，他在边BC 上取了D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比.25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）．（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度．26．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出中线CD ；（3）画出BC 边上的高线AE ；（4）在平移过程中，线段BC 扫过的面积为 ．27．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点.（1）在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段11A B （点A ，B 的对应点分别为11A B 、）.画出线段11A B ;（2）将线段11A B 绕点1B 逆时针旋转90°得到线段21A B .画出线段21A B ;（3）以112A A B A 、、、为顶点的四边形112AA B A 的面积是 个平方单位.28．如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．参考答案1．C【解析】【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【详解】根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是-2+5=3，故点A′的坐标是（3，3）．故选C．【点睛】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．2．C【解析】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选C．3．C【解析】【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数即可．【详解】由题意得：∠AOD=∠BOC=40°．又∵∠AOC=105°，∴∠DOB=105°﹣40°﹣40°=25°．故选C．【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．4．B【解析】每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OB逆时针旋转了7周半，此时点B在第三象限，又因为平行四边形OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，所以OB逆时针旋转了7周半，此时点B的坐标为（－2，－2）.故选B．5．C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．D【解析】【分析】根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析．【详解】解：根据平移、旋转和轴对称的基本性质，知A. B. C都是正确的；D. 在旋转中，对应线段不一定平行，故错误.故选D.【点睛】本题主要考查几何变换的类型，熟悉掌握是关键.7．B【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】点（2，-3）关于原点对称的点的坐标为（-2，3），故选B ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．B【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=30°，AO=DO ，再求出∠BOD ，∠ADO ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转30o 后得到的图形,∴∠AOD =∠BOC =30o ，AO =DO ，∵100AOC o ，∠=∴10030240BOD ∠=-⨯=o o o ，()11(180)1803075.22ADO A AOD ∠=∠=-∠=-=o o o o 由三角形的外角性质得,754035.B ADO BOD o o o ∠=∠-∠=-= 故选:B.【点睛】考查旋转的性质以及三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.9．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．B【解析】试题解析：①绕中心旋转120o 后与原图重合，是旋转对称图形；②绕中心旋转90o 后与原图重合，是旋转对称图形；③不是旋转对称图形；④绕中心旋转任何角度都与原图重合，是旋转对称图形；⑤绕中心旋转180o 后与原图重合，是旋转对称图形。

北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元综合培优训练题1（附答案）1．如图的图案是由下列四个选项中的哪个图案平移得到的（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列四种图案分别平移后能得到后面的图案的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，将正方形图案绕中心O 旋转180°后，得到的图案是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列中式元素的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，O 是正ABC V 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60o 得到线段'BO ，下列五个结论中，其中正确的结论是( ) 'BO A V ①可以由BOC V 绕点B 逆时针旋转60o 得到；②点O 与'O 的距离为4；150AOB ∠=o ③；'633AOBO S =+四边形④；9634AOC AOB S S +=+V V ⑤．A．①②③④B．①②⑤C．①②③⑤D．②③④⑥7．如图，A、B、C、D中的哪幅图案可以通过下图平移得到（）A．B．C．D．8．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形9．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( )A．75°B．45°C．60°D．15°10．如图，△ADE是由△DBF沿BD所在的直线平移得到的，AE、BF的延长线交于点C，若∠BFD=45°，则∠C的度数是()A．43°B．45°C．48°D．46°11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△CA′B′是由△ABC绕顶点C旋转得到的，且A、C、B′三点在同一直线上，AC=3，BC=5，则A′B=___.12．如图，正方形ABCD经过旋转后到达正方形AEFG的位置，旋转中心是______，旋转角度是______，点C对应点是______.13．直线AB ∥x 轴,AB=6,点A 的坐标为(-2,3),点B 的坐标为（2，b ）,则b=______. 14．如图，将△ABC 向右平移后得到△DEF ，若BE=3cm ，则CF= ___ cm ．15．如图，边长为8cm 的正方形ABCD 先向上平移4cm ，再向右平移2cm ，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为_________cm 2．16．如图，一小朋友在玩耍时，用四个小直角三角板按如图摆放，恰好放在边长为a ，b ，c 的直角三角形内，则图中四个小三角形的周长之和为_____．17．如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到AB C D '''，如果1AB =，点C 与C '的距离为________.18．如图所示，把∠AOB 沿着MN 的方向平移一定距离后得到∠CPD ，已知∠AOM ＝30°，∠DPN ＝45°，则∠AOB ＝________．19．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2cm ，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B 落在点D 处，连接BD ，那么线段BD ＝______cm ．20．如图1，已知ABC V 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，将BCE V 绕点C 顺时针旋转60︒至ACF V ，连接EF .（1）证明：=AB DB AF +；（2）如图2，如果点E 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，请你写出线段AB 、DB 、AF 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB 、DB 、AF 之间的数量关系，不必证明.21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，把Rt △ABC 绕着B 点逆时针旋转，得到Rt △DBE ，点E 在AB 上，连接AD ．（1）若BC =8，AC =6，求△ABD 的面积；（2）设∠BDA =x °，求∠BAC 的度数（用含x 的式子表示）．22．如图，已知△ABC 是直角三角形，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F.(1)请简述图①变换为图②的过程；(2)若AD=3，DB=4，则△ADE 与△BDF 的面积之和为________.23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．24．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．平移△ABC得到△A2B2C2，使点A移动到点A2（0，2），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）请画出△A1B1C1；（2）请直接写出B2的坐标C2的坐标．25．用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，请你在图2，、图3、图4中各画一种拼法.要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形.26．如图平面直坐标系中，ABC △三个顶点都在格点上，点A 的坐标为()2,4，解答下列问题：（1）画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；（2）画出ABC △向左平移5个单位得到的222A B C △.参考答案1．B【解析】【分析】根据平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等可得答案．【详解】解：根据平移可得B是平移可得到图形中的图案，故选B．【点睛】本题主要考查平移图形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握平移性质.2．D【解析】【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置.【详解】由平移的性质可知，A、B、C平移后不能得到所给图案，D平移后能得到所给图案.故选D.【点睛】题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等.3．B【解析】【分析】根据旋转的定义即可得出答案.【详解】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是旋转：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．4．D【解析】【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．故选D．【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.5．B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.6．C【解析】【分析】利用等边三角形的性质得BA BC =，60ABC ∠=o ，利用性质得性质得'4BO BO ==，'60OBO ∠=o ，则根据旋转的定义可判断'BO A V 可以由BOC V 绕点B 逆时针旋转60o 得到，则可对①进行判断；再判断'BOO V 为等边三角形得到'4OO OB ==，'60BOO ∠=o ，则可对②进行判断；接着根据勾股定理的逆定理证明'AOO V 为直角三角形得到'90AOO ∠=o ，所以150AOB ∠=o ，则可对③进行判断；利用'''AOO BOO AOBO S S S =+V V 四边形可对④进行判断；作AH BO ⊥于H ，如图，计算出32AH =，2OH =，则225AB =+3AOB S =V ，然后计算出''3BAO AOB AOBO S S S =-=+V V 四边形得到3BOC S =+V AOC AOB ABC BOC S S S S +=-V V V V 可对⑤进行判断．【详解】ABC QV 为等边三角形，BA BC ∴=，60ABC ∠=o ，Q 线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60o 得到线段'BO ，'4BO BO ∴==，'60OBO ∠=o ，'60OBO CBA ∠==o Q ，'BO BO =，BC BA =，'BO A ∴V 可以由BOC V 绕点B 逆时针旋转60o 得到，所以①正确；'BO BO =Q ，'60OBO ∠=o ，'BOO ∴V 为等边三角形，'4OO OB ∴==，'60BOO ∠=o ，所以②正确；'BO A QV 可以由BOC V 绕点B 逆时针旋转60o 得到，'5AO OC ∴==，在'OAO V 中，'4OO =Q ，3AO =，'5AO =，222''OA OO AO ∴+=，'AOO ∴V 为直角三角形，'90AOO ∴∠=o ，9060150AOB ∴∠=+=o o o ，所以③正确； 2'''1343464324AOO BOO AOBO S S S =+=⨯⨯+⨯=+V V 四边形，所以④错误； 作AH BO ⊥于H ，如图，在RtAOH 中，30AOH ∠=o ，1322AH OA ∴==，3332OH AH ==， 22222333()(4251232AB AH BH ∴=+=++=+ 134322AOB S =⨯⨯=V ， ''6433343BAO AOB AOBO S S S ∴=-=+=+V V 四边形，即343BOC S =+V((39325123343644AOC AOB ABC BOC S S S S ∴+=-=+-+=+V V V V ，所以⑤正确． 故选C ．【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理、勾股定理的逆定理．7．D【解析】【分析】通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，由此即可解答.【详解】通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，观察图形可知选项D可以通过题中已知图案平移得到．故选D．【点睛】本题考查了平移的定义，熟知平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，不改变图像大小与形状是解决问题的关键.8．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.9．C【解析】【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角.【详解】根据题意△ABC是等边三角形∴=AB AC∴可得B点旋转后的点为C∴旋转角为60∠=BAC︒故选C.【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角.10．B【解析】【分析】根据平移的性质得出DE//BC，∠BFD=∠AED，再利用平行线的性质解答即可．【详解】∵△ADE是由△DBF沿BD所在的直线平移得到的，∴DE//BC，∠BFD=∠AED，∴∠AED=∠C∴∠C=∠BFD=45°，故选：B.【点睛】此题考查平移的性质，平行线的性质，解题关键在于得到∠BFD=∠AED. 11．2【解析】【分析】根据旋转的性质得AC=A’C，故利用A’B=BC-A’C=BC-AC进行求解.【详解】∵△CA′B′是由△ABC绕顶点C旋转得到的，∴AC=A’C=3，∴A’B=BC-A’C=BC-AC=5-3=2【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是根据旋转得到对应边相等.12．A45︒F【解析】【分析】由图可看出，只有点A 经过旋转后位置未变，因此旋转中心是A ；点B 的对应点是E ，点C 的对应点是F ，点D 的对应点是G ，故旋转角为BAC ∠，由正方形性质即可知结果.【详解】观察正方形旋转前后的图形可知，经过旋转，只有点A 的位置未变，因此旋转中心是A ； 由图易知，点B 的对应点是E ，点D 的对应点是G ，因此旋转角为=45BAC ∠︒，由正方形对角线性质可知45CAF BAC ∠=∠=︒，所以点C 的对应点是F.【点睛】本题考查了旋转的性质，通过对比图形旋转前后，找出旋转中心是解题关键.13．3【解析】【分析】根据平行于x 轴上的直线的点的坐标的纵坐标相等进行解答【详解】∵直线AB ∥x 轴,∴点A ，B 的纵坐标相等,∴b=3故答案为:3【点睛】此题考查坐标与图形性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键14．3【解析】【分析】根据平移的性质，对应点之间的距离等于平移的距离进行解答．【详解】根据题意结合图形可知，点C 、点F 是平移前后的对应点，B 、E 是平移前后的对应点 ∵BE=3，∴△ABC 沿射线BC 向右平移3cm 后得到△DEF ，∴CF=3cm．故答案为：3．【点睛】本题考查了平移变换的性质，利用两对应点之间的距离等于平移距离是解题的关键．15．24【解析】【分析】根据正方形ABCD的平移特性可以求出阴影部分的长宽在通过面积公式进行计算即可. 【详解】∵边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，∴阴影部分的长为8－4＝4cm，∵向右平移2cm，∴阴影部分的宽为8－2＝6cm，∴阴影部分的面积为6×4＝24cm2．故答案为24cm2．【点睛】本题主要考查的是正方形平移的性质，熟练掌握其性质特点及关系是本题的解题关键. 16．a+b+c．【解析】【分析】首先借助辅助线，根据矩形对边相等的性质，将小三角形的两个直角边转化为大三角形的直角边；然后结合题意：直角的三角形ABO的周长为a+b+c，即可解题.【详解】如图所示：过小直角三角形的直角定点作AO，BO的平行线，所得四边形都是矩形.则小直角三角形的与AO平行的边的和等于AO，与BO平行的边的和等于BO；因此四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长；故这四个小直角三角形的周长为a+b+c.故答案为a+b+c【点睛】解答本题主要是通过构造矩形，将小三角形的各边与大三角形联系起来.17．31-【解析】【分析】连接AC'，AC，CC'，过C作CF⊥AC'于F，依据旋转的性质求得∠CAC'=30°，进而得出CF=12AC=122，利用勾股定理，即可得到Rt△CC'F中，CC'=22C F CF'+．【详解】解：如图，连接AC'，AC，CC'，过C作CF⊥AC'于F，由旋转可得，∠DAD'=30°，∠DAB'=60°，∴∠DAC'=45°-30°=15°，同理可得，∠B'AC=15°，∴∠CAC'=60°-15°-15°=30°，∵AB=BC=1，∴2=AC'，∴12 2∴16 2∴216 2∴Rt△CC'F中，=，11．【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是作辅助线构造含30°角的直角三角形，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．18．105°【解析】【详解】解：∵∠AOB沿着MN的方向平移一定距离后得∠CPD，∴BO∥DP，∴∠BON=∠DPN=45°，∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∴∠AOB=180°-45°-30°=105°．19．【解析】【分析】根据旋转的性质可知，点B与D重合，那么点D与点B的距离是2OB，由勾股定理可得OB的大小．【详解】解：如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2cm，O为AC的中点，∴OB cm，∵根据旋转的性质可知，点B与D重合，∴BD＝2OB＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质，得出BD ＝2OB 是关键．20．（1）见解析；（2）AB ＝BD ﹣AF ，证明见解析；（3）补充图形见解析，AB ，DB ，AF 之间的数量关系是：AF ＝AB +BD ．【解析】【分析】（1）过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，可得△AEG 为等边三角形，进而可得BE=CG ，易证∠BED ＝∠GCE ，再根据SAS 可证△BDE ≌△GEC ，可得BD ＝EG ＝AE ，进一步即得结论；（2）结论：AB ＝BD ﹣AF ；如图2，延长EF 、CA 交于点G ，先由旋转的性质证得△CEF 是等边三角形，进而可推得ED ＝EF ，然后利用三角形的外角性质可推得∠FCG ＝∠FEA ，进而可得∠D ＝∠FEA ，易证∠DBE ＝∠F AE ＝60°，于是根据AAS 可证△EDB ≌△FEA ，可得BD ＝AE ，进一步根据等线段代换即可证得结论；（3）AB ，DB ，AF 之间的数量关系是：AF ＝AB +BD ．如图3中，先根据旋转的性质判断△CEF 是等边三角形，可得EF ＝EC ，进而可得ED ＝EF ，然后根据三角形的外角性质和角度之间的关系可得∠BDE ＝∠AEF ，易证∠B ＝∠EAF ＝60°，于是根据AAS 可证△EDB ≌△FEA ，可得BD ＝AE ，EB ＝AF ，进一步即可证得结论.【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ，∠ABC ＝∠BCA ＝60°，∵△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF ，∴BE ＝AF ，如图1，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，则△AEG 为等边三角形，∴AE=AG=EG ，∴BE=CG ， ∵DE ＝CE ，∴∠CDE ＝∠ECD ，又∵∠CDE +∠BED ＝∠ABC ＝∠ACD ＝∠ECD +∠GCE ，∴∠BED ＝∠GCE ，在△BDE 和△GEC 中，ED EC BED GCE BE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△GEC （SAS ），∴BD ＝EG ＝AE ，又∵AF ＝BE ，∴AB＝BE+AE＝AF+BD；（2）结论：AB＝BD﹣AF；理由：如图2，延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠EFC＝∠G+∠FCG，∠BAC＝∠G+∠FEA，∴∠FCG＝∠FEA，∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，∴∠D＝∠FEA，由旋转的性质得：∠CBE＝∠CAF＝120°，又∵∠BAC=60°，∴∠DBE＝∠F AE＝60°，在△EDB和△FEA中，DBE EAFD AEFED EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∵AE=AB+BE，∴BD＝F A+AB，即AB＝BD﹣AF；（3）如图3中，AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，又∵∠B＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠B＝∠EAF；∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC＝∠B+∠BED，∴∠BDE＝∠B+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，∴∠BDE＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，B EAFBDE AEF ED EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∵BE＝AB+AE，∴AF＝AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．【点睛】本题以等边三角形为载体，是旋转变换综合题，主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的判定和性质、灵活应用全等三角形的判定和性质，属于中考压轴题．21．（1）30; （2）（2x-90）°.【解析】【分析】（1）根据勾股定理求AB，根据旋转性质得DE=AC=6，根据三角形面积公式可求解；（2）把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，∠DBA=∠ABC，DB=AB，设∠DBA=∠ABC，DB=AB，根据三角形内角和得∠ABD=180°-2x°=∠ABC，故∠BAC=90°-（180°-2x°）.【详解】解：（1）∵∠C=90°，BC=8，AC=6，∴AB22AC BC，∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，∴DE=AC=6，∴S△ABD=12AB×DE=12×6×10=30;（2）∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，∴∠DBA=∠ABC，DB=AB，∴设∠BDA=∠BAD=x°，∵∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD，∴∠ABD=180°-2x°=∠ABC，∵∠BAC=90°-∠ABC，∴∠BAC=90°-（180°-2x°）=（2x-90）°【点睛】考核知识点：旋转和几何综合运用.22．（1）图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F；（2）6.【解析】【分析】(1)由题意可知∠EDF=90°，则图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F；(2)由∠EDF=90°，可得∠ADE+∠FDB=90°，则有∠A′DB=90°，继而根据三角形面积公式进行计算即可.【详解】(1)∵∠C=90°，∠DEF=90°，∠DFC=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴∠EDF=90°，观察图形的变换可知DE=DF，∴图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F；(2)∵图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F，∴A′D=AD=3，∠A′DF=∠ADE，∵∠EDF=90°，∴∠ADE+∠FDB=90°，∴∠A′DF+∠FDB=90°，即∠A′DB=90°，∴△ADE与△BDF的面积之和S=S△A′DB=×3×4=6，故答案为：6.【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积等，熟练掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角”是解题的关键.23．（1）图形见解析；（2）P点坐标为（32，﹣1）．【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得；由点A的对应点A2的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接可得；（2）连接A1A2、B1B2，交点即为所求．【详解】（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；A2（0，-4）、B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．（2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（32，﹣1）．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．24．（1）见解析;（2）（0，﹣2），（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）将点A，B，C分别绕原点O旋转180度得到对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）由点A及其对应点A2的坐标得出平移方向和距离是：先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，据此得出平移后的对应三角形，从而得出点B2，C2的坐标．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为平移后对应的三角形，由图知B2的坐标为（0，﹣2），C2的坐标为（﹣2，﹣1）．故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．25．图见解析【解析】【分析】轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.【详解】解：如图所示：图2既是轴对称图形，又是中心对称图形；图3是轴对称图形，但不是中心对称图形；图4是中心对称图形，但不是轴对称图形.【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，注意两个概念的区别. 26．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A 1B 1C 1；（2）分别将点A 、B 、C 向左平移5个单位，然后顺次连接，即可.【详解】解：（1）如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，222A B C △即为所求；【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答本题的关键．。

图形的平移与旋转第三章顺时针ABC绕点O１、如图,所给的图案由ΔH)前后的图形组成的。

旋转(00000DA 、、135 A. 45 、90135、180 B. 9000000135、、180 C.45225、90GOE 0000. 、225270、 D.45、135 CB F）绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（2、将如图1所示的Rt△ABCBA C DABC1图3AC?90??C AC?1Rt?ABCBC边从开始到结束，那么，3、如图，把依次绕顶点沿水平线翻转两次，若，）所扫过的图形的面积为（????97725 D．C．BA．．441212、）EF上时，弧BC的长度等于的菱形ABCD绕点A旋转，当B（C两点恰好落在扇形AEF的弧14、如图，边长为????B、CA、、D、6432A DA A·F G D EF B·B EC B P·C·C 7题图第题图第5题图）（第4 第6题图、、、、跳到点，第一步青蛙从BAC三点，一只青蛙位于地面异于PBC的5、如图，地面上有不在同一直线上的APP，第四步从P关于跳到PC的对称点的对称点P，第二步从P关于A的对称点PP跳到关于BP，第三步从P3*******）．……以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P（P 的对称点关于跳到PA438．5 ．DC ．6 ．A4 B OP39AC?OACAO?OPABC△ABP绕在上，且是中，上一动点，连结，点，点，将线段、如图，在等边660BCOODAPD恰好落在上，则的长是（得到线段．要使点点逆时针旋转）8C．6 D．．A．4 B5、）（的面积的值mCEFG7、如图，正方形ABCD和的边长分别为n，那么?AEG、、的大小都有关．与Amn mB ．与的大小都无关n．只与Dn的大小有关的大小有关．只与Cm rr、将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚8)(动的硬币滚动了题图8第圈1.5．圈1．A B圈2．C D 2.5．圈060??AOC的大小关系ABAC+BD与，CE由AB9、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且平移所得，则）是：（AB?ABAC?BDBD?ABAC?BD?AC?、无法确定B、D C A、、ACP O BC BED D题图）（第11 （第10题图）（第9题图）/0//DC30AB），则图中阴影部分面积为（、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形103331?1?1D、B、A、C、43325:6:7??CPAAPB:?BPC:?、、为边的三角形的PB内部一点，，则以PAPC11、如图，点P 是等边三角形ABC ）三内角之比为（D、不能确定6 ：C、45：A、2：3：4 B、3：4：5度．12、如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是P1题第12题图13、如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B 位置。

北师大版八年级数学下册第3章图形平移与旋转单元测试卷解析版第3章图形的平移与旋转一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点B到点B′的距离是（）A．2cmB．．1cmD．．在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的坐标为（）A．（0，2）B．（4，2）c．（4，0）D．（0，0）3．如图，在正六边形中，由阴影三角形平移得到的三角形是（）A．①②B．②④c．②③D．②⑤4．在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A（1，0），B（3，2）．将线段AB平移后，A、B的对应点的坐标可以是（）A．（1，﹣1），（﹣1，﹣3）B．（1，1），（3，3）c．（﹣1，3），（3，1）D．（3，2），（1，4）5．如图，点A、B、c、D、o都在方格纸的格点上，若△coD是由△AoB绕点o按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30°B．45°c．90°D．135°6．在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（）A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格c．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格7．如图，将Rt△ABc绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在Bc边上．若Ac＝，∠B＝60°，则cD的长为（）A．．．D．1二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．从3：20开始，经30分钟，分针旋转了，时针旋转了．9．如图，把△ABc绕点A旋转至△ADE的位置，使点D落在Bc边上，若∠c+∠ADE＝110°，则∠BAc＝．10．如图，△A1B1c1是△ABc关于点o成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知Ao ＝4cm，那么AA1＝cm．11．能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有条，它们的共同特点是．12．如图，△ABc沿边Bc所在直线向右平移线段Bc的长后与△EcD重合，则△ABc≌；如果AB＝3，Ac＝2，Bc＝4，则△DEc的周长＝．13．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．14．如图，香港特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是°．三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．三角形ABc中，A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2），c（1，0），把三角形平移后，三角形某一边上的点P（x，y）对应点为P′（x+4，y﹣2），求平移后所得三角形各顶点的坐标．16．如图，用6根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动Ac、Bc这两根小棒，使6根小棒组成中心对称的图形．（画出图形）17．如图，在平面直角坐标系中，△ABc的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），c（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABc平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1c1；（2）作出△ABc关于o点成中心对称的△A2B2c2，并直接写出A2，B2，c2的坐标；（3）△A1B1c1与△A2B2c2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．18．根据图所示，图形2、3、4、5与6分别可以看成是由图形1经过图形的什么变换而得到的？若是轴对称，请指出图形的对称轴；若是平移，请指出平移的方向与平移的距离；若是旋转，请指出旋转的中心和旋转的角度；若是几个变换的结合，请分别加以说明．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）画出将△oAB绕原点旋转180°后所得的△oA1B1，并写出点B1的坐标；（2）将△oAB平移得到△o2A2B2，点A的对应点是A2（2，﹣4），点B的对应点B2在坐标系中画出△o2A2B2；并写出B2的坐标；（3）△oA1B1与△o2A2B2成中心对称吗？若是，请直接写出对称中心点P的坐标．20．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点c、D，连接Ac、BD、cD．（1）写出点c、D的坐标并求出四边形ABDc的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得△DFc的面积是△DFB面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点P是直线BD上一个动点，连接Pc、Po，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠oPc与∠PcD、∠PoB的数量关系．21．阅读下面材料，并解决相应的问题：在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点c；（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；（3）作直线cD，直线cD即为所求的垂直平分线．同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：连接Ac，Bc，AD，BD．由作图可知：Ac＝Bc，AD＝BD．∴点c，点D在线段的垂直平分线上（依据1：）．∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：）．（1）请你将小明证明的依据写在横线上；（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，c，D恰好均在格点上，依次连接A，c，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．第3章图形的平移与旋转参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点B到点B′的距离是（）A．2cmB．．1cmD．【分析】根据题意，画出图形，由平移的性质直接求得结果．【解答】解：在平移的过程中各点的运动状态是一样的，现在将线段平移1cm，则每一点都平移1cm，即AA′＝1cm，∴点A到点A′的距离是1cm．故选：c．2．在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的坐标为（）A．（0，2）B．（4，2）c．（4，0）D．（0，0）【分析】根据坐标与图象变化﹣平移得到点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点的横坐标减去2，纵坐标不变得到（0，1），再把（0，1）向上平移1个单位长度得到点的横坐标不变，纵坐标加上1得到（0，2）．【解答】解：点A（2，1）向左平移2个单位长度得到（0，1），再把（0，1）向上平移1个单位长度得到（0，2）．故选：A．3．如图，在正六边形中，由阴影三角形平移得到的三角形是（）A．①②B．②④c．②③D．②⑤【分析】根据平移的性质，对图中三角形进行一一分析，选择正确答案．【解答】解：①改变了方向，不能平移得到；②图形的形状、大小和方向没有改变，由平移得到；③改变了方向，不能平移得到；④图形的形状、大小和方向没有改变，由平移得到；⑤改变了方向，不能平移得到．故选：B．4．在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A（1，0），B（3，2）．将线段AB平移后，A、B的对应点的坐标可以是（）A．（1，﹣1），（﹣1，﹣3）B．（1，1），（3，3）c．（﹣1，3），（3，1）D．（3，2），（1，4）【分析】根据平移中，对应点的对应坐标的差相等分别判断即可得解．【解答】解：根据题意可得：将线段AB平移后，A，B的对应点的坐标与原A、B点的坐标差必须相等．A、A点横坐标差为0，纵坐标差为1，B点横坐标差为4，纵坐标差为5，A、B点对应点的坐标差不相等，故不合题意；B、A点横坐标差为0，纵坐标差为﹣1，B点横坐标差为0，纵坐标差为﹣1，A、B点对应点的坐标差相等，故合题意；c、A点横坐标差为2，纵坐标差为﹣3，B点的横坐标差为0，纵坐标差为1，A、B点对应点的坐标差不相等，故不合题意；D、，A点横坐标差为﹣2，纵坐标差为﹣2，B点横坐标差为2，纵坐标差为﹣2，A、B点对应点的坐标差不相等，故不合题意；故选：B．5．如图，点A、B、c、D、o都在方格纸的格点上，若△coD是由△AoB绕点o按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30°B．45°c．90°D．135°【分析】△coD是由△AoB绕点o按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠Aoc为旋转角，可利用△Aoc的三边关系解答．【解答】解：如图，设小方格的边长为1，得，oc＝＝，Ao＝＝，Ac＝4，∵oc2+Ao2＝+＝16，Ac2＝42＝16，∴△Aoc 是直角三角形，∴∠Aoc＝90°．故选：c．6．在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（）A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格c．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．【解答】解：根据平移的概念，图形先向下移动2格，再向左移动1格或先向左移动1格，再向下移动2格．结合选项，只有c符合．故选：c．7．如图，将Rt△ABc绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在Bc边上．若Ac＝，∠B＝60°，则cD的长为（）A．．．D．1【分析】解直角三角形求出AB，再求出cB，然后根据旋转的性质可得AB＝AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD＝AB，然后根据cD＝Bc﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝60°，∴∠c＝90°﹣60°＝30°，∵Ac ＝，∴AB＝Ac•tan30°＝×＝1，∴Bc＝2AB＝2，由旋转的性质得，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝1，∴cD＝Bc﹣BD＝2﹣1＝1．故选：D．二．填空题（共7小题）8．从3：20开始，经30分钟，分针旋转了180°，时针旋转了15°．【分析】根据钟表的分针旋转一周是60分钟，那么要经过30分钟，分针旋转360°×（30÷60）；时针12小时转一周，那么要经过30分钟，时针旋转360°×（30÷60）÷12．【解答】解：经30分钟，分针旋转了：360°×（30÷60）＝180°；时针旋转了：360°×（30÷60）÷12＝15°．故答案为：180°，15°．9．如图，把△ABc绕点A旋转至△ADE的位置，使点D落在Bc 边上，若∠c+∠ADE＝110°，则∠BAc＝70°．【分析】根据旋转的性质知△ADE≌△ABc，则全等三角形的对应角∠ADE＝∠ABc．由△ABc的内角和定理求得∠BAc的度数．【解答】解：∵根据旋转的性质知，△ADE≌△ABc．∴∠ADE＝∠ABc，∴∠c+∠ADE＝∠c+∠ABc＝110°，∴∠BAc＝180°﹣（∠c+∠ABc）＝180°﹣110°＝70°，即∠BAc＝70°．故答案是：70°10．如图，△A1B1c1是△ABc关于点o成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知Ao＝4cm，那么AA1＝8 cm．【分析】根据中心对称图形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△A1B1c1是△ABc关于点o成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，Ao＝4cm，∴oA1＝oA＝4cm，∴AA1＝oA+oA1＝8cm，故答案为：8．11．能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有无数条，它们的共同特点是均经过两条对角线的交点．【分析】经过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分．【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，所以经过平行四边形的对角线的交点的直线把平行四边形的面积分成两个相等的部分，这样的直线有无数条．故答案为无数，均经过两条对角线的交点．12．如图，△ABc 沿边Bc所在直线向右平移线段Bc的长后与△EcD重合，则△ABc≌△EcD ；如果AB＝3，Ac＝2，Bc＝4，则△DEc的周长＝9 ．【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小解答，再根据全等三角形的周长相等解答．【解答】解：∵△ABc平移后与△EcD 重合，∴△ABc≌△EcD，∵AB＝3，Ac＝2，Bc＝4，∴△ABc的周长为3+2+4＝9，∴△DEc的周长＝9．故答案为：△EcD，9．13．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要480 元．【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，即可得地毯的长度为+＝8米，地毯的面积为8×2＝16平方米，故买地毯至少需要16×30＝480元．故答案为：480．14．如图，香港特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是72 °．【分析】根据旋转的性质和周角是360°求解即可．【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．故答案为：72°．三．解答题15．三角形ABc中，A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2），c（1，0），把三角形平移后，三角形某一边上的点P （x，y）对应点为P′（x+4，y﹣2），求平移后所得三角形各顶点的坐标．【分析】先根据点P与P′的坐标确定出平移规律为向右平移4个单位，向下平移2个单位，再根据此规律解答即可．【解答】解：∵点P（x，y）的对应点为P′（x+4，y﹣2），∴平移变换规律为向右平移4个单位，向下平移2个单位，∵A（﹣1，2），B（﹣4，﹣2），c（1，0），∴平移后A的对应点坐标为（3，0），B的对应点坐标为（0，﹣4），c的对应点坐标为（5，﹣2）．16．如图，用6根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动Ac、Bc这两根小棒，使6根小棒组成中心对称的图形．（画出图形）【分析】根据中心对称图形的概念求解，本题△ABc沿AB翻折可使六根小棒成为中心对称图形．【解答】解：如图所示：．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABc的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），c（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）将△ABc平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1c1；（2）作出△ABc关于o点成中心对称的△A2B2c2，并直接写出A2，B2，c2的坐标；（3）△A1B1c1与△A2B2c2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用点A和A1坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、c1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，c2的坐标，然后描点即可；（3）连接A1A2，B1B2，c1c2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1c1与△A2B2c2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1c1为所作；（2）如图，△A2B2c2为所作；点A2，B2，c2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）△A1B1c1与△A2B2c2关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．18．根据图所示，图形2、3、4、5与6分别可以看成是由图形1经过图形的什么变换而得到的？若是轴对称，请指出图形的对称轴；若是平移，请指出平移的方向与平移的距离；若是旋转，请指出旋转的中心和旋转的角度；若是几个变换的结合，请分别加以说明．【分析】根据平移、旋转、轴对称的定义作答．【解答】解：图1绕图1和图2的对应点连线的中点旋转180°得到图2；图1沿直线l1平移AE长度得到图3；图1与图4关于直线l2成轴对称，将图1沿直线l2翻折得到图4，对称轴是直线l2；图1绕点o旋转180°后，再沿直线l2翻折得到图5；图1沿直线l1平移AE长度，再沿直线l2翻折得到图6．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）画出将△oAB绕原点旋转180°后所得的△oA1B1，并写出点B1的坐标；（2）将△oAB平移得到△o2A2B2，点A的对应点是A2（2，﹣4），点B的对应点B2在坐标系中画出△o2A2B2；并写出B2的坐标；（3）△oA1B1与△o2A2B2成中心对称吗？若是，请直接写出对称中心点P的坐标．【分析】（1）将点A、B、c绕原点旋转180°后得到对应点，顺次连接可得；（2）将点A、B、c向左平移2个单位、向下平移4个单位即可得；（3）根据中心对称的定义可得．【解答】解：（1）△oA1B1如图所示；B1（﹣4，﹣2）；（2）△oA2B2如图所示；B2（2，﹣2）；（3）△oA1B1与△o2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（﹣1，﹣2）．20．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点c、D，连接Ac、BD、cD．（1）写出点c、D的坐标并求出四边形ABDc的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得△DFc的面积是△DFB面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点P是直线BD上一个动点，连接Pc、Po，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠oPc与∠PcD、∠PoB的数量关系．【分析】（1）由平移的性质得到点c（0，2），点D（4，2），进而求解；（2）△DFc的面积是△DFB面积的2倍，则×cD×oc＝2×BF×oc，即可求解；（3）如图，作PE∥cD，则cD∥PE∥AB，故∠DcP＝∠EPc，∠BoP＝∠EPo，进而求解．【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点c，D，∴点c（0，2），点D（4，2），AB＝4，AB∥cD，AB＝cD，∴oc＝2，四边形ABDc是平行四边形，∴S四边形ABDc＝4×2＝8；（2）存在，理由：设F坐标为（m，0），∵△DFc的面积是△DFB面积的2倍，∴×cD×oc＝2×BF×oc，即4＝2。

第三章 图形的平移与旋转1．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )2. 下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是( )3. 如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°4．如图所示，在Rt △ABC 中，BC 是斜边，P 是三角形内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP ＝3，则PP′的长为( ) A ． 2 B ．3 2 C ．2 2 D ．35．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE ＝1，则FM 的长为( )A ．2B ．252C ．3D ．526. 如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论一定正确的是( )A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC7. 下列图形中，能由左图经过一次平移得到的图形是()8. 已知某一运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向左运动2个单位长度，现有一动点P第一次从原点O出发，按运动方式运动到P1，第2次从点P1出发按运动方式运动到点P2，则此时点P2的坐标是()A．(4,2)B．(－4,2) C．(－4，－2) D．(4，－2)9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是()A．65°B．70°C．75°D．80°10. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是( )A．(4n－1，3) B．(2n－1，3) C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3) 11. 如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝a度；②A1E＝CF；③DF＝FC；④BE＝BF.其中正确的有(只填序号)．12. 如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是．13. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．14. 点A(4,3)向左平移个单位长度后得到A′(－1,3)．15. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是．16. 将一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转五次，每次转过的角度为60°，旋转前后所有的图形共同组成的图形是正形．17. 如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则线段BC与EF的关系是且．18. 下列图形中，能通过旋转得到的有个.19. 如图所示，若A、B、C分别为三个圆的圆心，且圆的半径都是2cm，则圆B可看做是圆A沿水平方向平移cm得到的；圆C可看做圆A沿着与水平方向成°角的方向平移cm得到的，点C到AB的距离是cm.20. 如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，求CE′的长．21. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.如图，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO.22. 如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C 点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论．23. 如图，点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5，线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接PQ.(1)求PQ的长；(2)求∠APB的度数．答案;1---10 CACBD CCBAC11. ①②④12. (－2，－4)13. 1014. 515. ②④16. 六边17. 平行相等18. 419. 4 60 4 2320.解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22，∴AB＝BC＝22，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝22BE′＝2，在Rt△BCH中，CH＝BC2－BH2＝6，∴CE′＝2＋ 6.21. 解：由旋转的性质得：CD ＝CF ，∠DCF＝90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，AD ＝BD ，∴∠ADO＝90°，CD ＝BD ＝AD ，∴∠DCF＝∠ADC，在△ADO 和△FCO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AOD＝∠FOC ∠ADO ＝∠FCO AD ＝FC，∴△ADO≌△FCO(AAS)，∴DO ＝CO ，∴BD ＝CD ＝2DO.22. 解：垂直．证明：∵△DCE 由△ABC 平移而来，∴△DCE≌△ABC, ∴△DCE 是等边三角形，∴BC＝CD ，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝180°－120°＝60°，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝CD ，∴AC⊥BD.23. 解：(1)∵AP＝AQ ，∠PAQ＝60°，∴△APQ 是等边三角形，∴PQ＝PA ＝4； (2)连接QC ，∵△ABC，△APQ 都是等边三角形，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC，在△ABP 和△ACQ中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAP＝∠CAQAP ＝AQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴BP ＝CQ ＝3，∠APB ＝∠AQC ，∵在△PQC 中，PQ 2＋CQ 2＝PC 2，∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC ＝90°， ∵△APQ 是等边三角形，∴∠AQP ＝60°，∴∠APB ＝∠AQC ＝60°＋90°＝150°.。

第三章图形的平移与旋转一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D2.如图,将△ABC平移后得到△DEF,若∠A=44°,∠EGC=70°,则∠ACB的度数是()A.26°B.44°C.46°D.66°第2题图第3题图第4题图3.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转20°得到△ADE,∠BAC=30°,则∠BAE的度数为()A.10°B.20°C.30°D.50°4.如图,△A'B'C'是由△ABC平移得到的,则点C'的坐标为()A.(4,1.5)B.(3.5,1)C.(3.5,1.5)D.(4,1)5.把△ABC各点的横、纵坐标都乘-1后,得到的图形是()A B C D6.如图,将△OAB绕点O逆时针旋转60°得到△OCD,连接BD,AC.若OA=4,∠AOB=35°,则下列结论错误的是()A.∠BDO=60°B.∠BOC=25°C.OC=4D.BD=4第6题图第7题图第8题图7.如图,四个图案都可以看作是由一个“基本图案”经过旋转形成的,它们的旋转角相同的是()A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(3)(4)8.如图,将△ABC沿BC方向平移4 cm得到△DEF,若四边形ABFD的周长是28 cm,则△DEF的周长是()A.16 cmB.18 cmC.20 cmD.22 cm9.把一对三角纸板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角纸板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为 ()A.3B.5C.4D.第9题图第10题图10.如图,正确描述①到②到③的变换的是()A.①绕点B顺时针旋转135°后向右平移2 cm,再向右平移2 cmB.①绕点B顺时针旋转135°后向右平移4 cm,再向右平移4 cmC.①向右平移2 cm后绕点B顺时针旋转135°,再向右平移2 cmD.①向右平移2 cm后绕点B顺时针旋转135°,再向右平移4 cm二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中,将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A'B'C'(其中A,B,C的对应点分别为A',B',C'),则∠BA'A的度数是.第11题图第12题图第13题图12.如图,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A'BC',若BC=2,则CC'的长为.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),点B在第一象限内,将△OAB沿x轴正方向平移得到△O'A'B',若点A的对应点A'在直线y=x上,则点B与对应点B'之间的距离为.14.如图,在网格中,△ABC绕某点顺时针旋转α°(0<α<180)得到△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α= .第14题图第15题图15.如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为.16.如图,在平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n A2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是.三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(10分)在如图所示的方格中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).(1)建立平面直角坐标系,使点B的坐标为(-4,1),点C的坐标为(-1,1),则点A的坐标为;(2)在(1)的基础上,作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标.18.(10分)已知△ABC在平面直角坐标系中,且A(-2,1),B(-3,-2),C(1,-4),将其平移后得到△A1B1C1,若A,B 的对应点分别是A1,B1 ,C的对应点C1的坐标是(3,-1).(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC,△A1B1C1,并写出点A1,B1的坐标;(2)△ABC的面积为.19.(12分)象棋中有很多数学知识,如图,给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系(每个小正方形的边长均为1),根据象棋中“马”走“日”的规定,若“马”的位置在图中的点P处.(1)写出下一步“马”可能到达的点的坐标;(2)①如果顺次连接(1)中的所有点,则得到的图形是图形;(填写“中心对称”“旋转对称”“轴对称”)②指出(1)中关于点P成中心对称的点.20.(12分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=AD,线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,连接AC,ED.(1)求证:AC=DE;(2)若DC=4,BC=6,∠DCB=30°,求AC的长.21.(14分)已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,△CDE的边CE在射线AC上,CE<AC,∠DCE=90°,CD=CA.沿CA 方向平移△CDE,使点C移动到点A处,得到△ABF,过点F作FG⊥BC,垂足为点G,连接EG,DG.(1)如图1,当边CE在线段AC上时,求证:GC=GF;(2)如图2,当边CE在线段AC的延长线上时,其余条件不变.求证:△EFG≌△DCG.图1图222.(14分)把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.(1)如图1,求证:BE=AD,AF⊥BE;(2)将△ABC绕点C顺时针旋转(如图2),AD分别交BE,BC于点F,G,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A C D D C B D11.45°12.213.14.90 15.2-2 16.(4n+1,)17. (1)建立平面直角坐标系如图所示.(-3,3)(2)△A1B1C1如图所示.A1(3,3),B1(1,4),C1(1,1).18. (1)如图,△ABC,△A1B1C1即所求.因为点C的对应点C1的坐标是(3,-1),所以△ABC向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1,所以点A1的坐标是(0,4),B1的坐标是(-1,1).(2)7如图,S△ABC=S四边形AMNC-S△AMB-S△BNC=×(1+4)×5-×1×3-×2×4=7.19. (1)(0,0),(0,2),(1,3),(3,3),(4,2),(4,0).(2)①轴对称②根据中心对称的定义,可得(1)中关于点P成中心对称的点为(0,0)和(4,2),(0,2)和(4,0).20. (1)如图,连接BD.∵∠DAB=60°,AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴AB=DB,∠ABD=60°.∵线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,∴CB=EB,∠CBE=60°,∴∠ABC=∠DBE.在△ABC和△DBE中,∴△ABC≌△DBE(SAS),∴AC=DE.(2)如图,连接CE.∵CB=EB,∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形, ∴∠BCE=60°,又∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°.在Rt△DCE中,DC=4,CE=BC=6,∴DE==2,由(1)可知,AC=DE=2.21. (1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.∵FG⊥CG,∴∠FGC=90°,∴∠GFC=90°-∠ACB=45°,∴∠GFC=∠GCF,∴GC=GF.(2)由(1)中方法可证得GC=GF.∵∠DCG+∠GCF=90°,∠GCF+∠EFG=90°,∴∠DCG=∠EFG.由平移的性质可得CA=EF,又∵CD=CA,∴CD=EF.在△EFG和△DCG中,∴△EFG≌△DCG.22. (1)由题意知,在△BCE和△ACD中,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∠EBC=∠CAD, 又∵∠CDA+∠CAD=90°,∠BDF=∠CDA,∴∠BDF+∠DBF=90°,∴∠BFD=90°,即AF⊥BE.(2)成立.∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD,∴∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∠EBC=∠DAC,又∵∠CGA+∠CAG=90°,∠BGF=∠CGA,∴∠BGF+∠GBF=90°,∴∠BFG=90°,即AF⊥BE.。

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》单元综合优生辅导训练（附答案）1．下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正五边形2．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC．下列结论：①△ADE的旋转角为120°②BD＝EC③BE＝AD+AC④DE⊥AC，其中正确的有（）A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④4．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长为（）A．3B．4C．5D．45．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P1，连CP1的最小值为（）A．1.6B．2.4C．2D．26．如图，在△ABC中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（）A．24°B．25°C．26°D．27°7．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，其中点B′与点B是对应点，且点C、B′、C′在同一条直线上；则B′C的长为（）A．3B．4C．2.5D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5．将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，三角板绕C逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB边上时即停止转动，则BM的长为．10．如图，设P是等边△ABC内的一点，P A＝3，PB＝5，PC＝4，则∠APC＝°．11．如图，E为正方形ABCD内一点，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，则旋转了度．12．将两个斜边长相等的直角三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°．∠A＝45°，∠D＝30°．（1）∠CBA＝°；（2）把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B ＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC 绕着点C旋转得到的，P A＝，PB＝1，∠BPC＝135°．则PC＝．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，以点A为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得△ADE，点B，C旋转后的对应点为D，E，记旋转角为α（0°＜α＜180°）（Ⅰ）当α＝60°时，∠CAE＝°；（Ⅱ）当旋转后满足∠ACE＝∠ABC时，∠BEA＝°．15．等边△ABC中，AB＝7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE ＝2，则BF＝．16．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC 外作△BQC≌△BP A，连接PQ，则以下结论中正确有（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝135°17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝．将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则AM的长是．18．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称；（2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2；（3）直接写出点B关于点C对称点的坐标．20．已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，P为射线OM上的一点，连接BP，PC．将线段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D．（1）如图1，当α＝30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是；（2）如图2，且点P与点O不重合．①当α＝120°时，求∠CDM的度数；②用含α的代数式表示∠CDM的度数．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4）、B（﹣4，2）、C （﹣2，1），△ABC绕原点顺时针旋转180°，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向左平移5个单位得到△A2B2C2（1）画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转，平移后点P的对应点分别为P1、P2，请直接写出点P2的坐标．22．已知四边形ABCD，AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕点B旋转，两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E、F．（1）当点F在CD，点E在AD上时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当点F在DC延长线上，点在AD延长线上时（如2），探究AE，CF与EF之间的数量关系，并证明．23．图1是由一副三角板拼成的图案，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠BDE＝∠E＝45°．（1）求图1中∠EBC的度数．（2）若将图1中的三角板BDE不动，将另一三角板ABC绕点B顺时针或逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）．当∠ABE＝2∠DBC时，求∠ABD的度数（图2，图3，图4仅供参考）．24．已知：△ABC为等边三角形（1）若D为△ABC外一点，满足∠CDB＝30°，求证：DC2+DB2＝DA2．（2）若D为△ABC内一点，DC＝3，DB＝4，DA＝5，求∠CDB的度数（3）若D为△ABC内一点，DA＝4，DB＝2，DC＝2，则AB＝（直接写出答案）25．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO ＝30°．（1）求AB的长度；（2）分别以AB、AO为一边作等边△ABE、△AOD，求证：BD＝EO；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求证：F为DE的中点．参考答案1．解：A、圆既是中心对称图形又是轴对称图形；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故选：A．2．解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，这个正方形应该添加区域②处，故选：B．3．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，∴将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为180°﹣120°＝60°，故①错误；∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴BD＝EC，故②正确；BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确；∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝120°﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAC＝∠EAC，∵AD＝AE，∴DE⊥AC，故④正确；故选：B．4．解：如图所示：过点F作FG⊥AC．∵由旋转的性质可知：CE＝BC＝4，CD＝AC＝6，∠ECD＝∠BCA＝90°．∴AE＝AC﹣CE＝2．∵FG⊥AC，CD⊥AC，∴FG∥CD．又∵F是ED的中点，∴G是CE的中点，∴EG＝2，FG＝CD＝3．∴AG＝AE+EG＝4．∴AF＝＝5．故选：C．5．解：如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，则∠A＝∠P′ED＝90°，由旋转可知：DP＝DP′，∠PDP′＝90°，∴∠ADP＝∠EP′D，∴△DAP≌△P′ED（AAS）∴P′E＝AD＝2，∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，此时CP′＝EP′＝2∴线段CP′的最小值为2．故选：C．6．解：由旋转的性质得：∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，∵B'A∥BC，∴∠B'+∠B'C'C＝180°，∴∠B'C'C＝180°﹣42°＝138°，∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'＝×138°＝69°，∴∠BAC'＝∠AC'C﹣∠B＝69°﹣42°＝27°；故选：D．7．解：根据旋转的性质可知AC＝AC′，∠ACB＝∠AC′B′＝45°，BC＝B′C′＝1，所以△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′＝90°，所以CC′＝，所以B′C＝4﹣1＝3．故选：A．8．解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，∴AD∥BE，AD＝BE＝2，∴四边形ABED是平行四边形，∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×5＝10．故答案为10．9．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．由旋转的性质可知：AC＝AC′，∠A＝∠A′＝60°∴△ABA′为等边三角形．∴∠ACA′＝60°．∴∠A′CB＝30°．∴∠A′CB＝∠B．∴A′C＝A′B．∵∠A′CB＝30°，∠A′＝60°，∴∠CMA′＝90°．∵∠CMA′＝90°，A′C＝A′B，∴CM＝BM．∴BM＝．故答案为：3．10．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△CEA，连EP，如图，∴EC＝BP＝5，AE＝AP＝4，∠P AE＝60°，∴△APE为等边三角形，∴PE＝P A＝3，∠APE＝60°，在△EPC中，PE＝3，PC＝4，EC＝5，∴CE2＝PE2+PC2，∴△EPC为直角三角形，且∠CPE＝90°，∴∠APC＝90°+60°＝150°．故答案为150°．11．解：∵AB按顺时针方向旋转到BC所在的位置，旋转了90度，∴△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，则旋转了90度．故答案为：90．12．解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠CBA＝90°﹣45°＝45°，故答案为45．（2）如图②，连接AD1；∵∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC；∵∠CED＝90°，∠D＝30°，∴∠DCE＝60°；由题意得：∠BCE1＝15°，∴∠D1CB＝60°﹣15°＝45°，∴∠ACD1＝90°﹣45°＝45°，∴CD1平分∠ACB，而AC＝BC，∴AO＝BO，CD1⊥AB，CO＝AB；∴AD1＝BD1；∵AB＝CD1，∴OD1＝AB，△ABD1为等腰直角三角形，∴∠OD1B＝45°，∴∠E1D1B＝45°﹣30°＝15°，故答案为15°．13．解：∵△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，∴∠P′CA＝∠PCB，CP′＝CP，∴∠P′CP＝∠ACB＝90°，∴△P′CP为等腰直角三角形，可得出∠AP′B＝90°，∵P A＝，PB＝1，∴AP′＝1，∴PP′＝＝2，∴PC＝，故答案为．14．解：（Ⅰ）∵把△ABC顺时针旋转，得△ADE，∴∠CAE＝α，∵α＝60°，∴∠CAE＝60°；故答案为：60；（Ⅱ）如图所示，当∠ACE＝∠ABC时，∠AFC＝∠ACB＝90°，∴AB⊥CE，又∵AC＝AE，∴点F是CE的中点，即AB垂直平分CE，∴BC＝BE，∴△ABC≌△ABE，∴∠AEB＝∠ACB＝90°．故答案为：90；15．解：如图，连接EF，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠1+∠3＝120°，又∵DE绕点D逆时针转过60°E点落在BC边的F处，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠1+∠2＝120°，∴∠2＝∠3，在△ADE和△BEF中，，∴△ADE≌△BEF（AAS），∴BF＝AE＝2，故答案为：2．16．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BP A，∴∠BP A＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝P A＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BP A＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，故答案为：①②③．17．解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴CA＝＝2，由旋转的性质得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CA＝2；故答案为：2．18．解：连接CE，作EF⊥BC于F，由旋转变换的性质可知，∠CAE＝60°，AC＝AE，∴△ACE是等边三角形，∴CE＝AC＝4，∠ACE＝60°，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝2，由勾股定理得，CF＝＝2，∴BF＝BC﹣CF＝，由勾股定理得，BE＝＝，故答案为：．19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）点B关于点C对称点的坐标为（0，﹣2）．20．解：（1）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BO＝CO，∠COD＝90°．∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ∴PB＝PC＝PQ．∴∠Q＝∠C．∵∠Q+∠C＝∠BPQ＝30°，∴∠C＝15°，∴∠C+∠CDM＝90°，∴∠CDM＝75°；（2）如图2，∵直线MN是线段BC的垂直平分线，∴PB＝PC，BD＝CD．∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ∴PB＝PC＝PQ．∴∠PQC＝PCQ．在△PBD和△PCD中，，∴△PBD≌△PCD（SSS），∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．∵∠PQC+∠PQD＝180°，∴∠PQD+∠PBD＝180°．∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，∴∠BPQ+∠BDC＝180°．∵∠BPQ＝120°，∴∠BDC＝60°．∵∠PDB＝∠PDC，∴∠PDC＝30°．即∠CDM＝30°；（3）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，∴PB＝PC，BD＝CD．∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ∴PB＝PC＝PQ．∴∠PQC＝PCQ．在△PBD和△PCD中，，∴△PBD≌△PCD（SSS），∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．∵∠PQC+∠PQD＝180°，∴∠PQD+∠PBD＝180°．∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，∴∠BPQ+∠BDC＝180°．∵∠BPQ＝a，∴∠BDC＝180°﹣a．∵∠PDB＝∠PDC，∴∠PDC＝90°﹣a，即∠CDM＝90°﹣a．故答案为：75°．21．解：（1）如图所示，点A的对应点A1的坐标是（3，﹣4）；（2）如图所示，点A的对应点A2的坐标（﹣2，﹣4）；（3）根据规律可知：点P2的坐标为（﹣a﹣5，﹣b）．22．（1）证明：延长DC至K点，使得CK＝AE，如图1所示：在△ABE和△CBK中，，∴△ABE≌△CBK（SAS）．∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠KBC+∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°，∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°．在△EBF和△KBF中，，∴△EBF≌△KBF（SAS）．∴EF＝KF．∴EF＝CK+CF．∴AE+CF＝EF；（2）解：AE﹣CF＝EF，理由如下：在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK．如图2所示：在△ABE和△CBK中，，∴△ABE≌△CBK（SAS）．∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠KBC+∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°．∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°．在△EBF和△KBF中，，∴△EBF≌△KBF（SAS），∴EF＝KF，∴EF＝CK﹣CF．∴AE﹣CF＝EF．23．解：（1）∠EBC＝∠ABC+∠EBD＝60°+90°＝150°；（2）第一种情况：若逆时针旋转α度（0＜α＜60°），如图2：据题意得90°﹣α＝2（60°﹣α），解得α＝30°，∴∠EBC＝90°+（60°﹣30°）＝120°，∴∠DBC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°；第二种情况，若逆时针旋转α度（60°≤α＜90°），如图3，据题意得90°﹣α＝2（α﹣60°），解得α＝70°，∴∠EBC＝90°﹣（70°﹣60°）＝80°，∴∠DBC＝90°﹣80°＝10°，∵∠ABD＝60°+10°＝70°；第三种情况：若顺时针旋转α度，如图4，据题意得90°+α＝2（60°+α），得α＝﹣30°，∵0＜α＜90°，α＝﹣30°不合题意，舍去，故α＝30°或70°时，∠ABD的度数是30°或70°．24．解：（1）如图1，以BD为边作等边△BDQ，在△ABD和△CBQ中∴△ABD≌△CBQ（SAS）．∴AD＝CQ．∵∠CDQ＝30°+60°＝90°，∴DC2+DQ2＝CQ2，即DC2+DB2＝DA2．（2）如图2，以CD为边作等边△CDM，在△CAD和△CBM中∴△CAD≌△CBM（SAS），∴AD＝BM．由DM2+DB2＝BM2，可得∠BDM＝90°，所以∠CDB＝60°+90°＝150°．（3）如图3，以BD为边作等边△BDN，在△ANB和△CDB中∴△ANB≌△CDB（SAS），∴AN＝CD．在△AND中，∵DA2+DN2＝AN2，可得∠ADN＝90°，∴∠ADB＝60°+90°＝150°．在△ADB中，如图4，过B点作BH垂直于AD延长线于H点，则∠BDH＝30°，∵BD＝，∴BH＝，DH＝3．∴AH＝4+3＝7．在Rt△ABH中，AB＝．故答案为2．25．（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO＝30°，∴AB＝2BO＝2；（2）证明：∵△ABE、△AOD为等边三角形，∴AB＝AE，∠EAB＝60°，AD＝AO，∠DAO＝60°，∵∠EAB+∠OAB＝∠DAO+∠OAB，∴∠EAO＝∠DAB，在△ABD与△AEO中，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝EO；（3）证明：作EH⊥AB于H，如图3，∵AE＝BE，∴AH＝AB，∵BO＝AB，∴AH＝BO，在Rt△AEH与Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO，∵△AOD为等边三角形，∴AD＝AO，∠OAD＝60°，∴EH＝AD，∠BAD＝90°，在△HFE与△AFD中，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF．∴F为DE的中点．。

第三章图形的平移与旋转课后练习题答案（北师大版）
第三章图形的平移与旋转课后练习题答案（北
师大版）
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以下是初二数学课后题答案：
第三章图形的平移与旋转
3.1 生活中的平移
随堂练习
1.图案(3)可以通过图案(1)平移得到.
2.不能
习题 3.1
知识技能
1. 首先找到小船的几个关键点向左平移4格后的位置，然后连接相应的点，形成相应的图形即可.
数学理解
2.例如：急刹车时汽车在地面上的运动，桌面上被拖动的物体的运动是平移.
3.不能
4.能
问题解决
5.图中的任意两个图案之间都是平移关系
3.2 简单的平移作图
随堂练习
随堂练习
1.旋转5次得到，旋转角度分别等于60，120，180，240.300. 习题3.4
知识技能
1.(1)旋转中心在转动轴上;(2)120，240(3)没有.
数学理解
2.都一样.
3.略.
4.以一个花瓣为基本图案，通过连接4次旋转所形成的，旋转角度分别等于72，144，216，288.
5.可以看做是一个三角星绕图案的中心位置旋转
90,180,270形成的;也可以看做是相邻两个三角星绕图案的中心位置旋转180所形成的
习题 3.5.
1.略
2.略。

北师大版八年级下册数学第三章图形的平移与旋转同步课时练习题3．1图形的平移第1课时平移的认识01基础题知识点1平移的认识1．下列现象中属于平移的是(A)A．升降电梯从一楼升到五楼B．闹钟的钟摆运动C．树叶从树上随风飘落D．汽车方向盘的转动2．下列选项中能由左图平移得到的是(C)3．如图，由△ABC平移得到的三角形有(B)A．15个B．5个C．10个D．8个知识点2平移的性质4．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B)A．40°B．50°C．90°D．130°5．下列说法：①图形平移，对应点所连的线段互相平分；②确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距离；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；④一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(A) A．2 B．3 C．5 D．77．如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是13cm.8．如图，△ABC经过一次平移到△DFE的位置，请回答下列问题：(1)点C的对应点是点E，∠D＝∠A，BC＝FE；(2)连接CE，那么平移的方向就是点C到点E的方向，平移的距离就是线段CE的长度；(3)连接AD，BF，BE，与线段CE相等的线段有AD，BF．知识点3 平移作图9．下列平移作图错误的是(C)10．如图，经过平移，四边形ABCD 的顶点A 移到了点A′. (1)指出平移的方向和平移的距离； (2)画出平移后的四边形A′B′C′D′.解：(1)如图，连接AA′，平移的方向是点A 到点A′的方向，平移的距离是线段AA′的长度． (2)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．02 中档题11．如图，已知△ABC 平移后得到△DEF ，则下列说法中，不正确的是(C)A ．AB ＝DE B ．BC ∥EFC ．平移的距离是线段BD 的长 D ．平移的距离是线段AD 的长 12．(2017·西安期中)如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC 方向平移BE 距离得到此图形，其中AB ＝6，BE ＝5，DH ＝3，则四边形DHCF 的面积为(C)A ．35 B.652 C.452D ．3113．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C ，则△A′B′C 的周长为12．14．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC. (1)试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；(2)将四边形ABCD 向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.解：(1)点D 以及四边形ABCD 另两条边如图所示． (2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．15．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． (1)请利用平移的知识求出种花草的面积；(2)若空白的部分种植花草共花费了4 620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)． 答：种花草的面积为42平方米． (2)4 620÷42＝110(元)．答：每平方米种植花草的费用是110元．03 综合题16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A′B′C′的位置． (1)若平移距离为3，求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积；(2)若平移距离为x(0≤x ≤4)，用含x 的代数式表示△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积．解：(1)由题意，得CC′＝3，BB ′＝3，∴BC ′＝1.又由题意易得，重叠部分是一个等腰直角三角形， ∴重叠部分的面积为12×1×1＝12.(2)当平移的距离是x 时，CC ′＝BB′＝x ， 则BC′＝4－x.∴重叠部分面积为12(4－x)2.第2课时 沿x 轴或y 轴方向平移的坐标变化01 基础题知识点 沿x 轴或y 轴方向平移的坐标变化 1．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后对应的点A′的坐标是(C)A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(C)A．(1，3) B．(2，2)C．(2，4) D．(3，3)3．在平面直角坐标系中，将线段OA向下平移2个单位长度，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O(0，0)，A(1，4)，则点O1，A1的坐标分别是(B)A．(0，－2)，(－1，4) B．(0，－2)，(1，2)C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)4．(2017·郴州)在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)．5．如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．解：如图所示．由图可知，A1(－2，2)，B1(0，－2)，C1(2，1)，D1(1，4)．02中档题6．将△ABC各顶点的纵坐标加“－3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC(B)A．向上平移3个单位长度得到的B．向下平移3个单位长度得到的C．向左平移3个单位长度得到的D．向右平移3个单位长度得到的7．若将点P(m＋2，2m＋1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m＝－3．8．如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，嘴唇C的坐标为(－1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，右眼B的坐标是(3，3)．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，点B(－2，1)，平移线段AB，使点A落在A1(0，－1)，点B落在点B1，则点B1的坐标为(1，1)．10．观察下图，与图1中的鱼相比，图2中的鱼发生了一些变化，若图1中鱼上点P的坐标为(4，3.2)，则这个点在图2中的对应点P1的坐标应为(4，2.2)．11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为(2，7)，点C的坐标为(6，5)；(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，那么平移后点M的对应点M1的坐标为(a，b－7)．解：平移后的△A1B1C1如图所示．第3课时沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化01基础题知识点沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化1．将点(1，2)先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点的坐标是(A) A．(－2，3) B．(4，3)C．(－2，1) D．(4，1)2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为(D)A．(4，3) B．(2，4)C．(3，1) D．(2，5)3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)A．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度C．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝－6，y＝2．5．(2017·西安高新区期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，－2)，将线段AB沿某一方向平移后，得到点A的对应点A′的坐标为(－1，0)，则点B的对应点B′的坐标为(1，－3)．6．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图中鱼的各个顶点A，B，C，D都在格点上．(1)把鱼先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请你画出平移后得到的图形；(2)写出A，B，C，D四点平移后的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．(2)A′(4，2)，B′(0，6)，C′(2，2)，D′(1，1)．02中档题7．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中A，B的对应点分别为A1，B1，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为(A)A．(a－4，b＋2) B．(a－4，b－2)C．(a＋4，b＋2) D．(a＋4，b－2)8．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF.(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．解：(1)△DEF如图所示，其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)．(2)连接AD.由图可知，AD＝32＋42＝5.∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．03综合题9．在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”．点A(－6，－2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1，点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2，…，以此类推．(1)写出点A3的坐标：A3(0，1)；(2)写出点A n的坐标：A n(－6＋2n，－2＋n)(用含n的代数式表示)．3.2图形的旋转第1课时旋转的认识01基础题知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为(B)A．40°B．70°C．80°D．140°3．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：(1)旋转中心是点A；(2)点B，D的对应点分别是点C，E；(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；(4)∠B的对应角是∠ACE；(5)旋转角度为60°．知识点2旋转的性质4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(C) A．15 °B．60°C．45°D．75°5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－2，0)和(2，0)．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为(B)A．(2，2) B．(2，4)C．(4，2) D．(1，2)6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．02 中档题 7．(2016·大连)如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若∠CAE ＝90°，AB ＝1，则BD ＝2．8．(2017·西安期中)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B ，D 两点间的距离为210．9．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求∠ACE 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，AB ＝AD ，AC ＝AE. 又∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE. ∴△ABD ≌△ACE(SAS)．(2)∵∠CAE ＝100°，AC ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠AEC.∴∠ACE ＝12×(180°－∠CAE)＝12×(180°－100°)＝40°.03 综合题 10．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接AE ，则AE 的长为2＋6．第2课时 旋转作图01 基础题 知识点 旋转作图1．将△AOB 绕点O 旋转180°得到△DOE ，则下列作图正确的是(C)2．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96 B．69 C．66 D．994．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.解：如图.5．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．解：如图所示．02中档题6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是把平行四边形ABCD以A为中心(D)A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到7．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；(2)将△ABC绕点P沿逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.解：(1)△A′B′C′如图所示． (2)△A″B″C″如图所示．8．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A(－4，2)，点D(0，5)．(1)画出△ABC 绕点D 逆时针方向旋转90°后的△EFG ； (2)写出点E ，F ，G 的坐标．解：(1)如图所示，△EFG 即为所求．(2)如图所示，E(3，1)，F(1，2)，G(3，4)．小专题(五) 教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89T12)如图，△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝42°，AB ＝AC ，AD ＝AE.∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴△ABD 与△ACE 可通过旋转相互得到，△ABD 以点A 为旋转中心，逆时针旋转42°，使△ABD 与△ACE 重合．1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形．(1)求证：BD ＝CE ；(2)△ABD 可以看作是由△ACE 逆时针旋转90°得到的．证明：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴BD ＝CE.2．如图，点P 是等边△ABC 内一点，PA ＝4，PB ＝3，PC ＝5.线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ. (1)求PQ 的长．(2)求∠APB 的度数．解：(1)∵AP ＝AQ ，∠PAQ ＝60° ∴△APQ 是等边三角形． ∴PQ ＝AP ＝4. (2)连接QC.∵△ABC ，△APQ 都是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠PAQ ＝60°.∴∠BAP ＝∠CAQ ＝60°－∠PAC.在△ABP 和△ACQ 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAP ＝∠CAQ ，AP ＝AQ ，∴△ABP ≌△ACQ(SAS)．∴BP ＝CQ ＝3，∠APB ＝∠AQC. ∵在△PQC 中，PQ 2＋CQ 2＝PC 2，∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC ＝90°. ∵△APQ 是等边三角形，∴∠AQP ＝60°.∴∠APB ＝∠AQC ＝60°＋90°＝150°.3．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AB ＝AC ，AD ＝AE ，然后将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，连接BD ，CE ，得到图2，将BD ，CE 分别延长至M ，N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)在图2中，BD 与CE 的数量关系是BD ＝CE ；(2)在图3中，判断△AMN 的形状，及∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想． 解：△AMN 为等腰三角形，∠MAN ＝∠BAC. 证明：易证△BAD ≌△CAE ， ∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE. 又∵DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，∴BM ＝CN.在△ABM 和△ACN 中，⎩⎨⎧BM ＝CN ，∠ABM ＝∠ACN ，BA ＝CA ，∴△ABM ≌△ACN(SAS)．∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，即∠BAC ＋∠CAM ＝∠CAM ＋∠MAN. ∴△AMN 为等腰三角形，∠MAN ＝∠BAC.3.3 中心对称01 基础题知识点1 中心对称的有关概念及性质 1．下列说法正确的是(B)A ．全等的两个图形一定成中心对称B ．关于某个点中心对称的两个图形一定全等C ．关于某个点中心对称的两个图形不一定全等D ．不全等的两个图形有可能关于某点中心对称2．如图，已知△ABC 与△A′B′C′关于点O 成中心对称，则下列说法不正确的是(B)A ．∠ABC ＝∠A′B′C′B ．∠BOC ＝∠B′A′C′ C ．AB ＝A′B′D ．OA ＝OA′3．如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(C)A ．1组B ．2组C．3组D．4组4．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B＝40°，则∠D的度数为40°．5．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转180°后得到的，那么△ABC与△ADE关于A点中心对称，A点叫做对称中心．6．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距4公里．知识点2画中心对称的图形7．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.解：四边形A′B′C′D′如图所示．知识点3中心对称图形8．(2017·陕西师范大学附属中学期中)下列四个图形中是中心对称图形的是(D)9．(2017·成都)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)10．(2017·玉林)五星红旗上的每一个五角星(A)A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：正方形(答案不唯一)．02中档题12．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④13．如图是一个以点O 为对称中心的中心对称图形，若∠A ＝30°，∠C ＝90°，OC ＝1，则AB 的长为(A)A ．4 B.33C.233D.43314．如图，△ABC 与△DEF 关于O 点中心对称，则线段BC 与EF 的关系是平行且相等．15．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E ，F 在线段AC 上，且AF ＝CE.求证：DF ＝BE.证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称， ∴OB ＝OD ，OA ＝OC. ∵AF ＝CE ，∴OF ＝OE.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOE ，OF ＝OE ，∴△DOF ≌△BOE(SAS)． ∴DF ＝BE.16．如图，正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称，已知A ，D 1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．解：(1)根据中心对称的性质，可得：对称中心是D1D的中点．∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5)．(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，∴点A1的坐标是(0，1)．∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．综上可得：顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．03综合题17．如图，已知四边形ABCD.(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN对称；(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称或中心对称吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．解：(1)(2)如图所示．(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称，对称轴是直线EF，如图．周周练(3.1～3.3)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列现象是数学中的平移的是(D)A．骑自行车时的轮胎滚动B．碟片在光驱中运行C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动D．生产中传送带上的电视机的移动过程2．(2017·西安期中)下列图形是中心对称图形的是(C)3．平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位长度后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比(A) A．横坐标不变，纵坐标加3B．纵坐标不变，横坐标加3C．横坐标不变，纵坐标乘3D．纵坐标不变，横坐标乘34．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(D)5．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(A)A．42°B．48°C．52°D．58°6．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是(A)A．(－4，－2) B．(4，－2)C．(－2，－3) D．(－2，－4)7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(D)A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长8．(2017·西安高新区期中)如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转的度数分别为(B)A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，30°二、填空题(每小题5分，共30分)9．(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(－2，1)，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点A的坐标为(1，－1)．10．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)．11．(2017·平顶山市宝丰县期中)正三角形绕其中心至少旋转120度能与原三角形重合．12．(2017·宜宾)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是60°．13．(2017·太原)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(－1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为(6，0)．14．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．三、解答题(共38分)15．(12分)如图，△ABC沿直线l向右平移3 cm得到△FDE，且BC＝6 cm，∠B＝40°.(1)求BE；(2)求∠FDB的度数；(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)； (4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)．解：(1)∵△ABC 沿直线l 向右平移了3 cm ， ∴CE ＝BD ＝3 cm.∴BE ＝BC ＋CE ＝6＋3＝9(cm)． (2)∵∠FDE ＝∠B ＝40°，∴∠FDB ＝140°.(3)相等的线段有AB ＝FD ，AC ＝FE ，BC ＝DE ，BD ＝CE ＝CD. (4)平行的线段有AB ∥FD ，AC ∥FE.16．(12分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1，平移△ABC ，使点A 的对应点A 2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；(2)若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标． 解：(1)如图所示．(2)旋转中心的坐标为(32，－1)．17．(14分)如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．(两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动)(1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？ (2)分别求出平移距离为4 cm 或10 cm 时，重叠部分的面积． 解：(1)平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如图：(2)当平移距离为4 cm 时，重叠部分是三角形OAA′，如图1，此时AA′＝4 cm. ∵∠OAA ′＝∠OA′A ＝60°， ∴△OAA ′是等边三角形． ∴S △OAA ′＝4 3 cm 2.当平移距离为10 cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如图2，此时AA′＝10 cm. ∵AC＝A′C′＝7 cm，∴A′C＝AC′＝3 cm.∵∠A＝∠A′＝60°，∠AC′D＝∠A′CE＝90°，∴C′D＝CE＝3 3 cm.∴S五边形ODC′CE＝S△OAA′－S△AC′D－S△A′CE＝12×10×53－12×3×33×2＝163(cm2).3.4简单的图案设计01基础题知识点1分析图案的形成过程1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移交换来分析其形成过程的图案是(C)2．如图，国旗上的四个小五角星，通过怎样的变化可以相互得到(D)A．轴对称B．平移C．旋转D．平移或旋转3．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是(C)4．如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是(B)A. B. C. D.5．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是(D)A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤知识点2利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案6．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是(C)A. B.C. D.7．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．8．(2017·西安期中)如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形．解：如图所示．(1)(2)(3)02中档题9．下列能通过基本图形旋转得到的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，它们旋转的角度均是60°．11．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法将该图形绕O点顺时针依次旋转90°，180°，270°，你会得到一个什么样的立体图形？解：得到的是一个星星图案，如图．12．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，请仿照图2的画法，在图3所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影．解：如图所示：答案不唯一．13．请运用平移、轴对称和旋转分析下面图案的设计过程．解：若从原图中提取的基本图案如图所示，则可按下面的两种几何变换(不唯一)得到整个图案：形成方式一：形成方式二：03综合题14．已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．图1图2解：答案不唯一，以下提供三种图案．章末复习(三)图形的平移与旋转01基础题知识点1平移1．下列图形中，可由左图经过平移得到的是(C)A B C D2．(2016·安顺)如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)A．(－2，－4) B．(－2，4)C．(2，－3) D．(－1，－3)3．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．4．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4)．(1)请画出△ABC ，并写出点A ，B ，C 的坐标； (2)求出△AOA 1的面积．解：(1)如图所示，A(－3，1)，B(0，2)，C(－1，4)． (2)S △AOA 1＝12×4×1＝2.知识点2 旋转 5．(2016·新疆)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是(D)A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，若点A ，B 的对应点分别是点D ，E ，画出旋转后的三角形，并求点A 与点D 之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3.由旋转的性质，得CD ＝AC ＝3，∠ACD ＝90°. ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝3 2. 知识点3 中心对称 7．(2017·郑州月考)下列图形中，是中心对称图形的是(A)8．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A 1B 1C 1关于E 点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是(A)A ．(3，－1)B ．(0，0)C ．(2，－1)D ．(－1，3)知识点4图案设计9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．02中档题10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C)A．30°B．60°C．72°D．90°11．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度12．(2017·西安高新区期中)某景点拟在如图的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为200米．13．如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.解：如图所示：答案不唯一．14．(2017·郑州月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(－6，1)，点B的坐标为(－3，1)，点C的坐标为(－3，3)．(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1。

北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元综合优生练习题1（附答案）1．将点A( 2, -1)向左平移3 个单位长度，再向上平移4 个单位长度得到点B ，则点B 的坐标是（）A．(5, 3) B．(-1, 3) C．(-1, -5)D．(5, -5)2．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，三角形ABC经过平移得到三角形DEF，其中A点(－2,4)平移到D点(2,2)，则B点(a，b)平移后的对应点E的坐标是()A．(a＋2，b)B．(a＋4，b－2)C．(a＋2，b－2)D．(a＋4，b＋2)4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案(1)的平移得到的是( ) A．B．C．D．6．在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）8．如图，△AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到△COD ，若∠AOB ＝30°，∠BOC 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°9．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，且AC 在直线l 上，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转到B 位置①，可得到点1P ，此时12AP =；将位置①的三角形绕点1P 顺时针旋转到位置②，可得到点2P ，此时223AP =+；将位置②的三角形绕点2P 顺时针旋转到位置③，可得到点3P ，此时333AP =+；⋯按此规律继续旋转，直到点2018P 为止，则2018AP 等于( )A ．20166733+B ．20176733+C ．20186733+D ．20196733+ 11．如图，已知等腰三角形ABC ，CA ＝CB ＝6cm ，AB ＝8cm ，点O 为△ABC 内一点（点O 不在△ABC 边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出OA +OB +OC 的最小值为_____．12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为_____．13．如图，在▱ABCD中，∠A＝72°，将□ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝_____°．14．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转34°，得到△A′B′C′，A′B′ 交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= __________．15．如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为______16．A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，点A1B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=____________.17．如图，三角形ABC沿AA′方向平移5 cm后成为三角形A′B′C′，则BB′的长度为_____．18．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，例如：OA1＝2OA，∠A1OA＝45°．按照这种规律变换下去，点A2018的纵坐标为_____．19．中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是__．20．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为______21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB 于E．（1）连接AD，取AD中点F，连接CF，CE，FE，判断△CEF的形状并说明理由（2）若BD=2CD，将△BED绕着点D逆时针旋转n°（0＜n＜180），当点B落在Rt△ABC的边上时，求出n的值．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（三角形顶点是网格线的交点）和△A1B1C1，且△ABC与△A1B1C1，成中心对称．（1）画出△ABC和△A1B1C1的对称中心O；（2）将△A1B1C1沿直线ED方向向上平移6格，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）将△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转90°，得到△A3B3C3，画出△A3B3C3．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,4A --，()0,4B -，()1,1C -.（1）画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转90︒后的图形111A B C ∆，并写出点1C 的坐标； （2）将（1）中所得111A B C ∆先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到222A B C ∆，画出222A B C ∆，并写出点2C 的坐标；（3）若222A B C ∆可以看作ABC ∆绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标.24．ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）作出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，并写出顶点1C 的坐标；（2）将ABC ∆每个顶点的纵坐标加2，横坐标不变，作出这个222A B C ∆，并写出顶点2C 的坐标；（3）观察111A B C ∆和222A B C ∆，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.25．如图，在小正方形边长为1cm 的方格纸内将△ABC 水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．（1）补全△A′B′C′， 利用网格点和直尺画图；（2）写出图中AC 与A′C′的关系；（3）画出AB 边上的高CD ；（4）画出△ABC 中AB 边上的中线CE ；（5）平移过程中，线段AC 扫过的面积是多少2cm ．26．如图，等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点P 在AC 上，将ABP ∆绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到CBQ ∆.（1）求PCQ ∠的度数；（2）当4AB =，2AP =时，求PQ 的大小；（3）当点P 在线段AC 上运动时（P 不与A ，C 重合），求证：2222PB PA PC =+. 27．如图，适当地改变方格图中的平行四边形的部分位置，并保持面积不变，先使其为矩形，再将矩形向下平移3个格后，继续改变其中某些部分的位置并保持面积不变，使其成为菱形．说明在变化过程中所运用的图形变换．28．如图所示的是边长为1个单位长度的小正方形组成的方格纸，试解答下列问题:(1)已知△ABC的顶点都在方格纸的格点(小正方形的顶点)上，将△ABC进行平移，得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，试画出△A1B1C1.(2)线段AA1与线段BB1的位置关系为______ (填“平行”或“相交”).参考答案1．B【解析】【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【详解】点（2，－1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，点的横坐标为2－3＝-1，纵坐标为－1+4＝3，则平移后点的坐标为（-1，3）.故答案是：B.【点睛】考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．2．C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断出正确答案.【详解】根据题意可知：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形是中心对称图形，故本选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称图形，熟知和掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题关键.3．B【解析】【分析】利用点A和它的对应点D的坐标之间的关系得到平移的规律，然后利用此平移规律得到B点的对应点E的坐标．【详解】∵A点（-2，4）先右平移4个单位，再向下平移2个单位得到D点（2，2），所以B点（a，b）平移后的对应点E的坐标为（a+4，b-2）．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．4．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．C【解析】【分析】平移前后图形的形状与大小没有改变，并且对应点的连线平行且相等．【详解】A、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；B、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；C、可通过平移得到，符合题意；D、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．6．C【解析】【分析】轴对称图形是将图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合;中心对称图形是指将图形绕着某个点旋转180度后能与自身重合的图形.根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;B选项是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误;C选项不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;D选项是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误.故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念.7．B【解析】【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案．【详解】解：点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标为：（﹣4，5）．故选：B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．8．B【分析】由旋转的性质可得∠AOC=65°，由∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数．【详解】∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，∴∠AOC＝65°，∵∠AOB＝30°∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．9．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C【解析】【分析】绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，仔细审题，发现将Rt ABC1，且三次一循环，按此规律即可求解．解：90ACB ∠=︒Q ，30B ∠=︒，1AC =，2AB ∴=，BC =，∴将ABC ∆绕点A 顺时针旋转到①，可得到点1P ，此时12AP =，将位置①的三角形绕点1P 顺时针旋转到位置②可得到点2P ，此时22AP =+将位置②的三角形绕点2P 顺时针旋转到位置③，可得到点3P ，此时33AP =⋯201836722÷=⋯Q ，2018672(322018AP ∴=++故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP 的长度依次增加2，1，且三次一循环是解题的关键．11．【解析】【分析】以AB 为边作等边三角形△ABD ，以OB 为边作等边△OBE ．连接CD 交AB 于M 点，可证△ABO ≌△DBE ，可得AO ＝DE ，则AO +BO +CO ＝CO +OE +DE ，即当D 、E 、O 、C 四点共线时，AO +BO +CO 值最小，最小值为CD 的长度，根据勾股定理求CD 的长度，即可求OA +OB +OC 的最小值．【详解】如图：以AB 为边作等边三角形△ABD ，以OB 为边作等边△OBE ．连接CD 交AB 于M 点．∵△ABD和△OBE是等边三角形∴OE＝OB＝BE，∠ABD＝∠OBE＝60°，AB＝BD∴∠ABO＝∠DBE且AB＝BD，BO＝BE∴△ABO≌△DBE∴AO＝DE∴AO+BO+CO＝DE+OE+CO∴当D、E、O、C四点共线时，AO+BO+CO值最小，∵AC＝BC，AD＝BD∴CD是AB的垂直平分线∴AB⊥CD，AM＝MB＝4∵CA＝CB＝6，AD＝BD＝8∴CM＝5MD＝3∴CD＝35∴AO+BO+CO最小值为35，故答案为35【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．12．32．【解析】【分析】如图，作辅助线；证明△ABC ′≌△B ′BC ′，得到∠MBB ′＝∠MBA ＝30°；求出BM 、C ′M 的长，即可解决问题【详解】解：如图，连接BB ′，延长BC ′交AB ′于点M ；由题意得：∠BAB ′＝60°，BA ＝B ′A ，∴△ABB ′为等边三角形，∴∠ABB ′＝60°，AB ＝B ′B ；在△ABC ′与△B ′BC ′中，AC B C AB B B BC BC =⎧⎪=⎨⎪='''''⎩' ，∴△ABC ′≌△B ′BC ′（SSS ），∴∠MBB ′＝∠MBA ＝30°，∴BM ⊥AB ′，且AM ＝B ′M ；由题意得：AB 2＝16，∴AB ′＝AB ＝4，AM ＝2，∴C ′M ＝12AB ′＝2；由勾股定理可求：BM ＝23 ， ∴C ′B ＝23﹣2，故答案为：23﹣2．【点睛】本题考查了旋转与勾股定理，掌握旋转的性质构造辅助线是解题的关键,13．36【解析】【分析】由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，得出BC＝BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1＝∠C1，由旋转角∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，∴BC＝BC1，∴∠BCC1＝∠C1，∵∠A＝72°，∴∠DCB＝∠C1＝72°，∴∠BCC1＝∠C1，∴∠CBC1＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠ABA1＝36°，故答案为36．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．14．56°【解析】【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=34°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．【详解】∵三角形△ABC绕着点C时针旋转34°，得到△AB′C′∴∠ACA′=34°，∠A'DC=90°∴∠A′=56°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=56°；故答案为56°．【点睛】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．15．22ab a b --+【解析】【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．【详解】解：由图可知：矩形ABCD 中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a-2）米，宽为（b-1）米．所以草坪的面积应该是长×宽=（a-2）（b-1）=ab-a-2b+2（米2）．故答案为ab-a-2b+2．【点睛】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键. 16．2【解析】【分析】根据点A 、B 平移后横纵坐标的变化可得线段AB 向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后再确定a 、b 的值，进而可得答案．【详解】由题意可得线段AB 向右平移1个单位，向上平移了1个单位．∵A 、B 两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），∴点A 1、B 1的坐标分别为（2，1），（1，3），∴a +b =2．故答案为：2．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．17．5cm【解析】【分析】根据平移的性质，可得答案．【详解】解：有三角形ABC沿AA′方向平移5 cm后成为三角形A′B′C′，可得AA′=5cm，CC′=BB′=AA′=5cm，故答案为5 cm．【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．18．22018【解析】【分析】先根据点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，可得A1，A9，A17，…，A2017都在第一象限，OA1＝2，OA2＝22，…，OA2018＝22018化简即可．【详解】由题可得，360°÷45°＝8，∴A1，A9，A17，…，A2017都在第一象限，∴A2018在y轴的正半轴上，∵OA1＝2，OA2＝22，…，OA2018＝22018，∴点A2018的纵坐标为22018，故答案为：22018.【点睛】本题考查了坐标与图形变化，旋转的性质以及点的坐标，解决问题的关键是根据变换的规律进行求解．19．1 2【解析】【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根据概率公式计算即可．【详解】∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是12，故答案为12．【点睛】考查的是概率公式、中心对称图形，掌握概率公式是解题的关键．20．253 9【解析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F，如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE 2=PE 2+PA 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°，∴∠APF=30°，∴在直角△APF 中，AF=12AP=32，PF=2，∴在直角△ABF 中，AB 2=BF 2+AF 2=（2+（32）2则△ABC 的面积是4•AB 2=4•（=9+4，故答案为： 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．21．(1)等边三角形，理由见解析(2) n=60°或135°. 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得FC=FE 即可，再证明∠CFE=60°，从而进行判断；（2）根据∠B=60°，∠DEB=90°，可知DE ，又CD ，则DC=DE ，将△BED 绕着点D 逆时针旋转n°（0＜n ＜180），当点B 落在Rt △ABC 的边上时，∠BDB'等于旋转角，分两种情况求解即可.．【详解】（1）∵∠ACB=90°，F 是AD 中点，∴FC=12AD ， ∵DE ⊥AB ，F 是AD 中点，∴EF=12AD ，∴△CEF是等腰三角形；又EF=AF，CF=AF，故∠CFE=2∠CAB=60°从而可知：△CEF是等边三角形．（2）n=60°或135°理由：①将△BED绕着点D逆时针旋转n°（0＜n＜180），当点B落在Rt△ABC的边AC 上时，此时记为B'点，△B'CD为直角三角形，又∵BD=2CD，故∠B'DC=45°；从而旋转角∠BDB'=180°-∠B'DC=180°-45°=135°②当B'在边AB上时，有DB=DB'，又∠B=60°，故可知△DBB'为等边三角形，所以∠BDB'=60°；即n=60°【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）根据中心对称图形的定义，对应点的连线的交点就是对称中心．（2）将△A 1B 1C 1各个顶点沿直线ED 方向向上平移6格即可．（3）将△A 2B 2C 2各个顶点绕点C 2顺时针方向旋转90°即可．【详解】解：（1）连接BB 1、CC 1，线段BB 1与线段CC 1的交点为O ，点O 就是所求的对称中心． （2）如图△A 2B 2C 2就是所求的三角形．（3）如图△A 3B 3C 3就是所求的三角形．【点睛】本题考查旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是理解平移、旋转的定义，图形的旋转和平移关键是点的平移和旋转，属于中考常考题型．23．（1）如图见解析；()11,1C ；（2）如图见解析；()23,3C -；（3）()3,1--.【解析】【分析】（1）分别将OA 、OB 、OC 绕O 点逆时针旋转90°，得到A 1、B 1、C 1,然后连接，最后直接读出C 1坐标即可.（2）分别将A 1、B 1、C 1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A 2、B 2、C 2, ,然后连接，最后直接读出C 2坐标即可.（3）连接A A 2, B B 2然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可.【详解】解：（1）图如下：()11,1C ；（2）图如下：()23,3C -.（3）如图：点E 为旋转中心，坐标为()3,1--.()3,1--.【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后的对应点和确定旋转中心是解答本题的难点. 24．（1）图见解析， ()13,2C -；（12图见解析， ()23,4C ；（3）是，图见解析.【解析】【分析】（1）要关于x 轴对称，即从各顶点向x 轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标．（2）各顶点向上平移2个单位找对应点即可．（3）从图中可以看出关于直线y=1轴对称．【详解】（1）如图， ()13,2C -；（2）如图，()23,4C ；（3）是，由图可知关于直线y=1对称，如图.【点睛】本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，熟练掌握轴对称的性质及平移的性质是解答本题的关键．25．（1）如图所示见解析；（2）平行且相等；（3）如图见解析；（4）如图见解析；（5）28. 【解析】【分析】（1）根据题意先将各顶点平移，再连接平移后的点得到△A′B′C′；（2）根据平移的性质即可判断；（3）延长AB，过点C作AB的垂线CD即可；（4）先找到AB的中点E，再连接CE即可；（5）根据平移的性质可知线段AC扫过的面积是平行四边形AA’C’C的面积，根据网格即可求解.【详解】（1）如图，△A′B′C′为所求；（2）AC与A′C′的关系为平行且相等（3）如图，CD为所求；（4）如图，CE为所求；（5）线段AC扫过的面积是平行四边形AA’C’C的面积为4×7=28cm2【点睛】此题主要考查平移的作图，解题的关键是熟知平移的性质.26．（1）90PCQ ∠=︒；（2）5PQ =（3）见解析.【解析】【分析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°; （2）利用勾股定理得出AC 的长，再利用旋转的性质得出AP=CQ ，求得PC 的长度，进而利用勾股定理得出PQ 的长；（3）先证明△PBQ 也是等腰直角三角形，从而得到PQ 2=2PB 2=PA 2+PC 2．【详解】（1）∵△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ ，∴ABP CQB ∆≅∆，∴45A ACB BCQ ∠=∠=∠=︒，∴90PCQ ACB BCQ ∠=∠+∠=︒.（2）当4AB =时，有42AC =2AP CQ ==32PC = ∴2225PQ PC CQ =+=（3）由（1）可得ABP CBQ ∠=∠，AP CQ =，PB BQ =，90ABP PBC CPQ PBC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BPQ ∆是等腰直角三角形，PCQ ∆是直角三角形. ∴2PQ PB =，∵AP CQ =，∴22222PQ PC CQ PA PC =+=+，故有2222PB PA PC =+.【点睛】考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．27．在变化过程中所运用的图形变换是平移变换．【解析】【分析】可先求原平行四边形的面积等于6，根据矩形和菱形的判定来作图形变化．【详解】把平行四边形竖着的一组对边与网格重合，即可得到一矩形，且面积＝6；再将矩形向下平移3个格后，使对角线分别为2、6，连接顶点，可得菱形，且面积为6，在变化过程中所运用的图形变换是平移变换．【点睛】此题需熟练掌握矩形和菱形的判定以及面积计算．28．（1）见解析；（2）平行【解析】【分析】（1）根据点A 平移到点A 1的方法，根据网格结构找出点B 、C 平移后的对应点B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质，对应点的连线平行即可作出判断.【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）线段AA1与线段BB1的位置关系为平行，故答案为：平行.【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．。