近30年数学考研真题线代第三章向量部分

线性代数历年考研题库线性代数历年考研题库线性代数是数学中的一门重要学科，它研究向量空间、线性映射和线性方程组等内容。

在考研数学中，线性代数是一个重要的考点，因此熟悉历年考研题库是非常必要的。

本文将介绍一些线性代数历年考研题库中的经典题目，帮助考生更好地备考。

一、向量空间1. 设V是数域F上的线性空间，U是V的非空子集，证明U是V的子空间的充要条件是：对于V中任意两个向量α和β，如果α和β都属于U，则α+β也属于U，且对于任意标量k，有kα属于U。

2. 设V是数域F上的线性空间，U是V的非空子空间，证明V/U也是一个线性空间。

二、线性映射1. 设V和W是数域F上的线性空间，T：V→W是一个线性映射。

证明：如果T 是单射，则T的核空间只包含零向量。

2. 设V和W是数域F上的线性空间，T：V→W是一个线性映射。

证明：如果T 是满射，则T的像空间等于W。

三、线性方程组1. 设A是一个m×n的矩阵，b是一个m维向量。

证明：如果线性方程组Ax=b 有解，则对于任意标量k，线性方程组A(kx)=kb也有解。

2. 设A是一个n×n的矩阵，如果存在非零向量x使得Ax=0，证明A不是满秩矩阵。

四、特征值与特征向量1. 设A是一个n×n的矩阵，λ是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。

证明：对于任意标量k，kλ也是A的特征值，kx是对应于kλ的特征向量。

2. 设A是一个n×n的矩阵，λ是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。

证明：如果A是可逆矩阵，则1/λ是A的逆矩阵的特征值，x是对应于1/λ的特征向量。

五、内积空间1. 设V是一个实内积空间，证明：对于任意向量x和y，有||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)。

2. 设V是一个实内积空间，证明：对于任意向量x和y，有||x+y||^2 ≤ ||x||^2 + 2||x||·||y|| + ||y||^2。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数-考研题第一章 行列式一．选择题1． （95）若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m =|,,,|1321βααα，n =|,,,|3221αβαα，则四阶行列式|)(,,,|21321ββααα+等于（ ） （A ）n m +． （B ）)(n m +−．（C ）m n −．（D ）n m −．二．填空题：1． （96）五阶行列式=−−−−−−−−−=aa a aa aa aaD 110001100011000110001 ． 2． （97）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0111110111110111110111110L L L L L L L L L L L A ，则=||A ． 3． （99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=n n j i X ijL 独立同分布，2)(=ij X E ，则行列式 nnn n n n X X X X X X X X X Y L LLL L L L 212222111211=的数学期望=)(Y E ．4． （01）设行列式2235007022220403−−=D ，则第四行各元素余子式之和的值为 ．5． （05）设321,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ．如果1||=A ，那么=||B ．6． （06）已知21,αα为2维列向量，矩阵),2(2121αααα−+=A ，),(21αα=B ．若行列式6||=A ，则=||B ．第二章 矩阵一．选择题：1． （96）设n 阶矩阵A 非奇异)2(≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则（ ）（A ）A A A n 1||*)*(−=． （B ）A A A n 1||*)*(+=． （C ）A A A n 2||*)*(−=．（D ）A A A n 2||*)*(+=．2． （97）设B A ,为同阶可逆矩阵，则（ ）（A ）BA AB =．（B ）存在可逆矩阵P ，使B AP P =−1． （C ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =． （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使B PAQ =． 3． （98）设)3(≥n n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A ， 若矩阵A 的秩为1−n ，则a 必为（ ） （A ）1．（B ）n−11． （C ）1−． （D ）11−n ． 4． （01）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00010100001010001P ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1−B 等于（ ） （A ）211P P A −．（B ）211P A P −．（C ）121−A P P ．（D ）112P A P −．5． （02）设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （ ）（A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B B O O A A ． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A A O O B B ． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A B O O B A ． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B A O O A B ． 6． （03）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ． （C ）b a ≠且02=+b a ． （D ）b a ≠且02≠+b a ． 7． （04）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）（A ）当)0(||≠=a a A 时，a B =||．（B ）当)0(||≠=a a A 时，a B −=||．（C ）当0||≠A 时，0||=B ． （D ）当0||=A 时，0||=B ．8． （05）设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（ ）（A ）33． （B ）3． （C ）31． （D ）3．9． （05）设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（ ） （A ）E ． （B ）E −． （C ）A ． （D ）A −．10．（06）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的−1倍加到第2列得C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则（ ）（A ）AP P C 1−=． （B ）1−=PAP C ． （C ）AP P C T =． （D ）T PAP C =．11．（08）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若O A =3，则（ ）（A ）A E −不可逆，A E +不可逆． （B ）A E −不可逆，A E +可逆． （C ）A E −可逆，A E +可逆． （D ）A E −可逆，A E +不可逆． 12．（09）设B A ,均为2阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若3||,2||==B A ，则分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O 的伴随矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *2*3． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *3*2． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *2*3． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *3*2． 13．（09）设P A ,均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T ，若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则AQ Q T 为（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012．（B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011．（C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002．（D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020001．14．（11）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000110011P ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******P ，则=A （ ）（A ）21P P ．（B ）211P P −．（C ）12P P ．（D ）112−P P ．15．（12）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−2111AP P ，),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则=−AQ Q 1（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛121． （B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛211． （C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛212． （D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛122． 二．填空题：1． （95）设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 ．2． （98）设矩阵B A ,满足E BA BA A 82*−=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001A ，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则=B ．3． （98）设B A ,均为n 阶矩阵，3||,2||−==B A ，则=−|*2|1B A ．4． （99）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A ．5． （99）已知A B AB =−，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B ，则=A ．6． （00）设T )1,0,1(−=α，矩阵T A αα=，n 为正整数，则=−||n A aE ．7． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A 秩，则=k ．8． （02）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B ．9． （03）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T L α，T E A αα−=，T aE B αα1+=，E 是n 阶单位矩阵，其中A 的逆矩阵为B ，则=a ．10．（03）设B A ,均为三阶矩阵，E 三阶单位矩阵，已知B A AB +=2，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=202040202B ，则=−−1)(E A ．11．（04）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001010A ，AP P B 1−=，其中P 为三阶可逆矩阵，则=−220042A B ．12．（06）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B ．13．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100001000010A ，则3A 的秩为 ．14．（10）设B A ,为3阶矩阵，且2||,2||,3||1=+==−B A B A ，则=+−||1B A ．15．（12）设A 为3阶矩阵，3||=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则=|*|BA ． 三．解答题：1． （95）已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵．2． （97）设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A IP T *0α，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b A Q T αα，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵． （1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T ≠−αα1．第三章 线性方程组一．选择题：1． （96）设有任意两个n 维向量组α1, …, αm 和β1, …, βm ，若存在两组不全为零的数λ1, …, λm 和k 1, …, k m ，使 (λ1 + k 1)α1 + … + (λ m + k m )α m + (λ1 − k 1)β1 + … + (λ m − k m )β m = 0，则（ ） （A ）α1, …, α m 和β1, …, β m 都线性相关． （B ）α1, …, α m 和β1, …, β m 线性无关． （C ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性无关． （D ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性相关．2． （97）设向量组α 1, α 2, α 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + α 3．（C ）α 1 + 2α 2 , 2α 2 + 3α 3 , 3α 3 + α 1． （D ）α 1 + α 2 + α 3 , 2α 1 − 3α 2 + 22α 3 , 3α 1 + 5α 2 − 5α 3 ． 3． （97）非齐次线性方程组AX = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ ）（A ）r = m 时，方程组AX = b 有解． （B ）r = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （C ）m = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （D ）r < n 时，方程组AX = b 有无穷多解． 4． （98）齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,03213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠ O 使得AB = O ，则（ ）（A ）λ = −2且 | B | = 0． （B ）λ = −2且 | B | ≠ 0． （C ）λ = 1且 | B | = 0． （D ）λ = 1且 | B | ≠ 0． 5． （98）若向量组α, β, γ 线性无关，α, β, δ 线性相关，则（ ）（A ）α必可由β, γ, δ线性表示． （B ）β必不可由α, γ, δ线性表示．（C ）δ必可由α, β, γ线性表示． （D ）δ必不可由α, β, γ线性表示． 6． （99）设向量β可由向量组α 1 , α 2 , …, α m 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α 1 , α 2 , …, α m −1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α 1 , α 2 , …, α m −1 , β ，则（ ） （A ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示． （B ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示． （C ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示． （D ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．7． （00）设α 1, α 2, α 3是四元非齐次线性方程组AX = b 的三个解向量，且秩(A ) = 3 ，α 1 = (1, 2, 3, 4)T ，α 2 + α 3 = (0, 1, 2, 3)T ，c 表示任意常数，则线性方程组AX = b 的通解X =（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c ．（B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c ．（C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c ．（D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c ．8． （01）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0TααA秩(A )，则线性方程组（ ） （A ）AX = α必有无穷多解．（B ）AX = α必有唯一解．（C ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα仅有零解． （D ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα必有非零解． 9． （02）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，则线性方程组 (AB ) X = θ（ ）（A ）当n > m 时仅有零解． （B ）当n > m 时必有非零解． （C ）当m > n 时仅有零解． （D ）当m > n 时必有非零解． 10．（03）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）（A ）若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s ≠ θ ，则α 1 , α 2 , …, αs线性无关．（B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … +k s α s = θ ．（C ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 11．（04）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A * ≠ O ，若ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4是非齐次线性方程组Ax = b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = θ 的基础解系（ ） （A ）不存在． （B ）仅含一个非零解向量． （C ）含两个线性无关的解向量． （D ）含三个线性无关的解向量．12．（06）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维列向量，A 是m × n 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关． （C ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （D ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关．13．（07）设向量组α 1 , α 2 , α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）α 1 − α 2 , α 2 − α 3, α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3, α 3 + α 1． （C ）α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3, α 3 − 2α 1． （D ）α 1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1． 14．（10）设向量组I ：r ααα,,,21L 可由向量组II ：s βββ,,,21L 线性表示，下列命题正确的是（ ）（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤．（B ）若向量组I 线性无关，则s r >．（C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤． （D ）若向量组II 线性无关，则s r <．15．（11）设A 为34×矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，21,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为（ ）（A ）)(212132ηηηη−++k ．（B ）)(212232ηηηη−+−k ． （C ）)()(212213132ηηηηηη−+−++k k ．（D ）)()(213312232ηηηηηη−+−+−k k ．16．（12）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4433221111,11,10,00c c c c αααα，其中4321,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）321,,ααα．（B ）421,,ααα．（C ）431,,ααα．（D ）432,,ααα．二．填空题：1． （02）设向量组α 1 = (a , 0, c ) , α 2 = (b , c , 0) , α 3 = (0, a , b )线性无关，则a , b , c 必满足关系式 ．2． （02）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403212221A ，三维列向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a α．已知A α 与α 线性相关，则a = ．3． （05）设行向量组 (2, 1, 1, 1), (2, 1, a , a ), (3, 2, 1, a ), (4, 3, 2, 1) 线性相关，且a ≠ 1，则a = ．三．解答题：1． （95）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，E 是n 阶单位矩阵（m > n ），已知BA = E ，试判断A 的列向量组是否线性相关？为什么？ 2． （95）k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++42,,43212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．3． （96）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=+++−=+−+=+−+,6,1723,1462,0324321432143214321t x x x x x px x x x x x x x x x x 讨论参数p , t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．4． （98）设已知下列非齐次线性方程组（I ），（II ），（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−−−=−+,33,14,623214321421x x x x x x x x x x （II ）⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−−=−−+.12,112,434324321t x x x x nx s x x mx x（1）求解方程组（I ），用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组（II ）中的参数m , n , s , t 为何值时，方程组（I ）与（II ）同解． 5． （99）已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0,0322212321321x c x b x a cx bx ax x x x （1）a , b , c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a , b , c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．6． （00）设向量组α 1 = (a , 2, 10)T , α 2 = (−2, 1, 5)T , α 3 = (−1, 1, 4)T , β = (1, b , c )T ．试问：满足什么条件时，（1）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，且表示唯一？ （2）β 不能由α 1, α 2, α 3线性表出？（3）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式． 7． （02）设四元齐次线性方程组（I ）为⎩⎨⎧=−++=−+,02,0324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 α 1 = (2, −1, a +2, 1)T , α 2 = (−1, 2, 4, a +8)T ，（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解． 8． （02）设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0,0,0321321321nn n ax bx bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax L L L L L L L L L L 其中a ≠ 0, b ≠ 0, n ≥ 2．试讨论a , b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解． 9． （03）设向量组（I ）：α 1 = (1, 0, 2)T , α 2 = (1, 1, 3)T , α 3 = (1, −1, a +2)T 和向量组（II ）：β 1 = (1, 2, a +3)T ,β 2 = (2, 1, a +6)T , β 3 = (2, 1, a +4)T ．问：a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）等价；a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）不等价． 10．（03）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211n n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中01≠∑=ni i a ，试讨论a 1 , a 2 , …, a n 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．11．（04）设α1 = (1, 2, 0)T ，α 2 = (1, a + 2, −3a )T ，α 3 = (−1, −b − 2, a + 2b )T ，β = (1, 3, −3)T ，试讨论a , b 为何值时，（1）β 不能由α1 , α 2 , α 3线性表示；（2）β 可由α1 , α 2 , α 3唯一地线性表示，并求出表达式；（3）β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．12．（04）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++.14)4()2(3,022,0432143214321x x x x x x x x x x x x µλµλ 已知 (1, −1, 1, −1)T 是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x 2 = x 3的全部解． 13．（05）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 （ii ）⎩⎨⎧=+++=++0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a , b , c 的值．14．（06）设4维向量组α 1 = (1 + a , 1, 1, 1)T , α 2 = (2, 2 + a , 2, 2)T , α 3 = (3, 3, 3 + a , 3)T , α 4 = (4, 4, 4, 4 + a )T ，问a 为何值时α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关？当α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关时，求一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．15．（07）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321x a x x ax x x x x x ①与方程x 1 + 2x 2 + x 3 = a − 1 ②有公共解，求a 的值及所有公共解．16．（08）设n 元线性方程组AX = b ，其中nn a a a aa A ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2121222O O O ，X = (x 1, …, x n)T ，b = (1, 0, …, 0)T， （1）证明行列式 | A | = (n + 1)a n ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，求x 1； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解．17．（09）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=240111111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2111ξ， （1）求满足12ξξ=A ，132ξξ=A 的所有向量32,ξξ； （2）对（1）中任一向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关．18．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=λλλ1101011A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a b ．已知线性方程组b Ax =存在两个不同的解，（1）求a ,λ；（2）求方程组b Ax =的通解．19．（11）T T T )5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由T T T a )5,3,1(,)3,2,1(,)1,,1(321===βββ线性表出．（1）求a ；（2）将321,,βββ由321,,ααα线性表出．20．（12）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100100010001a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011b ， （1）求||A ；（2）已知线性方程组b Ax =有无穷多解，求a ，并求b Ax =的通解．第四章 向量空间一．选择题：1． （00）设A 为n 阶实矩阵，A T 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX = O 和（Ⅱ）：A T AX = O ，必有（ ） （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解． （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解． （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解． （D ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解． 二．填空题：1． （04）设A = (a i j ) 3×3是实正交矩阵，且a ii = 1, b = (1, 0, 0)T ，则线性方程组AX = b 的解是 ． 三．解答题：1． （01）设α i = (a i 1 , a i 2 , …, a in )T (i = 1, 2, …, r , r < n ) 是n 维实向量，且α 1, α 2, …, α r 线性无关．已知β = (b 1, b 2, …, b n )T 是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n rn r r nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L 的非零解向量．试判断向量组α 1, α 2, …, α r , β的线性相关性．第五章 特征值与特征向量一．选择题：1． （95）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件．（B ）充分而非必要条件．（C ）必要而非充分条件．（D ）既非充分也非必要条件．2． （95）设λ = 2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231−⎟⎠⎞⎜⎝⎛A 有一特征值等于（ ）（A ）34．（B ）43．（C ）31．（D ）41．3． （99）设A , B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）（A ）λE − A = λE − B ．（B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量． （C ）A 与B 都相似于同一个对角矩阵． （D ）对任意常数t ，tE − A 与tE − B 相似．4． （02）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α 是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P −1AP )T 属于特征值λ 的特征向量是（ ）（A ）P −1α ． （B ）P T α ． （C ）P α ． （D ）(P −1)T α ．5． （03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，则秩（A − 2E ）与秩（A − E ）之和等于（ ）（A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）5．6． （05）设λ1 , λ 2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α 1 , α 2 ，则α1 , A (α 1 + α 2)线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）λ1 = 0． （B ）λ 2 = 0． （C ）λ1 ≠ 0． （D ）λ 2 ≠ 0．7． （10）设A 为4阶实对称矩阵，且O A A =+2，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛0111． （B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−0111． （C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−0111． （D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−0111． 二．填空题： 1． （00）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 | B −1 − E | = ． 2． （00）四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2, 3, 4, 5．E 为四阶单位矩阵，则 | B − E | = ．3． （08）设3阶矩阵A 的特征值1, 2, 2，则 | 4A −1 − E | = ．4． （08）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式 | A | = 0，则A 的秩为 ．5． （09）设T T k ),0,1(,)1,1,1(==βα，若矩阵T αβ相似于⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000003，则=k ．三．解答题：1． （96）设有4阶方阵A 满足条件 | 3I + A | = 0 , AA T = 2B , | A | < 0 , | B | = 1，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随矩阵A *的一个特征值．2． （97）设三阶实对称矩阵A 特征值是1, 2, 3；矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是α 1 = (−1, −1, 1)T ,α 2 = (1, −2, −1)T ，（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A ．3． （97）设矩阵A 与B 相似，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=a A 33242111， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b B 00020002， （1）求a , b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使P −1AP = B ．4． （98）设向量α = (a 1, a 2, …, a n )T , β = (b 1, b 2, …, b n )T 是非零向量且满足条件αT β = 0，记n 阶矩阵A =αβ T ，求：（1）A 2；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．5． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k k A ．问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P −1AP = B 为对角阵？并求出P 和相应的对角矩阵．6． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，且 | A | = −1，又设A 的伴随矩阵A *有特征值λ 0，属于λ 0的特征向量为α = (−1, −1, 1)T ，求a , b , c 及λ 0的值．7． （00）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111y x A ，已知A 有三个线性无关的特征向量，λ = 2是A 的二重特征值．试求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角形矩阵．8． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211β． 已知线性方程组AX = β 有解但不唯一，试求： （1）a 的值，（2）正交矩阵Q ，使Q T AQ 为对角矩阵．9． （02）设实对称阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵P ，使P −1AP 为对角形矩阵，并计算行列式 | A − E |的值．10．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a A 11121112可逆，向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11b α是矩阵A *的一个特征向量，λ 是α 对应的特征值，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵．试求a , b 和λ 的值．11．（04）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，λ1 = λ2 = 6是A 的二重特征值．若α1 = (1, 1, 0)T , α 2 = (2, 1, 1)T , α 3 = (−1, 2, −3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．12．（04）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111L L L L L L L b b b b b b A ． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．13．（05）设A 为三阶矩阵，α 1 , α 2 , α 3是线性无关的三维列向量，且满足A α 1 = α 1 + α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + 3α 3 ，（1）求矩阵B ，使得A (α 1 , α 2 , α 3) = (α 1 , α 2 , α 3)B ；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．14．（06）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α 1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1, 1)T 是线性方程组AX = θ 的两个解．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ = Λ；（3）求A 及6)23(E A −，其中E 为3阶单位矩阵． 15．（07）设3阶实对称矩阵A 的特征值 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = −2，α1 = (1, −1, 1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量．记B = A 5 − 4A 3 + E ，其中E 为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵B ．16．（08）设A 为3阶矩阵，α 1, α 2为A 的分别属于特征值−1, 1的特征向量，向量α 3满足A α 3 = α 2 + α 3，（1）证明α 1, α 2, α 3线性无关；（2）令P = (α 1, α 2, α 3)，求P −1AP ． 17．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第1列为T )1,2,1(61，求Q a ,．18．（11）A 为三阶实对称矩阵，2)(=A R ，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−110011110011A ．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A ．第六章 二次型一．选择题：1． （07）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=211121112A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000010001B ，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似．（B ）合同，但不相似．（C ）不合同，但相似．（D ）既不合同，也不相似．2． （08）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2112．（D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1221．二．填空题：1． （97）若二次型f (x 1, x 2, x 3) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 2x 1x 2 + tx 2x 3是正定的，则t 的取值范围是 ．2． （04）二次型f (x 1, x 2, x 3) = (x 1 + x 2)2 + (x 2 − x 3)2 + (x 3 + x 1)2的秩为 ．3． （11）设二次型Ax x x x x f T =),,(321的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为 ．三．解答题：1． （95）设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2α x 1x 2 + 2β x 2x 3 + 2x 1x 3，经正交变换X = PY 化成f = y 22 +2y 32，其中X = (x 1, x 2, x 3)T 和Y = (y 1, y 2, y 3)T 是三维列向量，P 是3阶正交矩阵，试求常数α, β．2． （98）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，矩阵B = (kE + A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3． （99）设A 为m × n 实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵B = λE + A T A ，试证：当λ > 0时，B 为正定矩阵．4． （00）设有n 元实二次型f (x 1, x 2, …, x n ) = (x 1 + a 1x 2 ) 2 + (x 2 + a 2x 3 ) 2 + … + (x n −1 + a n −1x n ) 2 + (x n + a n x 1 ) 2，其中a i (i = 1, 2, …, n )为实数．试问：当a 1, a 2, …, a n 满足何种条件时，二次型f (x 1, x 2, …, x n )为正定二次型．5． （01）设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A ) = n ，A ij 是A = (a ij )n ×n 中元素a ij 的代数余子式（i , j = 1, 2, …, n ）， 二次型j i n i n j ijn x x A A x x x f ∑∑===1121),,,(L ．（1）记X = (x 1, x 2, …, x n )T ，把f (x 1, x 2, …, x n )写成矩阵形式，并证明二次型f (X )的矩阵为A −1；（2）二次型g (X ) = X T AX 与f (X )的规范形是否相同？说明理由．6． （02）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A = O ，已知A 的秩r (A ) = 2．（1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵A + kE 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．7． （03）设二次型)0(222),,(312322211321>+−+==b x bx x x x a AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12−．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用正交变换和对应的正交矩阵．8． （05）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶、n 阶对称矩阵，C 为n m ×矩阵， （1）计算DP P T ，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−n m E O C A E P 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T 1−−是否为正定矩阵，并证明你的结论．9． （09）设二次型323123222132122)1(),,(x x x x x a ax ax x x x f −+−++=， （1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型),,(321x x x f 的规范型为2221y y +，求a 的值． 10．（12）已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1001110101a a A ，T A 为矩阵A 的转置，二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2．（1）求实数a的值；x=将二次型f化为标准型．（2）求正交变换Qy。

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

线性代数2001-2009年考研真题线性代数作为高等数学的重要分支，在考研数学中占据着举足轻重的地位。

通过对 2001 2009 年线性代数考研真题的研究，我们能够发现一些具有规律性和代表性的考点与题型，这对于备考的同学来说具有重要的指导意义。

在这九年的真题中，向量组的线性相关性是一个频繁出现的考点。

向量组的线性相关性是理解线性空间结构的基础，经常以证明题或者计算题的形式出现。

例如，给定一组向量，判断它们是否线性相关，或者根据已知的线性相关性条件求解某些参数的值。

要解决这类问题，关键是要掌握线性相关和线性无关的定义及判定定理，熟练运用矩阵的秩、行列式等工具进行计算和推理。

矩阵的特征值和特征向量也是一个重点。

真题中常常要求求出给定矩阵的特征值和特征向量，或者利用特征值和特征向量的性质来解决相关问题。

在求解特征值时，需要正确计算矩阵的特征多项式，并求解其根。

而对于特征向量，则需要将特征值代入方程组中求解。

线性方程组的求解一直是线性代数中的核心内容。

在考研真题中，既有单纯求解线性方程组的题目，也有将线性方程组与其他知识点综合起来考查的情况。

对于齐次线性方程组，要理解其有非零解的条件以及基础解系的概念；对于非齐次线性方程组，则要掌握其解的结构和求解方法。

矩阵的运算和变换也是常见的考点。

包括矩阵的乘法、逆矩阵的求解、矩阵的初等变换等。

这些运算和变换不仅在单独的题目中出现，还经常在其他题型中作为解题的工具和手段。

另外，二次型也是一个不容忽视的部分。

真题中可能要求将二次型化为标准形，或者利用二次型的正定性质来判断参数的取值范围等。

这需要掌握二次型的矩阵表示，以及通过正交变换或配方法将其化为标准形的方法。

通过对 2001 2009 年真题的分析，我们可以发现，线性代数的知识点之间相互关联，综合性较强。

因此，在备考过程中，不能孤立地学习各个知识点，而要注重它们之间的联系和综合运用。

在解题时，要养成良好的解题习惯。