人教版高中数学必修四《阅读与思考-三角学与天文学》

§1.1.1任意角【问题导学】1．角的有关概念（1）角：平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角。

此旋转射线的端点叫做角的 ，开始位置的射线叫做角的 ，终止位置的射线叫做角的（2）任意角：按 时针方向旋转形成的角叫正角；按 时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个 角。

角的概念推广到了任意角，包括 ， ，和 。

2. 象限角：若角的顶点在原点，角的始边与 重合，即角的 在第几象限，就称这个角是是第几象限角。

注：如果角的终边在 上，则称这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角：设α表示任意角。

所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合。

这个集合可记为{β|β= }。

【预习自测】1、 120是第 象限角，120-是第 象限角。

89是第 象限角， 350是第 象限角。

2、在 360~0范围内，与角 750终边相同的角是（ ）A ． 60 B. 75 C. 30 D.1503、把 2009-化成),3600(360Z k k ∈<∂≤⋅+ θ的形式是( ) A. 3605209⨯-- B. 3605209⨯- C. 3606151⨯- D.3606511⨯--4、下列各命题正确的是（ ）A ．终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角 合作探究案【例题探究】例1．在 360~0范围内，找出与'31950 -角终边相同的角，并判断它是第几象限角？例2．（1）分别写出终边在x 轴，y 轴，以及坐标轴上的角的集合（2）分别写出第一象限、第三象限、的角的集合。

例3．（1）已知α是锐角，那么α2 是（ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C.小于 180的正角 D. 第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2∂ 是（ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第一或第二象限角例4．写出终边在直线x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出来。

角的看法的推行一、学习目标：1、掌握用“旋转”的方式定义角的看法，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边同样的角”的含义．2、掌握全部与角终边同样的角(包含角)的表示方法；3、领会运动变化看法，深刻理解推行后的角的看法．二、教课要点、难点要点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边同样的角的表示方法．难点：终边同样的角的表示.三、教课方法：研究指引、解说及多媒体演示．四、内容剖析：本节主要介绍推行角的看法，引入正角、负角、零角的定义，象限角的看法以及终边同样的角的表示方法.建立运动变化的看法，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推行后的角的看法.教课方法能够采用议论法，经过实质问题，教师抽象并经过用几何画板多媒体课件演示角的形成更为形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的看法，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的看法，明确“规定”的实质意义，突出角的看法的理解与掌握.经过详细问题，让学生从不一样角度作答，理解终边同样的角的看法，并给予表示，从特别到一般，概括出终边同样的角的表示方法，达到打破难点之目的.五、教课过程：教课教课内容环节1、角的看法[00,3600]师生互动1、初中是怎样定义角的？从一个点出发引出的两条射线组成的几何图形这类看法的长处是形象、直观、简单理解，但它是从图形形状来定义角，所以角的范围是设计企图1、指引学生经过亲身感觉来认识角的看法推行的必需性。

复[00,3600]，这类定义称为静态定习引义，其缺点在于“狭小”入2、生活中好多实例会不在该范围2、从实例出发，发现好多问题中角2、为引入正角][00,36 0与负角的看法的范围发生了变化。

做好准备。

体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o 经过1小不时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不单不在范围[00,3600]，并且方向不一样，有必1．角的看法的推行⑴“旋转”形成角BαO A一条射线由本来的地点OA ，绕 着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一地点OB ，就形成角 ．旋转开 始时的射线OA 叫做角 的始边，旋转停止的射线 OB 叫做角 的终新 边，射线的端点O 叫做角的极点．概 突出“旋转” 注意：“极点”念 “始边”“终边”要将角的看法推行到随意角，想一想用什么方法才能推行到随意角？（运动）1、教师用多媒体演示角的形成。

阅读与思考：三角学与天文学一、教材分析本节课是普通高中课程数学必修四第一章阅读材料，供高一年级学生使用。

本节课主要以阅读课本材料三角学与天文学的联系和发展历程为主要任务，带领学生体会三角学的发展过程，最后让学生产生学习三角学的兴趣及继续探索和研究三角学的愿望。

本节的阅读课，围绕“三角学与天文学”让学生思考这样几个问题，天文学对三角学的发展产生了怎样影响？三角学的发展历程以及不同时期的著名科学家们的重要贡献是什么？通过阅读，讨论，总结，从而使学生对三角学的思想有更加深入的认识。

二、学情分析三角学是为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运动路线和位置以帮助报时，计算日历，航海和研究地理产生的。

学生通过本章学习，经历将几何问题代数化，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想。

形成正确的数学观，了解三角学的产生，发展的背景及过程，更有利于培养学生的探索精神。

三、教学目标1、知识与技能(1)通过阅读能够了解三角学产生之前的背景。

(2) 通过阅读能够了解三角学的主要分支以及不同时期科学家对三角学发展的主要贡献。

(3) 通过阅读能够了解三角学对数学，物理学以及天文学发展产生的影响。

2、过程与方法在合作阅读中共同分析，探讨，确定三角学的逐渐发展过程，形成清晰的知识链接。

3、情感态度与价值观通过了解德国著名科学家雷格蒙塔努斯，法国著名数学家韦达等的背景材料，让学生产生对数学家及对数学的兴趣。

四、教学重难点能够在阅读中提取重要信息，形成研究成果。

五、教学策略与方法本节课主要以数学阅读为主要教学任务，带领学生一起探究并提取有效信息。

通过情境导入，营造一个积极向上的课堂氛围，采用“合作探究”的教学方式带领学生一起理解三角学与天文学的发展及联系。

六、教学过程七、板书设计三角学与天文学1、三角学的起源：球面三角学2、三角学的发展：《论各种三角形》八、教学反思本节课是数学阅读课，让学生经过认真阅读，分析阅读材料，学会从材料中提取有用信息，不仅锻炼了学生的分析理解能力，而且通过阅读材料让学生明确了数学阅读在学习中的作用，从而让学生养成良好的阅读习惯，不仅要课堂阅读，也要进行大量的课外阅读，这样数学课也会充满人文色彩，让学生在兴趣中进行理性思考，激励他们去探索更多的数学奥妙。

三角函数在生活中的应用
知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。

情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。

由于这堂课当时是沈虎跃老师开的公开课，因此在这里我给大家演示的绝大部分也是沈老师的课件，稍做改动。

我觉得他是从五个步骤来实现教学过程的。

考纲要求：
1.正弦定理和余弦定理：
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2.应用：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

教学过程：1.复习知识
1.正弦定理
2.余弦定理
3.面积公式
4.常用结论
二．例题讲解
例1：
三．课堂练习1 2 3 四．课堂总结
五．布置作业六．。

阅读与思考：三角学与天文学教学目标通过本课的学习，学生将会掌握三角函数的定义、性质和运用，以及理解天文学的基本概念和相关知识，加深对三角学和天文学的理解。

课堂活动活动一：探究三角函数1.学生自主阅读课本第六章《三角函数》内容，理解正弦、余弦、正切、余切等概念和定义。

2.学生分组，互相选题，展开小组讨论，探究三角函数的基本性质。

3.学生通过讨论，汇总总结，填写三角函数中常用公式的表格，形成个人笔记。

活动二：应用三角函数1.学生自主阅读课本第六章《三角函数》内容，理解三角函数在实际生活中的应用。

2.教师提供实例，如建筑设计、测量、导航等领域，引导学生思考如何应用三角函数进行问题求解。

3.学生分组进行案例分析，列出解题思路和具体方法，交流讨论寻求共同解决方案。

活动三：理解天文学1.学生自主阅读课本第十一章《天文学》内容，理解天文学的基本概念和相关知识。

2.教师以渐觉、二十八宿、天球坐标系等为例，介绍天文学中的重要概念和知识。

3.学生分组探究天文学中的其他内容，如恒星分类、星座命名等，展开小组讨论，交流所了解的内容。

活动四：天文学与三角函数1.学生自主阅读课本第十一章《天文学》内容，理解天文学中与三角函数相关的知识点。

2.教师提供问题，如如何通过天文观测测算出天体距离和大小，引导学生考虑如何运用三角函数解决问题。

3.学生分组进行天文学中的应用分析，结合三角函数进行计算和分析，得出解决方案。

活动五：知识拓展1.学生自主阅读相关材料，了解三角函数和天文学的更多知识内容。

2.学生利用多种媒体和网络资源，查找天文学相关信息，为大家分享自己发现的知识点。

3.教师组织学生进行展示和讨论，对各组分享的信息进行点评和交流。

课堂评价通过本次课程的学习，学生们积极思考和探究，提升了自己的数理能力，加深了对三角学和天文学的理解。

同时，通过合作学习和展示，增强了学生们的沟通和表达能力，培养了他们的探究精神和创造力。

高中数学人教A版必修4第一章《阅读与思考三角学与天文学》1教学目标了解“三角学与天文学”的关系2学情分析这是阅读部分内容,目的是开拓学生知识面,提高学生学习数学的兴趣。

3重点难点对历史的发展理解4教学过程4.1.1新设计三角学与天文学背景：早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学.希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品.三角学起源于古希腊。

为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。

印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。

15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。

16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角。

他出版了应用于三角形的数学定律的书。

此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。

平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。

过程：动手观察乔丹，发现位置的改变体会视差，进而引入测量天体距离的方法。

测量天体之间的距离不是一件容易的事. 天文学家把需要测量的天体按远近不同分成好几个等级.离我们比较近的天体,它们离我们最远不超过100光年(1光年=9.46万亿1012公里),天文学家用三角视差法测量它们的距离.三角视差法是把被测的那个天体置于一个特大三角形的顶点,地球绕太阳公转的轨道直径的两端是这个三角形的另外二个顶点,通过测量地球到那个天体的视角,再用到已知的地球绕太阳公转轨道的直径,依靠三角公式就能推算出那个天体到我们的距离了.稍远一点的天体我们无法用三角视差法测量它和地球之间的v距离,因为在地球上再也不能精确地测定它们的视差了. 〔河内天体的距离又称为视差,恒星对日地平均距离(a)的张角叫做恒星的三角视差(p),则较近的恒星的距离D可表示为:sin π=a/D〕若π很小,π以角秒表示,且单位取秒差距(pc),则有:D=1/π用周年视差法测定恒星距离,有一定的局限性,因为恒星离我们愈远,π就愈小,实际观测中很难测定.三角视差是一切天体距离测量的基础,至今用这种方法测量了约10,000多颗恒星.因此从天文学中又衍生出了三角学,而三角学则为天文研究奠定了基础.教学反思：通过本节课的学习，主要是体会数学的魅力，三角学史，三角学的发展过程，三角学与天文学的关系，增加学生对数学的喜爱，兴趣。

1.2.1 任意角的三角函数教学目标：1、理解三角函数的第一、第二定义，掌握用定义求三角函数的值及函数定义域的方法；2、理解任意角三角函数的第一定义是对锐角三角函数的自然推广，是特殊到一般的过程；3、通过体会对锐角三角函数的自然推广，而得到的具有周期变化规律的任意角三角函数。

重点：任意角三角函数的定义 .难点：根据第二定义求三角函数值及正切函数的定义域.教学过程第一部分——复习旧知问题 1:我们在初中学习了锐角三角函数，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数。

请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？第二部分——新课导入问题 2：本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。

现在请你根据初中学过的锐角三角函数的定义，思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？问题 3：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？第三部分——给出任意角三角函数的定义第一定义 :如图 3，设为 rx2y 2（1）的终边yP(x, y)M O x图 3是一个任意角，在它的终边上任取一点P(x, y) ，点P到原点O的距离0，则叫做的正弦（ sine), 记作 sin，即；（2）叫做的余弦（cosine),记作cos，即；（3）叫做的正切（tangent),记作tan，即；问题 4：回忆弧度制中 1 弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。

任意角三角函数的第二定义：的终边P( x, y)yO A(1，0) x图 4如图 4，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y) ，则（1）叫做的正弦（ sine),记作 sin，即；（2）叫做的余弦（cosine),记作cos，即；（3）叫做的正切（tangent),记作tan，即；请将下列表格补充完整。

人教版高二数学必修四《阅读与思考三角学与天文学》说课稿一、教材概述《阅读与思考三角学与天文学》是人教版高二数学必修四的一本教材，主要涵盖了三角函数、解三角形、向量运算、圆锥曲线以及天文学等内容。

本教材以培养学生数学思维和解决问题的能力为目标，通过阅读和思考习题的方式，增强学生的数学素养。

二、教学目标本课程旨在通过对三角学与天文学的阅读与思考，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

具体目标如下： 1. 熟练掌握三角函数的性质与应用； 2. 能够解决关于三角形的各种问题； 3. 熟悉向量运算的基本概念与运算法则； 4. 理解圆锥曲线的基本特征与应用； 5. 了解天文学的基本知识，拓宽学生的科学视野。

三、教学重点本节课的教学重点主要包括以下几个方面： 1. 三角函数的性质与应用； 2. 解决关于三角形的问题； 3. 向量运算的基本概念与运算法则； 4. 圆锥曲线的基本特征与应用。

四、教学难点本节课的教学难点主要包括以下几个方面： 1. 如何灵活运用三角函数解决实际问题； 2. 如何利用向量运算解决几何问题； 3. 圆锥曲线的基本性质与应用。

五、教学方法与策略为了提高学生的主动学习能力和自主解决问题的能力，本节课将采用以下教学方法与策略： 1. 合作学习：通过小组合作讨论，促进学生之间的互动与合作，共同解决问题； 2. 探究式学习：引导学生通过自主探究和发现，培养解决问题的能力； 3. 提问引导：通过提问的方式，激发学生的思考，激发学习兴趣； 4. 实例分析：通过实际问题的分析与解答，帮助学生理解抽象的数学概念。

六、教学内容和教学步骤1. 三角函数的性质与应用教学内容： - 正弦、余弦、正切函数的定义与性质； -三角函数的图像与周期性； - 三角函数在实际问题中的应用。

教学步骤： - 介绍三角函数的定义与性质； - 给出几个典型的三角函数例题，引导学生通过计算与图像分析解答问题；- 继续讨论三角函数的周期性与性质，引导学生更深入地理解；- 结合实际问题，讨论三角函数在实际生活中的应用，引发学生思考与讨论。

§1.1.1角的概念的推广一、学习目标：1、掌握用“旋转”的方式定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念．二、教学重点、难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法．难点：终边相同的角的表示.三、教学方法：探究引导、讲授及多媒体演示．四、内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.五、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、角的概念]360,0[02、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。

1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[00，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围]360,0[0体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。

2、为引入正角与负角的概念做好准备。

这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）新概念的产生1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210º，β=-150º，γ=660º，2100-15001、教师用多媒体演示角的形成。

人教A版高中数学必修四第一章第二节阅读与思考三角学与天文学湖南省永州市宁远县第一中学何雄【教学目标】1、通过本节课的学习，了解数学中三角学的产生和开展的历史，了解三角学与天文学的关系和开展过程，了解历代数学家的开展观点，体会数学家在天文学方面做出的巨大奉献。

2、了解三角学的主要内容以及三角学与天文学相互促进的开展过程，渗透由抽象到具体，由动到静的思想，体会世界万物互相制约互相促进的规律，树立科学的唯物主义观。

3、了解各位数学家在三角学以及通过三角学的研究，进一步开展三角函数等其它知识过程中作出的奉献，以及三角学如何从天文学中别离出来，然后在新的域继续发光发热的过程，让同学们进一步体会事物开展的客观规律。

4、了解天文学与三角学的综合应用方法—三角视差法，体会古代科学家们的聪明智慧。

【教学重点】1、三角学与天文学的出现与开展2、三角学与天文学开展史上各科学家作出的奉献3、三角视差法在三角学和天文学中的具体应用【教学难点】1、体会科学家在数学开展史上的巨大奉献2、三角视差法的具体应用【教学准备】多媒体设备【教学过程】1、导入三角学的起源早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。

还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的开展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。

在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。

人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿著海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。

那时，人们白天拿太阳作路标，夜里那么以星星为指路灯。

太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿著遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。

三角学的起源、开展与天文学密不可分，它是推算天文观察结果的一种方法，1450年以前的三角学主要是球面三角，在航海、历法推算、天文观测等实践活动中，因为这种“量天的学问〞太具有诱惑力，得到了很多的关注和投入，后来因测量、测绘工作的需要出现平面三角。

两角和与差的正弦、余弦和正切学习目标：1.熟练掌握两角和或差的正弦、余弦和正切公式及其变形式；2.能够运用以上公式求角的三角函数值学习重点及难点：两角和或差的正弦、余弦和正切公式及其变形式的应用学习过程：一、基础知识复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=, cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.基础知识热身题组一常识题1. sin 75°的值为.2.已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3. cos 65°cos115°-cos 25°sin115°=.4.已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x=.7.计算:=.8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.二、课堂考点探究考点探究一：两角和与差的三角函数公式的直接应用例1 (1)若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β=()A. B.C. D.（2）已知cos=cos α,tan β=,则tan(α+β)=.[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的。