与三角形有关的定理、

三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+c a-b ＜c ＜a+b给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。

④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。

1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。

3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。

初中三角形的定理(总1页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）如图：△ABC 的中线AD 、BE 交于G （G 为重心），求证：AG=2GD证明：取C0的中点H ，取BO 中点G ，连接GH则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理]又E 是AB 的中点，D 是AC 中点则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理]则 GH=ED 且GH//ED则角EDO=角OGH又角DOE=GOH 且ED=HG所以△DEO 全等于△GHO所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD 二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

有关三角形知识点(大全)有关三角形知识点 (大全)三角形是一种基本的几何形状，由三条线段组成，形成一个封闭的平面图形。

在数学中，三角形有许多重要的性质和知识点。

本文将为您介绍有关三角形的知识点，如下所示：一、三角形的分类1.按照角度分类：- 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。

- 钝角三角形：至少有一个内角是钝角的三角形。

- 直角三角形：其中一个内角是直角的三角形。

2.按照边长分类：- 等边三角形：三条边的边长完全相等的三角形。

- 等腰三角形：两条边的边长相等的三角形。

- 普通三角形：三条边的边长都不相等的三角形。

二、三角形的性质1.内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。

证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，则角A、角B和角C的补角分别为180°-A，180°-B和180°-C。

由于角的补角互补，所以有(180°-A)+(180°-B)+(180°-C)=540°。

而三角形的三个内角之和和为180°，所以有A+B+C=180°。

2.外角和定理：三角形的一个内角的外角等于其他两个内角的和。

证明：设三角形的一个内角为A，则该内角的外角为180°-A。

另外两个内角的外角分别为180°-B和180°-C。

根据外角和定理，有(180°-A)+(180°-B)+(180°-C)=360°，即180°-A=180°-B+180°-C。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两个角是相等的。

证明：设等腰三角形的两边边长相等，底边的两个角分别为A和B。

由于等腰三角形的两条腰相等，所以角A和角B的对边也相等。

根据对应角相等的性质，可以得出角A=角B。

4.直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形的正弦定理和余弦定理直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解各边长和角度的关系。

本文将详细介绍直角三角形的正弦定理和余弦定理，并给出应用实例。

一、正弦定理在直角三角形中，正弦定理可以用来求解三角形的边长比例关系。

正弦定理的表达式为：sin(θ) = 对边/斜边，其中θ表示一个角的度数。

例如，假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以使用正弦定理来求解边长比例。

正弦定理的表达式为：sin(θ) = a/c 或者sin(θ) = b/c。

应用实例：已知一直角三角形的直角边长a为3，斜边c为5，我们可以利用正弦定理求解另一个直角边长。

根据正弦定理可得：sin(θ) = a/c，代入已知的数值得：sin(θ) = 3/5，通过反正弦函数求解得角度θ的值。

二、余弦定理在直角三角形中，余弦定理可以用来求解三角形的边长平方和角度之间的关系。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcos(θ)，其中θ表示一个角的度数。

例如，假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以使用余弦定理来求解边长和角度之间的关系。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcos(θ)。

应用实例：已知一直角三角形的直角边长a为3，斜边c为5，我们可以利用余弦定理求解另一个直角边长。

根据余弦定理可得：c² = a² + b² -2abcos(θ)，代入已知的数值得：5² = 3² + b² - 2(3)(b)cos(θ)，将已知数值代入并整理得到一个二次方程。

解这个二次方程可以求解出另一个直角边长b的值。

总结：直角三角形的正弦定理和余弦定理为解决三角形问题提供了便利的工具。

通过应用正弦定理和余弦定理，我们可以求解直角三角形中的各边长和角度之间的关系。

三角形的所有定理及概念
三角形是平面几何中的重要概念，它有许多定理和概念。

首先，我们来谈谈三角形的基本概念。

三角形是由三条边和三个角组成的
多边形，其中每个角的度数之和为180度。

根据边长和角度的不同，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三
角形和锐角三角形等不同类型。

三角形的定理和概念包括但不限于以下几点：
1. 三角形的角平分线定理，三角形内任意角的角平分线相交于
对边上的一点，并且此点到两个角的顶点的距离相等。

2. 三角形的中位线定理，三角形内任意两边的中位线平行且等
于第三边的一半。

3. 三角形的高定理，三角形内任意一条高都将底边分成两段，
使得这两段边乘积等于高与底边的乘积。

4. 三角形的外角定理，三角形的一个外角等于它的两个不相邻
内角的和。

5. 三角形的内角和定理，三角形内角的度数之和为180度。

6. 三角形的相似定理，如果两个三角形的对应角相等，则它们
是相似三角形；如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三
角形。

7. 三角形的勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于
斜边的平方。

除了上述定理和概念外，三角形还涉及到海伦公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等等。

这些定理和概念在解决三角形相关的问
题时起着重要的作用，能够帮助我们理解三角形的性质和特点，解
决各种三角形的计算和证明问题。

通过深入理解三角形的定理和概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也能够更好地理
解几何学的相关知识。

直角三角形的性质与定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角），而其他两个角度分别为锐角和钝角。

直角三角形具有一些特殊的性质和定理，本文将对这些性质和定理进行介绍和论述。

一、勾股定理勾股定理是直角三角形最著名的定理之一。

它表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

用公式表示即为：c²=a²+b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两直角边的长度。

勾股定理可以方便地计算直角三角形中未知边长的长度。

通过已知两直角边的长度，可以利用这一定理求解斜边的长度。

同时，勾股定理也为证明其他直角三角形性质和定理提供了重要的基础。

二、正弦定理和余弦定理在非直角三角形中，正弦定理和余弦定理是两个重要的定理，它们也可以应用于直角三角形。

正弦定理表明，在一个三角形中，任意两边的比值等于这两边对应的角的正弦值的比值。

而余弦定理则描述了三角形两边和夹角之间的关系。

在直角三角形中，由于其中一个角度为90度，正弦定理和余弦定理的应用相对简化。

在直角三角形中，正弦定理可以简化为：sin(A) =a / c，sin(B) =b / c。

而余弦定理则可以简化为：a² = c² - b²，b² = c² - a²。

这两个定理在直角三角形中的应用十分广泛，可以用于计算未知边长或夹角的大小。

三、特殊直角三角形在直角三角形中，有两种特殊情况，分别为等腰直角三角形和30-60-90直角三角形。

等腰直角三角形的两个直角边相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。

在这种情况下，勾股定理可以简化为：c = a√2。

30-60-90直角三角形的一个角为30度，另一个角为60度。

它的两个直角边和斜边之间存在特殊的比例关系。

直角边的长度之比为1:√3:2，而斜边的长度为直角边长度的2倍。

这两种特殊的直角三角形在解决实际问题中有着广泛的应用，研究它们的性质和定理对于几何学的学习具有重要意义。

三角形三边关系、三角形内角与定理三角形边得性质(1)三角形三边关系定理及推论定理:三角形两边得与大于第三边、推论:三角形两边得差小于第三边。

(2)表达式:△ABC中,设a＞b＞c则b—c＜a＜b+cａ－ｃ＜b＜a＋cﻫ a-b＜c＜a+b(3)应用１、给出三条线段得长度,判断它们能否构成三角形。

方法(设a、b、c为三边得长)ﻫ①若a＋b＞c,a+c＞b,b+c〉a都成立,则以a、b、ｃ为三边得长可构成三角形;②若c为最长边且a+b>c,则以ａ、b、c为三边得长可构成三角形;ﻫ③若c为最短边且c＞|ａ－b|,则以ａ、ｂ、ｃ为三边得长可构成三角形、ﻫ 2、已知三角形两边长为a、b,求第三边x得范围:｜a-b｜＜x＜ａ+b。

３、已知三角形两边长为a、ｂ(a>b),求周长L得范围:2a〈Ｌ＜2(a+b)、4、证明线段之间得不等关系、ﻫ复习巩固,引入新课1画出下列三角形就是高2、已知:如图△ABＣ中AG就是BC中线,AB=５ｃm AＣ=3cｍ,则△ＡBG与△ＡCG得周长得差为多少?△ＡBＧ与△ACG得面积有何关系？3、三角形得角平分线、中线、高线都就是( )ﻫ A、直线Ｂ、线段C、射线Ｄ、以上都不对ﻫ4、三角形三条高得交点一定在( )Ａ、三角形得内部Ｂ、三角形得外部C、顶点上D、以上三种情况都有可能５、直角三角形中高线得条数就是( )Ａ、3 B、２ C、1 D、0６、判断:（1）有理数可分为正数与负数、（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数与负分数。

７、现有１0cｍ得线段三条,15ｃm得线段一条,20ｃm得线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状得三角形？三角形三边得关系一、三角形按边分类(见同步辅导二)练习１、两种分类方法就是否正确:不等边三角形不等三角形三角形三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形２、如图,从家A上学时要走近路到学校Ｂ,您会选哪条路线？３、下列各组里得三条线段组成什么形状得三角形？(1)3ｃm ４ｃm６ｃｍ(2)4cm 4ｃm 6cm(３)7cm ７cm 7cm (4)3ｃｍ３cm７cｍ应用举例1已知△ABC中,a=6,b=14,则c边得范围就是练习１、三角形得两边为3cm与5cｍ,则第三边x得范围就是２、果三角形得两边长分别为７与２,且它得周长为偶数,那么第三边得长为3、长度分别为１2cm,10cｍ,5cm,4cm得四条线段任选三条线段组成三角形得个数为( )A、1 Ｂ、2 C、3 Ｄ、４ﻫ4、具备下列长度得各组线段中能够成三角形得就是( )A、5,９,3B、5,7,3C、5,２,3D、5,8,３应用举例２1、已知一个等腰三角形得两边分别就是8cｍ与6ｃm,则它得周长就是_＿___＿cｍ。