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主成分分析

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B题：水资源短缺风险综合评价水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。

主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。

北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。

政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。

但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。

如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。

利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。

对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。

4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

北京联合大学应用文理学院数学建模论文专业信息与计算科学论文题目水资源短缺风险综合评价姓名班级2008指导教师完成时间2011-5-30水资源短缺风险综合评价一、摘要本论文是依据1979年至2009年北京水资源短缺状况来使用主成分分析法判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么。

并且通过建立模型并分析问题来识别各风险因子的主要情况，参照水资源短缺的现状，利用数学的知识和实际生活相结合，对危害情况做出等级划分，并预测水资源短缺的走势，以防患于未然。

为社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

问题一：根据《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息了解到北京水资源短缺的数据，通过对该数据的标准化后，使用协方差方法提取主成分，并分析出水资源短缺的主要风险因子。

问题二：使用拟合方法建立一个模型，对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分。

并且针对主要因子提出调控的方针和建议。

问题三：根据前几问的结果，参照第二问模型的图形走势，对未来两年北京水资源短缺情况的走势作出分析和预测，以提前做准备应对水资源短缺状况。

问题四：通过对以上三个问题的建模、分析后，我们拟建一份建议报告，打算提交给北京市水行政主管部门。

关键字：水资源短缺风险因子风险等级主成分分析预测二、问题的提出水，是人类赖以生存的最重要的元素。

然而随着经济型社会的不断发展，水资源短缺现象变得愈发的严重。

目前，我国北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区。

为了应对并改善水资源短缺的情况，政府也出台了一系列措施，例如南水北调工程建设, 建立污水处理厂，产业结构调整等。

但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。

因此，急需建立一个模型，来分析出北京水资源短缺的最主要的风险因子是什么，来针对该风险因子出台措施。

同时，为及时能够分析清楚当前水资源的短缺情况，需要建立一个等级评估，以便及时做出应对措施。

并且能够对未来几年的北京水资源情况做出预测，以防患于未然。

三、问题的分析由题意可知，问题一目的是通过《北京统计年鉴》的数据，来分析出北京水资源短缺风险的主要风险因子是什么。

因此我们使用KMO（Kaiser-Meyer-Olkin)检验统计量，来判断应该使用何种方法来提取主要风险因子。

因此在问题二中，我们建立一个模型，能够对北京水资源短缺的情况做出等级评估，并且能够按照该等级划分做出相应的措施。

同时能够根据现有的数据，从数据中总结出某些规律，对北京未来两年之内的水资源情况提出一个预测，以提前防范可能出现的问题，以免问题扩大，影响和制约首都社会和经济发展。

问题二需要使用拟合的方法来建立模型，并根据模型进行等级划分，根据生成的方程来计划如何调控主要风险因子。

问题三根据问题二得出的公式可以预测出未来几年北京水资源短缺的情况。

四、建立模型4.1问题一：利用主成分分析法来寻找北京水资源短缺风险的主要因子4.1.1模型假设1、除了题目所给的数据之外，影响水资源的因素还有很多。

例如气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等；2、根据题干所给条件，查询北京污水处理情况、降水量、人口规模几个数据；3、忽略水资源总量以及总用水量的数据，因其它数据从属于该数据；4、通过所查到的资料生成表格，判断使用主成分分析法来求解。

1）通过KMO检验决定使用主成分分析法由于题目所给数据的种类很多，我们打算使用主成分分析法，把多维数据降维。

首先通过KMO（Kaiser-Meyer-Olkin)检验统计量，在SPSS中输入上表中数据后，得到如下表所示数据：由上表可知，KMO的值为0.769表示比较适合使用主成分分析法。

2）使用方差标准化方法，对数据进行标准化在该问题中，不同的变量之间有不同的量纲，由于不同的量纲会引起各变量去职的分散程度差异较大，这时总体方差则主要受方差较大的变量控制。

为了消除由于量纲的不同可能带来的影响，常采用变量标准化的方法，即令*,1,2,...,,i X i p ==3）基于协方差矩阵作主成分分析，并计算贡献率协方差矩阵公式：()[(())(())],T ij p p E X E X X E X σ⨯∑==--()(),1,2,...,,(,)(,),1,2,...,.T T i i i i T T Ti j i j i j Var Y Var l X l l i p Cov Y Y Cov l X l X l l j p ==∑===∑=Cov= 1.0333 0.4877 -0.7159 -0.6459 -0.0235 -0.7420 0.4877 1.0333 -0.8170 -0.9322 0.4271 -0.9019 -0.7159 -0.8170 1.0333 0.8636 -0.3163 0.9921 -0.6459 -0.9322 0.8636 1.0333 -0.3817 0.9601 -0.0235 0.4271 -0.3163 -0.3817 1.0334 -0.3431 -0.7420 -0.9019 0.9921 0.9601 -0.3431 1.0333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D （特征向量矩阵）= 0.0663 0.2103 -0.3701 0.6536 -0.5144 -0.3502 0.0822 0.6572 -0.3051 -0.4996 0.1625 -0.4385 -0.4717 -0.0429 -0.7473 -0.0487 0.0876 0.4551 -0.2679 0.7116 0.3892 0.2389 -0.0337 0.4606 0.0009 0.0257 -0.0567 0.5115 0.8344 -0.1955 0.8334 0.1229 -0.2383 0.0460 0.0627 0.4770⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦λ（特征值）= 0.0147 0 0 0 0 0 0 0.0814 0 0 0 0 0 0 0.1878 0 0 0 0 0 0 0.4072 0 0 0 0 0 0 1.0874 0 0 0 0 0 0 4.4215⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可以看出，6个特征值的大小不一，可以通过计算贡献率公式来求第k 个主成分的贡献率，贡献率公式：1ipii λλ=∑，并使用SPSS 来计算，可得最后两个特征值所占的贡献率为88.853%，符合主成分分析法贡献率的要求（>80%）。

因此，设第一个主成分为1F （贡献率71.314%），第二个主成分为2F （贡献率17.539%）。

通过碎石图能够更直观的了解1F 和2F 所占的比例。

5 .081 1.313 99.763 6.015 .237 100.000重新标度1 4.421 71.314 71.314 4.279 71.314 71.3142 1.087 17.539 88.853 1.05217.53988.8533 .407 6.568 95.4214 .188 3.029 98.4505 .081 1.313 99.763 6.015.237100.000表41F 和2F 的贡献率图1主成分的碎石图4从上表中重新标度中的成分的系数来看，不同成分中样本分别对应的系数越大，说明主成分对该原变量的代表性也越大。

112345621234560.7240.9070.9410.9530.4040.9870.5280.1670.0900.0350.8560.064F x x x x x x F x xx x x x =--++-+=-++-++从1F 中可以看出，第三产业和生活用水、污水处理、人口的相关性最高，因此1F 包含了这三个指标。

而2F 中，降水量的相关性最大，因此2F 中包含降水量这一个指标。

为了更好的求解模型，我们建立了对该主成分分析的载荷图：图2载荷图4.1.3 模型求解从载荷图中可以看出，首先，1F 占了71.314%的贡献率，说明其所反映的原因为最主要的。

随着北京与日俱增的发展速度，同时增加的还有人口数量，其突出反映了北京由于人口的持续增多造成生活用水总量在全市总用水量中的比例越来越大。

同时又由于污水处理效率并不十分突出，导致水污染的严重化，生活用水环境愈发恶化。

据查资料全市目前年排放污水12.53m，而污水处理率仅为38%，大量污水未经处理直接排入河道，污染了河道的清水，使得污水量的加大，同时加重了水资源短缺的程度。

污水的随意排放间接反映了政府管理制度的不够完善。

因此，主成分一反映出北京水资源短缺的最重要的风险因子是人口的过快增长、水污染严重、以及管理制度松懈。

同时注意到F中降水量的相关性最大，而且占贡献率的17.539%，也影响了北京市2水资源短缺的情况。

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主成分分析法全

主成分分析法全


• 如果我们将xl 轴和x2轴先平移，再同时 按逆时针方向旋转角度，得到新坐标轴Fl和 F2。Fl和F2是两个新变量。
根据旋转变换的公式：
y y1 1 x1xc1soin sx2 xs2cio ns
y y 1 2 cs o in sc si o n s x x 1 2 U x
设有P维正交向量 a1 a11, a21,, ap1
F1 a11X1 L ap1X p aX
1
V
(F1)
a1a1
a1U
2
Ua1
p
1
a1
u1
,
u2
,L,
up
2
O
u1
u2 M
a1
p
up
p
iauiuia i1
p
i (aui )2 i1
1ip1(aui )2
1）贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占
比重
i
p
i 1
i
，称为贡献率
，反映了原来P个指标多大
的信息，有多大的综合能力 。
2）累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力， 用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重
k
p
i i
i1
i1
来描述，称为累积贡献率。
我们进行主成分分析的目的之一是希望用尽可能 少的主成分F1，F2，…，Fk（k≤p）代替原来的P个指 标。到底应该选择多少个主成分，在实际工作中，主 成分个数的多少取决于能够反映原来变量80%以上的信 息量为依据，即当累积贡献率≥80%时的主成分的个数 就足够了。最常见的情况是主成分为2到3个。
F 1
主 成
F2
•• • • •
分 分 析 的 几 何
主成分分析

主成分分析

一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。

从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。

变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。

原理：假定有 n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵，x11x12 x1px21 x22 x2p Xxn 1xn2xnp记原变量指标为x1，x2，,，xp ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z1，z2，z3，,，zm(m ≤p)，则z 1l11x 1 l 12x 2l1p xpz 2 l 21x1 l22x2l2p xp ............ z mlm1x 1 l m2x 2lmp xp系数lij 的确定原则：①zi 与zj （i ≠j ；i ，j=1，2，,，m ）相互无关；②z 是x 1 ，x ，,，x 的一切线性组合中方差最大者，z 是与z 不相关的x ，x ，,，1 2P2 1 1 2 xP 的所有线性组合中方差最大者；zm 是与z1，z2，,,， zm －1都不相关的x1，x ，,x P ，的所有线性组合中方差最大者。

2新变量指标z1，z2，,，zm 分别称为原变量指标x1，x2，,，xP 的第1，第2，,，第m 主成分。

从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj （j=1，2 ，,，p ）在诸主成分zi （i=1，2，,，m ）上的荷载lij （i=1，2，,，m ；j=1，2，,，p ）。

从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。

二、主成分分析的计算步骤1、计算相关系数矩阵r11 r12 r1 pr21 r22 r2 pRrp1 rp2 rpprij（i，j=1，2，,，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rji，其计算公式为n(x ki x i)(x kj x j)r ijk1n n(x ki2(x kj x j)2 x i)k1k12、计算特征值与特征向量解特征方程I R0，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列1 2 p0；p 分别求出对应于特征值i的特征向量e i(i1,2,L,p)，要求ei=1，即e ij21j1其中e ij表示向量e i的第j 个分量。

什么是主成分分析

什么是主成分分析

主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。

这就需要多变量数据统计分析。

多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。

主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。

从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。

因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。

基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。

在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。

如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。

形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。

X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。

由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。

图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。

即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。

从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。

这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。

主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。

PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。

主成分分析法概念及例题

主成分分析法概念及例题

主成分分析法概念及例题 Ting Bao was revised on January 6, 20021主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法目录[]o[]什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多转化为少数几个综合指标。

在中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

[]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的反映的信息在一定程度上有重叠。

在用研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行的过程中，涉及的变量较少，得到的较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。