一个求椭圆离心率问题的三种做法

离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一椭圆离心率的求值方法一定义法求离心率1.已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（）A .31B .21C .22D .322【解析】14222=+y a x ，∵，则，选C 2.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A .45B .35C .25D .15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-.整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4.椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，所以（a ﹣c ）（a +c ）=4c 2，即a 2=5c 2，所以e =55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C 2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a =1，则F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），当x =c 时，由2222x y a b +=1得y =ab 2=b 2，即A （c ，b 2），B （c ，﹣b 2），设D （0，m ），∵F 1，D ，B三点共线，∴，得m =﹣2b 2，即D （0，﹣2b 2），∴若AD ⊥F 1B ，在，即=﹣1，即3b 4=4c 2，则3b 2=2c =3（1﹣c 2）=2c ，即3c 2+2c ﹣3=0，解得c==，则c =，∵a =1，∴离心率e =a c =336.从椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥O P (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A (a ,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵AB ∥O P ，∴2b b ac a -=-.∴b ＝c ；又∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =7.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由题意易知，21212,PF F F c PF ===，1212212F F c e a PF PF ∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF F F c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三运用e =e =求离心率8.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9.经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。

求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

求椭圆离心率的方法椭圆是平面上的几何图形，具有有限个点的离心率的性质。

离心率是描述椭圆形状独特度的一个重要参数，它表明椭圆的偏心程度。

离心率的计算是通过椭圆的长短轴的长度来进行的。

首先，我们来了解一下什么是椭圆。

椭圆可以看作是一个平面上的一条固定点到平面上任意一点的距离之和等于常数的点的集合。

这个固定点叫做焦点，常数叫做焦距。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，并通过椭圆的中心点。

短轴是垂直于长轴的线段，并通过椭圆的中心点。

焦距的一半等于椭圆的离心距离。

椭圆的离心率是一个无量纲的比例，用e表示。

离心率的范围是0≤e<1，当e 等于0时，说明椭圆是一个圆；当e接近1时，椭圆的偏心程度越大。

要求椭圆的离心率，首先需要知道椭圆的长轴和短轴的长度。

假设椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，那么离心率e的计算公式为：e = √(a^2 - b^2)/a即离心率等于椭圆的长轴和短轴长度之差的平方根除以长轴长度。

通过这个公式，我们可以求解任意椭圆的离心率。

下面通过一个例子来进一步说明求解椭圆离心率的方法。

假设有一个椭圆，长轴的长度是6，短轴的长度是4。

我们先代入公式：e = √(6^2 - 4^2)/6计算得到离心率e=√(36-16)/6=√20/6≈0.82。

这个结果表明该椭圆的离心率约为0.82，说明椭圆的偏心程度较大。

除了通过椭圆的长短轴长度来计算离心率，还有另一种计算方法，即通过椭圆的焦点和焦距来计算离心率。

焦点的坐标可以表示为(F1,0)和(-F1,0)，焦距可以表示为2c。

离心率的计算公式如下：e = c/a对于上面的例子，假设焦点的坐标分别是(-2,0)和(2,0)，焦距是2c=4。

代入公式得到离心率e=4/6≈0.67，与前面的计算结果相近。

总结一下，我们可以通过椭圆的长短轴长度或者焦点和焦距来计算椭圆的离心率。

这个参数可以帮助我们进一步了解椭圆的形状特征，判断椭圆与其他几何图形的关系，以及在各种科学工程领域的应用。

离心率的常见求法
离心率是一个有重要意义的机械物理概念，是描述物质或者物体在离心力作用下运动的特性。

常见的离心率求法有：
1、对角法：对角法测量离心率的原理是：根据观察介质的同心圆状态，用视线衡量介质的对角线，从而获得两个半径，离心率就是两个半径之比。

3、椭圆法：椭圆法测量离心率的原理是：由介质形成的椭圆形折线变化，衡量介质的长轴和短轴，利用椭圆长轴和短轴之比，进行求解离心率。

4、三角法：三角法测量离心率的原理是：根据三角形的相关公式，利用介质的试样在极坐标系下的不同的极坐标点的坐标，计算出夹角的正弦、余弦，再求出离心率。

离心率的测量方法有很多，上述的这五种比较常用，其中对角法和三角法最为简单方便，但测量精度较低，旋转法和椭圆法测量精度较高，但较复杂，重力法测量不受介质的影响，推荐使用。

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。

解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。

2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。

椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。

3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。

椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。

双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。

4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。

双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。

5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。

可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。

6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。

在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。

多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。

目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。

题型变化很多，难以驾驭。

以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c ∴有③。

题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜｜F2 F1｜=ba又∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=5 5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。

椭圆离心率的题型椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求解椭圆的离心率的三种方法：1.定义法：求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率； 2.齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； 3.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.一、定义法，求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率e 1．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解 （1）通过等量关系列式得出关于,a c 的齐次方程1．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率e =（ ）A B C ．35 D 2．椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1()0F c -，到过顶点(0)A a -，，(0)B b ，的直线的，则该椭圆的离心率e =（ ）A B ．12 C ．2 D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．12C D4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617BC ．45D 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C ．12 D ．12（2）通过特殊三角形的边关系列式得出关于,a c 的二元齐次方程 1．设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F P 、，是C 上的点2121230PF F F PF F ⊥∠=︒，，则C 的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 D ．32．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1BC 1D ．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12 B ．2 C ．14 D4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是e =（ ）A B 1 C 1 D -5．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 6．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．2 D ．127．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左.右焦点为1 F ，2 F ，过2 F 垂直于 x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D 8．在Rt ABC 中，AB AC =，如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A B 1 C 1 D -9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4b OQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．2310．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．13 D ．1612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D 13．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．315．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O 是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D（3）求出某个在椭圆上的点的坐标，再把坐标代入标准方程，得出关于,a c 的齐次方程1．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．34 C ．12 D ．142．椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN 使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D ．123．已知12,F F 是椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且满足112||2||,||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．3C D4．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（ ）A 1B ．2CD ．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．5 D ．76．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y += B ．22186x y + C ．22142x y += D ．22184x y += 7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A B C D（4）点差法 1．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．2（5）涉及到最值1．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．3 D ．59 2．已知椭圆C 过点(5,0),(0,)A B b -，左､右焦点分别为1F ､2F ，中心在原点，点M 的坐标为(1,2)，P 为椭圆上一动点，若1PF PM +的最大值为10，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45。

离心率四种考法及其方法技巧1.方程思想：齐次方程、不等式（1）若给定椭圆（双曲线）的方程，则根据椭圆方程确定2a ，2b ，进而求出a ，c 的值，从而利用公式ce a =直接求解；（2）若椭圆（双曲线）方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式（或不等式），化为关于a ，c 的齐次方程（或不等式），进而化为关于离心率e 的方程（或不等式）进行求解.椭圆经典例题铺垫：（1）设椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 与C相交于P 、Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.则C 的离心率e =________.（2）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，直线2a x c =-与直线2a x c =和轴的交点分别为M ，，若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是__________.例1（1）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是_________．（2）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_________．几何条件 例2（1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________.（2）椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右顶点为A ，经过原点的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若PQ a =，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.（3）如图，12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，A 和B 是以O （O 为坐标原点）为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则椭圆的离心率为_________．双曲线经典例题 例1（1）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等比数列，则该椭圆的离心率是_________． （2）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是_________． 例2（1）设12,F F 分别是双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b ．若1230MF F ∠=︒，则双曲线的离心率为_________．（2）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且1223PF PF =，则双曲线的离心率为________．（3）（文讲义例8（3））已知点12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF △是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_________．方法2：焦点三角形中的角知识点1：椭圆()222210x y a b a b+=>>中，设12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上任一点.若1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则cossin 2;sin sin cos 2e αβθαβαβ+==-+双曲线中的结论为：sinsin 2=.sin sin sin 2e αβθαβαβ+=--经典例题 椭圆例题 例12013-2014学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科 椭圆()222210x y a b a b +=>>，左右焦点分别是焦距为2c，若直线)y x c +与椭圆交于M 点，满足12212MF F MF F ∠=∠，则离心率是( )A.211275F =︒,2115PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）例3（讲义例7（3）） ABC △中，1tan 3A =，π4B =，若椭圆E 以AB 为焦距，且过点C ，则椭圆E 的离心率是________．例4（讲义例9（2））已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若12060PF F ︒<∠<︒，则该椭圆的离心率的取值范围是________．练习双曲线例题 例5双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )例62016-2017学年湖北省襄阳市枣阳一中高三（上）开学数学试卷（理科） 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，M 为双曲线上的点，若1221,60,MF MF MF F ⊥∠=︒则双曲线的离心率为( )1 1例7设A 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是________．结论2：椭圆最大顶角与离心率 最大顶角 椭圆：sin2e θ≥，2cos 12e θ≥-例12016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是12,F F ，如果在椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_________．例2已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），1F ，2F 为两焦点，若椭圆上存在P ，使得110PF PF ⋅<．则椭圆离心率的取值范围是________．拓展 长轴三角形最大顶角设12A PA θ∠=，12,A A 为左右顶点e ≥设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右端点分别是,A B ，如果在椭圆上存在一点P ，使120APB ∠=︒则椭圆离心率的取值范围是_________．方法3：焦半径知识点1.焦半径公式与范围（1）椭圆公式：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-； 焦半径范围：[],a c a c -+；12PF PF 的范围：222,a c a ⎡⎤-⎣⎦12PF PF ⋅的范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦（2）双曲线：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-;范围：短焦半径[),a c -+∞，长焦半径[),a c ++∞，其中一个成立，另一个自然成立12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤+∞⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题：铺垫 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2F ，直线2a x c =与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围____________.重点题型1：12PF PF λ=例1 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF ePF =，求椭圆离心率e 的范围.例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围是___________.例3 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，若212PF PF 的最小值是8a ，则双曲线离心率的取值范围为____________；例4 设点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为____________.例5 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若双曲线上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.经典题型2：已知12PF PF ⋅的范围椭圆12PF PF ⋅范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题例6（讲义例9（3））已知()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是________．（强化班讲义例9（1））例7 设点()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，P 为双曲线上的一点，且21223c PF PF ⋅=-，则其离心率的取值范围是________．知识点2：设点F 是离心率为e ，焦点x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的线AB 与x 轴的夹角为α，F 分AB 所成的比为λ，则1cos 1e λαλ-=+ 若焦点在y 轴上，1sin 1e λαλ-=+ 重点题型3：()0AF FB λλ=>或1cos 1AF BF e λλαλ-=⇒=+经典例题例1 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线和椭圆相交于A ，B两点，若112AF BF =，求椭圆的离心率．例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B C D例3 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为多少？例4已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>,）的右焦点为F ，过F 直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 （ ） A ．65B ．75C ．85D ．95例5 （2008全国卷）过抛物线24y x =的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，设FA FB >，则FA FB的值为_________.1cos 31FAe FBλαλλ-===++方法4：以b a求离心率e主要包括：（1）椭圆垂径定理（由点差法推导），（2）第三定义（类比圆）； （3）渐近线与双曲线关系（1）点差法与中点弦（椭圆中的垂径定理）AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的任意一条弦，O 为椭圆的中心，M 为AB 的中点，则.222 1.AB OMb k k e a⋅=-=-.AB 是双曲线22221x y a b -=的任意一条弦，O 为双曲线的中心，M 为AB 的中点，则222 1.AB OMb k k e a⋅==-（2）第三定义AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上过原点的弦，P 是椭圆上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅=-=-AB 是双曲线22221x y a b -=上过原点的弦，P 是双曲线上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅==-（3）双曲渐进线经典例题椭圆垂径定理 例12016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷（1）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，直线:240l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点，且AB中点M 坐标为()2,1，则椭圆的离心率为___________.（2）过点()1,1作斜率为12-的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 中点，求椭圆离心率.第三定义 例2（1）2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一个动点，且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为( )C.12（2）已知12,A A 分别椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，点P 为椭圆C 上一点(点P 与12,A A 不重合)，点M 为P 点关于x 轴对称点，若直线1PA 与2MA 的斜率乘积是34，则椭圆的离心率为( )A.14D.12例32016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷已知椭圆的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为_________．例42015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知A B ，为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )B.2离心率与渐近线 铺垫：已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B C D例5（1）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为________. （2）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线的离心率为____________. 例6（1）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（2）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支交于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（3）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的取值范围是_________. 例7设双曲线C 的中心为点，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.⎤⎥⎝⎦B.⎫⎪⎪⎣⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭。

椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。

题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。

.椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。

在椭圆上，P、QL交OA于B，基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线｜｜AO｜PF｜｜QF｜④③e=e，则①e=②e=QFPD⊥L于D，⊥AD于F,设椭圆的离心率为｜｜BF｜BO｜PD｜｜｜FO｜AF｜｜ e=e=⑤｜｜AO｜BA｜PDQABF O评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。

cx2 y2题目1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭a2 b2圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ABFF21思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3ccc+3c=2a ∴e= = 3-1ax2 y2变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正a2 b217/ 1.PFF21O三角形，求椭圆离心率？3-1∠F1PF2 =90°图形如上图，e==｜OF1｜=｜OP｜,OF2解：连接PF2 ,则｜｜y2x2 是椭圆上一，AB为椭圆的顶点，P椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 变形2:b2 a2求椭圆离心率？PF2 ∥AB,点，且PF1 ⊥X轴，BPAF Ob2=a｜OB｜=b ｜O= 解：∵｜PF1 ｜F2 F1｜=2c ｜ abPF1｜｜ a2-c2∵b= ∴PF2 ∥AB = 又 a F2 F1｜｜5 ∴a2=5c2 e=5方程的 c点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2x2 是短轴的一个顶点，∠B是右焦点，，=1(a>b >0)A是左顶点，F +：椭圆题目2b2 a2e?°，求ABF=9017/ 2.BAOFa2+b2=｜BF｜=a ｜AB｜｜解：｜AO=a ｜OF｜=ca2 两边同除以a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=055 -1--1+)(舍去e2+e-1=0 e= e=225x2 y2 -1+是短轴的一个B是左顶点，F +=1(a>b >0)，是右焦点，e=, A变形：椭圆2a2 b2顶点，求∠ABF？由余弦定理解决角的问题。