悬崖跳水问题

悬崖跳水问题建模培训作业（一）：论文题目：论文成员；赣南师范学院09计本（2）刘琳岚赣南师范学院09数本（1）汪灵枝赣南师范学院09数本（1）钟建忠2011年八月三号内容摘要；本文主要探讨悬崖跳水的安全问题，主要讨论为保证跳水者安全，水深满足的条件，为选址提供合理的依据。

针对问题一“跳台下面的水池要多深才能安全”建立物理模型，将其归纳为四个阶段；运动员空中，碰撞、进入、完全进入。

逐个对其建立运动状态方程，并结合微分方程学简化求解。

其动力学方程为ma=F阻+F浮-mg（规定向下为正方向）；阻力方程为F阻=KSV（气体）和F阻=0.5PSCV2(液体) 求得最终结果水池的深度的最小值为；男子组7.6m女子组 5.2m针对问题二；结合运动员悬崖跳水四个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：体重越大的人跳水时需要更深的水。

关键词动力学方程阻力微分方程学一·问题的重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。

悬崖跳水，即运动员从高空悬崖跳下来，身体在重力的作用下快速自由下落，这是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，所以比赛中安全问题显得非常重要。

比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。

我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。

下落过程中，在空气重视受空气阻力的影响。

运动员的身体入水后受到水的阻力与浮力作用，抵消身体的重力作用，使运动员在水中做减速运动，直至速度降为零。

为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，另一方面，尽量节约水池建设的成本可避免无意义的浪费。

所以水池深度设定必须在满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求。

需完成任务：1.根据福建连城冠豸山跳台高度，计算跳台下面的水池要多深才能安全；2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。

二·问题的分析悬崖跳水是一项极其危险的运动，在空中“飞行”的时间只有几秒钟。

当抵达水面时，速度将至少高达每小时60英里。

当落进水池时，必须确保自己的双脚先“着陆”，并且身体还必须保持绝对紧张和笔直的状态。

巨大的冲击力几乎就和落在水泥地上相似，稍有不慎，跳水者就可能会头骨碎裂，命丧当场。

将悬崖跳水分为四个过程；第一跳台至水面过程：运动员从跳台跳下，在空中完成动作后落入水中。

在这个过程中受到竖直向下的重力与竖直向上的空气阻力影响，重力为恒定的，空气阻力逐渐增大，运动员做加速度减小，速度增大的运动，到达水面时速度达到最大。

第二过程，人水短暂碰撞过程按照流固撞击处理，运用动力学原理能量和动量分析；第三过程，人的身体处于进入水的过程，是一个减速的过程。

有水的阻力，水的浮力和自身重力。

建立运动状态方程；第四过程，人的身体处于水中的过程。

是一个减速过程，直至速度为0，正好到达池底。

同样建立第三个状态方程；三·模型的假设1.假设运动员不起跳且跳水状态似锲形下落。

2.假设运动员质量分布均匀3.假设风速水速为零，不影响运动员下落；4.假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准。

5.假设运动员落入水中速度降为最小即速度为零，此时的深度为安全深度零界。

6.假设空气阻力的大小为KSV,K为系数，S为迎风面积，V为速度。

7.不考虑入水时暴露在空气中的部分的空气阻力四·模型的符号说明H 表示标准的身高，男子取1.78m.女子1.65mH1 表示跳台到水面的高度，男子取28m女子20m.P 表示流体密度S 表示横截面积V i表示速度C 表示阻力系数。

本文中取0.4F浮表示在水中浮力的大小。

h 表示人入水深度。

m 表示人得体重g 表示重力加速度。

取9.8m/s2a 表示物体的加速度，以向下为正方向。

r 表示锲形的半径。

五·模型的建立与求解第一空中过程；因为不考虑空气阻力的大小时其到达水面的速度小于30m/s。

远小于2.5马赫，所以我们用阻力公式F阻=KSV。

K为常数，一般取2.937. S为迎风面积建立运动状态方程;(1) ma=mg-F阻(2) F阻=KSV结合（1）（2）可得m*v*dv/dh=mg- KSV用数学软件MATLAB 可得男子和女子入水前的速度V0与下降高度h1的关系；0510152025510152025x 轴：男子下落的高度y 轴：男子的速度图一：男子由跳台至水面过程时速度与高度的关系246810121416182002468101214161820x 轴：女子下落的高度y 轴：女子的速度图二：女子由跳台至水面过程时速度与高度的关系第二碰撞过程；v0表示入水前的速度，v1入水的速度，动量分析mv0-mv1=f*t ’由于时间t ’很短。

无限接近于0。

故可近似认为入水的速度即入水前的速度。

第三入水过程；对其进行分析ma1=F 阻+F 浮-mg （规定向下为正方向）2323H gh r F ρπ=浮F 阻=0.5P 水SCV 2S = πr 2h 2/H 2用数学软件MATLAB 可得男子和女子入水深度h （0<h<H ）与速度V1的关系图如下；男子组；完全进入水中的速度为17.0262m/s女子组；完全进入水中的速度为13.1736m/s第四完全处于水中的过程；(其中h>H)(7) ma2=F阻+F浮-mg(8) F浮=(1/3)πr2P水Hg(9) F阻=0.5P水SCV2(10) S=πr2用数学软件MATLAB可得男子和女子速与入水深度的关系; 注；当速度为0时，入水深度即为所求的安全深度下线。

男子组；图五：男子由水里到水底的情况度速的子男男子到水面的高度女子组1.52 2.53 3.54 4.55 5.5图五：女子由水里到水底的情况女子到水面的高度女子的速度问题二2.1 建模思路若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。

结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。

2.2 模型建立锲形质量计算公式：SHm ρ31=；建立运动状态方程：m*v*dv/dh=mg- KSV 可得 dv/dh=g/V-KS/m ； ⑤vg v H gh H v C dh dv mg F f dt h d m d -+=⇒+=332223-人水人水浮水ρρρρ； ⑥ vg v g H v C dh dv mg F f dt h d m d -+=⇒+=人水人水浮水ρρρρ23-22。

⑦2.3 模型求解由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。

由⑤积分：H1=3P 人H*㏑|3P 人gH-KV 2|/2K可判定当高度增大时，末速度（入水初速度）增大；由⑥可知，当底面积不变，入水初速度减小，高度增大时，浮力与阻力增大，导致末速度（入水末速度）减小。

类似于⑥，由⑦可知，浮力与阻力增大，又入水末速度减小，所以水池深度越浅。

综上所述：即体重越大的人跳水时需要更深的水六模型的优缺点与推广（1）优点；充分结合了物理学、理论力学以及微分方程学解决本文问题，使得解题过程简化。

本模型基于科学，详细的分析了人在跳水中的速度与受力情况.包括空气阻力和水的阻力。

该模型应用图形表现结果，形象易理解（2）缺点；I.对阻力系数进行了简化，影响了精确程度。

Ⅱ.进入水中时未考虑空气阻力的作用。

Ⅲ忽略跳水运动员的蹬板过程以及人水短暂碰撞过程的能量损失，可能导致结果不够精确。

Ⅳ文中男女身高、肩宽与质量的选定具很强的主观性，与实际可能存在一些偏差。

推广；为悬崖跳水以及其他跳水的选址提供依据。

七参考文献（1）姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。

（2）张圣勤等，《MATLAB实用教程》，北京：机械工业出版社，2006（3）高雄《常微分方程》高等教育出版社，附录1.国际上常用的人的体重计算公式，以及身材比例计算（比较适合东方人）标准体重=(身高cm-100)x0.9(kg)标准体重(女)=(身高cm-100)x0.9(kg)-2.5(kg)正常体重：标准体重＋-(多少）10％．按照一定的身高有相应的理想体重的原理，用实际身高值来推测标准体重。

我国常用Brcoa改良公式，其计算方法如下：男生：标准体重=（身高-100）×0.90 女生：标准体重=（身高-105）×0.92 当实际体重大于标准体重的10%～20%为过重，大于标准体重20%以上为肥胖，小于标准体重10%～20%为瘦，小于标准体重20%以上为严重消瘦。

男生身高为178厘米（178-100）*0.90=70.2 知道大概男1.78，女的1.652.在空中运动的物体，受到空气的阻力，在空气中如果速度低于2.5 M（马赫），基本上认为其阻力f与阻力系数k伞的面积S速度成正比（f=ksv），这时k一般可取为2.937。

当其在空气中如果速度高于2.5 M（马赫），由于空气的摩擦，开始出现气动加热现象。

其空气阻力可视为f=(1/2)CρSV^2!男子的跳水状况，假定h=28m , r=0.45m , m=75kg , k=2.937. 有公式mvdv/dh=mg-ksv; (s=pi*r^2) ;代入数据得：v=dsolve('Dv=9.8/v-0.0249','v(0)=0','h') v =98000/249*lambertw(-exp(-62001/980000000*h-1))+98000/249！画图；fplot('98000/249*lambertw(-exp(-62001/980000000*h-1))+98000/249',[0 28],exp(-4))x 轴：男子下落的高度y 轴：男子的速度图一：男子由跳台至水面过程时速度与高度的关系!女子的跳水状况，假定h=20m , r=0.38m , m=60kg , k=2.937. 有公式mvdv/dh=mg-ksv; (s=pi*r^2) ;代入数据得：v=dsolve('Dv=9.8/v-0.0222','v(0)=0','h')v =49000/111*lambertw(-exp(-12321/245000000*h-1))+49000/111！画图；fplot('49000/111*lambertw(-exp(-12321/245000000*h-1))+49000/111',[0 20],exp(-4))xlabel('x轴：女子下落的高度')ylabel('y轴：女子的速度')title('图二：女子由跳台至水面过程时速度与高度的关系')246810121416182002468101214161820x 轴：女子下落的高度y 轴：女子的速度图二：女子由跳台至水面过程时速度与高度的关系（2）男子空气～水中过程：w=NDSolve[{v[h] v'[h]=5.3516*10-7*h 2*v[h]2+8.741*10-6*h 3-9.8,v[0]=24} {{v[h]→InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>][h]}} Plot[Evaluate[v[h]/.w],{h,0,1.78}]女子二（2）空气～水中过程：w=NDSolve[{v[h]v'[h] 1.768*10-7*h2*v[h]2+9.0674*10-6*h3-9.8,v[0] 19.7},v[h],{h,0,10}] {{v[h]→InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>][h]}}Plot[Evaluate[v[h]/.w],{h,0,1.6}]（1）、男运动员！男子由水里到水底的情况fun=inline('-24.5','h','v');[h,v]=ode15s(fun,[1.78 20],17)plot(h,v)title('图五：男子由水里到水底的情况');xlabel('男子到水面的高度'); ylabel('男子的速度');1234567824681012141618图五：男子由水里到水底的情况男子到水面的高度男子的速度（2）、女运动员！女子由水里到水底的情况； fun=inline('-24.5','h','v');[h,v]=ode15s(fun,[1.65 20],13.2)plot(h,v)title('图五：女子由水里到水底的情况'); xlabel('女子到水面的高度'); ylabel('女子的速度');1.52 2.53 3.54 4.55 5.5图五：女子由水里到水底的情况女子到水面的高度女子的速度。