最新§1-4 图的基本回路数和基本割集数
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通路数和回路数的计算
通路数和回路数的计算通路数和回路数是图论中的重要概念，用于描述图中的路径和环的数量。
本文将介绍通路数和回路数的计算方法，并给出一些示例。
一、通路数的计算方法通路是指图中两个不同顶点之间的路径。
通路数是指从一个顶点到另一个顶点的所有通路的数量。
对于有向图和无向图，通路数的计算方法略有不同。
1. 有向图的通路数计算方法：对于有向图，通路数的计算可以通过邻接矩阵的幂运算来实现。
设邻接矩阵为A，其中A[i][j]=1表示存在一条从顶点i到顶点j的边，A[i][j]=0表示不存在边。
通路数矩阵C的元素C[i][j]表示从顶点i 到顶点j的通路数，则有C=A^k，其中k为通路的最大长度。
通过矩阵乘法的迭代计算，可以得到通路数矩阵C。
2. 无向图的通路数计算方法：对于无向图，通路数的计算可以通过邻接矩阵的幂运算和矩阵的迹来实现。
设邻接矩阵为A，其中A[i][j]=1表示存在一条连接顶点i 和顶点j的边，A[i][j]=0表示不存在边。
通路数的计算可以通过计算矩阵A的幂运算的迹来实现，即通路数等于矩阵A的幂运算后的迹。
二、回路数的计算方法回路是指图中起点和终点相同的路径，也称为环。
回路数是指图中所有回路的数量。
对于有向图和无向图，回路数的计算方法略有不同。
1. 有向图的回路数计算方法：对于有向图，回路数的计算可以通过邻接矩阵的迹和行列式来实现。
设邻接矩阵为A，其中A[i][j]=1表示存在一条从顶点i到顶点j的边，A[i][j]=0表示不存在边。
回路数的计算可以通过计算矩阵A的迹和行列式的差值来实现，即回路数等于矩阵A的迹减去行列式的值。
2. 无向图的回路数计算方法：对于无向图，回路数的计算可以通过邻接矩阵的迹和行列式来实现。
设邻接矩阵为A，其中A[i][j]=1表示存在一条连接顶点i和顶点j 的边，A[i][j]=0表示不存在边。
回路数的计算可以通过计算矩阵A 的迹和行列式的和值来实现，即回路数等于矩阵A的迹加上行列式的值。
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
如果把Aa的任一行划去，剩下的(n-1) ×b矩阵用A表示，并称为降阶关联矩阵。
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
01
02
03
04
05
3、降阶关联矩阵
123456
Aa=
1 2 3 4
-1 0 +1 0
-1 0 0 +1
+1 -1 0 0
0 -1 +1 0
0 0 +1 -1
0 +1 0 -1
降阶关联矩阵
Q =
1 2 3
123456
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
-1
-1
0
-1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
3
2
1
4
5
1
4
2
6
1
选支路3、5、6为树支
Q1
Q2
Q3
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同， 且选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式
因此有
Bu =0
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
Bu=
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
01
02
03
04
05
3、降阶关联矩阵
123456
Aa=
1 2 3 4
-1 0 +1 0
-1 0 0 +1
+1 -1 0 0
0 -1 +1 0
0 0 +1 -1
0 +1 0 -1
降阶关联矩阵
Q =
1 2 3
123456
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①
②
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1
选支路3、5、6为树支
Q1
Q2
Q3
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同， 且选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式
因此有
Bu =0
3
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①
②
③
④
Bu=
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
网络图论
电路理论
主讲 骆建
第三章 电路方程法 （网络分析的一般方法）
（电路分析方法之二）
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
1
2
第三章
网络分析的一般方法
3.1 网络图论的基本概念 3.2 有向图的矩阵表示
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
3.3 KCL与KVL方程的矩阵表示 3.4 支路电流分析法 3.5 节点电压分析法 3.6 回路电流分析法
6
支路j属于网孔i ，方向与i一致 支路j属于网孔i ，方向与i相反 支路j不属于网孔i
Bf = 1L F
(b-n+1) 单位矩阵 树支对应的 子矩阵
2、内网孔是一组独立回路
31 32
3-2-5 有向图矩阵间的关系 1.A与Bf（或M)的关系 要求:各矩阵序号相同的列对应同一支路 则： ABfT=0 支 节 1 A= 2 3 或
支 节 1 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1 1 1 -1 0
4 -1 0 0 1 2 0 -1 1
5 0 1 0 -1 3 0 0 1
6 1 0 -1 0 4 -1 0 0 5 6 0 1 1 0 0 -1
Aa={aij}n b
节点数 支路数
aij
Ub=AT Un
1 1 0 0 0 -1 -1 2 0 1 0 -1 -1 0 3 0 0 1 1 1 1
• 独立、完备的节点电压变量Un 。
39
u2 u4 0 u6 0 u1 = 0 u3 u5 和
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
4 保留4支路，图不连通的。
主讲 骆建
第三章 电路方程法 （网络分析的一般方法）
（电路分析方法之二）
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
1
2
第三章
网络分析的一般方法
3.1 网络图论的基本概念 3.2 有向图的矩阵表示
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
3.3 KCL与KVL方程的矩阵表示 3.4 支路电流分析法 3.5 节点电压分析法 3.6 回路电流分析法
6
支路j属于网孔i ，方向与i一致 支路j属于网孔i ，方向与i相反 支路j不属于网孔i
Bf = 1L F
(b-n+1) 单位矩阵 树支对应的 子矩阵
2、内网孔是一组独立回路
31 32
3-2-5 有向图矩阵间的关系 1.A与Bf（或M)的关系 要求:各矩阵序号相同的列对应同一支路 则： ABfT=0 支 节 1 A= 2 3 或
支 节 1 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1 1 1 -1 0
4 -1 0 0 1 2 0 -1 1
5 0 1 0 -1 3 0 0 1
6 1 0 -1 0 4 -1 0 0 5 6 0 1 1 0 0 -1
Aa={aij}n b
节点数 支路数
aij
Ub=AT Un
1 1 0 0 0 -1 -1 2 0 1 0 -1 -1 0 3 0 0 1 1 1 1
• 独立、完备的节点电压变量Un 。
39
u2 u4 0 u6 0 u1 = 0 u3 u5 和
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
4 保留4支路，图不连通的。
割集
§15.1 割集
一、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把
这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少 移去一条支路，图仍将是连通的。
a
b
e
d
c
f
a
b
e
d
c
f
(b,d,e,f)是割集
a
c f
a
b
a
b
e
e
d
c
d
c
f
f
f
(a,b,c,d,e)不是割集
移去割集支路，G 被分离成三部分
a
b
e
d
c
f
(a,d,f) 是割集
b e
c
2、割集的确定
可以用在连通图G上作闭合面的方法判断确定
一个割集。
如果在G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，
于是，若把与此闭合面相切的所有支路全部移去，G
将被分离为两个部分，则这样一组支路便构成一个割
集。
a
d
b e
c f
Q1
a
b
e
d
c
f
d
c
f
(a,b,e) 为割集
分支路， 而树T本身是连通的且又不包含回路。 2、树支：
树中包含的支路。
树支数为n-1。 3、连支：
树支之外的其他支路。 连支数为b-(n-1)=b-n+1
例：基本割集组的确定
a
b
e
d
c
f
选择a,e,c为树 树支用实线表示 连支用虚线表示
每个基本割集中只有一个树支和相 应闭合面相切割。
a d
Q1
b e
对于一个具有n个结点和b条支路的连通图，独立的 KCL方程有(n-1)个,独立割集数将有(n-1)个. 2、一组独立割集的确定
一、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把
这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少 移去一条支路，图仍将是连通的。
a
b
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f
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f
(b,d,e,f)是割集
a
c f
a
b
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(a,b,c,d,e)不是割集
移去割集支路，G 被分离成三部分
a
b
e
d
c
f
(a,d,f) 是割集
b e
c
2、割集的确定
可以用在连通图G上作闭合面的方法判断确定
一个割集。
如果在G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，
于是，若把与此闭合面相切的所有支路全部移去，G
将被分离为两个部分，则这样一组支路便构成一个割
集。
a
d
b e
c f
Q1
a
b
e
d
c
f
d
c
f
(a,b,e) 为割集
分支路， 而树T本身是连通的且又不包含回路。 2、树支：
树中包含的支路。
树支数为n-1。 3、连支：
树支之外的其他支路。 连支数为b-(n-1)=b-n+1
例：基本割集组的确定
a
b
e
d
c
f
选择a,e,c为树 树支用实线表示 连支用虚线表示
每个基本割集中只有一个树支和相 应闭合面相切割。
a d
Q1
b e
对于一个具有n个结点和b条支路的连通图，独立的 KCL方程有(n-1)个,独立割集数将有(n-1)个. 2、一组独立割集的确定
如何确定电路阶数,图,割集课件
1 5 2 6 有向图 4 3
n5
抛开元 件性质
1 5
b 8
3 8
R3
2
7
4
6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4 b6
返 回
上 页
下 页
结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图
形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 ⑴图的定义(Graph) G={支路，结点}
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
返 回 上 页 下 页
例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
4 8 3 2
注意
网孔为基本回路。
返 回
上 页
下 页
15.1 割集
割集Q
连通图G中支路的集合，具有下述性质： • 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的
bt n 1
连支数：
bl b bt b (n 1)
返 回 上 页 下 页
②回路(Loop) 1 7 3 5 8 4
2
6
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通， (2)每个结点关联2条支路。 不 回路 1 2 是 2 3 回 7 5 路 8 4 5
返 回 上 页 下 页
注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
返 回
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n5
抛开元 件性质
1 5
b 8
3 8
R3
2
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4
6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4 b6
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结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图
形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 ⑴图的定义(Graph) G={支路，结点}
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
4 8 3 2
注意
网孔为基本回路。
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15.1 割集
割集Q
连通图G中支路的集合，具有下述性质： • 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的
bt n 1
连支数：
bl b bt b (n 1)
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②回路(Loop) 1 7 3 5 8 4
2
6
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通， (2)每个结点关联2条支路。 不 回路 1 2 是 2 3 回 7 5 路 8 4 5
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注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
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《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵
1 aj 在si 中且方向一致
sij = -1 aj 在si 中且方向相反 0 其他
若S1、S2、… 、Sk 包含了中所有割集，称S为G的完全割
集矩阵，记为 Se 。
[基本割集矩阵] 由G的所有基本割集构成的割集矩阵成为G的基
本割集矩阵,记为 Sf 。
19
7.3 割集矩阵
[定理7-3-1] 有向连通图 G=(V, A)，n =|V|，m =|A|，则其任意基
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
16
7.2 割集
[定理7-2-3] 设T是连通图G的一棵生成树，e 是T的一条弦，C 是由 e 确定的 T+e 中的基本回路。则 e 包含在由C中除 e 外的每条边确定的基本割集中，而不在其他的基本割集中。 [证明] ① 设 bC且 be，S是 b 确定的基本割集。由[定理7-2-2] C和S除了b外应该还有一条公共边。S 除了b以外其它边都 是T的余树边，而C中只有 e 是T的余树边，所以此公共边 只能是e，也即e包含在S中。② 若e被包含在一个由T的树 枝 h 确定的基本割集 S 中，由[定理7-2-2] C和 S 除了e 外 应该还有一条公共边。 C 除了e以外其它边都是T的树枝， 而S中只有 h 是T的树枝，所以此公共边只能是 h，也即 h 理7-2-4] 设T是连通图G的一棵生成树，b 是T的一条树枝，S 是由 b 确定的G的基本割集。则 b 包含在由S中除 b 外的每
电路原理习题集(下册)
下 册 习 题1-1 绘出题1-1图所示各电路的有向图，并求出支路数b ，节点数n t 和基本回路数l 。
(a) (b)题 1-1 图 1-2 对题1-2图所示有向图，任意选出两种不同的树，并对每种树列出各基本割集的支路集和各基本回路的支路集。
1-3 绘出题1-3图所示网络的有向图，并写出其关联矩阵A (以节点⑤为参考节点)。
题1-2图 题1-3图1-4 绘出对应于下列节点-支路关联矩阵A a 的有向图：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=11100100010101000111)1(a A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=10010001110000001110101001100000011)2(a A()3110000001011000000100010000110110000010101001100A a =--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1-5 题1-5(a)、(b)图表示同一有向图的两种不同的树，图中粗线为树支。
试在该图上表示出各基本回路和基本割集，并写出基本回路矩阵B 和基本割集矩阵Q 。
1-6 应用题1-5写出的矩阵B 和矩阵Q 验证公式QB T =0。
1-7 对于某一有向图中的一个指定的树，其基本割集矩阵为 Q =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100111001001110010101试写出对应于该有向图中同一树的基本回路矩阵B 。
1-8 对于某一有向图中的一个指定的树，其基本回路矩阵为B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥101100110010011001 试写出对应于该有向图中同一树的基本割集矩阵Q 。
1-9 对题1-8-1图所示有向图，试选一树使得对应于此树的每一个基本回路是图中的一个网孔，并写出基本回路矩阵B 。
1-10 证明题1-10图中的图G 1和G 2都是图G 的对偶图。
(a)(b)题 1-10 图题 1-5 图（c ）2-1 写出题2-1图所示正弦交流网络的支路阻抗矩阵和用支路阻抗矩阵表示的支路方程的矩阵形式(电源角频率为ω)。
最新如何确定电路阶数,图,割集课件
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树
不 是 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 bt n1
连支数： b l b b t b (n 1 )
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②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条 闭合路径，并满足：(1)连通，(2)
1 23 75
当一个割集的所有支路都连接在同一个结点
上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方
程。
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注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
返回 上页 下页
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
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(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
①树(Tree)
注：树是连 接全部节点 所需最少支 路的集合
T是连通图的一个子图且满足下 列条件： a. 连通 b.包含所有结点 c. 不含闭合路径
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
ห้องสมุดไป่ตู้
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
返回 上页 下页
基本割集
借助于“树确立一个独立“割集”
⑴图的定义(Graph)
G={支路，结点}
①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的结点依然
树
不 是 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 bt n1
连支数： b l b b t b (n 1 )
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②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条 闭合路径，并满足：(1)连通，(2)
1 23 75
当一个割集的所有支路都连接在同一个结点
上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方
程。
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注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
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图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
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(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
①树(Tree)
注：树是连 接全部节点 所需最少支 路的集合
T是连通图的一个子图且满足下 列条件： a. 连通 b.包含所有结点 c. 不含闭合路径
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
ห้องสมุดไป่ตู้
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割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
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基本割集
借助于“树确立一个独立“割集”
⑴图的定义(Graph)
G={支路，结点}
①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的结点依然
电路原理12.1.1割集 - 割集
2. 由某个树支 bt 确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支 构成的单连支回路中包含该树支 bt 。
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②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2：{ 2，3，6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q3：{ 1，4，6}
②
1
①
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4：{ 1，5，2 }
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图，若任选一个树，则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的)，故每一割集应至少包
12
4
3
{1，2，3，4}
割集
4 保留4支路，图不连通。
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电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5}
{1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
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电路方程的矩阵形式
应注意的是，割集是有方向的(移去割集的所有支路，图G 被分 离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的 方向，每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集，一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4
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②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2：{ 2，3，6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q3：{ 1，4，6}
②
1
①
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4：{ 1，5，2 }
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电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图，若任选一个树，则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的)，故每一割集应至少包
12
4
3
{1，2，3，4}
割集
4 保留4支路，图不连通。
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电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5}
{1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
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电路方程的矩阵形式
应注意的是，割集是有方向的(移去割集的所有支路，图G 被分 离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的 方向，每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集，一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk