充要条件、逻辑连接词

第二讲 命题、量词、逻辑联结词一．明确考试大纲1. 理解命题的概念.2. 理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,知道复合命题与构成它的简单命题的真假关系.二．知识点梳理1．命题的概念:2．全称量词与存在量词（1）全称量词与全称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做全称命题.③全称命题“对 A 中任意一个x ,有P (x )成立”可用符号简记为: ,读作“对任意x 属于A ,有P (x )成立”.（2）存在量词与特称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做特称命题.③特称命题“存在 A 中的一个x 0,使P (x 0)成立”可用符号简记为: ,读作“存在一个x 0属于A ,使P (x 0)成立”.（3）含有一个量词的命题的否定命题:∀x ∈A ,P (x ),命题的否定:_______________________.命题:∃x 0∈A ,P (x 0),命题的否定: _______________________.3．逻辑联结词、简单命题与复合命题（1）“ ”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是 命题.（2）构成复合命题的形式:p 或q (记作“ ”);p 且q (记作“ ”);非p (记作“ ”).（3）“或”、 “且”、 “非”的真值判断①“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反;②“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真,其他情况时为假;③“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.基础检测1.下列关系式中不正确的是 ( )（A ）0∉∅ （B ）{}0∉∅ （C ）{}∅∈∅ （D ）{}00⊆2.已知命题2:0p a ≥ (a ∈R),命题2q:>0a (a ∈R),下列命题为真命题的是 ( )(A)p ∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨q .3.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是 ( )(A)①和②. (B)②和③. (C)③和④. (D)②和④.4. 命题“有些负数满足不等式(1+x )(1-9x 2)>0”用符号“∃”写成特称命题为三．典例分析题型1 对“或”“且”“非”的理解例1 写出下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假:(1)p :平行四边形的对角线相等;q :平行四边形的对角线互相垂直;(2)p :方程x 2+x -1=0的两实根符号相同;q :方程x 2+x -1=0的两实根的绝对值相等.变式训练1 (1)命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是 (A)(⌝p )∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨(⌝q ).(2)已知命题p :∃x ∈R,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧(⌝q )”是假命题;③命题“(⌝p )∨q ”是真命题;④命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题.正确的是 ( )(A)②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)①②③④.题型2 全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数a , sin 2a +cos 2a ≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)所有的实数a ,b ,方程ax +b =0恰有唯一解;(4)存在实数x ,使得2+2+3=0x x变式训练2 判断下列命题的真假:(1)每个指数函数都是单调函数;(2)任何实数都有算术平方根;(3)任意x ∈{x |x 是无理数},x 2是无理数;(4)存在x ∈R,x 3≤0.题型3 全(特)称命题的否定例3 写出下列命题的否定并判断其真假:(1)p :不论m 取何实数,方程x 2+mx -1=0必有实数根;(2)p :有的三角形的三条边相等;(3)p :菱形的对角线互相垂直;(4)p :∃x ∈N,使得x 2-2x +1≤0.【总结】常见词语的否定形式有:变式训练3 写出下列命题的否定形式:(1)有些三角形的三个内角都等于60°;(2)能够被3整除的整数,能够被6整除;(3)∃θ∈R,使得函数y =sin(2x +θ)是偶函数;(4)∀x ,y ∈R,|x +1|+|y -1|>0.题型4 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题例4 已知r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题,求实数m 的取值范围.变式训练4 已知p : “∀x ∈[1, 2],x 2-a ≥0”,q :“∃x ∈R,x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取值范围.第三讲 充要条件一．明确考试大纲1. 了解“若p ,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.二．知识点梳理1．四种命题及其关系（1）四种命题原命题:______________________________ 逆命题: ______________________________否命题: ______________________________ 逆否命题: ______________________________（2）四种命题的相互关系一个命题和它的 是等价的.（3）当判断一个命题的真假有困难时,可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假,在四个命题中,真命题的个数只能为 .（4）当一个命题有大前提,而要求写出其他三个命题时,应保留大前提,大前提不能变动.（5）“否命题”与“命题的否定”的区别:否命题是对原命题“若p 则q ”的条件和结论都否定,即“_____________________ ”;而原命题“若p 则q ”的否定是:“______________________”,即只否定原命题的结论.2．充要条件（1）若p ⇒q ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（2）若q ⇒p ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（3）3.若p ⇔q ,则称p 是q 的 .基础检测1．">2"x 是11"<"2x 的 （ ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.2.“m <14”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的 ( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.3.如果x ,y 是实数,那么“|x +y |=|x |+|y |”是“xy >0”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.4.下列命题:①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若sin α=sin β,则α=β;③“a =0”是“直线x -2ay =1和直线2x -2ay =1平行”的充要条件;④若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数.其中所有正确命题的序号是 .三．典例分析题型1 四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有 ( )①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.(A)①②④. (B)②④. (C)②③④. (D)①②③④.变式训练1 命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数.(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数.(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.题型2 充分条件与必要条件的判断例2 a、b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)为一次函数”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.变式训练2给出下列命题:①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b= ,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).题型3 充分条件、必要条件的应用例3 已知命题2:-5-60p x x ≤,命题22:-2+1-40(>0)q x x a a ≤,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练3 已知-1:1-23x p ≤,22:-2+1-0(m>0)q x x m ≤,若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.【技巧归纳】1.判断逻辑关系的关键是分清条件和结论.2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ,则q ”及“若q ,则p ”的真假.3.逻辑关系的判定有四种方法:①定义法:若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p ⇔q ,则p 是q 的充要条件.②利用原命题和逆否命题的等价性来确定.p ⇒q 等价于q ⇒p .③利用集合的包含关系:记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ,若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;。

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。

逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。

2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。

3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。

【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。

（1）小李是老师，小赵也是老师。

（2）1是合数或质数。

（3）他是运动员兼教练员。

（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。

解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。

（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。

（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。

（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。

小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。

应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。

例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。

若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。

解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<m<3。

<="">因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。

∴或或m m m m m >≤≥≤<<213213解得：或。

m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。

数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。

它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。

例如，如果A发生，那么B也会发生。

在数学推理中，我们经常使用因果关系来推导结论。

充分条件是另一种常见的逻辑连接词。

它表示如果A成立，那么B 也一定成立。

充分条件是一个充分推理的条件，它能够帮助我们得出结论。

必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。

它表示如果B成立，那么A一定成立。

必要条件是一个必要推理的条件，它能够帮助我们确定前提。

等价是逻辑中常见的一种关系。

它表示两个命题具有相同的真值。

如果两个命题互为真或者互为假，那么它们是等价的。

等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。

充分充要是充分条件与必要条件的合并。

它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。

充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。

充分非必要是充分条件的否定。

它表示如果A成立，那么B不一定成立。

充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。

必要非充分是必要条件的否定。

它表示如果B成立，那么A不一定成立。

必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。

充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。

它表示如果A成立，那么B不一定成立，并且如果B成立，那么A也不一定成立。

充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。

充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。

它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。

充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。

等价非是等价关系的否定。

充要条件的逻辑关联词在逻辑学中，存在着一些重要的逻辑关联词，它们用于表达命题之间的逻辑关系。

在命题逻辑中，充要条件是一种非常重要的逻辑关系，我们将在本文中详细讨论充要条件以及与之相关的逻辑关联词。

充要条件是指两个命题之间存在一种必要性和充分性的关系。

也就是说，如果一个命题A是另一个命题B的充分条件，那么只要A成立，B就一定成立；而如果A是B的必要条件，那么只有当B成立时，A才能成立。

在逻辑学中，我们常用到以下几种逻辑关联词来表示充要条件：1.当且仅当：表示两个命题的真值完全一致，其中一个命题成立时另一个命题也成立，两者是相互依存的关系。

用符号"⇔"表示。

例如，命题A当且仅当命题B成立可以表示为A⇔B。

2.只有当：表示只有在某个条件满足时，另一个命题才成立。

用符号"⇒"表示。

例如，命题A只有当命题B成立时才成立可以表示为A⇒B。

3.若...则...：表示如果某个条件成立，那么另一个命题也一定成立。

用符号"→"表示。

例如，若A成立，则B成立可以表示为A→B。

4.必要条件：表示某个条件是实现另一个命题的条件，如果不满足这个条件，那么另一个命题也无法成立。

用符号"⇐"表示。

例如，命题A是命题B的必要条件可以表示为A⇐B。

5.充分条件：表示某个条件可以保证另一个命题的成立，但并不是必要条件，也就是说还有其他条件可以使得另一个命题成立。

用符号"⇒"表示。

例如，命题A是命题B的充分条件可以表示为A⇒B。

接下来，我们将通过一些例子来说明这些逻辑关联词的具体用法。

例1：假设我们要表达"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"这个关系。

可以表示为：命题A：这个数是偶数命题B：这个数能被2整除由于偶数除2没有余数，因此A⇒B；而对于任意能被2整除的数来说，它都可以表示为2的倍数，所以B⇒A。

因此，我们可以用"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"来表示这个关系。

【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（ ） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。

常用逻辑用语知识点归纳1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）小结：原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法：（i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，①若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

（同时q 是p 的必要条件）②若A B 则p 是q 的充分非必要条件。

③若B ⊆A 则p 是q 的必要条件④若B A 则p 是q 的必要非充分条件⑤若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

小结：注意充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是 不都是 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 属于 不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：pq 非p p 或q p 且q 真真 假 真 真 真假 假 真 假 假真 真 真 假 假 假 真 假 假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

A(二)充要条件、逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识清单1、可以判断真假的陈述句叫命题，四种命题及关系逆否命题等价于原命题。

2、如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．p: A={x/p（x）成立}，q：B={x/p（x）成立}，AB，则p是q的充分条件，A B，则p是q的充分不必要条件，反之如此。

3、用联结词“且”连接命令p和q记做p∨q；用连结词“或”连接命令p和q记做p∧q。

对于一个命题全盘否定则¬pp∧q、p∨q、¬p真假判断如下表4、全称量词用符号∀表示，表示“任意一个、一切”，存在量词用符号“∃”表示，表示存在一个等。

二、知识巩固练习1、若不等式|x-1 |<a成立的充分不必要条件是0<x<4则a的取值范围是（）A .a≥1 B.a≥3 C.a≤1 D.a≤32、设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为M和N，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=N”的（）。

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件3、若a、b∈R,那么a2+b2<1是ab+1>a+b的（）。

A.充分且必要条件B.必要但不充分条件C.充分但不必要条件D.既不充分也不必要条件4、已知直线L1:ax+by+c=0，直线L2:mx+ny+p=0，则ambn= -1是直线L1⊥L2的（）。

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件5、以下四种命题中，真命题的个数是（）○1命题“若x2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2-3x+2≠0”；○2若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；○3命题p存在x∈R使得x2+x+1<0则¬p对于任意x∈R都有x2+x+1≥0○4在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件（）。

第2讲 逻辑联结词与充要条件【考点解读】1、 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，会判断简单复合命题的真假。

2.理解全称量词与存在量词的意义。

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，会判断含有量词的命题的真假。

4.理解命题的概念。

5.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

6.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

【知识扫描】1.简单的逻辑联结词（1）“或”“且”“非”等词叫做逻辑联结词。

逻辑联结词与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关。

① {}|,B AB x x A x =∈∈或，集合中的并集是用“或”来定义的。

是指至少满足“x A ∈”与“x B ∈”中的一个，即：x A ∈，且x B ∉；也可以是x A ∉，且x B ∈；还可以是x A ∈，且x B ∈.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.②{}|,B A B x x A x =∈∈且，集合中的交集是用“且”来定义的。

它是指“x A ∈”与“x B ∈”都要满足的意思，即：x 既属于A ，同时又属于B.③{},u C A x x U xA =蜗且，集合中的“补集”与“非”密切相关。

（2）复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

（3）复合命题的三种形式与真假判断： p 或q 记为p q Ú，一真即真； p 且q 记为p q Ù，一假即假；非p 记为p Ø，p 与 p Ø一真一假。

对于复合命题的真假判断可以借助下列表格进行记忆.2.全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的否定：①对于全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，其否定为p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃；②对于特称命题q ：)(,x q M x ∈∃，其否定为q ⌝：)(,x q M x ⌝∈∀.常见的正面叙述的和它的否定词语如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定或一个也没有至多有n -1个至少有两个存在一个x 不成立3.命题的定义及真假判断(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一般地来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；对于含有变量的语句，要注意根据变量的范围，看能否判断真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题；还有一些语句，尽管目前无法判断其真假，但从事物的本质而论，语句是可辨别真假的，尤其是在科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题.(2)命题的常见形式是：若p ，则q.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.判断其真假时，首先要搞清楚该命题的结构，分清条件和结论，再和其他的相关知识联系起来，加以判断.4.命题的四种形式及其相互关系 (1)命题的四种形式:原命题:若q 则p; 逆命题: 若q 则p;否命题:若p Ø则q Ø；逆否命题：若q Ø则p Ø。