逻辑连接词与量词

逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以非p，非q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“非p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由非p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而非p为假，故“非p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0答案 C解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(非p )∧(非q ) D ．p ∨(非q )答案 A解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．(非p )∧(非q )答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴非p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴非q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，(非p )∧q 为假命题，(非p )∧(非q )为假命题． 故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(非p )∨(非q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“非p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <；p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 D 假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断p 4是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 答案 B解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则非p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得非p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，又x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45，故当p 为真时，m >45；函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点， 则2－m －1>0，解得m <1，故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧q C ．p ∧(非q ) D ．(非p )∧(非q )答案 B解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(非p )∧q 为真命题，故选B. 二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B ，故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．p ∧(非q )答案 D解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，非p 为假命题，非q 为真命题，(非p )∧(非q )，(非p )∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，故选D.2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．非q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 答案 B解析 对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．故选B.4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)答案 C解析 由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q答案 A解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得02x ＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(非q )为真命题，故选A.6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(非q )是真命题C ．命题(非p )∧q 是真命题D ．命题(非p )∨(非q )是假命题答案 C解析 因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题．由此对照各个选项，可知命题(非p )∧q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若非p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以非p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0， 则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________． 答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析 因为p 是非p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(非q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(非q )∧p ”为真，即q 假p 真，而当q 为真命题时，13－x －1＝－x －2x －3>0，即2<x <3，所以当q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(非q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(非q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(非q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．答案 [0,2]解析 若p ∨(非q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(非q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。

p或q联结起来，就得到一个新命题，记作=∈B x x{|(加以否定，得到一个新的命题，记作在全集U中的补集：答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________．答案 存在x 0∈[－1,1]，使f (x 0)<07．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“⌝q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3， 所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3.8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(⌝q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.9．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1. 又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 能力提升训练。

逻辑联接词与量词【知识要点】1.逻辑联接词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词.2.简单命题与复合命题：不含逻辑联接词的命题叫做简单命题；由简单命题和逻辑联接词构成的命题叫做复合命题.常用小写的拉丁字母,,,p q r s …表示命题.3.真值表：表示命题真假的表叫做真值表.（1）“p ⌝”形式：（2）“p q ∧”表示命题“p 且q ”，“p q ∨” 表示命题“p 或q ”，其真假可表示为：4.全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.5.存在量词：短语“存在一个”“至少存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃” 表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.6.另种命题的关系：全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.【典型例题】例1按要求写出下列命题，并判断其真假：（1）p ：43>，q ：5π<；（2）p ：2是方程20x +=的根，q ：2是素数；（3）p ：矩形的面积等于长乘宽，写出“p ⌝”.例2已知命题p ：x ∃∈R ，使得tan 1x =，命题q ：2320x x -+<的解集是{}12x x <<，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题；④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题.其中正确的是（ ）.A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④例3设命题p ：函数2lg(2)y x x c =+-的定义域是R ，命题q ：函数2lg(2)y x x c =+-的pp ⌝ 真 假 假 真值域是R ，若命题p 和q 有且仅有一个为真命题，则c 的取值范围是（ ）.A. ∅B. (,1)-∞-C. [1,)-+∞D. R例4分别指出由下列命题构成的“p q ∧”、“p q ∨”、“p ⌝”形式的复合命题的真假：（1）命题p ：{}42,3∈，命题q ：{}22,3∈；（2）命题p ：1是奇数，命题q ：1是素数.例5已知0a >，设命题p ：函数x y a =在R 上单调递减；命题q ：不等式21x x a +->的解集是R ，若p 和q 有且仅有一个是正确的，求实数a 的取值范围.例6已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若“p q ∨”为假，求实数a 的取值范围.【课堂练习】1.如果命题“p q ∨”与命题“p ⌝”都是真命题，那么（ ）.A.命题p 不一定是假命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 不一定是真命题D.命题p 与命题q 的真假性相同2.下列语句：①有一个实数a ，a 不能取对数；②所有的不等式的解集A ，都有A ⊆R ；③二次函数都不是周期函数吗？④有的向量方向不确定.其中为特称命题的是 .3.写出下列命题的否定并判断命题的否定的真假：（1）x ∃∈R ，使得210x x ++<；（2）x ∀∈{}x x 是无理数，2x 是无理数.4.已知m ∈R ，设p ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值.求使“p q ∧”为真的实数m 的取值范围.5.已知p ：方程220x mx -+=的两根都大于1，q ：方程2(2)10x m x +--=的两根分别位于(1,0)-和(1,2)内，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.【课后作业】1.已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.2.已知函数()()f x x x px q x R =++∈，给出下列四个命题：①()f x 为奇函数的充要条件是0q =；②()f x 的图像关于点(0,)q 对称；③当0p =时，方程()0f x =的解集一定非空；④方程()0f x =的解的个数一定不超过两个.其中所有正确命题的序号是 .。

第二讲：逻辑联结词、全称量词与存在量词 ★知识梳理★一．逻辑联结词1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2．“p 且q ”记作；“p 或q ”记作；“非p ”记作.3．命题q p ∧，q p ∨和p ⌝的真假判断（1）当q p ,都是真命题时，q p ∧为；q p ∨为；p ⌝为.（2）当q p ,有一个是真命题时，q p ∧为；q p ∨为 .(3) 当q p ,都是假命题时，q p ∧为；q p ∨为；p ⌝为.上述语句可以描述为：对于q p ∧而言“一假必假”；对于q p ∨而言“一真必真”；对于p ⌝而言“真假相反”。

可以用下表来判断：二．全称量词与存在量词1．全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对M 中任意一个x ，有)(x p 成立”可用符号简记为.2．存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在M 中一个x ，使)(x p 成立”可用符号简记为.3．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论： 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，它的否定p ⌝：；即全称命题的否定是.含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题p ：)(,x p M x ∈∃，它的否定p ⌝：；即全称命题的否定是.说明1．常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：2．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。

对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。

逻辑联结词及量词答案简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词⼀、知识梳理（阅读教材选修2-1第14页⾄第27页）1．简单的逻辑联结词常⽤的简单的逻辑联结词有“且”、“或”、“⾮”，分别⽤符号∧∨?、、表⽰．其含义：“且”是若⼲个简单命题同时成⽴；“或”是若⼲个简单命题中⾄少有⼀个成⽴；“⾮”是对⼀个命题的否定（只否定结论）2．由“且”、“或”、“⾮”联结的命题及其真假“p 且q ”即“p q ∧”，含义是两个命题“同时”成⽴．“p 或q ”即“p q ∨”，其含义是p 、q 两个命题“⾄少有⼀个”成⽴．“⾮p ”，即“p ?”，含义是对命题p 的“否定”．由“且”、“或”、“⾮”联结的命题的真值表：3．量词（1）短语“对所有的”或“对任意⼀个”在陈述语句中表⽰所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并⽤符号“?”表⽰．含有全称量词的命题叫做全称命题．（2）短语“存在⼀个”或“⾄少有⼀个”在陈述语句中表⽰事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并⽤符号“?”表⽰．含有存在量词的命题叫做特称命题，或叫存在性命题．（3）全称命题p ：,()x M p x ?∈；它的否定是00,()x M p x ?∈?特称命题q ：00,()x M q x ?∈；它的否定是,()x M q x ?∈?⼆、题型探究探究⼀：由“且”、“或”、“⾮”联结命题并判断其真假例1 写出下列各组命题构成的“p q ∧”、“p q ∨”、“p ?”形式的命题，并判断真假．（1）p ：1是素数；q ：1是⽅程2230x x +-=的根；（2）p ：平⾏四边形的对⾓线相等；q ：平⾏四边形的对⾓线互相垂直；（3）p ：⽅程210x x +-=的两实数根符号相同；q ：⽅程210x x +-=的两实数根绝对值相等；思路: (1) 利⽤“且”、“或”、“⾮”把两个命题联结成新命题；（2）根据命题p 和命题q 的真假判断新命题的真假．解答：（1）p q ∧: 1既是素数⼜是⽅程2230x x +-=的根．假命题．p q ∨：1是素数或是⽅程2230x x +-=的根．真命题．p ?：1不是素数．真命题．（2）p q ∧：平⾏四边形的对⾓线相等且互相垂直．假命题．p q ∨：平⾏四边形的对⾓线相等或互相垂直．假命题．p ?：有些平⾏四边形的对⾓线不相等．真命题．（3）p q ∧：⽅程210x x +-=的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．p q ∨：⽅程210x x +-=的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p ?：⽅程210x x +-=的两实根符号不相同．真命题．点评：正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“⾮”的含义是解题的关键，应根据组成各个命题的词语中所出现的逻辑联结词进⾏命题结构与真假的判断．其步骤为：○1确定新命题的构成形式；○2判断其中原命题的真假；○3根据其真值表判断新命题的真假．探究⼆：以由“且”、“或”、“⾮”联结的命题的真假为背景，求解参数例2．已知命题p ：关于x 的⽅程240x ax -+=有实根；命题q ：函数224y x ax =++在[3,)+∞上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．思路：分别求出满⾜命题p 、q 的实数a 的取值范围，根据真值表对命题p 、q 的真假情况分类讨论求实数a 的取值范围．解： p 真：2440a ?=-?≥， 4a ∴≤-或4a ≥．q 真：34a -≤，12a ∴≥-．由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得p 、q 两命题⼀真⼀假．当p 真q 假时，12a <-；当p 假q 真时，44a -<<．综上，a 的取值范围为(,12)(4,4)-∞-?-．点评：解决这类问题时，应先根据题⽬条件，即新命题的真假情况，推出每⼀个命题的真假（有时不⼀定只有⼀种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．此类参数问题中命题的本⾝可以涉及与其他知识点的综合，如函数与⽅程问题、函数与不等式问题．探究三：含有量词的命题的否定例3 写出下列命题的否定并判断真假．（1）p ：所有末位数字是0的整数都能被5整除；（2）q ：20,0x x ?≥>；（3）r ：存在⼀个三⾓形，它的内⾓和⼤于180?；（4）t ：某些梯形的对⾓线互相平分．思路：通过否定量词、否定判断词写出命题的否定，利⽤p 与p ?的真假关系来判断真假．解答：（1）p ?：存在⼀个末位数字是0的整数不能被5整除，假命题．（2）q ?：0200,0x x ?≥≤，真命题．（3）r ?：任意⼀个三⾓形的内⾓和不⼤于180?，真命题．（4）t ?：每⼀个梯形的对⾓线都不互相平分，真命题．点评：（1）全（特）称命题的否定与命题的否定有着⼀定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；⽽命题的否定，只需直接否定结论即可．（2）要判断“p ?”的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假，利⽤p 与p ?的真假相反判断．三、⽅法提升：1．复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假⽤真值表来判断，对于“p 或q ”，只有p q 、都为假，才为假，其他情况为真；对于“p q ∧”，只有p q 、都为真，才为真，其他情况为假；“⾮p ”的真假与p 的真假相反．2．常见的全称量词有：“所有的”、“任意⼀个”、“⼀切”、“每⼀个”、“任给”；常见的存在量词有：“存在⼀个”、“⾄少有⼀个”、“有些”、“有⼀个”“某个”“有的”等．3．要判断全称命题的是真命题，需对集合M 中每⼀个元素x ，证明()p x 成⽴，若在集合M 中找到0x ，使得0()p x 不成⽴，那么这个全称命题就是假命题；要判断⼀个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，⾄少找到⼀个0x ，使得0()p x 成⽴即可，否则，这⼀特称命题就是假命题．4．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．“p q ∨”否定是“p q ?∧?”；“p q ∧”的否定是“p q ?∨?”四、反思感悟五、课时作业：（⼀）选择题（1）下列命题中的假命题．．．是C （A ）,lg 0x R x ?∈=（B ）,tan 1x R x ?∈=（C ）3,0x R x ?∈>（D ）,20x x R ?∈>（2）下列命题中的假命题是B（A ）?x R ∈,120x -> （B ）?*x N ∈,2(1)0x ->（C ）? x R ∈,lg 1x < （D ）?x R ∈,tan 2x =（3）有四个关于三⾓函数的命题：1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p ： ,sin()sin sin x y R x y x y ?∈-=-、 3p ： []0,x π?∈sin x = 4p ：sin cos 2x y x y π=?+= 其中假命题的是A （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p（4）下列4个命题：111:(0,),()()23x xp x ?∈+∞<；21123:(0,1),log log p x x x ?∈>；3121:(0,),()log 2x p x x ?∈+∞>；41311:(0,),()log 32x p x x ?∈<，其中的真命题是D （A ）13,p p （B ）14,p p （C ）23,p p （D ）24,p p（5）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）（A ）()p q ?∨（B ）p q ∧（C ）()()p q ?∧? （D ）()()p q ?∨?（6）若:225;:32p q +=>，则下列正确的是A（A ）p 或q 为真，⾮q 为假（B ）p 且q 为假，⾮q 为真（C ）p 且q 为假，⾮p 为真（D ）p 且q 为假，p 或q 为假（7））命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是D（A ）不存在00,20x x R ∈> （B ）存在00,20x x R ∈≥（C ）对任意的,20x x R ∈≤ （D ）对任意的,20xx R ∈>（8）命题“,sin 1x R x ?∈≤”的否定是C（A ）00,sin 1x R x ?∈≥ （B ）00,sin 1x R x ?∈≥（C ）00,sin 1x R x ?∈> （D ）00,sin 1x R x ?∈>（⼆）填空题（9）命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是．答案：对任意x R ∈，都有2250x x ++≠.（10）命题“对任何x R ∈，243x x -+->的否定是．存在x R ∈，使得243x x -+-≤（11）已知命题2:,20p x R x ax a ?∈++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是． 01a <<（12）已知1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则下列四个命题中①12p p ∨，②12p p ∧，③()12p p -∨；④()12p p ∧?，其中真命题的序号是．①④（三）、解答题（13）写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“ p 且q ”，“⾮p ”形式的新命题，并判断其真假． (Ⅰ) p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(Ⅱ) p ：矩形的对⾓线相等，q ：矩形的对⾓线互相平分；(Ⅲ) p ：⽅程210x x +-=的两实根的符号相同，q ：⽅程210x x +-=的两实根的绝对值相等．解 (Ⅰ)p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p 且q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；⾮p ：2不是4的约数，假命题．(Ⅱ) p 或q ：矩形的对⾓线相等或互相平分，真命题；p 且q ：矩形的对⾓线相等且互相平分，真命题；⾮p ：矩形的对⾓线不相等，假命题．(Ⅲ) p 或q ：⽅程210x x +-=的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p 且q ：⽅程210x x +-=的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；⾮p ：⽅程210x x +-=的两实数根符号不同，真命题．（14）写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假(Ⅰ)若0m >,则关于x 的⽅程20x x m ++=有实数根(Ⅱ)若x y 、都是奇数，则x y +是奇数；（Ⅲ）若0abc =，则,,a b c 中⾄少有⼀个为零解（Ⅰ）否命题：若0m ≤，则关于x 的⽅程20x x m ++=⽆实数根；（假命题）命题的否定：?0m >，使得关于x 的⽅程20x x m ++=⽆实数根；（真命题）（Ⅱ）否命题：若x y 、不都是奇数，则x y +不是奇数；（假命题）命题的否定：若x y 、都是奇数，则x y +不是奇数；（真命题）（Ⅲ）否命题：若0abc ≠,则,,a b c 全不为0；（真命题）命题的否定：若0abc =，则,,a b c 全不为0.（假命题）（15）已知p ：32,:(1)(1)0x q x m x m -≤-+--≤，若p ?是q ?的充分⽽不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意得:232p x -≤-≤，15x ∴≤≤ :15p x x ∴?<>或q ：11m x m -≤≤+ :11q x m x m ∴?<->+或⼜p ?是q ?充分⽽不必要条件， 11,2415,m m m -≥?∴∴≤≤?+≤?．（16）设有两个命题，p ：关于x 的不等式1(0,1)x a a a >>≠且的解集是{0}x x <；q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．解：p ：01a <<．函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R 等价于2,0x R ax x a ?∈-+>，所以20,140,a a >=- 即q ：12a >．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，01,12a a <a a a ≤≥>??或解得102a <≤或1a ≥．。