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分形理论在信号处理中的应用信号处理是控制与信息科学以及电子工程学科领域中的关键技术之一，它包括了采集、处理和分析各种信号，如图像、声音、文本和数据等。
其中的一个重要问题是如何去除信号中的噪声和不必要的信息，以便能够更好地分析和理解它们。
分形理论能够提供一个强大的工具来解决这些问题，特别是在信号的压缩、分析和恢复方面。
本文将探讨分形理论在信号处理中的应用，包括信号压缩、分析和恢复。
一、信号压缩在数字通信和数据存储中，信号压缩是非常关键的。
压缩信号可以减少存储和传输数据的成本，并使通信更快速、可靠和高效。
分形压缩是一种出色的技术，它优于其他压缩方法。
分形压缩通过找到信号中的重复图案来压缩数据，这些图案也称为分形。
例如，自然界中的大部分物体和现象都有分形结构。
这种方法的工作原理是将一幅图像分解成小块（如4x4像素），然后对每个小块进行分形压缩。
这样可以大大减少需要存储的数据量。
二、信号分析信号分析可以帮助我们了解信号的结构和内容，以便进行进一步的处理。
分形理论可以提供一种有用的分析工具，用于确定信号的分形维数。
信号的分形维数是描述信号结构的一个重要属性。
分形维数可以与信号自相关函数的斜率或功率谱的斜率联系起来，从而提供关于信号结构的深入了解。
例如，分形维数可以用于分析语音信号，以便提高语音识别的准确性。
三、信号恢复信号恢复是指从受到噪声干扰或数据丢失的信号中恢复原始信息。
传统的信号恢复方法包括滤波、插值、噪声抑制等。
然而，这些方法并不总是有效，因为它们依赖于对信号的先验知识。
分形恢复是一种基于自相似性的信号恢复技术。
信号的自相似性是指信号的一部分与另一部分相似。
例如，当一段音乐被噪音淹没时，分形恢复可以通过在已知音乐的一部分中找到自相似的模式来重建音乐。
总结：分形理论在信号处理中的应用是非常广泛的，包括在信号压缩、分析和恢复中，它能够提供非常强大的处理能力。
许多领域（如音频、图像和视频）在信号处理中都已经采用了分形理论，我们有理由相信，分形理论将日益成为这个领域的重要理论和技术。
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
分形分析在天文图像处理中的应用引言：天文图像处理是天文学研究中一项重要的技术手段，而分形分析作为一种数学工具，被广泛应用于天文图像的处理和分析中。
本文将探讨分形分析在天文图像处理中的应用，包括基本原理、具体方法以及实际案例。
一、分形几何介绍分形几何是一门研究非整数维度的几何形状的学科，其基本思想是通过分形维数来描述非规则形状的复杂程度。
分形具有自相似性和尺度不变性等特征，这使得其在天文图像处理中得以应用。
二、基于分形维数的天文图像处理方法1. 分形维数计算分形维数是分形分析的一项核心指标，用于度量图像的复杂程度。
在天文图像处理中，可以通过计算分形维数来获取星系、星云等天体的形状信息。
具体而言，可以采用盒计数法、Renyi熵法等方法，通过不断改变测量尺度的大小，计算出相应的分形维数。
2. 分形压缩算法天文图像处理中，图像压缩是一个重要的环节，分形压缩算法以其出色的性能成为天文图像处理中的一种主要方法。
分形压缩算法通过寻找和复制图像中的自相似细节，来实现图像的数据压缩。
这种算法不仅能够保持图像中的重要细节，还能够显著减小数据量，提高数据传输的效率。
三、分形分析在天文图像处理中的实际应用1. 星系形态分类星系的形态是天文学家研究的一个重要课题，而分形分析可以很好地帮助识别和分类星系的形态。
通过计算星系图像的分形维数，结合其他特征参数，可以准确地判断星系是旋涡型、椭圆型还是不规则型，从而对星系的形态演化和宇宙演化进行深入研究。
2. 星云结构分析星云是宇宙中的一种美丽现象，其结构的复杂性对于揭示宇宙起源和发展具有重要意义。
分形分析可以帮助天文学家研究星云的分布和演化规律。
通过计算星云图像的分形维数，可以揭示星云的分形性质，进而了解星云的内部结构和形成机制。
3. 星系构型分析在天文图像处理中，研究星系构型是一项重要任务。
分形分析可以帮助研究者分析星系构型的分布特征和演化规律。
通过分析星系间的空间关联和相互作用，可以揭示星系构型的分形特性，从而对宇宙结构和宇宙尺度分布进行深入研究。
分形理论在数据分析中的应用在近年来，数据分析已成为科学研究、商业决策、社会管理等领域的重要工具。
数据分析的核心是对数据进行处理，提取数据背后的信息，发现数据背后的规律和模式。
其中，分形理论成为了数据分析中一个重要的方法和工具。
本文将从分形理论的基本概念、分形理论在数据分析中的应用和未来的研究方向三个方面论述分形理论在数据分析中的应用。
一、分形理论的基本概念分形理论是在上个世纪六十年代提出的一种新的数学理论，被称为“自相似现象的数学”。
分形理论的主要研究对象是非整数维空间中的图形和自相似现象，其主要思想是“部分与整体”的关系、自我相似性和无限递归。
其最大特点是可以对复杂的现象进行数学化的描述和表达。
分形可以看作是由许多相似的图形组成的整体，其中每一个小图形都具有自我的不规则性，整体则保持了类似的几何形态。
分形理论中经常使用的一个概念是分形维数。
对于普通的几何物体，如线段、平面等等，我们都可以通过几何学知识求出其维数，如一条线段的维数为1，平面的维数为2。
而对于一个分形，它的维数并不是一个整数，而是可以是一个非整数，称为分形维数。
二、分形理论在数据分析中的应用2.1时间序列分析时间序列是数据分析中常见的一种数据类型，例如股价、气温等数据都属于时间序列。
时间序列的分形特性意味着它在不同的时间尺度下呈现出相似的规律。
因此，我们可以利用分形理论中的分形维数等概念，将时间序列进行分析。
例如，我们可以对股价时间序列进行分形分析，通过计算时间序列的分形维数，可以发现股价的波动性在不同的尺度下呈现出相似的规律，这也就意味着我们可以在小尺度上预测股价波动的情况。
2.2 图像识别在图像识别中，我们需要对图像进行特征提取，以确定图像所属的类别。
而分形维数可以作为图像的一个特征，图像的分形维数与图像的类别有较强的相关性，因此可以利用分形维数对图像进行分类和识别。
2.3 声音信号处理在声音信号处理中，我们需要对声音进行分析和处理，以提取声音中的信息。
分形几何在天文学与生命科学中的应用分形几何是一门独特的科学领域，以其不规则、无限重复的图案和形态而著称。
在天文学和生命科学领域，分形几何被广泛应用，有助于我们更好地理解这些复杂的系统。
本文将介绍分形几何的概念和基本原理，并讨论其在天文学和生命科学中的应用。
什么是分形几何？分形几何是研究非线性系统的科学领域，它反映了自然界中的很多现象。
分形几何的核心思想是：“相似性自我复制”。
这意味着一个对象可以在其自身的不同尺度下呈现类似的结构，这种结构会无限重复下去。
分形几何中最著名的图形是曼德勃罗集，它是用分形公式迭代产生的复杂几何图形。
在分形几何中，有两个关键参数：分维和分形维数。
分维被定义为一个物体的表面积或体积随着它的尺度的变化而变化的程度。
例如，在三维空间中，一个球体的尺寸分维是3，而一个平面矩形的尺寸分维是2。
分形维数用作衡量一个物体的复杂度，它反映了一个物体在不同尺度下表现出的“纹理”和“图案”的复杂程度。
这种复杂性是我们在自然界中所观察到的广泛非线性现象的重要部分。
分形几何在天文学中的应用天文学涵盖了宇宙所有物质和空间的研究。
从行星到恒星、星系和宇宙背景辐射，从太阳系到整个宇宙，所有这些都可以用分形几何方法来研究。
分形几何非常适合用来研究复杂的空间和物质结构，因为它可以检测到这些结构的重复模式。
研究恒星和星系的分形几何属性是广泛关注的问题。
一些研究表明，恒星的周围行星和太阳系本身都存在分形结构。
例如，木星附近的小行星带被发现具有分形尺寸分维，这表明了小行星带的复杂性。
另外，使用分形模型可以更好地理解星系的结构和形成过程。
星系的观测数据通常是复杂的，而分形几何可以帮助我们更好地发现数据的模式和结构。
分形几何在生命科学中的应用生命科学中经常涉及复杂的系统，这些系统可能包括神经网络、动脉、细胞结构和肿瘤组织等。
分形几何方法用于研究这些系统的形态和结构的复杂性。
例如，肝脏的研究表明它具有复杂的分形结构，并且不同疾病的肝脏组织可以明显区别于非病理组织。
光学分形原理的应用1. 简介光学分形原理是指将分形理论应用于光学领域中的研究和实践。
分形是一种几何形态的描述方式，主要特点是自相似性和尺度不变性。
它在自然界和科学中广泛存在，如云、山脉、树枝等都具有分形结构。
光学领域的研究者将分形理论引入光学研究，发现它在光学传输、光学器件设计等方面具有广泛的应用价值。
2. 光学传输系统中的应用2.1 光传输的自相似性光学分形原理可以应用于光传输系统中，利用光传输的自相似性来提高信号传输的效率和稳定性。
自相似性意味着当光信号经过一定距离的传输后，其形态和特性仍然保持不变。
这一特性使得我们可以利用光学分形原理来设计光纤网络、光波导器件等，以提高光信号传输的质量和可靠性。
2.2 分形光学器件的设计利用光学分形原理，可以设计出具有分形结构的光学器件，例如分形光纤、分形光栅等。
这些器件通过在传输系统中引入分形结构，可以实现光的多模态传输，提高光的稳定性和容错性。
同时，分形光学器件还可以用于光信号的混沌调制，增强光信号的安全性和随机性。
3. 光学成像中的应用3.1 分形光学镜片利用分形理论，可以设计出具有分形结构的光学镜片。
这些镜片具有多尺度的自相似性，可以实现更广泛的光学成像功能。
分形光学镜片可以用于增强图像的分辨率、减小像差、提高镜头的透光率等。
此外，分形光学镜片还可以用于虚拟实境技术中，提供更真实的视觉体验。
3.2 分形光学图像处理光学分形原理可以应用于光学图像的处理和分析中。
通过对图像进行分形分析，可以获得图像的分形维数、分形特征等信息。
这些信息对于图像的压缩、增强、识别等方面具有重要意义。
同时，分形图像处理还可以用于人工智能、计算机视觉等领域，拓展光学图像处理的应用范围。
4. 光学测量中的应用4.1 分形干涉仪分形干涉仪是利用光学分形原理设计和构造的一种测量仪器。
它利用分形结构的自相似性，通过干涉现象来测量光的相位和强度变化。
分形干涉仪具有高精度、高灵敏度等优点，被广泛应用于表面形貌测量、光学薄膜测试、光学敏感元件的性能评估等方面。
2006年4月皖西学院学报Apr.,2006第22卷第2期Journal of West Anhui U niversity Vol.22 NO.2分形理论及其在物理学中的应用3陈 力1,邵 瑞2(1.安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246011;2.巢湖学院物理系,安徽巢湖238000)摘 要:给出了分形的定义、有关概念、分形的描述方法、多重分形理论,以及分形理论在物理学中广泛的应用。
关键词:分形理论;分形维数;多重分形;物理应用中图分类号:O437 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0038-031 分形学的创立非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学[1,2]。
它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。
分形学[3,4]是非线性的一个活跃分支,它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。
分形学的初创形式是分形几何学,它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出的。
分维数是1977年由曼德布罗特在《分形:形成、机率和维数(Fractals:Form,Chance and Dimension)》一书中创造的一个新的科技英语单词,这里分维数可反映由包含分数在内整个维数所覆盖的空间体系的粗糙程度。
分维数的主要思想可以通过研究一组曲线来说明。
分形是个新概念,分形学是个新的方法论和科学观。
它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟,可以称作是科学的新里程碑。
物质世界中广泛存在着非线性系统,所以必须寻找适当方法正确处理非线性问题。
原本是非线性问题,若把它按线性系统加以处理,则不能正确解释其基本面貌。
分形学为处理非线性系统问题提出了新思路和新方法。
那么,什么是分形?分形的涵义是什么?分形概念的实质是指那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
分形微分算子的谱分析的开题报告题目：分形微分算子的谱分析摘要：分形微分算子是一种新型的微分算子，可以用来描述复杂系统中的自相似性和尺度不变性。
谱分析是研究算子的本征值和本征函数的一种方法，可以揭示算子的内在性质。
本文将研究分形微分算子的谱分析，探讨其在实际应用中的意义和价值。
关键词：分形微分算子，谱分析，本征值，本征函数，自相似性，尺度不变性1. 研究背景和意义分形是指具有自相似性和尺度不变性的图形或物体，是复杂系统普遍存在的一种特征。
分形微积分是针对分形图形的微积分理论，其中分形微分算子是一种重要的数学工具。
分形微分算子可以描述分形图形上的微分运算，适用于描述复杂系统中的自相似性和尺度不变性，应用广泛。
谱分析是研究算子的本征值和本征函数的一种方法，可以揭示算子的内在性质。
对于分形微分算子而言，谱分析可以揭示分形图形的内在结构和性质，有助于深入理解复杂系统的特征和行为。
同时，在实际应用中，对于分形微分算子的谱分析也具有重要的意义和价值。
2. 研究内容和方法（1）研究分形微分算子的推导和定义，了解其在分形微积分中的应用和意义。
（2）探究分形微分算子的本征值和本征函数，分析其在谱分析中的角色和作用。
（3）研究分形图形的特征和性质，并结合实例进行分析和探讨。
（4）采用数学分析方法，对分形微分算子的谱进行计算和分析，并结合实际应用进行验证。
3. 预期结果和意义预期结果：通过对分形微分算子的谱分析，揭示分形图形的内在结构和性质，深入理解复杂系统的特征和行为。
同时，根据数学计算和实际应用验证，阐明分形微分算子在实际应用中的意义和价值。
意义：本研究可以进一步推动分形微积分理论的发展，为分形图形、复杂系统等领域的研究提供新的思路和方法。
同时，对于实际应用也具有一定的指导意义和价值。
光学分形的原理及应用1. 什么是光学分形光学分形是一种应用于光学领域的分形理论。
分形是指具有自相似性和无限细节的几何形状，其结构无论是远观还是近观都呈现相似的特点。
光学分形则是将这种分形特性应用于光学器件和光学系统中。
2. 光学分形的原理光学分形的原理是利用分形几何的特性来设计和制造光学器件和光学系统。
分形几何的核心概念是自相似性，即在不同尺度上都可以找到相似的结构。
在光学分形中，这种自相似性被应用于设计光学器件的形状和排列方式。
光学分形的原理可以通过以下步骤来理解和应用：2.1. 确定分形图形首先，需要确定一个分形图形作为设计的基础。
分形图形一般是一个简单的基本形状，如三角形、四边形或圆形。
这个基本形状会根据一定的规则进行重复缩放或旋转，从而生成分形结构。
2.2. 设计分形规则接下来，需要设计分形规则来描述如何重复缩放或旋转基本形状。
分形规则一般包括缩放比例、旋转角度和重复次数等参数。
通过不断应用这些规则，可以生成具有分形特性的光学器件。
2.3. 制造光学器件最后，根据设计好的分形图形和规则，可以制造出相应的光学器件。
光学器件的制造可以采用传统的制造工艺，如光刻技术和沉积技术。
通过这些制造工艺，可以将分形图形转化为具有特定功能的光学器件。
3. 光学分形的应用光学分形具有许多应用领域，其中包括：3.1. 光学透镜设计光学透镜是光学系统的重要组成部分，而光学分形可以用于设计具有特殊光学性能的透镜。
通过应用分形规则和结构，可以设计出更加复杂和高效的透镜结构，从而改善光学系统的成像质量。
3.2. 光学滤波器设计光学滤波器可以选择性地传输或反射特定波长的光，而光学分形能够提供更加复杂的滤波器结构。
通过应用分形规则和结构，可以设计出具有更高选择性和更广波长范围的光学滤波器。
3.3. 光学数据传输光学分形还可以应用于光学数据传输领域。
分形的自相似性特性可以增加信号的稳定性和容错性，从而提高光学数据传输的可靠性和速度。
分形几何在信号分析中的应用分形几何是一门研究物体形态和结构的数学学科，它可以描述自然界中的复杂现象。
在信号分析领域，分形几何被广泛应用于信号处理、数据压缩和图像处理等方面。
本文将介绍分形几何在信号分析中的应用，并分析其优势和局限性。
一、分形维度的信号特征提取分形维度是描述分形几何中物体的复杂程度的量化指标。
在信号分析中，可以利用分形维度来提取信号的特征。
通过分析信号在不同时间尺度上的分形维度，可以揭示信号的自相似性和自相关性。
例如，在金融领域，利用分形维度可以对股票价格走势进行建模和预测。
二、分形编码的信号压缩信号的分形编码是一种有效的信号压缩方法。
它基于分形几何的自相似特性，将信号划分为多个子信号，并利用分形变换来描述它们之间的关系。
与传统的压缩方法相比，分形编码可以实现更高的压缩比和更好的重构质量。
分形编码已被广泛应用于音频、图像和视频等信号的压缩和传输。
三、分形图像处理分形几何在图像处理中的应用也是十分重要的。
由于图像中的自相似性，分形几何可以用来分析和合成图像。
例如，通过分形压缩算法，可以将图像压缩到较小的文件大小，并且可以实现无损重构。
此外，分形图像处理还可以应用于图像增强、图像去噪和图像拼接等领域。
四、分形维数估计在信号分析中，分形维数是一种重要的特征参数。
通过估计信号的分形维数，可以实现信号的分类和识别。
例如，在语音识别中，利用信号的分形维数可以对不同人的语音进行区分。
此外，分形维数估计还可以应用于生物医学信号处理、地震信号分析等领域。
分形几何在信号分析中具有许多优势，可以更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，分形几何在信号分析中也存在一些局限性。
首先，计算分形维度和进行分形编码的复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
其次，分形几何模型并不适用于所有类型的信号，对某些非自相似的信号，分形几何方法可能失效。
因此，在实际应用中需要结合具体问题选择适合的方法。
综上所述，分形几何在信号分析领域发挥了重要作用。
第26卷,第4期 光谱学与光谱分析Vol 126,No 14,pp77227742006年4月 Spectroscopy and Spectral Analysis April ,2006 分形理论在光谱识别中的应用熊宇虹,温志渝,张流强,温中泉,梁玉前重庆大学光电工程学院,重庆 400044摘 要 分形理论是研究一类不规则、混乱复杂,但其局部和整体具有相似性体系的科学。
分形维数是分形理论中用于描述对象的不规则度和自相似性的基本度量。
文章以符合朗伯2比尔定律的光谱信号为研究对象,在概述分形几何基本原理的基础上,提出了以分形维数作为光谱识别特征的方法,运用相空间重构得出了光谱信号的分形维数,通过对光谱信号的分形维数进行比较,达到识别不同光谱的目的,最后举例对该方法进行了说明。
主题词 分形;分形维数;光谱分析;光谱识别中图分类号:TP39 文献标识码:A 文章编号:100020593(2006)0420772203 收稿日期:2005201228,修订日期:2005206228 基金项目:国家自然科学基金重点项目(69476023)和国家“863”项目(2004AA4040,2004AA404023),国家自然科学基金(60308007)和重庆市“十五”攻关项目(7341;8149)资助 作者简介:熊宇虹,1971年生,重庆大学光电工程学院博士研究生引 言 分形理论是数学家曼德布罗特创立的,主要研究一类不规则、混乱复杂,但其局部和整体具有相似性体系的科学[1]。
由于其在描述复杂现象方面的独特作用,从而在自然科学和社会科学的众多领域得到了广泛应用,为人们研究复杂问题提供了新方法,开辟了新视野[2]。
光谱识别技术是光谱定性分析的基础。
随着光谱学和计算机技术的发展,光谱识别已成为光谱分析技术的重要组成部分。
本文以符合朗伯2比尔定律的光谱信号为研究对象,探讨了分形理论在光谱识别中的应用。
在概述分形几何基本原理的基础上,提出了以分形维数作为光谱识别特征的方法,运用相空间重构得出了光谱信号的分形维数,通过对光谱信号的分形维数进行比较,达到识别不同光谱的目的,最后以常见的中药材党参及其伪品夜关门为例对该方法进行了说明。
1 分形和分形维数[325] 分形理论经过了许多年的发展,在不同的时期人们对分形下过不同的定义,但迄今为止还没有一个确切、简明、令人满意的定义,一般而言,把分形看作具有如下典型性质的集合F ,(1)F 具有精细结构,即有任意小比例的细节;(2)F 是如此不规则,以致它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描述;(3)F 通常有某种自相似的形式,可以是近似的或是统计的;(4)一般地,F 的“分形维数”大于它的“拓扑维数”;(5)在大多数情况下,F 可以用非常简单的方法定义,可以由迭代产生。
一般而言,如果所研究的对象满足上述性质中的全部或大部,即使有某个性质例外,也并不影响把其称为分形。
分形维数是分形理论中用于描述对象的不规则度和自相似性的基本度量,在一定区间内具有标度不变性。
数学家以Hausdorrf 维数为基础,定义了多种维数,如盒维数、信息维数、关联维数、广义维数和自相似维数等。
这些维数从不同的方面刻画了分形集的分形特征。
其中关联维数计算简单,可以由一维时间序列利用相空间重构的方法直接计算得出,因而应用较普遍,其基本计算过程如下,假设{x k }为观测得到的时间序列,其中k =1,2,…,h 。
对该时间序列采用时间差法进行相空间重构,重构结果记为y n (m ,p )=(x n ,x n+p ,…,x n+(m-1)p ),其中n =1,2,…,h -m+1,p =aΔt 为时间延迟,Δt 为数据采样的时间间隔,a 为任意整数,m 为嵌入维数。
在y n 中,凡是距离小于给定正数r 的矢量称为关联矢量,计算一下有多少对关联矢量,它在一切可能的配对中所占的比例称为关联积分,C(r)=1N2∑Ni,j=1θ(r-‖yi-y j‖) i≠j(1)其中N=h-m+1,θ(x)是Heaviside函数,定义为θ(x)=0 x≤01 x>0(2) 若r选得太大,则任何一对矢量都发生关联,因而C(r) =1,取对数后为0,这样的r当然反映不了系统的内部性质;r太小时,C(r)=0。
故应适当选取r,使得在r的某个区间内有C(r)=r D(3)其中D称为关联维数,通过变换可得D=ln C(r)ln r(4) 在实际应用时,对某一给定的m,画出ln r-ln C(r)曲线,除去斜率为0或m的直线外考察其间的最佳拟合直线,该直线的斜率就是D,为了使m的选择合适,可以增大m,通常D也有所改变,到一定的m=m min,此时D趋近于不变,m min就认为是最小嵌入维数。
2 基于分形特征的光谱识别 光谱识别的基本过程:选择并提取光谱信号的特征,运用相关算法对未知光谱信号的特征和已知光谱信号的特征进行比较,从而得出未知光谱信号的化学组成关系。
从光谱识别的基本过程来看,光谱信号特征的选择和提取是光谱识别的前提。
对单组分光谱信号而言,组分单一,因而信号波形也较简单,选取波形特征点就可以方便地达到比较识别的目的;对于复杂组分的光谱信号而言,成分复杂,因而信号波形也较复杂,选取适当的特征也就成了正确识别的关键。
复杂组分光谱信号的基本特点:连续、极其不规则的,由许多个波峰波谷相连形成山峦一样的形状。
根据分形的特征和复杂组分光谱信号的特点,可以认为复杂组分的光谱信号是具有一定自相似结构的分形体。
作为分形体的基本度量,分形维数较好地反映了分形体本身具有的不规则度及自相似性。
因而在光谱信号的识别过程中,可以提取信号的分形维数作为光谱的识别特征,根据分形维数的相同与否,进行光谱信号的鉴定识别。
3 实例分析 下面以常见的中药材党参及其伪品夜关门为例,进行实例分析。
图1、图2分别是经过归一化处理后的党参和夜关门的红外光谱图。
对光谱数据分别取嵌入维数m等于3,4,5,6, 7,8,10,12,14等进行计算,再画出相应ln r2ln C(r)的曲线,为了方便起见,只画出了m等于3,6,8,14等四条曲线,如图3、图4所示。
从图3、图4可以看出,对党参和夜关门而言,ln r在[-116607,-019943]的范围内(即r在[0119,0137]之间),曲线近似成一条直线,其相应斜率的具体数值如表1所示。
从表1可以看出,党参和夜关门的斜率刚开始先随着嵌入维数的增大而增大,随着增加到一定程度,斜率的数值趋于稳定。
该斜率即为光谱信号的关联维数,从表中可以得出党参和夜关门的关联维数分别为1158和1130。
从而也就可以根据党参和夜关门的关联维数的不同来对二者进行鉴别了。
Fig11 The infrared spectrum of DangshenFig12 The infraredspectrum of Yegu anmenFig13 Ln r2ln C(r)curves of DangshenFig14 Ln r2ln C(r)curves of Yegu anmen377第4期 光谱学与光谱分析T able1 Correlation dimension of Dangshen and Yegu anmen 嵌入维数党参的维数夜关门的维数301880184401820186501880190611011101711151112811291120101145113112115711301411581130 在实际应用中,由于(1)式中涉及平方和开方,计算量大,可用其等价的拓扑距离来替代,另外在识别的过程中可以结合其他特征采用数据融合的方法以获得更好的识别效果。
4 结束语 分形几何是非线性科学中的一门重要的数学分支,其分形和分形维数的思想为解决现实问题提供新的工具。
本文以符合朗伯2比尔定律的光谱信号为研究对象,探讨了分形理论在光谱识别中的应用,提出了提取分形维数作为光谱识别特征的方法,并通过实例对该方法进行了验证,是分形理论在光谱识别方法应用中的有益尝试。
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