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等差数列与等比数列教案本文为等差数列与等比数列教案，按照教案的格式进行书写。
教案主题：等差数列与等比数列一、教学目标1. 了解等差数列和等比数列的定义；2. 掌握求解等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够应用等差数列和等比数列解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容及方法1. 等差数列a. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 + (n-1)d。
c. 求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。
d. 实例演练：通过练习题让学生熟悉等差数列的求解过程。
2. 等比数列a. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 * r^(n-1)。
c. 求和公式：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中r不等于1。
d. 实例演练：通过练习题让学生掌握等比数列的求解方法。
三、教学步骤1. 等差数列教学a. 引入：通过引入一组连续的数字，介绍等差数列的概念，并引发学生对等差数列的思考。
b. 定义：给出等差数列的定义，并通过示例展示等差数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等差数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等差数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等差数列的性质和应用场景。
2. 等比数列教学a. 引入：通过一组倍增或倍减的数字，介绍等比数列的概念，并引发学生对等比数列的思考。
b. 定义：给出等比数列的定义，并通过示例展示等比数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等比数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等比数列的性质和应用场景。
四、教学资源1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、练习题；2. 学生使用：练习题、作业本。
等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。
其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。
它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。
本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。
一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。
通项公式为an=a1+(n-1)d。
案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。
3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。
（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。
案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。
二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。
其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。
2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。
通项公式为an=a1 * q^(n-1)。
案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。
3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。
课题：等差数列与等比数列『三维目标』1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过公式的简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
『教学重点』等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及应用『教学难点』等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及应用『课型』复习课『教学过程』一、基础知识巩固二、例题分析◆例1．(2011辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式◇练一练(2011福建)等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=133（I ）求数列{a n }的通项公式； ◆例2．（2009北京）若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；8S =◇练一练（2012合肥三模)已知数列{}n a 满足122n n n a a a ++=-（*n N ∈）2151,75a S =-=,则5a =_______◆例3. (2011浙江)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （I ）求数列{}n a 的通项公式及nS1.（2010重庆）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为________2.（2009湖南）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于______3.（2010全国Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =_______4.（2009江西）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3，则96SS =______ 5.（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为________ 1．数列{}n a 中，若满足11a =，1112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是_______数列， 数列{}n a 的通项公式n a =________2. 数列{}n a 中，若11a =，121n n a a +=+，求数列{}n a 通项公式n a三、归纳小结：等差、等比数列是数列的基础内容，也是高中数学重点内容。
2012届高考数学第一轮等差数列与等比数列的综合问题专项复习教案3.4 等差数列与等比数列的综合问题●知识梳理（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m－k）d，d= . （2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d. （3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md. （4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立. （5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等差数列. （6）若数列{an}的项数为2n（n∈N*），则S偶－S奇=nd， = ，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为2n－1（n∈N*），则S奇－S偶=an， = ，S2n－1=（2n－1）an（an为中间项）. 2.等比数列{an}的性质（1）am=ak•qm－k. （2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an•λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q•q2. （3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm. （4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am•an=ak•al，反之不成立. （5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1•a2•…•an，N=an+1•an+2•…•a2n，P=a2n+1•a2n+2•…•a3n，则M、N、P也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，，aq，aq3. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列 1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数. 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn （p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题. 2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解. 当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列. 当q=1时，是一个常数列. 当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. ●点击双基 1.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案：D 2.已知数列{an}满足an+2=－an（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为 A.0 B.－3 C.3 D.1 解析：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6= －a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0. ∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3. 答案：C 3.若关于x的方程x2－x+a=0和x2－x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是 A. B. C. D. 解析：依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，其中a1= ，即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1. 由此求得a4= ，d= ，于是a2= ，a3= . 故a+b=a1a4+a2a3= × + × = = . 答案：D 4.（2004年春季上海，12）在等差数列{an}中，当ar=as（r≠s）时，数列{an}必定是常数列，然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s（r≠s），当ar=as时，非常数列{an}的一个例子是___________________. 解析：只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可. 答案：a，－a，a，－a…（a≠0） 5.（2002年北京，14）等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________. 解析：设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1•q=2q，a11=a1•q2=2q2.又{an}是等差数列，∴a11=a1+5（a3－a1），∴q=4. 答案：4 ●典例剖析【例1】（2005年春季北京，17）已知{an}是等比数列，a1=2，a3=18；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20. （1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论. 剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算. 解:（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2= =9，q=±3. 当q=－3时，a1+a2+a3=2－6+18=14＜20，这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去. 当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+ d=26. 又b1=2，解得d=3，所以bn=3n－1. （2）Sn= = n2+ n. （3）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+ •3d= n2－ n； b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+•2d=3n2+26n. Pn－Qn=（ n2－ n）－（3n2+26n）= n（n－19）. 所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn. 评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 【例2】（2005年北京东城区模拟题）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n均有+ + +…+ =（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{cn}的前n项和Sn. 剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn；（2）由题先求出{an}的通项公式后再求Sn. 解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2. ∵a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），∴an=2n－1（n=1，2，3，…）. 由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n－1（n=1，2，3，…）. （2）当n=1时，c1=6；当n≥2时， =（n+1）an+1－nan=4n+1，∴cn=（4n+1）mn－1bn=（4n+1）（3m）n－1.∴cn= 当3m=1，即m= 时，Sn=6+9+13+…+（4n+1） =6+ =6+（n－1）（2n+5）=2n2+3n+1. 当3m≠1，即m≠ 时，Sn=c1+c2+…+cn，即Sn=6+9•（3m）+13•（3m）2+…+（4n－3）（3m）n－2+（4n+1）（3m）n－1. ① 3mSn=6•3m+9•（3m）2+13•（3m）3+…+（4n－3）（3m）n－1+（4n+1）（3m）n. ② ①－②得（1－3m）Sn=6+3•3m+4•（3m）2+4•（3m）3+…+4•（3m）n－1－（4n+1）（3m）n =6+9m+4［（3m）2+（3m）3+…+（3m）n－1］－（4n+1）（3m）n =6+9m+ －（4n+1）（3m）n. ∴Sn= + . ∴Sn= 评述：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等. 【例3】（2005年北京海淀区模拟题）在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0. （1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；（3）试比较an与Sn的大小. 剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论. （1）证明：∵bn=log2an，∴bn+1－bn=log2 =log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q. （2）解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=2. ∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0.∵b1b3b5=0，∴b5=0. ∴ 解得∴Sn=4n+ ×（－1）= . ∵ ∴ ∴an=25－n（n∈N*）. （3）解：显然an=25－n＞0，当n≥9时，Sn= ≤0. ∴n≥9时，an ＞Sn. ∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6= ，a7= ，a8= ，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn；当n=1，2或n≥9时，an＞Sn. 评述：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想. ●闯关训练夯实基础 1.在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是 A. B. C. D. 解析：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C. 答案：C 2.公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则 =_____. 解析：设公差为d （d≠0），由题意a32=a2•a6，即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解得d=－2a1，故 = = = . 答案： 3.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是___________________. 解析：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2. ∴ = = = + +2. 当x•y＞0时，+ ≥2，故≥4；当x•y＜0时，+ ≤－2，故≤0. 答案：［4，+∞）或（－∞，0］ 4.已知数列{an}中，a1= 且对任意非零自然数n都有an+1= an+（）n+1.数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1－ an. （1）求证:数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式. （1）证明：bn=an+1－ an=［ an+（）n+1］－ an=（）n+1－ an，bn+1=（）n+2－ an+1=（）n+2－［ an+（）n+1］= •（）n+1－ an－•（）n+1= •（）n+1－an= •［（）n+1－ an］，∴ = （n=1，2，3，…）. ∴{bn}是公比为的等比数列. （2）解：∵b1=（）2－ a1= －• = ，∴bn= •（）n－1=（）n+1.由bn=（）n+1－ an，得（）n+1=（）n+1－ an，解得an=6［（）n+1－（）n+1］. 5.设{an}为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10. 解：设公差为d，公比为q，由题意知∴ 或∴S10=10+ （－）=－ . 当q= 时，T10= ；当q=－时，T10= . 培养能力 6.（2003年北京高考，文16）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12. （1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式. 解：（1）设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12. 又a1=2，得d=2. 所以an=2n. （2）令Sn=b1+b2+…+bn，则由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2+…+（2n－2）xn－1+2nxn，① xSn=2x2+4x3+…+（2n－2）xn+2nxn+1. ② 当x≠1时，①式减去②式，得（1－x）Sn=2（x+x2+…+xn）－2nxn+1= －2nxn+1. 所以Sn= － . 当x=1时，Sn=2+4+…+2n=n（n+1）. 综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；当x≠1时，Sn= － . 7.数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式. （2）设bn= （n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵an+2－2an+1+an=0，∴an+2－an+1=an+1－an（n∈N*）. ∴{an}是等差数列.设公差为d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，∴d=－2.∴an=－2n+10. （2）bn= = = （－），∴Sn=b1+b2+…+bn= ［（1－）+（－）+…+（－）］ = （1－）= . 假设存在整数m满足Sn＞总成立. 又Sn+1－Sn= － = ＞0，∴数列{Sn}是单调递增的.∴S1= 为Sn的最小值，故＜，即m＜8.又m∈N*，∴适合条件的m的最大值为7. 探究创新 8.有点难度哟！（理）已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2－2nan+2（n∈N*），又a5=11. （1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项公式（不要求证明）；（2）设bn=11－an，Sn=b1+b2+…+bn，Sn′=|b1|+|b2|+…+|bn|，求 . 解：（1）由a5=11，得11=a42－8a4+2，即a42－8a4－9=0.解得a4=9或a4=－1（舍）. 由a4=9，得a32－6a3－7=0.解得a3=7或a3=－1（舍）. 同理可求出a2=5，a1=3. 由此推测an的一个通项公式an=2n+1（n∈N*）. （2）bn=11－an=10－2n （n∈N*），可知数列{bn}是等差数列. Sn= = =－n2+9n. 当n≤5时，Sn′=Sn=－n2+9n；当n＞5时，Sn′=－Sn+2S5=－Sn+40=n2－9n+40. 当n≤5时， =1；当n＞5时，= . ∴ = . （文）设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k－1－x）≥2k－1（k∈N*）的自然数x的个数. （1）求f（k）的表达式；（2）记Sn=f（1）+f（2）+…+f （n），Pn=n2+n－1，当n≤5时试比较Sn与Pn的大小. 解：（1）由不等式log2x+log2（3•2k－1－x）≥2k－1，得x（3•2k－1－x）≥22k －1，解之得2k－1≤x≤2k，故f（k）=2k－2k－1+1=2k－1+1. （2）∵Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+22+23+…+2n－1+n=2n+n－1，∴Sn －Pn=2n+n－1－（n2+n－1）=2n－n2. 又n≤5，可计算得S1＞P1，S2=P2，S3＜P3，S4=P4，S5＞P5. ●思悟小结本节加强了数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，使学生更好地掌握数学中的转化思想. （2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养学生分析问题和解决问题的综合能力. ●教师下载中心教学点睛本节教学中应注意以下几个问题： 1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前n项和公式解题是高考考查的重点. 2.从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题. 3.用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决有关数列的综合题中具有重要的意义. 拓展题例【例题】已知数列（a3－a2），…，（an－an－1），…，（a2－a1），{an}，构造一个新数列a1，此数列是首项为1，公比为的等比数列. （1）求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn. 解：（1）由题意an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）= = ［1－（）n］. （2）Sn= ［n －（+ + +…+ ）］= ［n－（1－）］= n－ + .。
《等差数列复习》教学设计一、课标要求：1．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。
2．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关的知识解决相应的问题。
4．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
二、课前热身（一）等差、等比数列中的“知三求二”问题（等差、等比数列中，围绕a n ，s n 分别有两套公式，均含有五个量：a 1，n ，a n ，S n ，d （q ）。
已知其中三个量，可以求其余两个量。
练习1：（06全国文）已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式。
练习2：已知等差数列{a n }，a 1=65，d =-61，S n = -5。
求：n 与a n （二）灵活应用等差、等比数列的通项公式练习1等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，求a 3（两种方法）（三）灵活应用等比数列前n 项和公式练习1．已知等比数列的前4项和为1，且公比为2，求此数列的前8项的和。
二、典例解析例1.已知等差数列{a n }，若a 3+a 5+ a 13+a 21+ a 23=20，求S 25解析：等差数列{a n }的一条重要性质：若m 、n 、p 、q ∈N 且m +n =p +q ，则a m +a n = a p +a q ；特别地：m +n =2s 则a m +a n =2a s ，简记为：“两项和等于两项和”类比变式1：已知等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4+2 a 3a 5+ a 4a 6=25，求a 3+a 5变式练习：已知等差数列{a n }、{b n }，且274172121++=++++++n n b b b a a a n n ，求1111b a 的值。
例2．设{a n }为等差数列，其前n 项和记为S n 。
已知S 7=7，S 15=75，T n 为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n解析：数列{a n }为等差数列，其前n 项和记为S n ，可推导出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列。
等差、等比数列的综合问题一、教学目标1. 掌握等差、等比数列的性质；2. 能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；3. 理解等差数列前n 项和S n 与二次函数的关系；掌握求等差数列前n 项和最值的基本方法。
二、基础知识回顾与梳理1、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，下列命题是否正确？①2412,,...a a a 是等差数列 ；②11,,...n n a a a -是等差数列；③12,,...n ca ca ca （c 为常数）是等差数列． 【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．2、设{}n a 是等比数列，下列命题正确吗？①{}2na 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ④{}lg n a 是等比数列；⑤{}1n n a a ++是等比数列．【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零． 3、下列说法是否正确？①1与4的等比中项是2； ②等比数列{}n a 中151,4a a ==，则32a =；【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念． 4、数列211,,,...n x x x-的前n 项和_________n S =．【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论1q =，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑1q =的特殊情形，进一步练习：等比数列{}n a 中，333S a =，则公比______q =，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．三、诊断练习1、 教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。
芯衣州星海市涌泉学校光泽第一中学高三数学必修五等差、等比数列复习教案光泽一中江居明【教材内容分析】假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示〔0 q〕。
【学情分析】学生可以掌握根本的结论，但学生由于缺少系统性的练习，不可以准确的找到解题思路，所以需要进展全面的复习。
【教学目的】(1)理解等差、等比数列的定义与断定． (2)掌握等差、等比数列的通项公式． (3)理解等差中项、等比中项与性质．(4)掌握等差、等比数列的前n 项和公式及其运用． 【重点、难点】【课时安排】一课时【教学方法】启发式教学、讲练结合 【教学过程和步骤】 1.等差数列等差数列的定义：假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差中项： 假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2ba A +=或者者b a A +=2 等差数列的断定方法: 〔1〕定义法：对于数列{}n a ，假设da a nn =-+1(常数)，那么数列{}n a 是等差数列。
〔2〕等差中项：对于数列{}n a ，假设212+++=n n n a a a ，那么数列{}n a 是等差数列。
等差数列的通项公式： 假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么等差数列的通项为dn a a n)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 等差数列的性质： 〔1〕对于等差数列{}n a ，假设q p m n +=+，那么q p mn a a a a +=+。
高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。
而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。
（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。
（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。
2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。
（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。
2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。
二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。
（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。
三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成） 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得 解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五 根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。
等差数列与等比数列的性质教案教学目标：1、 复习等差、等比数列的定义与性质。
2、 灵活应用等差、等比数列的定义与性质解决各种常见题型。
教学重点：灵活应用等差、等比数列的定义与性质教学难点：等差、等比数列的定义与性质的应用一、 知识回顾二、 知识应用Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 或者 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 也可以设为三、 典型例题例1. 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aqaq例2. 已知互不等比数列{ n a }的前三项之积为-8，且132,,a a a 成等差，求123,,a a a例3（1）已知等差数列{ n a }满足 ，则 ( )（2）已知等差数列{ n a }前m 项和为30，前2m 项和为 100，则前3m 项和为( )（3）已知在等差数列{n a }的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.121010a a a ++⋅⋅⋅+=1101A. 0a a +>2100B. 0a a +<399C. 0a a +=51D. 51a=例4. 数列{ n b }中， ， ，若{ n a }是等差数列， 且 ，求{n a }的通项公式四、 基础练习1.在等比数列中,463a a += ,则5357(2)a a a a ++= _____2. 在等差数列{n a }中,若4681012120a a a a a ++++=, 则10122a a -= （ ）A.20B.22C.24D.28 123218b b b ++=12318b b b =1()2na nb =3.已知数列{n a }中, 1a =1,并且1331n n a a +-= ,则301a = （ ）A.100B.101C.102D.1034. 若｛n a }是等比数列，且n a >0,243546225a a a a a a ++=, 那么35a a +的值等于 （ ）A.5B.1C.15D.105.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10五、 知识回顾六、 课后作业综合测评P91-P931、等差数列、等比数列的通项公式以及通项公式的推广2、等差数列与等比数列的性质n S n 3、a 与的关系。
教学设计：一、课题：等差数列等比数列复习课(高二学考复习课)二、教学目标：1、理解并能熟记等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质。
2、能熟练运用相关公式，综合解题。
3、渗透函数与方程的数学思想方法。
三、教学重点：等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质的理解与运用。
四、教学难点：综合运用等差数列等比数列的重要公式。
五、课前准备：多媒体，白板，课件。
六、教学程序：1、对比回顾复习：等差数列等比数列的定义、通项公式。
2、探究等差数列公式特点：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
3、对比回顾复习：等差数列等比数列的重要性质；等差中项和等比中项。
4、例1.⑴｛a n｝是首项a i= 1,公差d = 3的等差数列，若a n = 2005,则n =()⑵在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( )5、例2.求下列各等比数列的通项公式：(1)a1= —2, a3 ——8; (2) a1= 5,且2a n+1 ——3a n.6、练习：(1)等比数列｛a n｝，a2=2,a6=162,求q, a 4(2)等比数列｛a n｝, a a+2 a3a?+ a4a10=36 , a n>0, 求a3+ a?(3)等差数列｛a n｝，a1+a4+a?=39,a2+a5+a8=33,求a s+a s+a o(4)数列｛a n｝，a1=1,a n-a n-1 =2,求a n7、思考题：1 、求4和8的等比中项x,公比q2 、知数列｛an｝满足a1 —1，a n+1—2a n + 1.(1) 求证数列｛a n+1｝是等比数列；(2) 求｛a n｝的表达式.&小结、作业布置。
