北师大版-数学-八年级上册-二次根式 教材分析与重难点突破 第2课时

《二次根式》（第1课时）◆教材分析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。

它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。

再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。

◆教学目标【知识与能力目标】了解二次根式的概念。

【过程与方法目标】通过经历二次根式概念的发生过程，理解二次根式的含意。

【情感态度价值观目标】培养学生观察、类比、讨论、合作的思想。

◆教学重难点◆【教学重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。

【教学难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。

学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。

本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。

一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

a 叫做被开方数．强调条件：0≥a 。

问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题。

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础。

第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，baba =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；◆课前准备 ◆◆教学过程2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ 。

北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。

二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。

本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。

但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。

同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。

通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。

六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。

”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。

北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册7章的内容，本节课主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

教材通过引入二次根式，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对负数、正数有了一定的认识。

但二次根式相对较为抽象，学生可能存在理解上的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

2.运用实例讲解法，让学生掌握二次根式的性质和运算方法。

3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作精神，提高学生的解决问题能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于导入新课。

2.准备PPT课件，展示二次根式的概念、性质和运算方法。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的概念、性质和运算方法。

让学生了解二次根式，并掌握其基本性质和运算方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用所学知识进行二次根式的运算。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）让学生通过小组合作学习，共同解决实际问题。

例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。

5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。

这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。

通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。

但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。

2.难点：二次根式的化简方法。

五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。

通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。

2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。

例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。

3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。

5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。

2.7二次根式（第2课时）教学设计一、学生起点分析在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：石J b Va b （a>0, b>0）, 徑型（a>0, b>0）进行简单的实数四则运算.本Qb \ b课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容.本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础•本节课的教学目标是：1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的•学会一种特殊的思考方法.3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识.4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.三•教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究; 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少?|面积2你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课这两个数之间有什么关系,研究课题意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究1.在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数， 使得分母成为一个平方数.第三环节：巩固练习 例4计算：(1) 3 ..2 2.3 (2) . 12■. 3 5 ; (3) (..51)2 ； (4) ( .13 3)( .133)；— 1 — \ 8 18 (5)(12「-) 3 ； (6)—解：(1) 3.22、、3 =3 2 2 3=6、6 ;(2) /12 -7 3 5 = 12 3 5 =』36 5 = 6 — 5 = 1; (3) (、..5 1)2 = (、5)2 2 5 1 = 5 + 2 5 + 1 = 6 + 2 . 5 ； (4)( .13 3)( ,133) = (13)2 32 = 4；(5)(12、、3 . 12 . 3 . 3 . 36 . 1 6 1 5 ；/、弋 8 V18 屈 VT8 厂 /Zee(6)4 9 2 3 5。

八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。

但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。

2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。

2.二次根式的乘除运算。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。

同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

3.教学黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。

例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。

5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。

7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。

8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。

教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。

北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节课的主要目的是让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

教材通过引入二次根式，让学生在已有的一次根式知识基础上，进一步拓展对根式的认识。

本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，也是后续学习更高阶根式的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一次根式的相关知识，对根式的概念和运算方法有一定的了解。

但二次根式与一次根式在概念和运算上有很大的区别，学生可能需要一定的时间来消化和理解。

此外，学生可能对二次根式的实际应用场景还不够了解，需要在课堂上进行引导和拓展。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的化简和计算。

3.能够运用二次根式解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次根式的应用，通过小组合作学习法让学生在讨论中巩固知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

3.小组合作学习的相关材料。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念：某立方体体积为8立方厘米，求该立方体的棱长。

解决这个问题需要用到二次根式，从而引出本节课的主题。

呈现（15分钟）1.介绍二次根式的概念，讲解二次根式的性质。

2.通过PPT展示二次根式的各种形式，让学生对二次根式有一个直观的认识。

3.通过案例讲解二次根式的运算方法，让学生学会如何进行二次根式的化简和计算。

操练（10分钟）1.让学生进行一些二次根式的化简和计算练习，巩固所学知识。

2.引导学生发现二次根式运算的规律，提高运算速度和准确性。

巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决问题，巩固二次根式的应用。

北师大版八年级数学上册《二次根式的运算》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.1 知识目标•掌握二次根式的加减乘除运算方法；•理解二次根式的化简和合并方法；•了解二次根式的应用领域。

1.2 能力目标•进一步提高学生的数理思维能力和计算能力；•培养学生的自学能力和问题解决能力；•注重培养学生的实际应用能力，增强其综合素质。

2. 教学重难点2.1 教学重点•二次根式的加减乘除运算方法；•二次根式的化简和合并方法。

2.2 教学难点•如何灵活使用二次根式进行计算和化简；•如何将二次根式应用于实际问题中进行解决。

3. 教学内容3.1 二次根式的基础概念和性质•二次根式的定义和符号表示；•二次根式的基本性质和运算规律。

3.2 二次根式的加法和减法•二次根式的加减法根据相关性质进行计算。

3.3 二次根式的乘法和除法•二次根式的乘法应用相关公式进行展开和化简；•二次根式的除法要转化成同底的分式，再进行化简。

3.4 二次根式的应用•二次根式的应用领域（如勾股定理）；•二次根式的实际应用（如物理、化学等）。

4. 教学方法4.1 教学手段采用讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合。

4.2 教学步骤•第一步：回归本质，引出二次根式的基础概念和性质；•第二步：讲解二次根式的加减乘除运算方法，并进行案例讲解；•第三步：练习巩固，进行二次根式的综合应用练习；•第四步：反思总结，对整个教学过程进行总结和反思；5. 教学评估采用多元化的教学评估方法：•课堂表现评估；•练习成绩评估；•课后作业评估；•测验和考试评估。

二、教学反思本次教学主要针对八年级数学上册《二次根式的运算》内容进行了设计和实施。

在此过程中，教师主要采取了讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合，力求使学生在知识、能力和素质等方面都得到提高。

教学目标方面，需要注意的是要注重学生的数理思维能力和计算能力的提高。

应该通过一些实际和可视化的案例，鼓励学生动手实践和思考，从而提高他们的自学和解决问题的能力。

《二次根式》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算，培养类比学习的能力.
4.增强学生的符号、应用意识，培养学生合作交流、合情推理、表达能力。

二、教学重难点
重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
a a
(a≥0，b>0)
=
b b
思考长方形的面积是20，它的长是5，宽是多少？
教师追问：该怎么计算呢？
教师提示：这一节我们根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题吧.
a b=a b(a≥0
a
(a≥0，b>0)
=
b
加法、减法法则：
先化为最简二次根式.
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思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

第二章 实数7．二次根式（第2课时）一、依据新课标制定教学重点： 利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．依据新课标制定教学难点：本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析1. 教学目标：(1).通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．(2).在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．(3).通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2. 知识目标：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。

3. 能力目标：通过对问题的发现和解决，培养学生的相互协作意识及数学表达能力，体验探索、交流与成功。

三．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题 面积8面积2意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？例3 计算：（1）326⨯；（2）236⨯；（3）52。

解：（1）略（2）236⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3 （3）52＝＝52＝5552⨯⨯=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．第三环节：巩固练习例4 计算：（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(⨯-；（6）2188+。

2．7 二次根式第1课时二次根式及其化简1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x ＋3＋1 x ＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a，c9，a2＋b2，a2中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：8a中有因数4；c9中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a（a≥0）的式子有意义的条件：a≥0性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0）最简二次根式本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等．第2课时二次根式的运算1．会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算；(重点)2．灵活运用二次根式的乘法公式．(难点)一、情境导入下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它？二、合作探究探究点一：二次根式的乘除运算【类型一】二次根式的乘法计算：(1)3×5； (2)13×27；(3)2xy×1x； (4)14×7.解：(1)3×5＝15；(2)13×27＝13×27＝9＝3；(3)2xy×1x＝2xy×1x＝2y；(4)14×7＝14×7＝72×2＝7 2.方法总结：几个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式，一定要化简．【类型二】 二次根式的除法计算a 2－2a ÷a 的结果是( ) A.－a －2 B ．－－a －2 C.a －2 D ．－a －2 解析：原式＝a 2－2a a ＝a （a －2）a＝a －2.故选C. 方法总结：利用a b＝ab(a ≥0，b>0)可以进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母．探究点二：二次根式的加减运算计算：(1)23－63；(2)80－20＋5； (3)239x ＋6x4－2x 1x. 解析：(1)直接把二次根式合并，(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．解：(1)23－63＝(2－6)3＝－43；(2)80－20＋5＝45－25＋5＝(4－2＋1)5＝35； (3)239x ＋6x4－2x 1x＝2x ＋3x －2x ＝3x. 方法总结：将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并． 探究点三：二次根式乘法公式计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．解析：将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简． 解：原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.方法总结：结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量． 三、板书设计二次根式的运算⎩⎪⎨⎪⎧乘除法则加减法则乘法公式通过对公式的逆运用，达到化简的目的．学会这种特殊的思考方法．在合作探究过程中，提升学生探究能力和合作意识．通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．第3课时二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝15－2，b ＝15＋2，求a 2＋b 2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解．解：∵a ＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a ＋b ＝25，ab ＝1.∴a 2＋b 2＋2＝（a ＋b ）2－2ab ＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计 二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．。

二次根式教材分析与重难点突破第2课时一、教材分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活运用.对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．本节课的教学重点是：理解二次根式的性质；教学难点是：二次根式性质的灵活运用.二、重难点突破（一）理解二次根式的性质突破建议在探究的过程中得出二次根式的性质对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆.因此，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系.培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力.教学时，可参考如下的问题设计：问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，，.让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.；；；.学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论的.由于，，学生很容易得出，.对于、，学生理解起来有一定得到困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设()，则，把代入，可得，同理可得.问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.对于（≥0）这个性质，可以类似设计如下三个问题：问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，，.问题2 填空：= ，= ，= ，= .问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）问题4 谈一谈你对与的认识.引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别.（二）二次根式性质的灵活运用突破建议精心设计习题灵活运用二次根式的性质二次根式性质的灵活运用，关键在于精心设计好每一道习题.让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.可参考如下的习题设计：1.填一填：(1)；(2)；(3)；(4) . 说明：设计最基础的练习，学生根据二次根式的性质，能直接得出答案.2.算一算：（1）；（2）；（3）；（4）.说明：设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.3.想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？说明：通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.。

第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。

2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。

3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。

2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。

三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。

2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。

3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。

4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。

四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。

2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。

3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。

2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。

3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。

六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。

2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。

3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。

七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。

通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。

18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
不能合并的二次根式，仍要写到结果中．
说明：(1)在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结
合律及去括号、添括号法则仍然适用．
(2)二次根式加减运算的步骤：
①将每个二次根式都化简成最简二次根式；
②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
③合并同类二次根式．
知识点3：二次根式的混合运算(难点)
a1· a2· a3·…· an＝ a1·a2·a3·…·an(a1≥0，
a2≥0，…，an≥0)．
2
(3)若二次根式相乘的结果能写成 a 的形式，则应化简，
如 16＝4.
a
2．除法法则： ＝
b
a
b)(a≥0，b>0)，
a÷
b＝
a÷
(或
b
即两个二次根式相除，根指数不变，只把被开方
数相除．
注意：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、
7 二次根式
第2课时
二次根式的计算

第二章 实数7．二次根式（第2课时）课标与教材：课标要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。

教材分析：教材用类比的方法，引入实数的运算法则，运算律等，并利用这些运算法则、运算率进行有关运算，解决有关实际问题．之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。

教学建议：在教学中先复习有理数的运算律和运算法则，让学生多计算几个能开的尽的几个根式的乘法运算，通过类比，观察得出计算法则。

二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础． 学情分析：学生已经知道的：在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

学生想知道的：怎样进行实数的运算学生能自己解决的：学生已经学习了有理数的运算法则，有了学习经验，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法。

进行类比运算。

根据建构学生需要教师指导解决的：综合运用知识解决问题，进行确定评价。

教学目标：1、知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．（3）正确运用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0） ba b a=（a ≥0， b ＞0） 2、数学思考；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识．3、问题解决：在与他人合作交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。

北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计2一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册7的一章，主要介绍二次根式的概念、性质和运算。

本章内容在数学体系中具有重要的地位，为学习高中数学打下基础。

本节课的教学内容主要包括二次根式的定义、性质和运算法则。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，并通过实例让学生体会二次根式的性质。

三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算法则；3.能够运用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，让学生感受数学与生活的联系；2.启发式教学法：引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，培养学生的抽象思维能力；3.案例教学法：通过典型例题，让学生掌握二次根式的性质和运算法则；4.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的相关图片和实例；2.练习题：准备一些具有代表性的练习题，用于巩固所学知识；3.教学视频：寻找一些与二次根式相关的教学视频，用于拓展学生的知识视野。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如轮椅的高度、运动员跳远距离等，引导学生思考这些实例与二次根式之间的关系。

2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义、性质和运算法则，让学生跟随讲解，理解并掌握这些知识点。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（5分钟）通过一些具有代表性的例题，让学生运用二次根式解决实际问题，进一步巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）播放一些与二次根式相关的教学视频，让学生了解二次根式在实际应用中的广泛性，拓宽知识视野。

2.7 二次根式第2课时二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。

如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。

2．二次根式的主要性质（1）；（2）；（3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。

3．注意与的运用。

【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________；（1；（4=________．（3一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1（1（2（3（4例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值． 三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式；(3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。