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3复变函数的极限连续性、导数与解析函数1、函数zw 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上的什么曲线？ （1）922=+y x （2）0=+x y 【解】 曲线为 【解】 曲线为)sin (cos 3t i t z +=, it t z -=,则 则)sin (cos 311t i t z w -==, i t t z w 221+==, 即 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.sin 31,cos 31t v t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,2t v t u 从而 从而9122=+v u . v u =. （3）1=y （4）1)1(22=+-y x 【解】 曲线为 【解】 曲线为i t z +=, t i t z sin )cos 1(++=,则 则11122+-+==t i t t z w , t i z w tan 21211-==, 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.11,122t v t t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.tan 21,21t v u 从而 从而, 对任意的v ，有41)21(22=++v u . 21=u . ………………………………………………………………………………………………………2、已知映射3z w =, 求: （1）点i z i z i z +=-==3,1,321在w 平面上的象;【解】 i z w -=)(1; i z w 22)(2--=; i z w 8)(3=. （2）射线0,≥=x x y 在w 平面上的象;【解】 曲线为 i t z +=, 则i t t z w 33322+-==,即32t u -=, 32t v =)0(≥t从而0=+v u )0(≥v .（3）区域3arg 0π<<z 在w 平面上的象;【解】 由于3arg 0π<<z , 且3z w =, 故π<<w arg 0. ………………………………………………………………………………………………………3、证明复变函数z i z w arg ln +=在原点与负实轴上不连续.[证] 由于当0=z 时, z ln 不存在, 故函数在原点处不连续; 当0≠+=iy x z 时i z w y π+=+→||ln lim 0, i z w y π-=-→||ln lim 0故函数在负实轴上不连续.………………………………………………………………………………………………………4、利用导数的定义证明211z z -='⎪⎭⎫ ⎝⎛. [证] 由定义, 有z z z z z z ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆+='⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆11lim 10201)(1lim z z z z z -=∆+-=→∆. ………………………………………………………………………………………………………5、指出下列函数)(z f w =的解析区域、奇点，在解析区域求其导数.（1）z i z w )3(3++=【解】 函数无奇点, 在整个复平面内处处解析，且导数为i z w ++='332.（2）112+=z w 【解】 函数的奇点为i z ±=, 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为22)1(2+-='z z w . （3）1143++=z z w 【解】 函数有四个奇点, 分别为 )1(22i z ±=,)1(22i z ±-=. 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为2442)1()43(+--='z z z z w . （4）)0(≠-++=bc ad d c b a dcz b az w 为复常数且、、、 【解】 当0=c 时, 函数在复平面上无奇点, 处处解析, 此时da w ='; 当0≠c 时, 函数在复平面上有奇点cd z -=, 除奇点外处处解析, 此时 2)(d cz bc ad w +-='. ………………………………………………………………………………………………………。
1.6复数的极限及连续性
一.函数的极限
定义：若存在数A ，0)
0,,δρεδ
ε<≤∀>∃（（）当00z z δ<-<时，有()f z A ε-<，则称A 为()f z 为0z z →时的极限，记作0
lim ()z z f z A →=或当0z z →时，()f z A →。
通俗定义：设函数0(),(,)w f z z U z ρ=∈ ，如果)()(lim 00
z f z f z z =→成立，则称)
(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。
几何意义: 当变点z 一旦进入0z 的充分小去心邻域时,它的象点()f z 就落入A 的一个预先给定的ε邻域中
注：1.意义中0z z →的方式是任意的。
与一元函数相比较要求更高。
2. A 是复数；若()f z 在z 出有极限，则极限是唯一。
二、极限的运算法则
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理一.如果000iy x z +=，则
00
000
00,0000,lim
(,)(,)lim ()lim (,)(,)x x y y z z x x y y u x y u x y f z A u iv v x y v x y →→→→→=⎧⎪==+⇔⎨=⎪⎩
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。
定理二.若0
lim ()lim ()z z z z f z A g z B →→==，则：
[]0
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z A B →→→±=±=±
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z AB →→→==
0000
lim ()()lim (lim ()0)()lim ()z z
z z z z z z f z f z A g z g z g z B
→→→→=≠= 以上定理用极限的定义去证。
例1.22()w x y i x y =+++试证在平面上处处有极限 证明：22,x y x y ++ 在平面上处处有极限 例2.()0z z f z z z z
=+→求在时的极限
证明：2222
2()
()x y f z x y -=+ 在(0,0)处的极限不存在。
例3.Re ()0z
f z z z
=→证明在时的极限不存在
()f z =
(,)(,)0,u x y v x y == , z y kx =当沿直线趋于零时
000
lim (,)x x x x y kx
y kx
u x y →→→→======
例4. () (0) 0 z
f z z z z
=≠→证明函数当时的极限不存在。
解： ,
()z x iy f z u iv =+=+令22
22
(,),x y u x y x y
-=+则222(,),xy v x y x y =+ , z y kx =当沿直线趋于零时222
022lim (,)lim
,1x x y kx
y kx
xy k
v x y x y k →→====++
三、函数的连续性
定义：若0
0lim ()()z z f z f z →=，则称()f z 在处连续；若在区域D 内处处连续，则称
()f z 在D 内连续；若0z z C ∈、，且0
0lim ()()z z f z
f z →=，则称()f z 在曲线C 上点0z 处连续。
注：三要素 由定义、有极限、极限值等于函数值。
定理三、()(,)(,)f z u x y iv x y =+在000z x iy =+处连续000000(,)(,)00(,)(,)
lim
(,)(,)lim
(,)(,)
x y x y x y x y u x y u x y v x y v x y →→=⇔
=
例1.00: () , () .f z z f z z 证明如果在连续那末在也连续
证： ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-，0 () , f z z 由在连续于是00 (,) (,) (, ), u x y v x y x y -和也在处连续0 () f z z 故在连续。
例2.2222()ln()()f z x y i x y =++-
解：22(,)ln()u x y x y =+在复平面内除原点外处处连续22(,)v x y x y =-。
在复平面处处联系。
(,) . f x y 故在复平面内除原点外处处连续 例3.证明()arg f z z =在原点及负实轴上不连续。
(1)()arg f z z = 在原点没有定义，故不连续。
00
0(2) (,0)(0),lim arg , lim arg y y x x x x P x x z z ππ
+-→→→→∀<==- 在负实轴上arg z ∴在负实轴上不连续。
定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数;连续函数的
复合函数仍为连续函数。
由以上讨论01()n n P z a a z a z ⇒=+++ 在整个复平面内连续；()
()()
P z R z Q z =在复平面内除分母为零点外处处连续。
设曲线C 为闭曲线或端点包括在内的曲线段，若()f z 在曲线C 上连续，
0M ⇒∃>在曲线上恒有()f z M ≤.。
