高三文科数学课时复习题19

2019届高三文科数学测试题(二)附答案2019届高三理科数学测试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}2log 2A x y x ==-，若全集U A =，{}12B x x =<<，则U B =（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．设i 是虚数单位，若复数()5i12ia a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．若()0,πα∈，()2sin πcos 3αα-+=，则sin cos αα-的值为（ ） A ．23B ．23-C ．43D ．43-4．设平面向量()3,1=a ，(),3x =-b ，⊥a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．3x =是⊥a b 的充分不必要条件B ．-a b 与a 的夹角为π3 C ．12=bD ．-a b 与b 的夹角为π65．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为3，且经过点()2,2，则双曲线的实轴长为（ ） A ．12B ．1C ．22D ．26．若321n xdx =+⎰，则二项式22nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．45256B ．45256-C ．45128D ．45128-7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为10，4，则输出的a =（ ）A ．0B ．14C ．4D ．28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．169D ．209 9．已知0a >，1a ≠，()2x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有()12f x <则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]10,1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ） A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当1t ，217π2π,123t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12t t ≠时，()()12f t f t =，则()12f t t +=（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．312．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）A ．存在点P 使得1k ≥B ．对于任意点P 都有1k <C ．对于任意点P 都有0k <D ．至少存在两个点P 使得1k =-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量()1,x y =-a ，1≤a ，则事件“y x ≥”的概率为__________．14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠=_________． 15．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．18．（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点． （1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --10请说明理由．21．（12分）已知()()()ln f x x m mx m =+-∈R ， （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭， （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．高三理科数学（二）答 案一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B 二、填空题．13．【答案】1142π-14．【答案】π615．【答案】3 16．【答案】43三、解答题． 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析．【解析】（1）11n n a S +=+，2n ≥，11n n a S -=+，所以()122n n a a n +=≥， 又11a =，所以22a =，212a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12n n a -=． （2）由（1）知()()1212log log 2221n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以()21212n n T n n +-==， 所以()22212111111111......1...1212131n T T T n n n+++=+++≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n++-=-<-．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，平面ABCD 平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC AE ⊥，又∵AE BE ⊥，BCBE B =，∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE △中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ． （2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，()0,0,0E ，设()0,,0P a ，()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，()2,0,2EC =，因为0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅=，所以EC ⊥平面BDF ，故()2,0,2EC =为平面BDF 的一个法向量， 设⊥n 平面BDP ，且(),,x y z =n ，则由BD ⊥n 得220x y z -++=， 由PB ⊥n 得20x ay -=，从而(),2,1a a =-n ，cos ,EC EC EC ⋅<>==n n n，∴cos ,10EC <>=n ，解得0a =或1a =，即P 在E 处或A 处． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题意可知， 4.5x =，21y =，88i ix y x yr -==∑940.924 4.58 5.57===≈⨯⨯，因为[]0.920.75,1∈，所以变量x ，y 线性相关性很强．（2）818222188508 4.521ˆ 2.242048 4.58i ii i i x yx ybx x===⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ21 2.24 4.510.92ay bx =-=-⨯=， 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92yx =+， 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y=⨯+=， 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33． （3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，6，9，12千元， ()1110224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()11192369P X ==⨯⨯=，()111126636P X ==⨯=， 所以奖金总额的分布列如下表：()03691244318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）．【解析】（1，∴22b a=， ∵离心率为2，∴2c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =， 得()()22222400k x k x k ∆-++=>， 设M ，N 的横坐标分别为M x ，N x ，则242M N x x k +=+，∴244M NMN x x p k =++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()110y x k k =--≠，联立椭圆C 的方程，消去y，得()()222242200k x x k ∆+-+-=>，设P ，Q 的横坐标为P x ，Q x ，则242P Q x x k+=+，22222P Q k x x k -=+， ∴)2212k PQ k +==+，)()22221122PMQNk S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令()211k t t +=>，则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上()minPMQNS =四边形21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵()()ln f x x m mx =+-，∴()1f x m x m'=-+， 当0m ≤时，∴()10f x m x m'=->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，∴()11m x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=-=++， 由()0f x '=，得()1,x m m m =-+∈-+∞，1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122ln ln x m mx x m mx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1212e e mxmx x m x m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 构造函数()e mx g x x =-，()e mx g x x =-与y m =图象两交点的横坐标为1x ，2x ，由()e 10mx g x m '=-=可得ln 0mx m-=<， 而()2ln 1m m m >>，∴()ln ,mm m-∈-+∞， 知()e mx g x x =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 可知12ln mm x x m--<<< 欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<-，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫<--∈-+∞ ⎪⎝⎭， 考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭， 令()()2ln 2ln 2ln e 2e mx m mx m m h x g x g x x m m ---⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭， 则()()2ln 2ln e e 2ee 222220e m mxm mxmx mx h x m m m ---⎛⎫'=---=+-≥== ⎪⎝⎭，所以()h x 为增函数，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合1ln m m x m --<<知()10h x <， 即()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭成立，即120x x +<成立． 22．【答案】（1）见解析；（2）54．【解析】（1）将M ⎛ ⎝⎭及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得π1cos 3πsin 3a b ⎧=⎪⎪=，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，ϕ为参数，即2214x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ= （或()222x R y R -+=），将点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=即()2211x y -+=．（2）设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，所以22222222121111cos sin 5sin cos 444OAOBθθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤．【解析】（1）()34f x x x =-++，∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③，解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，可以作出()21,4347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。

人教版高三文科数学课后习题（含答案）课时规范练19函数y课时规范练19 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.(2019宁夏银川模拟)要得到y=sin x 函数的图象,只需将函数y=sin 的图象上所有的点的( )A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π6个单位长度C.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度D.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向左平移π6个单位长度2.已知函数f (x )=cos (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A.关于点(π3,0)对称B.关于直线x=π4对称C.关于点(π4,0)对称D.关于直线x=π3对称3.将函数y=sin 的图象向右平移个单元,再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图象对应的函数的一个单调递增区间为( ) A.[-π12,13π12] B.[13π12,25π12]C.[π12,13π12] D.[7π12,19π12]4.(2019浙江杭州西湖区模拟)据调查,某商品一年内出厂价按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b A>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin(π4x-π4)+6(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2√2sinπ4x+6(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin(π4x+π4)+6(1≤x≤12,x∈N*)5.(2019天津,理7)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=√2,则f3π8=()A.-2B.-√2C.√2D.26.将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,若函数g(x)在区间-上为增函数,则ω的最大值为( )A.3B.2C.32D.547.(2019山东淄博一模)已知函数f(x)=2√3cos x sinx+2cos2x(x∈R),则f(x)在区间0,π2上的最大值为() A.3 B.2C.1D.08.(2019广东湛江模拟)把函数y=f(x)的图象向左平移个单元长度,再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,并且g(x)的图象如图所示,则f(x)的表达式可以为( )A.f(x)=2sin(x+π6)B.f(x)=sin(4x+π6)C.f(x)=sin(4x-π6)D.f(x)=2sin(4x-π6)9.(2019山西大同模拟)若函数f(x)=cos 2x-2cos x在区间-π2,a上的最大值是-1,则a的取值范围是.10.(2019湖南郴州期末)如图为函数f(x)=sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象.(1)求函数f(x)=A sin(ωx+φ)的解析式;(2)若x∈时,函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,求实数m的取值范畴.综合提升组11.(2019湖南衡阳二模)已知函数f(x)=sin x-cos x,将f(x)的图象向右平移个单元,得到函数g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)x∈-的值域为( ) A.[12,1]B.[-1,-12]C.[-1,-√32]D.[√32,1]12.将函数f(x)=2sin 的图象向左平移个单元,再向下平移1个单位,得到g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为( ) A.55π12B.53π12C.25π6D.17π413.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.14.(2019上海徐汇区期中)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表:(1)请写出上表的x1,x2,y2,及函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单元,再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的,纵坐标稳定,得到函数g(x)的图象,求g(x)的解析式及y=lo的单调递增区间.创新应用组15.(2019吉林梅河口市模拟)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部门图象,如图所示,∠ABC=120°,则ω等于( )A.π12B.π6C.π4D.π316.(2019湖南郴州期末)定义运算|a bc d|=ad-bc,如果f(x)=|sinx-12cosx√5|,并且不等式f(x)<m对任意实数x恒成立,则实数< p="">m的取值范围是.参考答案课时规范练19函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.A ∵只需将函数y=sin 的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2(纵坐标不变),可得y=sin 函数的图象;再向右平移个单元长度,可得y=sin x 函数的图象,故选A.2.D 由题意知ω=2,函数f (x )的对称轴满足2x+π=k π(k ∈Z ),解得x=kππ(k ∈Z ),当k=1时,x=π3,故选D .3.C 将y=sin 的图象向右平移个单元,得到y=sin=sin 的图象,再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),所得的图象对应的解析式为y=sin (x -7π12),令2k π-π2≤x-7π12≤2k π+π2,k ∈Z ,解得2k π+π12≤x ≤2k π+13π12,k ∈Z ,当k=0时,所得图象对应的函数的一个单调递增区间为,故选C.4.A 由3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元, 所以当x=3时,函数有最大值为8;当x=7时,函数有最小值4, 即{A +b =8,-A +b =4,解得A=2,b=6.又函数f (x )的周期为T=2(7-3)=8,由T=2πω,得ω=2πT =π4, 且x=3时,函数f (x )有最大值,所以3ω+φ=3×π4+φ=π2+2k π,k ∈Z ,解得φ=-π4+2k π,k ∈Z ; 又|φ|<π2,取k=0,得φ=-π4, 所以f (x )=2sin (π4x -π4)+6. 故选A .5.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.f(x)=A sin ωx.∵g(x)的最小正周期为2π,∴ω=1.∴g(x)=A sin x.由g π4=√2,得A sin π4=√2,∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f3π8=2sin 3π4=√2.故选C.6.C 由题意知,g(x)=2sinωx-+=2sin ωx,由对称性,得,即ω≤,则ω的最大值为.7.A∵f(x)=2√3cos x sin x+2cos2x,x∈[0,π2],∴f(x)=√3sin 2x+2×1+cos2x2=√3sin 2x+cos 2x+1,∴f(x)=2×√32sin 2x+12cos 2x+1=2sin(2x+π6)+1,∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈π6,7π6,∴-12≤sin(2x+π6)≤1,∴0≤2sin(2x+π6)+1≤3,∴f(x)的最大值为3.故选A.8.B∵g(0)=2sin φ=1,即sin φ=1 2,∴φ=5π6+2kπ,k∈Z或φ=π6+2kπ,k∈Z(舍去),则g(x)=2sin(ωx+5π6),又7π12ω+5π6=2kπ,k∈Z,∴ω=(2k-56)×127,当k=1,ω=2,即g(x)=2sin(2x+5π6).把函数g(x)的图象上所有点的横坐标收缩到原来的,得到y=2sin4x+,再把纵坐标收缩到原来的,得到y=sin,再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数f(x)的图象,即g(x)=sin4(x-2π3)+5π6=sin4x-8π3+5π6=sin(4x-11π6)=sin(4x+π),故选B.9.(-π2,π2]f(x)=2cos2x-2cos x-1,令cos x=t,则f(t)=2t2-2t-1,当t=0或t=1时,f(t)=-1,函数开口向上,即t∈[0,1],有最大值-1,∴cos x∈[0,1],则x∈-π2,π2.∴a的取值范围是-π2,π2.10.解 (1)由图象可知,,∴T=π,ω=2,∵2×π6+φ=2kπ,k∈Z,及|φ|<π2,∴φ=-π3,而f(0)=A sin(-π3)=-1,A>0,∴A=2√33,∴f(x)=2√3sin(2x-π).(2)∵x∈[0,π2∴2x-π3∈[-π3,2π3],∴f(x)∈[-1,2√33],又函数y=[f(x)]2-2f(x)-m有零点,∴方程m=[f(x)]2-2f(x)有实根, ∵f(x)∈[-1,2√33],∴[f(x)-1]2-1∈[-1,3],因此,实数m的取值范围为[-1,3].11.A 将函数f(x)=sin x-cos x=sinx-的图象向右平移个单元,得到函数g(x)=sin的图象,则函数y=f(x)g(x)=sinx-·sin=-2sinx-cosx-=-sin=cos 2x.∵x∈[-π12,π6 ],∴2x∈[-π6,π3 ],∴cos 2x∈[12,1], 故选A.12.A由题意得g(x)=2sin2x+π12+π6-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,由g(x1)g(x2)=9,得{g(x1)=-3, g(x2)=-3, 由g(x)=2sin(2x+π3)-1=-3得2x+π3=2kπ-π2,k∈Z,即x=kπ-5π12,k∈Z,由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-17π12,-5π12,7π12,19π12.故当x1=19π12,x2=-17π12时,2x1-x2最大,即2x1-x2=55π12,故选A.13. ∵函数的图象关于点对称,∴2×2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ-5π6,k∈Z,∴f(x)=cos(2x+kπ-5π6),k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos(2x-2m+kπ-5π6)(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-5π6=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k-k1)π2?5π12.∵m>0,∴m 的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).14.解(1)由表格根据五点法作图的纪律,可得=x1-=x2-x1=-x2,解得x1=,x2=,A=,y2=-,T==4π,得ω=,即函数f (x )的解析式为f (x )=√3sin (12x +π3).(2)将函数f(x)=sinx+的图象向右平移个单元,可得y=√3sin 12x-π3+π3=√3sin 12x 的图象;再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的,纵坐标稳定,得到函数g(x)=sin x 的图象.即得y=log(x)-=losin x-,由√3sin x-√32>0,可得sin x>12,要求函数的单调递增区间,即求y=sin x 的减区间,而y=sin x 的减区间为+2kπ,+2kπ(k∈Z),故y=lo g 12g (x )-√32的单调递增区间为π2+2k π,5π6+2k π(k ∈Z ).15.B 由∠ABC=120°,点B 的纵坐标为,得B 与A 横坐标之差为3,则T=4×3=12,即2πω=12, 得ω=π6.故选B . 16.(3,+∞) f (x )=|sinx -12cosx √5|=√5sin x+2cos x=3sin(x+θ),θ为辅助角,由不等式f (x )<m< p="">对任意实数x 恒成立,可得m>f (x )max ,由f (x )的最大值为3,可得m>3.</m<></m对任意实数x恒成立,则实数<>。

课时作业(十九)1．下列命题为真命题的是( )A ．角α＝k π＋π3 (k ∈Z )是第一象限角 B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7 C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B 答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋463°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋103°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋257°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－257°，k ∈Z } 答案 C解析 显然当k ＝－2时，k ·360°＋257°＝－463°，故选C. 3．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为 ( )A ．43B ．－4 3C ．±4 3 D. 3答案 B解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a －4，∴a ＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．2sin1C.2sin1D．sin2答案 C解析∵2R sin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.6．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案 B解析∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.7．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4 B.3π4C.5π4 D.7π4答案 D解析由sin 3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B .∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0. ∴点P 在第二象限．故选B. 9．下列三角函数值结果为正的是 ( )A ．cos100°B ．sin700°C ．tan(－2π3)D ．sin(－9π4)答案 C解析 100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角， ∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0； －9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0. 10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是 ( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ. 11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sin α<α；②若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1； ③若α、β为第一象限角且α>β，则sin α>sin β； ④ cos2>0.以上命题为真命题的有________． 答案 ①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π 解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )． ∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )．由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165. ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.13．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．答案 －43或－433解析 方法一 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433.方法二∵sinα·cosα＝34>0，∴sinα·cosα同号．∴角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴a<0.根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34，解得a＝－43或a＝－43 3.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sin θ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|，∴cos θ2≥sin θ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z.又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2，∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2.故θ2为第三象限角．15．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案－225°，－45°，135°，315°解析若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}．若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}．∴α终边落在x＋y＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}∪{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.16．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得 sin α＝223，cos α＝13.故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )． ∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角； 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0. 在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C.2．(2013·洛阳统考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝() A．80°B．70°C．20°D．10°答案 B解析易知点P到坐标原点的距离为sin240°＋(1＋cos40°)2＝2＋2cos40°＝2＋2×(2cos220°－1)＝2cos20°，由三角函数的定义可知cosα＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°，∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.3．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．4．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y＝x对称，则β＝________.答案－340°5．已知tanθ<0，且角θ终边上一点为(－1，y)，且cosθ＝－12，则y＝________.答案 3解析∵cosθ＝－12<0，tanθ<0，∴θ为第二象限角，则y>0.∴由－11＋y2＝－12，得y＝ 3.6．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？答案分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度解析设经过t小时两针再重合，∵分针每小时转－2π弧度，时针每小时转－π6弧度，∴－π6t－2π＝－2πt，解得t＝12 11.∴分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度．7．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α终边经过点P(－3，y)，且sinα＝34y(y≠0)，试判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值．解析依题意，P到原点O的距离为|PO|＝(－3)2＋y2，∴sinα＝yr＝y3＋y2＝34y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，y＝±213.∴点P在第二或第三象限．当P在第二象限时，y＝213，cosα＝xr＝－34，tanα＝－73.当P在第三象限时，y＝－213，cosα＝xr＝－34，tanα＝738．点P为圆x2＋y2＝4与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周顺时针旋转至点P′，当转过的弧长为2π3时，求点P′的坐标．答案P′(1，－3)解析点P所转过的角POP′的弧度数为α＝－2π32＝－π3.又|OP′|＝2，∴点P′的横坐标x＝2· cos(－π3)＝1，纵坐标y＝2·sin(－π3)＝－3，∴P′(1，－3)．9．(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)cos(sin2θ)的符号是什么？思路(1)由点P所在的象限，可知sinθ、cosθ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cosθ，sin2θ的范围，把cosθ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号．解析(1)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即{sinθ>0，θ<0.所以θ为第二象限角．(2)∵2kπ＋π2<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0,4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，－1≤sin2θ<0. ∴sin(cosθ)<0，cos(sin2θ)>0.∴sin(cosθ)cos(sin2θ)<0.∴sin(cosθ)cos(sin2θ)的符号是负号．。

课时规范练19函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2017湖南邵阳一模,文6)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=〚导学号24190738〛6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号24190739〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号24190740〛综合提升组11.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.〚导学号24190741〛创新应用组14.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号24190742〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.答案：1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin2x+cos2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图象,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值. 8.因为y=sin x-cos x=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解(1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象,再把y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin2,为得到曲线C2:y=sin2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解(1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。

2010年高考考前仿真模拟高三数学试题(文科)参考答案 2010.5一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. AADCB DABDC AB二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 8 14.A=10S 15． 2 16. ①②④三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 解:（Ⅰ）(1cos 2)()622x f x x +=-)36x π=++, ………………３分故f (x )的最小正周期π=T . …………………………………………………………４分由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ.……６分 （II）由()3f α=-)336πα++=-，故cos(2)16πα+=-. ……………………………………………………８分又由02πα<<得2666πππαπ<+<+，因此26παπ+=，∴512πα=. …………………………………………………………１０分则15tan tantan(3)212643πππα+==+==+. ………………………………１２分18．(本小题满分12分)解:（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，AC=22，取AB 中点Ｅ，连接ＣＥ，则四边形ＡＥＣＤ为正方形， ………２分∴ＡＥ＝ＣＥ＝２，又ＢＥ＝221=AB ，则ABC ∆为等腰直角三角形，∴BC AC ⊥， …………………………４分 又 ⊥PA 平面ＡＢＣＤ，⊂BC 平面ABCD ， ∴BC PA ⊥，由A PA AC =⋂得⊥BC 平面ＰＡＣ， ⊂PC 平面ＰＡＣ，所以PC BC ⊥. ………６分(Ⅱ)取P A 的中点G ，连结FG 、DG ， 则1////2G F A B D C ,∴//G F D C . ……８分∴四边形DCFG 为平行四边形，DG//CF. ……１０分 又D G ⊂平面PAD ，C F ⊄平面PAD ，∴CF//平面PAD. ………………………………１２分19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由表知，4500.08t ==， ………………………………２分10.040.380.320.080.18y =----=，500.042x =⨯=，500.3819z =⨯=. ………………………………6分 （Ⅱ）由题知，第一组有2名同学，设为,a b ，第五组有4名同学，设为,,,A B C D . 则,m n 可能的结果为:(,),(,),(,),(,),(,),a b a A a B a C a D (,),(,),(,),(,),b A b B b C b D(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A D B D C D 共15种， ………………………………８分其中使1m n ->成立的有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B a C a D b A b B b C b D 共8种，……………………10分所以，所求事件的概率为815. ………………………………12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()113,213n n n n a S n n a S n +-=-+≥=--+ 时， , …………２分 ,12,111-=-=-∴++n n n n n a a a a a 即112(1),(2,),n n a an n +∴-=-≥∈N * ……………………………４分2221(1)232n n n a a --∴-=-=∙=n a ⎩⎨⎧≥+∙=-2,1231,22n n n ……………………………6分 （Ⅱ）113322n n n S a n n -+=+-=∙+- ,123-∙=∴n n n b ………………………………………………8分⎪⎭⎫⎝⎛++++=∴-1222322131n n n T⎪⎭⎫⎝⎛++++=nn n T 2232221312132 相减得，⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-n n n n T 22121211312112 ,……………………………１０分 n n n nT 23221134∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴﹤34. ……………………………12分∴结论成立. 21．(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)设与22142xy+=相似的椭圆的方程22221x y ab+=则有222461a b ab⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………3分 解得2216,8a b ==.所求方程是221168xy+=. ………………6分(Ⅱ) 当射线l的斜率不存在时(0,(0,A B ±.设点P 坐标P(0,0)y ,则204y =,02y =±.即P(0,2±). ………………8分当射线l 的斜率存在时，设其方程y kx =,P(,)x y 由11(,)A x y ,22(,)B x y 则112211142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2122212412412x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩||O A ∴=同理||O B =………………10分当l 的斜率不存在时，||||4O A O B == ,当l 的斜率存在时,2228(1)4||||41212b OA OB kk+==+++ ,4||||8OA OB ∴<≤ ,综上,||||OA OB 的最大值是8,最小值是4. ………………12分 22．(本小题满分14分)解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………………………１分 当0a =时，1()2ln f x x x=+，∴222121()x f x xxx-'=-=.…………………２分由()0f x '=得12x =.()f x ，()f x '随x 变化如下表:故，m in 1()()22ln 22f x f ==-，没有极大值. …………………………４分（II ）由题意，222(2)1()ax a x f x x+--'=.令()0f x '=得11x a=-，212x =. ………………………６分若0a >，由()0f x '≤得1(0,]2x ∈；由()0f x '≥得1[,)2x ∈+∞. …………７分若0a <，①当2a <-时，112a-<，1(0,]x a∈-或1[,)2x ∈+∞，()0f x '≤；11[,]2x a ∈-，()0f x '≥.②当2a =-时，()0f x '≤. ③当20a -<<时，112a ->，1(0,]2x ∈或1[,)x a∈-+∞，()0f x '≤；11[,]2x a∈--，()0f x '≥.综上，当0a >时，函数的单调递减区间为1(0,]2，单调递增区间为1[,)2+∞；当2a <-时，函数的单调递减区间为1(0,]a -，1[,)2+∞，单调递增区间为11[,]2a -；当20a -<<时，函数的单调递减区间为1(0,]2，1[,)a -+∞，单调递增区间为11[,]2a--.…………………………１０分(Ⅲ) 当2a =时，1()4f x x x=+，2241()x f x x-'=.∵11[,6]2x n n∈++，∴()0f x '≥.∴m in 1()()42f x f ==，m ax 1()(6)f x f n n=++. …………………………１２分由题意，11()4(6)2m f f n n<++恒成立.令168k n n=++≥，且()f k 在1[6,)n n+++∞上单调递增，m in 1()328f k =，因此1328m <，而m 是正整数，故32m ≤，所以，32m =时，存在123212a a a ==== ，12348m m m m a a a a ++++====时，对所有n 满足题意.∴32m ax m =. …………………………………１４分。

最新高考数学模拟试卷〔文科〕〔5月份〕一、选择题：本大题共10小题．每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为〔〕A．〔2，1〕B．〔1，﹣2〕C．〔1，2〕D．〔2，﹣1〕2．设平面向量，假设，则等于〔〕A．B．C．D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln〔x2﹣3x〕}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是〔〕A．B．C．D．4．甲几何体〔上〕与乙几何体〔下〕的组合体的三视图如下图，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于〔〕A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π5．函数y=的图象可能是〔〕A． B． C． D．6．设f〔x〕=x+sinx〔x∈R〕，则以下说法错误的选项是〔〕A．f〔x〕是奇函数B．f〔x〕在R上单调递增C．f〔x〕的值域为R D．f〔x〕是周期函数7．执行如下图的程序框图，输出的x值为〔〕A．4 B．5 C．6 D．78．函数的部分图象如下图，则=〔〕A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．109．设x，y满足约束条件，假设z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=〔〕A．B．C．D．10．已知函数g〔x〕=x﹣1，函数f〔x〕满足f〔x+1〕=﹣2f〔x〕﹣1，当x∈〔0，1]时，f 〔x〕=x2﹣x，对于∀x1∈〔1，2]，∀x2∈R，则〔x1﹣x2〕2+〔f〔x1〕﹣g〔x2〕〕2的最小值为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温〔°C〕18 13 10 ﹣1用电量〔度〕24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．12．已知函数f〔x〕=x2+2bx的图象在点A〔0，f〔0〕〕处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，假设数列的前n项和为S n，则S2016= ．13．假设log4〔3a+4b〕=log2，则a+b的最小值是．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，假设抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是〔e为双曲线的离心率〕，则e的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=〔sinx，2〕，=〔2cosx，cos2x〕，函数f〔x〕=•，〔1〕求函数f〔x〕的值域；〔2〕在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f〔A〕=2，sinB=2sinC，求边c．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛〔NEPCS〕”，先在本校进行初赛〔总分值150分〕，假设该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如下图的频率分布直方图．〔1〕根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；〔2〕该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．〔Ⅰ〕求证：DE∥平面ACF；〔Ⅱ〕求证：CG⊥平面BDE；〔Ⅲ〕假设AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项；〔Ⅱ〕设{b n﹣〔﹣1〕n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数，对任意的x∈〔0，+∞〕，满足，其中a，b为常数．〔1〕假设f〔x〕的图象在x=1处切线过点〔0，﹣5〕，求a的值；〔2〕已知0＜a＜1，求证：；〔3〕当f〔x〕存在三个不同的零点时，求a的取值范围．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2〔两点均不在坐标轴上〕，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？假设存在，求此圆的方程；假设不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为〔〕A．〔2，1〕B．〔1，﹣2〕C．〔1，2〕D．〔2，﹣1〕【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算分钟化简复数为：a+bi的形式，即可得答案．【解答】解：∵复数===2+i．∴复数在复平面内对应的点的坐标为〔2，1〕．故选：A．2．设平面向量，假设，则等于〔〕A．B．C．D．【考点】平面向量共线〔平行〕的坐标表示；向量的模．【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=〔﹣3，6〕，由此能求出．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=〔2，﹣4〕，=〔﹣3，6〕，∴==3．故选：D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln〔x2﹣3x〕}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜16}=〔﹣2，4〕，B={x|y=ln〔x2﹣3x〕}=〔0，3〕，∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是=故选：C．4．甲几何体〔上〕与乙几何体〔下〕的组合体的三视图如下图，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于〔〕A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，乙几何体为圆锥，结合体积公式进行比较即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，球的半径为1，故V1=，乙几何体为圆锥，底面半径为2，高为3，故V2=×π×22×3=，∴V1：V2=1：3，故选：B．5．函数y=的图象可能是〔〕A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的表达式得出函数的奇偶性，根据奇函数图象关于原点对称，再利用特殊值法排除D选项即可．【解答】解：定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，且函数为奇函数，∴图象关于原点对称，排除A，C，当x为无穷大时，显然函数值为正，故排除D，故选：B．6．设f〔x〕=x+sinx〔x∈R〕，则以下说法错误的选项是〔〕A．f〔x〕是奇函数B．f〔x〕在R上单调递增C．f〔x〕的值域为R D．f〔x〕是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，即可判断f〔x〕为奇函数，从而A正确；利用f′〔x〕=1﹣cosx≥0，可得函数f〔x〕在R上单调递增，B正确；根据f〔x〕在R上单调递增，可得f〔x〕的值域为R，故C正确；由f〔x〕不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f〔﹣x〕=﹣x+sin〔﹣x〕=﹣〔x+sinx〕=﹣f〔x〕，所以f〔x〕为奇函数，故A正确；因为f′〔x〕=1﹣cosx≥0，所以函数f〔x〕在R上单调递增，故B正确；因为f〔x〕在R上单调递增，所以f〔x〕的值域为R，故C正确；f〔x〕不是周期函数，故选：D．7．执行如下图的程序框图，输出的x值为〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．【解答】解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．8．函数的部分图象如下图，则=〔〕A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A〔2，1〕．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B〔3，﹣1〕．∴=〔8，﹣1〕•〔1，﹣2〕=8+2=10，故选：D．9．设x，y满足约束条件，假设z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=〔〕A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m 的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A〔1，2〕，联立，解得B〔m﹣1，m〕，化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣〔4m﹣1〕=7，解得：m=．故选：C．10．已知函数g〔x〕=x﹣1，函数f〔x〕满足f〔x+1〕=﹣2f〔x〕﹣1，当x∈〔0，1]时，f 〔x〕=x2﹣x，对于∀x1∈〔1，2]，∀x2∈R，则〔x1﹣x2〕2+〔f〔x1〕﹣g〔x2〕〕2的最小值为〔〕A．B．C．D．【考点】全称命题．【分析】函数f〔x〕满足f〔x+1〕=﹣2f〔x〕﹣1，当x∈〔0，1]时，f〔x〕=x2﹣x，∀x1∈〔1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f〔x1〕=﹣2f〔x1﹣1〕﹣1﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f〔x〕满足f〔x+1〕=﹣2f〔x〕﹣1，当x∈〔0，1]时，f〔x〕=x2﹣x，∀x1∈〔1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f〔x1〕=﹣2f〔x1﹣1〕﹣1=﹣2﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8〔5+m〕=0，解得m=．∴两条平行线y=x﹣1与y=x﹣的距离d==．∴〔x1﹣x2〕2+〔f〔x1〕﹣g〔x2〕〕2的最小值为．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温〔°C〕18 13 10 ﹣1用电量〔度〕24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68 ．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得，为：〔10，40〕，又在回归方程上且b=﹣2∴40=10×〔﹣2〕+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．当x=﹣4时，y=﹣2×〔﹣4〕+60=68．故答案为：68．12．已知函数f〔x〕=x2+2bx的图象在点A〔0，f〔0〕〕处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，假设数列的前n项和为S n，则S2016= ．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕=x2+2bx的图象在点A〔0，f〔0〕〕处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′〔0〕=0+2b=1，即b=，∴f〔x〕=x2+x，==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．13．假设log4〔3a+4b〕=log2，则a+b的最小值是7+4．【考点】基本不等式．【分析】log4〔3a+4b〕=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4〔3a+4b〕=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，假设抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是〔e为双曲线的离心率〕，则e的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．【解答】解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1〔a＞b＞0〕的左焦点，∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，即准线被双曲线C截得的弦长为：，∵抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2〔c2﹣a2〕，∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴渐近线y=x的斜率＜1，即b＜c，则b2＜c2，即c2﹣a2＜a2，则c2＜2a2，c＜a，则e=＜∴e=．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=〔sinx，2〕，=〔2cosx，cos2x〕，函数f〔x〕=•，〔1〕求函数f〔x〕的值域；〔2〕在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f〔A〕=2，sinB=2sinC，求边c．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】〔1〕根据向量的坐标运算以及二倍角公式，化简求出f〔x〕，根据三角函数的性质求出值域；〔2〕先求出A的大小，再根据正弦余弦定理即可求出．【解答】解：〔1〕∵=〔sinx，2〕，=〔2cosx，cos2x〕，∴f〔x〕=•=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin〔2x+〕+1，∵﹣1≤sin〔2x+〕≤1，∴﹣1≤2sin〔2x+〕+1≤3，∴函数f〔x〕的值域为[﹣1，3]；〔2〕∵f〔A〕=2，∴2sin〔2A+〕+1=2，∴sin〔2A+〕=∴2A+=2kπ+，或2A+=2kπ+，k∈Z，∴A=kπ，〔舍去〕，A=kπ+，k∈Z，∵0＜A＜π，∴A=，∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，∵a=2，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3c2=4，解得c=．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛〔NEPCS〕”，先在本校进行初赛〔总分值150分〕，假设该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如下图的频率分布直方图．〔1〕根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；〔2〕该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】〔1〕根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；〔2〕利用频率分布直方图计算分数在[110，130〕和[130，150〕的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．【解答】〔1〕设初赛成绩的中位数为x，则：〔0.001+0.004+0.009〕×20+0.02×〔x﹣70〕=0.5…解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…〔2〕该校学生的初赛分数在[110，130〕有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150〕有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有〔A，B〕，〔A，C〕，〔A，D〕，〔A，a〕，〔A，b〕，〔B，C〕，〔B，D〕，〔B，a〕，〔B，b〕，〔C，D〕，〔C，a〕，〔C，b〕，〔D，a〕，〔D，b〕，〔a，b〕共15个基本领件，其中符合题设条件的基本领件有8个…故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=…18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．〔Ⅰ〕求证：DE∥平面ACF；〔Ⅱ〕求证：CG⊥平面BDE；〔Ⅲ〕假设AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；〔Ⅱ〕由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；〔Ⅲ〕由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：〔Ⅰ〕连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；〔Ⅱ〕∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：〔Ⅲ〕∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项；〔Ⅱ〕设{b n﹣〔﹣1〕n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】〔Ⅰ〕设出等差数列的公差，结合a1=2，且a2，a4，a8成等比数列列式求出公差，则数列{a n}的通项可求；〔Ⅱ〕把数列{a n}的通项代入b n﹣〔﹣1〕n a n，由{b n﹣〔﹣1〕n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71列式求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，则数列{b n}的通项可求，然后分n为奇数和偶数利用分组求和得答案．【解答】解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公差为d〔d≠0〕，∵a1=2且a2，a4，a8成等比数列，∴〔3d+2〕2=〔d+2〕〔7d+2〕，解得d=2，故a n=a1+〔n﹣1〕d=2+2〔n﹣1〕=2n．〔Ⅱ〕令，设{c n}的公比为q，∵b2=7，b5=71，a n=2n，∴c2=b2﹣a2=7﹣4=3，c5=b5+a5=71+10=81，∴，故q=3，∴，即，∴．T n=b1+b2+b3+…+b n=〔30+31+…+3n﹣1〕+[﹣2+4﹣6+…+〔﹣1〕n2n]当n为偶数时，；当n为奇数时，=．∴．20．已知函数，对任意的x∈〔0，+∞〕，满足，其中a，b为常数．〔1〕假设f〔x〕的图象在x=1处切线过点〔0，﹣5〕，求a的值；〔2〕已知0＜a＜1，求证：；〔3〕当f〔x〕存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】〔1〕由求得a=b，代入原函数求得则f′〔1〕，再求出f〔1〕由直线方程点斜式求得切线方程，代入〔0，﹣5〕求得a=﹣2；〔2〕求出=，令g〔x〕=〔0＜x＜1〕，利用导数求得g〔x〕在〔0，1〕上为减函数，则由g〔x〕＞g〔1〕＞0得答案；〔3〕求出函数f〔x〕=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′〔x〕＞0，f〔x〕为〔0，+∞〕上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f〔x〕在〔x1，1〕上递增，得f〔x1〕＜f〔1〕=0，再由，可得存在，使得f〔x0〕=0，结合，f〔1〕=0，可得使f〔x〕存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是〔0，〕．【解答】〔1〕解：由，且，得，即，∴a=b．则f〔x〕=lnx﹣ax+，∴，则f′〔1〕=1﹣2a，又f〔1〕=0，∴f〔x〕的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=〔1﹣2a〕〔x﹣1〕，即y=〔1﹣2a〕x﹣1+2a．∵〔0，﹣5〕在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；〔2〕证明：∵f〔x〕=lnx﹣ax+，∴=，令g〔x〕=〔0＜x＜1〕，则=＜0．∴g〔x〕在〔0，1〕上为减函数，∵x∈〔0，1〕时，g〔x〕＞g〔1〕=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；〔3〕由f〔x〕=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f〔x〕为〔0，+∞〕上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f〔x〕为〔0，+∞〕上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈〔0，〕，〔〕时，f′〔x〕＜0；当x∈〔〕时，f′〔x〕＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f〔x〕在〔x1，1〕上递增，∴f〔x1〕＜f〔1〕=0，又，∴存在，使得f〔x0〕=0，又，f〔1〕=0，∴f〔x〕恰有三个不同的零点．综上，使f〔x〕存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是〔0，〕．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2〔两点均不在坐标轴上〕，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？假设存在，求此圆的方程；假设不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．〔Ⅱ〕当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…〔Ⅱ〕结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2〔r＞0〕．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得〔4k2+1〕x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得〔k2+1〕x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…2016年6月14日。

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。

重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解； 当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则 f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】 [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). 9分又f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴0<|x －1|<16， 解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. 12分重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．]2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A ．2－1 B ．1 C ． 2D ．2B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0A [取AB的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)，所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．]8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. －25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影 之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．]2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．] 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分(2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ [解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0.③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分重点强化训练(四) 直线与圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·西安五校联考)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．] 2．(2018·深圳模拟)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( ) 【导学号：00090287】 A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1， 即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________. 2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直． 因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：00090289】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． [解] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3，－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.6分所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 10分所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大． 由点P (1,1)知k OP ＝1， 所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3. 若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5. 8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直， 于是有y 0－2x 0－3＝1， 整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b2. 10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0， 于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数B ． 12分重点强化训练(五) 统计与统计案例A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 【导学号：00090343】A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．]4．(2018·黄山模拟)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y( )【导学号：00090344】A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．(2018·郑州模拟)利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．] 二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160 [设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：参考附表：99% [假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得χ2＝－2 60×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．(2017·太原模拟)数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.图12129 [该算法框图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129.] 三、解答题9．(2018·合肥模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． [解] (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，10分其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分 所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解] (1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1． 如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) 【导学号：00090345】图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．(2017·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7 [因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8， 所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2， 所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。

2019年高三阶段考试-文科数学参考答案一、单选题：每小题5分二、填空题：每小题5分13．3 14．()12n n+15．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭16．12±三、解答题17．(本小题满分10分)【解析】（Ⅰ）由2171272128a a dS a d=+=⎧⎨=+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，所以n a n=.（Ⅱ）14nnb-=，所以{}n b的前n项和1441143n nnT--==-.18．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ22sinB B=，所以2cos2sinB B B=.因为0πB<<，所以sin0B≠，所以tan B=，所以π3B=.（Ⅱ）由ABCS∆=，4a=，π3B=，得1π4sin23c⋅⋅⋅=解得6c=.由余弦定理可得222π46246cos283b=+-⨯⨯⨯=，解得b=19．(本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ） ()=2f x ax b '+，依题设，有(3)=5(3)=7f f '⎧⎨⎩，即6=5931=7a b a b +⎧⎨++⎩，解得=1=1a b ⎧⎨-⎩ 2()=1f x x x -+.（Ⅱ）方程()e xf x k =，即21e xx x k -+=，可化为21e xx x k -+=，记21g()exx x x -+=，则(1)(2)g ()e x x x x ---'=， 令g ()0x '=，得121,2x x ==当x 变化时，g ()x '、g()x 的变化情况如下表：所以当1x =时，g()x 取极小值e ；当2x =时，g()x 取极大值23e， 方程()e xf x k =恰有两个不同的实根，即直线y k =和函数21g()e xx x x -+=图象有两个不同的交点，作出图象可知1e k =或23ek =．20．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ）21(cos cos +2f x x x x -1=2cos 222x x - π=sin(2)6x -，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+解得π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z所以()f x 单调减区间为π5π[π,π]36k k ++，k ∈Z . （Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤， 所以1sin 226x π-≤-≤（）1. 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为1(1,)2--.21．(本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ）∵1n n S a =-+ ①111n n S a ++=-+ ②②-①得11n n n a a a ++=-+ 即112n n a a +=∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列 ∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（Ⅱ）由12n n a =，∴2n nn n b n a ==⨯ ∴23222322nn T n =+⨯+⨯++⨯ ③左右两边乘于2得()2312222122n n n T n n +=+⨯++-+⨯ ④③-④得23122222n n n T n +-=++++-⨯()1212212nn n +-=-⨯-()1122n n +=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+22．(本小题满分12分) 【解析】 （I ） ()2ln xf x x -'=故切线的斜率为()21e e f '=-，又2(e)=e f ∴切线方程为：()221e e ey x -=--，即2e 3e 0x y +-=（II ）.当01x <<时，()0,f x '>当x >l 时，()0f x '<()f x 在（0，1）上单调递增,在（1.+∞）上单调递减。