2014年海淀区高三二模数学练习参考答案(理科)2014.5

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．1y x =+B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲2=-+y x 02=+-y kx A=-x y的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.D3.D4. A5.B6. B7.C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.9610.1611.212.3413.32414.9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解： （Ⅰ）π()sin3f x x = ---------------------------2分(1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分π3sinsin 03=-=.-------------------------------5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-------------------------------6分πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1π3πsin 233t t =-------------------------------8分ππsin()33t =--------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，------------------------------11分所以π1sin()[1,]332t π-∈-，-----------------------------12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2------------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}X 的分布列为：X136147154189203P110310 210 310110--------------------------------------9分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元--------------------------------------11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD .--------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ---------------------------4分不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，3AE =23BC =3BF =则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),3),((3,2,0)3E D B AF C --------5分 (3,1,0),(0,1,3)DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA . -----------------------------------6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,30.x y y z +=-=⎪⎩ 令1z =，则3,1y x ==，所以3,1)=-n .------------------------------------8分平面DCB 的法向量为EA 所以5cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ， 所以二面角A DC B --5------------------------------9分（Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于3(3)3AF =， yzxE CA 1D F所以3(3)3AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以3,0,(1)33EM EA AM λ⎛=+=- ⎝--------------------------11分由0EM ⋅=n ，即3303λλ=-(1-）---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分 18．解（Ⅰ）e axy a '=，-----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=.----------------------------------4分解得1m =，2a =-----------------------------------5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0axax b -->恒成立，--------------------------------------6分令()e axg x ax b =--，----------------------------------------7分①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；----------------------------------------8分②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分'(),g x 的情况如下：x0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g x -+()g x极小值-----------------------------------------11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，-------------------------------------------12分所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．--------------------------------------13分法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e tb t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1tg t '=-，-----------------------------------------7分由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分'(),(g t g t 的情况如下：t 0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g t -+()g t极小值-----------------------------------------11分所以()e tg t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分19．解：（Ⅰ）设00(,)A x y ,00(,)-B x y ，---------------------------------------1分因为∆ABM 为等边三角形，所以003||1|=-y x . ---------------------------------2分又点00(,)A x y 在椭圆上，所以0022003|||1|,3239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，-----------------------------------------3分得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分当02=x 时，23||3=AB ； 当043=-x 时，143||9=AB .-----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，------------------6分由0∆>得到222960--<m k ① ----------------------------7分所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k ， ----------------------------8分所以2232(,)2323-++km mN k k ，又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， --------------------------9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，------------------------------10分化简2320k km ++=，②------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，-------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以222221111121||(1)(1)3(3)133MA x y x x x =-+=-+-=-+----------------8分 设22(,)B x y ，同理可得221||(3)13MB x =-+2[3,3]x ∈- -----------------9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分所以∆ABM 不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ，，由正交点列的定义可知12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩解得25=⎧⎨=⎩x y 所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分 （Ⅱ）由题可得122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ，则有11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列；②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数, 由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ，--------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分∴3().11P A =-----------------------------------------10分（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分 17.解： （I ）1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分（II ）面DEF //面1ABC ，面ABC面DEF DE =，面ABC面1ABC AB =，AB ∴//DE ， ---------------------------7分在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB AC ⊥， 1AB AC A =，1A C ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分1A C ∴⊥1BC . -------------------------------12分又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1EF AC ∴⊥. ------------------------------141分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， -----------------------------------5分0a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分()f x ∴与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分（Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， ----------------------------12分综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞. -------------------------------13分 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1xM y +. ----------------------------------------------8分 所以000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ -------------------------------------------9分所以200011x AM AD y y -⋅=-++，---------------------------------------------10分又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ --------------------11分因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. -----------------------------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+， -------------------------------------8分所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1kj S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S Sb b b m m ====<-，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+-整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d . --------------------------------------------------13分。

北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科） 2014.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A.{|1}x x >B.{|1}x x >-C.{|1}x x <D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为A. 210x x x ∃∈+->R ，B.210x x x ∀∈+-≥R ，C. 210x x x ∃∉+-≥R ，D.210x x x ∀∉+->R ，3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是A.3y x =B.y =C.cos y x =D.2x y =4．设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5.下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内,且到直线10x y -+=点是A.(1,1)-B.(2,1)-C.(0,3)D.(1,1) 6.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλA. 2B. 2-C. 3D. 3-7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为A.①②B. ②③C. ①③D. ①②③8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2+i 的模等于______.10. 若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：①sin 2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin 2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .2单株产量（千克）区域代号1D三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分13分）下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC，11,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .18.（本小题满分13分）已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G 短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k = ，均有ki a k S ≤-1（其中12k k S a a a =+++ ），则称数列{}n a 为“Γ数列”．（Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和2323333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k = 恒成立；（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,,m b b b均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.AB俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.1图 图 2B F18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)1((2)f >的只可能是A BC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为 线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点 的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______. 10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 11.如图，AB 切圆O 于B ，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=________. 14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围. 16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、10天的数据，制表如下：35件以内（含35AB D俯视图主视图侧视图件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1) 处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(Ⅱ)对任意实数a ， 曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点， 点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科）2014．5第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞2．在复平面内，复数2(12i)z =+对应的点位于（ ）．A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）． A ．5 B ．52C ．3D ．324．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）．A ．2A ∈，且4A ∈B ．2A ∈，且4A ∈C ．2A ∈，且25A ∈D ．2A ∈，且17A ∈5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）． A ．1B ．2C ．π2D ．π7．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩………所表示的平面区域是α，不等式组04,010x y ⎧⎨⎩剟剟所表示的平面区域是β．从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是（ ）．A ．14B ．35C ．34D ．158．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①()x Ω的最大值为2；②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]； ③()()x y Ω-Ω恒等于0． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为_________．10．在ABC V 中，若14,3,cos 3a b A ===，则sin A =______，B =______．11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦，AB 与CD 相交于点E ，且4,:4:1C E D E A E B E ===，则AE =_______；ACBD=______．12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为_________．13．设抛物线2:4C y x =的焦点为,F M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则MF M N +的取值范围为_________．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n(,)m n(,)n m(,)f x yn m n - m n +则(3,5)f =_______，使不等式(2,)4x f x …成立的x 集合是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(cos ,2sin ),(sin ,0)A B θθθ，其中θ∈R ． （I ）当2π3θ=，求向量AB uu u r 的坐标； （II ）当π[0,]2θ∈时，求AB uu u r 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．． B 班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （II ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III ）现从A 班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X 表示其中视力大于46．的人数，求X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥底面,,ABC AC BC H ⊥为PC 的中点，M 为AH 的中点，2,1P A A C B C ===（I ）求证：AH ⊥面PBC ；（II ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值 （III ）设点N 在线段PB 上，且,PNMN PBλ=∥平面ABC ，求实数λ的值．18．（本小题满分13分）已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R（I ）若0a =，求函数()f x 的极值；（II ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间． 19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22:143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称．20．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*1,n n n a a a +∈<N ．设*m ∈N ，记使得n a m …成立的n 最大值为m b ．（I ）设数列为1，3，5，7，L ,写出123,,b b b 的值； （II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（III ）设12,p p a q a a a A =+++=L ，求12q b b b +++L 的值．（用,,p q A 表示）北京市西城区2014年高三二模试卷高三数学（理科）2014.5 参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．D ；5．B ； 6．B ； 7．C ； 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 20 ； 10． 223， π4 ； 11． 8 ， 2 ；12． 13-； 13． [3,+)∞ ； 14． 8 ， {1,2}； 注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得(sin cos ,2sin )AB θθθ=--， ……………… 2分当 2π3θ=时，2π2π13sin cos sin cos 332θθ+-=-=， ……………… 4分 2π62sin 2sin 32θ-=-=-， 所以 136(,)22AB +=-. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 (sin cos ,2sin )AB θθθ=--，所以 222||(sin cos )(2sin )AB θθθ=-+- ……………… 7分21sin 22sin θθ=-+ ……………… 8分1sin 21cos 2θθ=-+- ……………… 9分π22sin(2)4θ=-+. ……………… 10分因为 π02θ≤≤，所以 ππ5π2444θ+≤≤. ……………… 11分所以当π5π244θ+=时，2||AB 取到最大值22||22()32AB =-⨯-=，…… 12分即当π2θ=时，||AB 取到最大值3. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +，………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. ……………… 4分（Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A 班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X 的所有可能取值为0，1，2. ……………… 8分所以 3335C 1(0)C 10P X ===；……………… 9分213235C C 3(1)C 5P X ===； ……………… 10分123235C C 3(2)C 10P X ===. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列如下：X0 1 2 P11035310……………… 12分故1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， ……………… 1分 又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……………… 2分 又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. ……………… 3分 因为 ，AC PA =H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥，又因为 PC BC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ， 所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . ……………… 6分设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 8分 设PM 与平面AHB 成角为θ，因为)23,21,0(-=PM ，所以 1320(1)1()22sin cos ,562PM PM PM θ⨯+-⨯+⨯-⋅=<>==⋅⋅n n n， 即 215sin 15θ=.……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-， 又因为 13(0,,)22PM =-，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分 因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =，所以 340MN AP λ⋅=-=， 解得 43=λ. ……………… 14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数1e ()44x f x x +=+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. ……………… 1分11122e (44)4e 4e ()(44)(44)x x x x xf x x x ++++-'==++. ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x(,1)-∞- (1,0)-(0,)+∞()f x '--+()f x↘↘↗……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．ABCPHMNz x yD所以当0x =时，函数()f x 有极小值e(0)4f =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：因为 1a >，所以 22244(2)(1)0ax x x a x ++=++->，所以函数()f x 的定义域为R ， ……………… 7分求导，得12112222e (44)e (24)e (42)()(44)(44)x x x ax x ax x ax a f x ax x ax x +++++-++-'==++++，…… 8分令()0f x '=，得10x =，242x a=-， ……………… 9分 当 12a <<时，21x x <，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x4(,2)a-∞-42a -4(2,0)a-(0,)+∞()f x '+-+()f x↗↘↗故函数()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞． ……………… 11分当 2a =时，210x x ==，因为12222e ()0(244)x x f x x x +'=++≥，（当且仅当0x =时，()0f x '=）所以函数()f x 在R 单调递增. ……………… 12分 当 2a >时，21x x >，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x(,0)-∞4(0,2)a-42a-4(2,)a-+∞()f x '+-+()f x↗↘↗故函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-，单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． 综上，当 12a <<时，()f x 的单调减区间为4(2,0)a -，单调增区间为4(,2)a-∞-，(0,)+∞； 当 2a =时，函数()f x 在R 单调递增；当 2a >时，函数()f x 的单调减区间为4(0,2)a-；单调增区间为(,0)-∞，4(2,)a -+∞． ……………… 13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上， 所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±. ……………… 3分 所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=.…………… 5分 （Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，.又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线. ……………… 7分 以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -.由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分 所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+. ……………… 10分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-，由4OM ON ⋅=，得点N 的坐标为4(,0)km-， ……………… 11分 设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k kx y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m+⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k k x y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k k x kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯ 2121242()()8k k x x m x x k m =++++2222412482()()()83434m k kmk m k k m k-=⨯++-+++22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=， ……………… 13分 所以 10NA NB k k -=，所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =.因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分 （Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>，则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分 所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++121()p p p pa p a a a a -=+-++++(1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. C2. D3. D4. A5. B6. B7. C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 96 10.16 11. 2 12. 34 13. 414. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解： （Ⅰ）π()sin3f x x = ---------------------------2分 (1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分πsinsin 032=-=. -------------------------------5分 （Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+- ------------------------------6分πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1ππsin 233t t =-+ ------------------------------8分 ππsin()33t =-- ------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-， ------------------------------11分 所以 π1s i n ()[1,]332t π-∈-， -----------------------------12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2- -----------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止} X分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元 --------------------------------------11分 （Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分 17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD . --------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz---------------------------4分不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，AE =BC =BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0)E DB A FC --------5分 (0,1,DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA. -----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.y y +==⎪⎩ 令1z =，则1y x ==，所以1)=-n .------------------------------------8分 平面DCB 的法向量为EA所以cos ,5||||EA EA EA ⋅<>==-⋅n n n，所以二面角A DC B --------------------------------9分 （Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于AF = ，所以AM AF λλ== ，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以,0,(1EM EA AM λ=+=-⎝ --------------------------11分由0EM ⋅= n，即03λ=-(1- ---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分 18．解（Ⅰ）e axy a '=， -----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=. ----------------------------------4分解得1m =，2a = -----------------------------------5分 （Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0axax b -->恒成立， --------------------------------------6分 令()e axg x ax b =--， ----------------------------------------7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <； ----------------------------------------8分 ②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分 的情况如下：-----------------------------------------11分 所以()g x 的最小值为(0)1g b =-， -------------------------------------------12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------13分法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e tb t <-恒成立，令()e tg t t =-，则 ()e 1tg t '=-， -----------------------------------------7分 由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分 '(),()g t g t 的情况如下：-----------------------------------------11分所以 ()e tg t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分 实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分 19．解：（Ⅰ） 设00(,)A x y ,00(,)-B x y ， ---------------------------------------1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|3=-y x . ---------------------------------2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200|||1|,3239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ， -----------------------------------------3分 得到 2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分 当02=x时，||3=AB ； 当043=-x时，||9=AB . -----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ， ------------------6分由0∆>得到 222960--<m k ① ----------------------------7分 所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k， ----------------------------8分 所以2232(,)2323-++km mN k k ，又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， --------------------------9分所以1MN k k ⨯=-， 即2222313123mk k km k+⨯=---+， ------------------------------10分化简2320k km ++=，② ------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入① 得2222(32)23(32)0k k k +-+<， 化简得 2340+<k ，不成立， -------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA =----------------8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈- -----------------9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分 所以∆ABM 不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)=-= A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=-- B B x y B B x y ，， 由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅= ,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得25=⎧⎨=⎩x y所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分（Ⅱ）由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分 （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,, n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ，则有 11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数.由于123,,, n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- . 等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列； ②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩ i ii a b i n i 为奇数，，为偶数, 由于123,,, n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- .等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。