24.2.1点与圆的位置关系(1)

24.2.1点和圆的位置关系1.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．2.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．3.直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．4.若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．5．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点6．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12， c=12C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14 7．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（）A．任意三角形B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．11.用反证法证明：一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交。

答案：1.锐角三角形内；直角三角形的斜边中点上；钝角三角形的外面．2.2．3.直角三角形三个顶点都在以斜边中点为圆心，以斜边一半为半径的圆上，直角三角形的外心是直角三角形的斜边中点4. AB=115． B6．C7． C8．A9．C10.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．解：设△ABC是等边三角形，BC=6，O是外心连接OB，OC，作OD⊥BC于点D则BD=3，∠BOC=120°，∠BOD=60°∴OB=2√3∴△ABC外接圆的半径为2√311.用反证法证明：一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交。

人教版数学九年级上24.2.1 点和圆的位置关系教学设计讲授新课、探究新知学生认通过活动1，自主学习：1.认真阅读课本92 页内容，自学完毕，要做到：（1）知道点与圆有几种位置关系？（2）会用点到圆心的距离d与圆的半径r 的大小判断点与圆的位置以及由点与圆的位置比较点到圆心的距离d 与圆的半径r 的大小。

（展示点与圆的三种位置关系，以及这三种位置关系对应的数量关系。

）自主练习：1.已知圆的半径等于5 厘米，点到圆心的距离是：A、8 厘米B、4厘米C、5 厘米。

请你分别说出点与圆的位置关系。

2.如图已知矩形ABCD 的边AB=3 厘米，AD=4 厘米.1）以点A 为圆心，3 厘米为半径作圆A ，则点B、C、D 与圆A 的位置关系如何？真阅读课本，独立思考，并根据问题梳理自学知识。

观看ppt 展示，核对自己梳理的知识是否有误，引导学生归纳总结出点与圆的位置关以及相应的数学生自主思考后，回答老师提出的问题。

学习环节，培养学生的自学能力，简单的数学知识通过自学能够掌握。

通过自主练习帮助学生将知识内化、通过独立练习消化吸收，抢答的形式（2）以点A 为圆心，4 厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A 的位置关系如何？（3）以点A 为圆心，5 厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A 的位置关系如何？活动2：探究讨论如何解决“破镜重圆”的问题？解决问题的关键是什么？（找圆心）思考：我们知道圆上有无数个点，那么多少个点就可以确定一个圆呢？我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆。

①经过一个已知点A 能不能作圆，可以做出多少个？②经过两个已知点A，B 能不能作圆，若能，能作出多少个圆？圆心在哪？③经过不在同一条直线上的三个点A ，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？更能锻炼学生的思维能力.学生讨通论解决“破过“破镜镜重圆”问重圆”问题的思路。

题，激发教师出示问学生好题，引导学奇心，产生作图，分生探究步骤引导学问题的生思考“破欲望，合镜重圆”问作寻找题与圆的关解决问系。

24.2.1点和圆的位置关系1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上2．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为«Skip Record If...»，点B所表示的实数为«Skip Record If...»，作以A为圆心，«Skip Record If...»为半径的⊙A，若点«Skip Record If...»在⊙A外，则«Skip Record If...»的值可能是（）. A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．如图，已知«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的中点，连接«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，分别交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积为（）A．72B．96C．120D．1444．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（）A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△«Skip Record If...»ACE5．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（）A．第三象限B．第一象限C．第四象限D．x轴上6．点«Skip Record If...»是非圆上一点，若点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»上的点的最小距离是«Skip Record If...»，最大距离是«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的半径是______．7．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．8．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为 ．9．已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»异侧；（2）在图②中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»同侧．10．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；11．如图，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点．（1）以点«Skip Record If...»为圆心，4为半径作«Skip Record If...»，则点«Skip Record If...»分别与«Skip Record If...»有怎样的位置关系？（2）若以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内，且至少有一点在«Skip Record If...»外，求«Skip Record If...»的半径的取值范围．12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，S△ABC＝32，BC＝8．（1）求出⊙O的半径r．（2）求S△ABO．13．已知AB是«Skip Record If...»的弦，点C为圆上一点．（1）用直尺与圆规作«Skip Record If...»；（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；（3）若已知圆的半径«Skip Record If...»，求所作等腰三角形底边上的高．14．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．15．已知线段AB=4 cm，以3 cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．参考答案1．D【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．2．A【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；【详解】∵B在«Skip Record If...»外，∴AB＞2，∴«Skip Record If...»＞2，∴b＞«Skip Record If...»或b＜«Skip Record If...»，∴b可能是-1.故选A．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．3．B【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△AD F是直角三角形，即可求出△ABC的面积．如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，∵点E是△ABC的外心，∴A E=B E=C E，∴△AB E，△AC E是等腰三角形，∵点P、Q分别是AB.AC的中点，∴PE⊥AB，Q E⊥AC，∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，∴A F=B F=10，AD=CD=8，在△AD F中，∵«Skip Record If...»，∴△AD F是直角三角形，∠AD F=90°，∴S△ABC= «Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△AD F是直角三角形．4．C【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心．故答案选C．本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．5．A【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B.C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．【详解】解：∵B（－3，0），C（4，0），∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧，∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确；当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确；当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，故选：A．【点拨】本题考查三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处．6．«Skip Record If...»或«Skip Record If...»【分析】分点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外和«Skip Record If...»内两种情况分析；设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»．【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．7．5．【分析】根据勾股定理可得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径．【详解】∵直角边长分别为6和8，∴斜边=«Skip Record If...»=10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5．故答案为：5【点拨】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键．8．（1）见解析；（2）见解析；（3）«Skip Record If...»【分析】（1）分别作出点A.B.C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；【详解】解：（1）如图，△A'B'C′为所求；（2）如图，取格点E.F、D，连接EF和AD相交于点M；∵AE∥BF，∴∠AEN=∠BFN，∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，∴△AEN≌△BFN，∴AN=BN，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴∠BNF=90°，∴EF垂直平分AB，根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，∴点M为△ABC的外接圆的圆心；（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为y=-x+3，设直线EF的解析式为y=mx+n，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．9．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可；（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．【详解】（1）如图①，«Skip Record If...»即为所求；（2）如图②，«Skip Record If...»即为所求．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．证明见解析【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠A CD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．【详解】如图，连接CO∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴«Skip Record If...»∵CD=24，AD=26∴«Skip Record If...»∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD为⊙O的直径∴AO=OD∴OC为Rt△ACD斜边上的中线∴«Skip Record If...»∴点C在圆O上．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．11．（1）«Skip Record If...»在圆上，点«Skip Record If...»在圆外，点«Skip Record If...»在圆内（2）«Skip Record If...»【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，C M，BC与AC的大小关系即可得出答案；（2）利用分界点当A.B.M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC=4，则A在圆上，∵«Skip Record If...»，则M在圆内，BC=5＞4，则B在圆外；（2）以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内时，«Skip Record If...»；当至少有一点在«Skip Record If...»外时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»的半径«Skip Record If...»的取值范围为：«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．12．（1）⊙O半径为5；（2）10【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC 中点，AD⊥BC，根据勾股定理即可得到结论；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，由勾股定理得到«Skip Record If...»，过O作OH⊥AB于H，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC中点，AD⊥BC，∵«Skip Record If...»∴AD＝8，∵OD＝8﹣r，BO＝r，BD＝«Skip Record If...»BC＝4，在R t△OBD中，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O半径为5；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，∴«Skip Record If...»过O作OH⊥AB于H，∴BH＝«Skip Record If...»AB＝2«Skip Record If...» ，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，垂径定理，掌握圆的性质、正确的作出辅助线、是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）8或2【分析】（1）连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由R=5，AB=8，根据勾股定理易得AB对应的弦心距为3，进而得到h=5+3=8或h=5-3=2．【详解】解：（1）如图所示，连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）如图所示，若AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，则△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由圆的半径R=5，AB=8，由勾股定理可得AB对应的弦心距为3，∴△ABE1中，h=5+3=8；△ABE2中，h=5-3=2．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心的运用，解决问题时注意：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．14．（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC．故答案是：＝；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD．由（1）知：∠ABC＝∠PDC，又∵BC＝DC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE．又∵∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．【点拨】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．15．作图见解析.【解析】试题分析：由所作圆过点A.B，可知，圆心到A.B的距离相等，由此可知，圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A的距离等于3 cm，这样先作AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3 cm为半径作弧与AB的垂直平分线相交，则交点为所求圆的圆心，这样就可作出所求圆了.试题解析：这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，如图：则⊙O1和⊙O2为所求圆．。