七年级数学上册 第二章 有理数知识贯穿素材 (新版)青岛版

第2章 有理数 知识点大贯穿

共3节内容：

2.1 有理数

2.2 数轴

2.3 相反数与绝对值

本章的重点难点内容总结如下：

一、重点：知道什么是正数和负数，什么是有理数，理解数0表示的量的意义。

难点：理解负数、数0表示的量的意义。

1、数的产生和发展：由记数、排序产生数1、2、3、…，由表示“没有”“空位”产生数0，由分物、测量产生分数、…。

2、如图所示：

像10、8844、2303这样大于0的数叫做正数，像－10、－155、－11034这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数。有时在正数前面也加上“＋”（正）号，一个数前面的“＋”“－”叫做它的符号。

3、数0既不是正数，也不是负数。

4、正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、有理数的分类：

有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数有理数正有理数负有理数负整数负分数零正整数正分数(1)(2)

2 典型例题

知识点一：正、负数的意义

例1：如果规定前进、收入为正，亏损、公元前为负，那么下列语句错误的是（ ）

A. 前进－18m的意义是后退18m

B. 收入－4万元的意义是亏损4万元

C. 盈利的相反意义是亏损

D. 公元－300年的意义是公元后300年

思路分析：

1）题意分析：本题涉及到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的。

2）解题思路：正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意选择的。

解答过程：选项A，规定前进为正，则后退为负，前进－18m表示后退18m，故A正确；选项B，规定亏损为负，则收入－4万元表示亏损4万元，故B正确；选项C正确，盈利和亏损具有相反意义；选项D，规定公元前为负，则公元－300年表示公元前300年，故D错误。本题选D。

解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示。

例2：在下面四组数：①－3，2.3，；②，0，2；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是（ ）

A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④

思路分析：

1）题意分析：对“不是负数”要有一个正确的理解，“不是负数”表示“是正数或0”。

2）解题思路：判断正、负数的关键是看它是否大于0，大于0的数是正数，正数前面添上“－”号是负数。

解答过程：在所给四组数中，②③④三组中的数都是“正数或0”，都不是负数，故选D。也可用排除法，“都不是负数”表示不能有负数，所以排除①。

解题后的思考：本题主要考查对数的分类，一定要注意：0既不是正数也不是负数。不是负数意味着是正数或0，本题易错选C，漏掉只包含正数和0（都不是负数）的第②组。

例3：在一次数学测验中，小明得了75分，记为＋15分，张强和王东分别得了90分和55分，他们的成绩应怎样记呢？

思路分析：

1）题意分析：小明得了75分，记为＋15分，说明他超出了标准15分，可知当考到60 3 分时，记为0，超过60分的记为正，不足60分的记为负。

2）解题思路：张强得了90分，与60分相比，超出30分，记为＋30分；王东的成绩是55分，与60分相比，少了5分，记为－5分。

解答过程：张强的成绩记为＋30分；王东的成绩记为－5分。

解题后的思考：在用正、负数表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准，超出（或不足）一方记为正时，则不足（或超出）的一方记为负，主要是看它们与标准的差距是多少。

小结：本题组主要考查正、负数的意义，学习时应注意以下几点：

1、一个数前面的“＋”、“－”可以看作是它的性质符号，“＋”号通常省略，“－”号不能省略。

2、思维误区：①只有带“＋”号的数是正数，②凡不带“－”号的数都是正数。

3、在利用正、负数解决实际问题时，要充分考虑数的实际意义，合理运用各种表达方式，如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义。

知识点二：有理数的分类

例4：下列说法中正确的是（ ）

A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数

B. 一个有理数不是正数就是负数

C. 一个有理数不是整数就是分数

D. 以上说法都正确

思路分析：

1）题意分析：本题考查有理数的意义及分类方法。

2）解题思路：有理数的分类可按整数、分数分类（二分法），也可按正有理数、零、负有理数分类（三分法）。

解答过程：在选项A中，把两种分类结果放在一起，分类重复，不正确；一个有理数可能是正数，可能是负数，也可能是0，所以选项B错误；有理数分为整数和分数，0包括在整数中，所以选项C正确。

解题后的思考：（1）有理数的分类标准必须一致，即要么按二分法，分成整数和分数，要么按三分法，分成正有理数、零、负有理数，二者不能混为一谈；（2）无论按哪一种分类标准分类，都必须做到分类结果不重不漏，即任意一个有理数都一定属于某一类，并且只属于这一类。

例5：将下列各数填在相应的数的集合里。 4 －3，0，－2，7，，，－，－3.14，＋8 848，－15%。

正整数集合{ …}；

负整数集合{ …}；

负数集合{ …}；

负分数集合{ …}；

非负数集合{ …}；

自然数集合{ …}。

思路分析：

1）题意分析：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，数的集合可以用椭圆形的圈表示，也可以用大括号表示，用这两种方法表示数时，若这个数集中有无数多个数时，要加“…”号。

2）解题思路：本题中的“非负数”是指正数和零；自然数是指正整数和零。

解答过程：

正整数集合{7，＋8 848…}；

负整数集合{－2…}；

负数集合{－3，－2，－，－3.14，－15%…}；

负分数集合{－3，－，－3.14，－15%…}；

非负数集合{0，7，，，＋8 848…}；

自然数集合{0，7，＋8 848…}；

解题后的思考：（1）易将正整数集合和自然数集合混淆，0是自然数，0既不是正数也不是负数；（2）“非负数”指不是负数的意思，即正数和0；很多同学容易忽略掉0。

例6：下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请按要求设计方案：

（1）请在每个圈内填入5个数，其中有3个既是负数又是整数，这3个数应填在哪里？

（2）你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？

负数集合整数集合

思路分析：

1）题意分析：本题是一道方案设计型的题目，主要考查有理数的分类。

2）解题思路：负数分为负整数、负分数，整数分为正整数、零、负整数。既是负数又是整数的数是负整数。所以这两个集合的重叠部分表示的是负整数。

解答过程：（1）这两个集合的重叠部分既是负数又是整数，如下图所示： 5

（2）这两个圈的重叠部分表示负整数集合。

解题后的思考：本题设计新颖，且具有一定的开放性，填写方案不唯一。弄清楚两个圈的重叠部分表示什么数是解决本题的关键。

小结：有理数与小学学过的数的区别：

（1）整数和分数：在小学数学中整数仅包括自然数，分数也只有正分数。学习了有理数后，引进了负数，整数不只是正整数和零了，还有负整数，分数也有正分数和负分数之分。（2）奇数和偶数：奇数和偶数的范围扩大了，奇数包括正奇数和负奇数，偶数也包括正偶数、负偶数和零三部分。（3）数“0”的意义发生了变化：学习有理数后，“0”就不仅只表示“没有”了，也不再表示最小的数了，“0”既不是正数，也不是负数，而是介于正数和负数之间的中性数。

二、重点：理解数轴、相反数、绝对值的概念，数轴的画法，以及有理数的大小比较。

难点：从数形结合的观点出发认识相反数和绝对值、两个负数比较大小。

1、数轴

（1）一般地，在数学中，人们用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3、…，从原点向左，用类似的方法依次表示－1、－2、－3、…。

43210-2-156-3-4-5-6

（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离也是a个单位长度。

2、相反数

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，a和－a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。

（2）在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

（3）多重符号的化简：相反数的意义是化简带“负号”的多重符号的依据，一个数的相反数仅有一个，－a实质上就是a的相反数，多重符号的化简有如下规律：“＋”号的个 6 数不影响化简的结果，可以直接省略；“－”号的个数决定最后化简的结果。即：“－”号的个数是奇数时结果为负，“－”号的个数是偶数时结果为正。

3、 绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作︱a︱。由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（1）当a是正数时，︱a︱＝a；

（2）当a是负数时，︱a︱＝－a；

（3）当a＝0时，︱a︱＝0。

4、有理数比较大小

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；

（2）两个负数相比，绝对值大的反而小。

5、 利用数轴比较两个有理数的大小

43210-2-156-3-4-5-6

每个有理数都可以用数轴上的点来表示，在数轴上，右边的数总比左边的数大。

知识点理解和训练。

知识点一：数轴

例1. 下列数轴的表示不正确的是（ ）

2000-1501050-10210-2-1210-2.5ABCD

思路分析：

1）题意分析：本题考查数轴的画法。

2）解题思路：一条完整的数轴要有原点、正方向和单位长度，判断所给四条数轴是否满足数轴的三要素即可。

解答过程：所给四个选项中的数轴都有原点和正方向，关键是判断它们的单位长度是否画得正确。选项C是一条规范的数轴，正确；选项A和B经观察发现，虽然不整齐，但单位长度是一致的，有些时候这样标注也可以。选项D错误，－2.5应在－2和－3之间。故选D。

解题后的思考：判断数轴的画法是否正确时，要依据数轴的三要素，即：所画直线要有正方向，有合适的原点，一致的单位长度。