吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析

吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析

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吉林省实验中学 2019 届高三数学上学期期中试题（理科附解析）

2019 届吉林省实验中学 高三上学期期中考试数学（理）试卷 数学 注意事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。 2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。

3．非选择题的作答： 用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地域内。写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。 4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题 1 ． ，则 用区间可表示为 A ． B． C． D． 2 ．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值

为 A ． B ． C． D． 3 ．等差数列 {an} 中， a1+a5=14，a4=10，则数列{an} 的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 ．若 ，且为第二象限角，则 A ． B ． C． D． 5 ．在正项等比数列 {an} 中，若 a1=2，a3=8,

数列 {an} 的前 n 项和为 ，则 S6 的值为 A ．62 B．64 C．126 D． 128

6．函数 的零点个数为 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D． 3 个 7．设可导函数 在 R上图像连续且存在独一极值， 若在 x＝2 处，f(x) 存在极大值，则以下判断正确的选项是 A． . B ． . C ． . D ． .

8．A ．B． C．D ．9 ．函数 的最小正周期为 A ．B．C．D．10 ．在中， ( ) A． B． C． D． 11 ．设偶函数 满足 ，且当 时， ，则 在上的单调性为 A ．递加 B ．递减 C．先增后减 D．先减后增 12 ． 恒建立，则以下各式恒建立的是 A ． B ． C． D ．

二、填空题 13 ．已知向量 ，则 的夹角余弦值为 ________． 14 ．在

△ABC中，若 ，则 ＝______. 15．若 f(x) ＝ x3 －f ′(1)x2 ＋ x＋ ，

则在（ 1，f(1) ）处曲线 的切线方程是 ______ 16． ： ； . 此中真

命题的序号为 ___

三、解答题 17 ．已知等差数列 满足 。 （1）求通项 ； （2）设 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求数列 通项公式及前 n 项和 .

18． （1）求 的表达式； （2）将 f （x）的图象向右平移 个单位后获得 y=g（x）的图象，求 在 上的值域． 19 ．设数列 的前项和为 ，满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ．求数列 前项和 ． 20 ．设函数 . （1）求函数 的极小值 ; （2）若关于 的方程 在 吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析

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区间 上有独一实数解，务实数 的取值范围 . 21．在 中，角 的对边的边长为 ，且 。 （1）求 的大小； （2）若 ，且 ，求边长 的值。22．已知函数 f （x）=lnx ? ax，此中 a 为实数． （1）求出 f （x）的单调区间； （2）在 a＜1 时，能否存在 m＞1，使得对任意的 x∈ （1，m）, 恒有 f （x）+a＞0，并说明原由 .

2019 届吉林省实验中学 高三上学期期中考试数学（理）试卷 数学答案 参照答案 1 ．C 【解析】 【解析】 先化简会集 A和 B，再根

据交集运算的定义求解。 【详解】 会集 = ， = 所以 ，答案选 C。【点睛】 在进行会集运算时，当会集没有化简，要先化简会集；当

会集是用列举法表示的数集时，可以经过列举会集的元素进行运算，也可借助 Venn图运算；当会集为无量集时，可借助数轴进行运算。

会集的交、并、补运算口诀以下： 交集元素认真找， 属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，牢记重复仅取一；全集 U是大范围，去掉 U中 A 元素，节余元素成补集。 2 ．B 【解析】∵向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，应选 B. 3 ．C 【解析】 【解析】 利用等差数列的性质， a1+a5=14 可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式 即可求出结果。 【详解】 由于{an}

为等差数列， 所以 = = 而 a4=10， 所以 ， 所以公差 =3 。答案选 C。

【点睛】 本题观察了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。

4 ．A 【解析】 【解析】 先由引诱公式得 ，再求出 ，最后依据定义求 。

【详解】 由于 ， 所以 ， 又由于 为第二象限角，所以 ， 所以 = 。答案选 A 【点睛】 本题观察了引诱公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点， 都属于基本知识，比较简单，但在求三角函数的值时，较简单出现符号错误，

需要注意。 5 ．C 【解析】 【解析】 依据 a1=2，a3=8 先求出公比为

2，再代入 {an} 的前 n 项和公式计算即可。 【详解】 由于 {an} 是正项等比数列，所以 ，即 ， 所以 {an} 的前 6 项和为 为 = =126 ，答案选

C 【点睛】 本题观察了等比数的公比计算公式及前 n 项和公式，属于基础题。 6 ．C 【解析】 【解析】 函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题，观察函数 和函数 的图像交点个数，即可。【详解】 作出函数 和函数 的图像以下： 由图像可知，函数 和函数 的图像有两个交点，即方程 有 2 个解， 所以函数 的零点有 2 吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析

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个，答案选 C。 【点睛】 本题观察了函数与方程的关系，涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题议论， 而方程解的个数问题又

可化为函数的零点问题进行议论， 而数形联合是解决这种问题最主要的方法。 7 ．A 【解析】 【解析】 依据函数极值的判断方法，极大值点左边导函数值为正， 右边为负，即可判断。 【详解】 由题意知，x＝2

为导函数 的极大值点， 所以，当 时， ；当 时， 。故答案选 A。

【点睛】 本题观察函数极值的判断方法，属于基础题。 8 ．B

【解析】【解析】 第一判断 为定义域 上的偶函数，再议论当 和 时的单调性，最后将不等式 化为 ，即 ，求解即可。 【详解】 易知 为定义域 上的偶函数， 当 时， ， 由于 和 均为减函数，所以 在 时为减函数。 依据偶函数的性质可得， 在 时为增函数。 所以不等式等价于

或 解得 。答案选 B。 【点睛】 本题主要观察了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题， 此中依据函数的解析式获得函数的定义域和单调性、 奇偶性转变不等式是解题要点， 重视观察了转变

能力以及推理计算能力，综合性较强，属于中档题。 9 ．D 【解析】

【解析】 利用二倍角公式把函数 化为 ，再运用辅助角公式把函数化为 ，最后求最小正周期 【详解】 = = ， 所以最小正周期 。答案选 D。

【点睛】 本题主要观察了三角恒等变换，三角函数的最小正周期的求法，

此类问题平时要先对所给函数式进行恒等变换， 最后化为 的形式，再利用正弦函数的性质进行求单调区间， 最值或值域，对称轴或对称中心，周期则要用公式 计算。 10 ．A 【解析】 【详

解】 在 中， 所以 = = = =27。 所以 ，答案选 A。 11 ．D 【解析】【解析】 由函数 满足 ，可得函数 的周期为 4，且为偶函数，其余，当

时， 是增函数，可推测 在 上单调减，运用周期性即可推测在 上的单调性。【详解】由于 满足 ，所以函数 的周期为 4。又当 时，，所以 ，且当 时，有 ，所以 在 上单调增。 其余，由于函数 是 R 上的偶函数，

所以 在 上单调减， 所以 在 上先减后增； 所以 在上的单调性为先减后增。答案选 D。 【点睛】 本题主要观察函数的单调性的判断， 依据函数的奇偶性， 周期性和单调性的关系是解决问

题的要点。本题是一道综合性较强的中档题。 12 ．B 【解析】 【解析】

构造函数 ，求出 ，获得该函数为 R 上的增函数，故得 ， ， 吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析

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从而可获得结论。 【详解】 设 ， 所以 = 由于关于 ，所以 ， 所以

是 R 上的增函数， 所以 ， 即 ， ， 整理得 和 。故答案选 B。【点睛】 本题观察了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法规

的应用，属于中档题。 13 ． 【解析】 【解析】 将条件代入向量夹角计算公式即可。 【详解】 设 的夹角为 ，则 = = 。 【点睛】 本题观察平面向夹角的计算，属于基础题。 14 ．2 【解析】 【解析】

由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。 【详解】 由于 所

以 ， ， 所以 = = = =2 。 【点睛】 本题主要观察正弦定理的变形运用，属于基础题。 15 ．2x-3y+1=0 【解析】 【解析】 第一对函

数求导得 ，把 代入可求 ，把 代入函数 可求 ，用点斜式方程写出切线并化简即可。 【详解】 由于 f(x) ＝ x3 －f ′(1)x2 ＋ x＋ ， 所以

把 代入，则 ， 所以 ， 把 代入，则 所以过点（ 1，f(1) ）处曲线 的切线方程 整理得 。【点睛】 本题观察了导数的几何意义，属于基础题。

16 ．(2)(3) 【解析】 【解析】 运用二倍角、辅助角公式将函数 化为 ，分别求其对称轴，对称中心，并进行图像平移，议论三个结论即可。

【详解】 函数 可化为 ， 所以 ， 所以函数 的对称轴为 ，故命题（ 1）错误； 函数 的对称中心为 ，取 时，对称

中心为 ，命题（ 2）正确； 函数 向左平移 个单位，得 = = ， 为奇函数，命题（ 3）正确。故答案为 (2)(3) 。 【点睛】 本题主要经过对多个命题真假的判断， 主要综合观察三角函数的对称性、 三角函数的图像平移，属于中档题 . 这种题型综合性较强，也是高考的命题热门，同学们常常由于某一处知识点掌握不好而以致“通盘皆输”，所以做这种题目更要认真、多读题，尽量发掘出题目中的隐含条件，

其余，要注意从简单的自己已经掌握的知识点下手， 此后会集精力打破较难的命题 17 ．（1） ；（2） ， 。 【解析】 【解析】 (1) 依据

等差数列通项公式，联合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求解即可；（2）可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前 n 项和则运用分组乞降的方法求解即可。 【详解】 （1）由题意得 ， 解得 ，

（2） ， ， ∴ 。 【点睛】 本题观察了等差数列、等比数列通项公式及分组乞降法，比较基础，难度不大，要点是掌握基本公式即可。

18 ．（1） ；（2） 。 【解析】 【解析】 (1) 运用向量的