(完整版)高中数学空间向量训练题
- 格式：docx
- 大小：951.78 KB
- 文档页数：44
(完满版)高中数学空间向量训练题
1 / 44
高中数学空间向量训练题（含解析）
一．选择题
1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向
量 = ， = ， = ，则 =（ ）
A． + + B． + + C． + + D． + +
2．已知 =（ 2，﹣ 1，2）， =（﹣ 1， 3，﹣ 3），
=（13，6，λ），若向量 ， ， 共面，则 λ=
（ ）
A．2 B．3 C． 4 D．6
3．空间中，与向量 同向共线的单位向量 为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．已知向量 ，且 ，则 x 的值为（ ）
A．12 B．10 C．﹣ 14 D． 14
5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点 O 都有 = + + ，则 P，A，B，C 四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
6．已知平面 α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面 β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若 α∥β，则 λ的
值是（ ）
A． B．﹣ 6 C．6 D．
7．已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
(完满版)高中数学空间向量训练题
2 / 44
第 1页（共 40页） (完满版)高中数学空间向量训练题
3 / 44
8．有四个命题：①若 =x +y ，则 与 、共面；②若 与 、共面，则 =x +y ；③若 =x +y ，
则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则 =x +y ．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C． 3 D．4
9．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以 ， 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B．C．4 D． 8
10．以以下图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E
到平面 ACD1 的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共 5 小题）
12．已知向量 =（ k， 12，1）， =（4，5，1）， =（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，
则 k= ．
13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径， P 为正方体表面上的动
点，则 ? 的最大值为 ．
14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是 =（ 2，﹣ 1，﹣ 4）， =（4，2，
0）， =（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③ 是平面 ABCD的法向量；④
∥ ．其中正确的选项是 ．
15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系 ，若 P，
A，B，C 四点共面，则 x+y+z= ．
16．已知平面 α⊥平面 β，且 α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC
⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= ．
三．解答题（共 12 小题）
第 2页（共 40页） (完满版)高中数学空间向量训练题
4 / 44
17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，
DC=
（ Ⅰ） 证明 PC丄 AD；
（ Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；
（ Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线 BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面
PAD⊥ 底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（ Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
（ Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值．
19．如图，在四棱锥 S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA
的中点．
（ 1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；
（ 2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．
第 3页（共 40页） (完满版)高中数学空间向量训练题
5 / 44
20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，
△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC= ，E 是线段 AB 的中点．
（ Ⅰ）求证： PE⊥CD；
（ Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．
21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．
（ Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；
（ Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；
（ Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存
在，说明原由．
第 4页（共 40页） (完满版)高中数学空间向量训练题
6 / 44
22．如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形 ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，
AB=2CD=2BC， EA⊥EB．
（ Ⅰ）求证： AB⊥DE；
（ Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；
（ Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出 ；若不存在，说明原由．
23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．
（ Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；
（ Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1 的余弦值．
24．如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形 ABCD为正方形，点 M， N 分别为线段
PB，PC上的点， MN⊥PB．
（ Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；
（ Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为 时，求 PN 的长．
25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB= ． D，E 分别为线段 AB，BC
第 5页（共 40页） (完满版)高中数学空间向量训练题
7 / 44
上的点，且 CD=DE= ，CE=2EB=2．
（ Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD
（ Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．
26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．
（ 1）求证： GF∥平面 ADE；
（ 2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．
27．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2 ，E
是 PB 上任意一点．
（ Ⅰ）求证： AC⊥DE；
（ Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为 ，若 E 为 PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的
正弦值．
第 6页（共 40页）
